北师大版七年级下册5 平方差公式课后作业题

第3讲  乘法公式一平方差公式

 知识点1 平方差公式

平方差公式的特点：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.

在利用平方差公式进行计算时，先判断式子能否利用平方差公式计算，如果可以，再根据进行乘法计算．

【典例】

例1（2020秋•乾安县期末）下列多项式的乘法中，能用平方差公式计算的是（　　）

A．（x+2）（2+x） B．（）（b） 

C．（﹣m+n）（m﹣n） D．（x2﹣y）（x+y2）

【解答】解：A、原式＝（x+2）2＝x2+4x+4，不符合题意；

B、原式＝b2a2，符合题意；

C、原式＝﹣（m﹣n）2＝﹣m2+2mn﹣n2，不符合题意；

D、原式＝x3+x2y2﹣xy﹣y3，不符合题意．

故选：B．

【方法总结】

此题考查了平方差公式，以及完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．

例2（2020秋•河北区期末）若a2﹣b2，a+b，则a﹣b的值为　　．

【解答】解：因为a2﹣b2，

所以（a+b）（a﹣b），

因为a+b，

所以a﹣b（）．

故答案为：．

【方法总结】

此题主要考查了乘法公式，正确把握平方差公式是解题的关键．

例3（2020秋•吉林期末）计算：（3x+2）（3x﹣2）﹣x（5﹣3x）．

【解答】解：原式＝9x2﹣4﹣5x+3x2

＝12x2﹣5x﹣4．

【方法总结】

本题考查平方差公式、单项式乘以多项式，掌握计算方法是正确计算的前提．

【随堂练习】

1．（2020秋•连山区期末）下列代数式中能用平方差公式计算的是（　　）

A．（x+y）（x+y） B．（2x﹣y）（y+2x） 

C． D．（﹣x+y）（y﹣x）

【解答】解：A、两个括号内的数字完全相同，不符合平方差公式，故不符合题意；

B、两个括号内的相同数字是2x，相反数字是（﹣y）与y，故可用平方差公式计算，该选项符合题意；

C、没有完全相同的数字，也没有完全相反的数字，故不符合题意；

D、两个括号内只有相同项，没有相反项，故不符合题意．

故选：B．

2．（2020秋•天津期末）若a+b＝2，a2﹣b2＝6，则a﹣b＝　3　．

【解答】解：∵（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，

∴2×（a﹣b）＝6，

∴a﹣b＝3．

故答案为：3．

知识点2 利用平方差公式进行数的运算

在一些计算中，有时利用平方差公式，会使计算量大大减少；

例如98×102，可以利用平方差公式化成98×102=（100-2）×（100+2）=100²-2²=9996．

【典例】

例1（2020秋•肇源县期末）利用乘法公式计算：20202﹣2019×2021．

【解答】解：20202﹣2019×2021

＝20202﹣（2020﹣1）（2020+1）

＝20202﹣（20202﹣1）

＝1．

【方法总结】

本题主要考查了平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．

  例2（2020春•沙坪坝区校级月考）2019×2017﹣20202．

【解答】解：2019×2017﹣20202

＝（2018+1）×（2018﹣1）﹣20202

＝20182﹣1﹣20202

＝（2018+2020）×（2018﹣2020）﹣1

＝﹣8076﹣1

＝﹣8077．

【方法总结】

此题考查平方差公式，关键是根据两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差解答．

【随堂练习】

1．（2020秋•讷河市期末）计算：201×199﹣1982＝　795　．

【解答】解：原式＝（200+1）（200﹣1）﹣1982

＝2002﹣1﹣1982

＝（200+198）（200﹣198）﹣1

＝398×2﹣1

＝（400﹣2）×2﹣1

＝800﹣4﹣1

＝795．

故答案为：795．

2．（2020春•顺德区校级期末）利用乘法公式计算：99×101．（写出计算过程）

【解答】解：由平方差公式，得

99×101，

＝（100﹣1）（100+1），

＝1002﹣12，

＝10000﹣1，

＝9999．

3．（2020秋•普陀区期中）利用公式计算：101×99﹣972

【解答】解：原式＝（100+1）（100﹣1）﹣（100﹣3）2

＝1002﹣1﹣1002+600﹣9

＝590．

知识点3 平方差公式—几何背景

平方差公式的证明方法有很多种，其中几何法证明是最常见的一种，也是初中阶段最容易理解的一种．

【典例】

例1 （2020春•涡阳县校级月考）如图①，边长为a的大正方形中有四个边长均为b的小正方形，小华将阴影部分拼成一个长方形，（如图②）则这个长方形的面积为（　　）

A．（a+2b）（a﹣2b） B．（a+b）（a﹣b） 

C．（a+2b）（a﹣b） D．（a+b）（a﹣2b）

【解答】解：图②长方形的长为（a+2b），宽为（a﹣2b），因此阴影部分的面积为（a+2b）（a﹣2b），

故选：A．

【方法总结】

本题考查平方差公式的几何意义，表示出长方形的长和宽是得出正确答案的前提．

  例2 （2020秋•前郭县期末）如图①所示，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿虚线AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图②所示的等腰梯形．

（1）设图①中阴影部分的面积为S1，图②中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的式子表示S1和S2．

（2）请写出上述过程中所揭示的乘法公式；

（3）用这个乘法公式计算：

①（x）（x）（x2）；

②107×93．

【解答】解：（1）S1＝a2﹣b2，S2（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）；

（2）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；

（3）①原式＝（x2）（x2）＝x4；

②107×93

＝（100+7）（100﹣7）

＝1002﹣72

＝10000﹣49

＝9951．

【方法总结】

本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是解决问题的关键．

例3 （2020春•平顶山期末）（1）如图①所示的大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则阴影部分的面积是　a2﹣b2　．

