必修 第二册4 抛体运动的规律达标测试

05 平抛运动中的追击相遇问题

  强化训练

一、单选题

1．亲子游戏有益于家长与孩子之间的情感交流。如图所示，父亲与儿子站在水平地面玩抛球游戏，两人相向站立，各持一小球并将球水平抛出，下述抛球方式可能使两球在落地前相遇的有（　　）

A．父亲先将球抛出

B．儿子先将球抛出

C．两人同时将球抛出

D．儿子下蹲适当高度后再与父亲同时将球抛出

【答案】A

【详解】ABC．若两球在落地前相遇，则父亲扔出的球的竖直位移较大，根据t=可知，父亲扔出去的球运动的时间较长，即父亲先将球抛出，故A正确，BC错误；

D．同时将球抛出，则两球在相同时间内下落相同的高度，由于初始高度不同，两个球不能相遇，故D错误。

故选A。

2．如图所示，同一竖直平面内有四分之一圆环BC和倾角为53°的斜面AC，A、B两点与圆环BC的圆心等高，现将甲、乙小球分别从A、B两点以初速度、沿水平方向同时抛出，两球恰好在C点相碰（不计空气阻力），已知，，下列说法正确的是（　　）

A．初速度、大小之比为3：4

B．若仅增大，则两球不再相碰

C．若大小变为原来的一半，则甲球恰能落在斜面的中点D

D．若只抛出甲球并适当改变大小，甲球不可能垂直击中圆环BC

【答案】A

【详解】A．甲乙两球从等高处做平抛运动恰好在C点相碰，则时间相等，水平方向有，，所以，选项A正确；

B．两球相碰，则满足，若仅增大v2，显然存在t满足方程，所以两球会相碰，选项B错误；

C．若v1大小变为原来的一半，在时间不变的情况下水平位移会变为原来的一半，但由于甲球会碰到斜面，下落高度减小时间减小，所以甲球的水平位移小于原来的一半，不会落在斜面的中点，选项C错误；

D．若甲球垂直击中圆环BC，则落点时速度的反向延长线过圆心O，由几何关系有，，以上方程为两个未知数两个方程可以求解v1和t，因此只抛出甲球并适当改变v1大小，则甲球可能垂直击中圆环BC，选项D错误。

故选A。

3．如图所示，A、B两小球从相同高度同时水平抛出，经过时间t在空中相遇，若两球的抛出速度都变为原来的，不计空气阻力，则两球从抛出到相遇的过程中，下列说法正确的是（　　）

A．相遇时间变为 B．相遇时间变为

C．相遇点的高度下降了 D．相遇点的位置在原来的左下方

【答案】C

【详解】AB．设第一次抛出时A球的速度为，B球的速度为，则A、B间的水平距离

第二次两球的速度为第一次的，但两球间的水平距离不变，则，联立得

故AB错误；

CD．两次相遇位置的高度差，两次相遇A球水平位移

相遇位置在原来的正下方，故C正确，D错误。

故选C。

4．如图所示，在水平地面上M点的正上方h高度处，将小球S1以速度大小为v水平向右抛出，同时在地面上N点处将小球S2以速度大小为v竖直向上抛出。在S2球上升到最高点时恰与S1球相遇，不计空气阻力。则在这段过程中，以下说法不正确的是（　　）

A．两球的速度变化相同

B．相遇时小球S1的速度方向与水平方向夹角为30°

C．两球的相遇点在N点上方处

D．M、N间的距离为h

【答案】B

【详解】A．由于两个球都只受到重力的作用，加速度都是重力加速度，加速度恒定，两球的运动时间相同，则速度的变化相同，故A正确。

B．两球运动时间为，相遇时小球竖直分速度为，因此速度方向与水平方向夹角为45°，故B错误。

C．小球竖直位移，小球竖直位移，，联立解得

两球的相遇点在N点上方处，故C正确。

D．M、N间的距离为，故D正确。

此题选择不正确的，故选B。

5．如图所示，A、B两小球从同一竖直线上的不同位置水平抛出后，恰好在C位置相遇，已知A、B两球抛出时的速度分别为、，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）

A．两球从抛出到运动至C点的时间相等

B．相遇时A球速度大于B球速度

C．A先抛出，且

D．B先抛出，且

【答案】C

【详解】A．根据，两球运动到C点时的竖直高度不同，则两球从抛出到运动至C点的时间不相等，A球运动时间较长，选项A错误；

B．根据，可知A的初速度较小，相遇时的速度

可知不能确定相遇时A球速度与B球速度的关系，选项B错误；

CD．因A球运动时间较长，则A先抛出，根据，可知，A的初速度较小，且，选项C正确，D错误。

故选C。

6．如图所示，A、B两小球置于同一竖直线上不同高度处，如果将A球以速度v1、B球以速度v2水平抛出（前一个球落地后才抛另一个球），落地前两球轨迹均经过P点。现在将A、B两球同时水平抛出，抛球高度和速度不变，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）

A．v1>v2

B．两球在P点相遇

C．两球在P点一定具有相同的速率

D．落地前两球在竖直方向上的距离保持不变

【答案】D

【详解】A．根据平抛运动， ，解得

A、B到P点的水平距离x相等，h小的初速度大 ，A错误；

B．根据 ，解得 ，两个小球到P点的高度h不同，到达P点的时间不同，两球不能相遇，B错误；

C．无法比较两球在P点的速率，C错误；

D．根据，两球在相同时间内下落相同的距离，所以落地前两球在竖直方向上的距离保持不变，D正确。

故选D。

7．某电视综艺节目中有一个“橄榄球空中击剑”游戏，宝剑从空中B点自由下落，同时橄榄球从A点以速度沿方向抛出，恰好在空中C点击中剑尖，不计空气阻力。关于橄榄球，下列说法正确的是（　　）

A．在空中运动的加速度大于宝剑下落的加速度

B．若以大于的速度沿原方向抛出，一定能在C点上方击中剑尖

C．若以小于的速度沿原方向抛出，一定能在C点下方击中剑尖

D．无论以多大速度沿原方向抛出，都能击中剑尖

【答案】B

【详解】设B点高度为h，橄榄球水平位移为x，初始速度与水平方向的夹角为α，经过时间t恰好击中，则有，

A．橄榄球在空中运动的加速度等于宝剑下落的加速度，均等于重力加速度，故A错误；

B．橄榄球若以大于v0的速度沿原方向抛出，则水平方向的速度增大，运动到相遇点的时间减小，剑下降的高度减小，一定能在C点上方击中剑尖，故B正确；

C．橄榄球若以小于v0的速度沿原方向抛出，则水平方向的速度减小，运动到相遇点的时间增大，剑下降的高度增大，可能剑尖落地后橄榄球才到C点所在的竖直线，所以橄榄球可能在C点下方击中剑尖，也可能击不中剑尖，故C错误；

D．若抛出的速度太小，可能橄榄球不会与剑尖相遇，故D错误。

故选B。

8．如图所示，小球B在A的正下方两球相距h，将A球以速率v1沿水平向右抛出，同时将小球B以速率v2沿竖直向上抛出，不考虑两球的大小及空气阻力，则两球在落地前球A与B之间的最短距离为（　　）

A．h B．h

C．h D．h

【答案】C

【详解】设经过时间t，A在竖直方向的距地面的高度为，A在水平方向的位移为x=v1t

B在水平方向的位移始终为0，乙在竖直方向做竖直上抛运动，距地面的高度为

两球在竖直方向的距离为y=hA﹣hB＝h﹣v2t，两球之间的距离为

根据数学知识可知当（二次函数求极值）时，s取得最小值。

故选C。

9．如图所示，从足够高的两点先后平抛两个小球，之后两球在空中的点相碰，测得从两点平抛出的小球在点时速度与水平方向的夹角分别为60°、30°。已知两点在同一竖直线上，点到点的水平距离为，重力加速度为，不计空气阻力，则两点间的竖直距离为（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】设两球抛出时的初速度分别为和，由抛出到C点的时间为，，则两小球到达C点时的竖直速度分别为，，由题意得，

抛出点距C点的竖直高度分别为，，解得，

则A、B两点间的竖直距离为，ABD错误，C正确。

故选C。

二、多选题

10．如图所示为一半球形的坑，坑边缘上M、N两点与圆心等高且在同一竖直面内。两位同学分别在M、N两点，同时将甲、乙两小球分别以、的速度沿图示方向水平抛出，发现两球刚好落在坑壁上Q点，Q、是半球上的两个对称点（如图），已知，忽略空气阻力，下列说法中正确的是（　　）

A．两球抛出的速率之比为

B．从N点水平抛出的小球，控制抛出速度的大小，小球有可能垂直砸到坑壁上

C．两球同时落在Q点与同时落在点，两次抛出两球的速率之和相等

D．若抛出时两球速度大小相等，且两球恰好相碰于坑壁上，则两球在空中运动时间最长

【答案】ACD

【详解】A．由于两球抛出的高度相等，则运动时间相等，，由几何关系可知

所以两球抛出的速率之比为，A正确；

B．若仅从N点水平抛出小球，改变小球抛出的速度，小球垂直坑壁落入坑中的A点，则由平抛运动速度的反向延长线OA过水平位移的中点可知，而O点不可能是水平位移的中点，故小球不可能垂直坑壁落入坑中，B错误；

C．要使两小球落在坑中的同一点，必须满足v1与v2之和与时间的乘积等于半球形坑的直径，即，Q、是半球上的两个对称点，它们距离水平面的竖直高度相同，故t相同，所以两球抛出的速率之和相等，C正确；

D．由可知，小球下落的竖直高度越大，在空中运动时间越长，故小球打在半球形的坑的最低点（O点正下方的坑壁）时，其在空中运动时间最长。若两小球都砸到这一点，则有

故两小球抛出时速度大小相等，D正确。

故选ACD。

11．如图所示，a、b两点在同一竖直线上，现同时分别在a、b两点抛出两个小球甲、乙，甲球的速度大小为，方向水平向右，乙球的速度大小为，方向与水平方向的夹角为60°斜向右上方，两球在c点（未画出）相碰。已知碰前瞬间乙球速度方向水平，则下列判断正确的是（　　）

A．a、c两点竖直方向的距离等于b、c两点竖直方向的距离

B．甲，乙两球相碰前瞬间甲球的速率与乙球速率相等

C．甲、乙两球自抛出至相碰前瞬间速度变化相等

D．甲、乙两球抛出时的速度大小与之比为

【答案】ACD

【详解】A．设经过时间t，两球相遇，在竖直方向上，球a做自由落体运动，相遇时的竖直分速度

下降的高度，在竖直方向上，球b做竖直上抛运动，相遇时竖直分速度减小到零，因此

竖直初速度，上升的高度，A正确；

B．由于在空中相遇，两球水平分速度相等，相遇前瞬间，球a的竖直分速度为gt，而球b的竖直分速度为零，因此两球的速率不同，B错误；

C．根据，两球的加速度均为重力加速度，运动时间相等，因此速度变化相等，C正确；

D．由于两球的水平分速度相等，即，可知，D正确。

故选ACD。

12．如下图所示，将甲、乙两个小球分别从图示位置以初速度水平抛出，结果同时落到P点。不计空气阻力，下列判断中正确的有（　　）

A．它们的初速度关系是 B．它们的初速度关系是

C．它们一定是同时抛出 D．甲一定先抛出

【答案】BD

【详解】CD．由图可知，甲球的抛出点竖直高度h更高，则根据，可知，甲球运动的时间更长，为使得两球同时落到P点，则需将甲球先抛出，故C错误，D在正确；

AB．由图可知，乙球的水平位移更大，而乙球运动时间更短，根据，可知，乙球的初速度更大，即它们的初速度关系是，故A错误，B正确。

故选BD。

13．如图所示，同一竖直平面内有四分之一圆环BC和倾角为53°的斜面AC，A、B两点与圆环BC的圆心O等高，C点位于O点正下方。现将甲、乙小球分别从A、B两点以初速度、沿水平方向同时抛出，两球恰好在C点相碰（不计空气阻力），已知，，下列说法正确的是（　　）

A．初速度、大小之比为

B．若仅增大，两球有可能不相碰

C．若甲球恰能落在斜面的中点D，则初速度应变为

D．若只抛出甲球并适当改变大小，甲球能垂直击中圆环BC

【答案】CD

【详解】A．两小球竖直位移相同，则运动时间相同，初速度、大小之比为

故A错误；

B．若仅增大v2，则乙球抛物线轨迹开口变大，与甲球轨迹仍存在交点，因为两球同时抛出，在运动至交点时下落高度相同，运动时间相同，则一定相碰，故B错误；

C．甲球落在D、C两点时的竖直位移之比为，根据，可知甲球落在D、C两点时的时间之比为，甲球落在D、C两点时的水平位移之比为，根据，可知甲球落在D、C两点时的初速度大小之比为，故C正确；

D．若只抛出甲球并适当改变大小，假设甲球可以垂直击中圆环BC，击中BC时的速度方向一定过O点，且根据平抛运动规律的推论可知O点为甲球水平位移的中点，则甲球落点到O点的水平距离为，竖直距离为，假设成立，即甲球可以垂直击中圆环BC，故D正确。

故选CD。

14．如图，两小球M、N从同一高度同时分别以和的初速度水平抛出，经过时间t都落在了倾角的斜面上的A点，其中小球N垂直打到斜面上，，，则（　　）

A．初速度、大小之比为8︰9

B．初速度、大小之比为9︰8

C．若、都变为原来的2倍，则两球在空中相遇，从抛出到相遇经过的时间为2t

D．若、都变为原来的2倍，则两球在空中相遇，从抛出到相遇经过的时间为

【答案】AD

【详解】AB．N小球垂直打到斜面上，可知N小球的落到斜面时的速度偏转角为

且满足，M小球的落到斜面时的位移转角为，且满足，综上可得，A正确，B错误；

CD．若、都变为原来的2倍，两球会在空中相遇，相遇时间为，则两球在水平方向上位移大小的和等于抛出点的距离，则有，解得，C错误，D正确。

故选AD。

15．如下图所示，自足够高的同一水平直线上A、B两点相向水平抛出两个小球，两球的初速度分别为、，运动轨迹如图所示，，不计空气阻力。则下列说法正确的是（　　）

A．初速度

B．若A先抛出，B后抛出，则两球可能相遇

C．若两球同时抛出，则两球一定相遇

D．若两球能相遇，则从抛出到相遇的过程中两球的速度变化相同

【答案】CD

【详解】A．两球相遇时，下落的高度相同，则运动的时间相同，根据知，故A错误；

C．因为相遇时，下落的高度相同，运动时间相同，若抛出的先后顺序不同，则两球不会相遇，故C正确；

B．因为相遇时，下落的高度相同，运动时间相同，若抛出的先后顺序不同，则两球不会相遇，故B错误；

D．若两球相遇，则运动的时间相同，根据知，相遇过程中两球的速度变化量相同，故D正确。

故选CD。

16．如图，在同一竖直面内，小球、从高度不同的两点，分别以初速度和沿水平方向先后抛出，恰好同时落到地面上与两抛出点水平距离相等的点，若不计空气阻力，则（　　）

A．小球比小球先抛出

B．初速度小于

C．小球、抛出点距地面高度之比为

D．初速度大于

【答案】ABC

【详解】A．由得，可知平抛运动的运动时间是由竖直的高度决定的，由于的下落高度比的大，所以它们运动时间关系为，两球要同时落地，则小球必须先抛出。故A正确；

BD．由于、的水平位移大小相等，由得，故B正确，D错误；

C．由、结合得，相同，可知，小球、抛出点距地面高度之比为，

故C正确。

故选ABC。

三、解答题

17．如图所示，一个可视为质点的小物块从一个与水平面夹角为的光滑斜面顶端无初速度滑下，斜面末端平滑连接一小段长度可忽略的光滑圆弧轨道，使物块在轨道末端速度变为水平，且轨道末端有一光电装置．物块经过轨道末端时，光电装置被触动，控制电路会使转筒立刻以某一角速度匀速转动起来。已知转筒的底面半径为R，轨道末端与转筒上部相平，且与转筒的转轴距离为L，与转筒侧壁上的小孔的高度差为h。开始时转筒静止，且小孔正对着轨道方向。转筒转过n圈后，小物块正好穿过小孔进入转筒（小孔比物块略大，不计空气阻力，重力加速度为g），求：

（1）小物块离开轨道末端时的速度大小v；

（2）斜面的长度s；

（3）转筒转动的角速度。

【答案】（1）；（2）；（3）

【详解】（1）小物块离开轨道末端后做平抛运动，设小物块从轨道末端飞出后经时间t到达小孔处，则有，小物块平抛运动的水平位移，小物块离开轨道末端时的速度大小，联立解得

（2）小物块在光滑斜面上的加速度，小物块沿着斜面滑行的长度，结合（1）中结果，解得

（3）转筒转动的时间和小物块做平抛运动的时间相等，有，解得