（2）若将图①中的阴影部分剪下来，拼成如图②的长方形，则其面积是　（a+b）（a﹣b）　．（写成多项式相乘的积形式）

（3）比较两图的阴影部分的面积，可以得到公式：　（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2　．

（4）应用公式计算：（1）（1）（1）．

【解答】解：（1）如图①所示，阴影部分的面积是a2﹣b2，

故答案为：a2﹣b2；

（2）根据题意知该长方形的长为a+b、宽为a﹣b，

则其面积为（a+b）（a﹣b），

故答案为：（a+b）（a﹣b）；

（3）由阴影部分面积相等知（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2，

故答案为：（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2；

（4）（1）（1）（1）

．

【方法总结】

本题考查的是平方差公式的推导和运用，灵活运用平方差公式、掌握数形结合思想是解题的关键．

【随堂练习】

1．（2020春•凌海市期末）如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（　　）

A．a2﹣ab＝a（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 

C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）

【解答】解：左图的阴影部分的面积为a2﹣b2，右图的阴影部分的面积为（a+b）（a﹣b），

因此有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），

故选：D．

2．（2020秋•洮北区期末）乘法公式的探究及应用．

（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是　a2﹣b2　　（写成两数平方差的形式）；

（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是　a﹣b　，长是　a+b　，面积是　（a+b）（a﹣b）　．（写成多项式乘法的形式）

（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式　（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2　．（用式子表达）

（4）运用你所得到的公式，计算下列各题：

①10.3×9.7

②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）

【解答】解：（1）利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积＝a2﹣b2；

故答案为：a2﹣b2；

（2）由图可知矩形的宽是a﹣b，长是a+b，所以面积是（a+b）（a﹣b）；

故答案为：a﹣b，a+b，（a+b）（a﹣b）；

（3）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（等式两边交换位置也可）；

故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；

（4）①解：原式＝（10+0.3）×（10﹣0.3）

＝102﹣0.32

＝100﹣0.09

＝99.91；

②解：原式＝[2m+（n﹣p）]•[2m﹣（n﹣p）]

＝（2m）2﹣（n﹣p）2

＝4m2﹣n2+2np﹣p2．

   综合运用

11

1.（2020•郴州）如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（　　）

A．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2 B．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1） 

C．x2+2x+1＝（x+1）2 D．x2﹣x＝x（x﹣1）

【解答】解：由图可知，

图1的面积为：x2﹣12，

图2的面积为：（x+1）（x﹣1），

所以x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）．

故选：B．

2．（2020春•沙坪坝区校级月考）（1﹣a）（a+1）（a2+1）（a4+1）．

【解答】解：（1﹣a）（a+1）（a2+1）（a4+1）

＝（1﹣a2）（1+a2）（a4+1）

＝（1﹣a4）（1+a4）

＝1﹣a8．

3．（2020•安徽一模）计算：3a（2﹣a）+3（a﹣3）（a+3）．

【解答】解：原式＝6a﹣3a2+3（a2﹣9）

＝6a﹣3a2+3a2﹣27

＝6a﹣27．

4．（2020春•太原期中）利用公式计算：20152﹣2014×2016．

【解答】解：20152﹣2014×2016

＝20152﹣（2015﹣1）×（2015+1）

＝20152﹣（20152﹣1）

＝20152﹣20152+1

＝1．

5．（2020秋•东莞市校级期中）利用乘法公式计算：

①计算：（2+1）•（22+1）•（24+1）•（28+1）；

②计算：（3+1）•（32+1）•（34+1）•（38+1）；

③计算：1002﹣992+982﹣972+…+22﹣12．

【解答】解：①原式＝（2﹣1）•（2+1）•（22+1）•（24+1）•（28+1）

＝（22﹣1）•（22+1）•（24+1）•（28+1）

＝（24﹣1）•（24+1）•（28+1）

＝（28﹣1）•（28+1）

＝216﹣1；

②原式（3﹣1）•（3+1）•（32+1）•（34+1）•（38+1）

（32﹣1）•（32+1）•（34+1）•（38+1）

（34﹣1）•（34+1）•（38+1）

（38﹣1）•（38+1）

；

③原式＝（1002﹣992）+（982﹣972）+…（+22﹣12）

＝（1002﹣12）﹣（992﹣22）+（982﹣32）﹣…+（522﹣492）﹣（512﹣502）

＝（100+1）×（100﹣1）﹣（99+2）×（99﹣2）+（98+3）×（98﹣3）﹣…+（52+49）×（52﹣49）﹣（50+51）×（51﹣50）

＝101×99﹣101×97+101×95﹣…+101×3﹣101×1

＝101×（99﹣97+85﹣…+3﹣1）

＝101×（2+2+…+2）

＝101×25×2

＝5050．

6．（2020秋•巩义市期末）探究下面的问题：

（1）如图甲，在边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成如图乙的一个长方形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，这个等式是　a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）　（用式子表示），即乘法公式中的　平方差　公式．

（2）运用你所得到的公式计算：

①10.7×9.3

②（x+2y﹣3z）（x﹣2y﹣3z）

【解答】解：（1）图甲阴影面积＝a2﹣b2，图乙阴影面积＝（a+b）（a﹣b），

∴得到的公式为平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；

故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；平方差；

（2）①10.7×9.3

＝（10+0.7）×（10﹣0.7）

＝102﹣0.72

＝100﹣0.49

＝99.51；

②（x+2y﹣3z）（x﹣2y﹣3z）

＝（x﹣3z+2y）（x﹣3z﹣2y）

＝（x﹣3z）2﹣（2y）2

＝x2﹣6xz+9z2﹣4y2．

7．（2020秋•昭阳区期末）乘法公式的探究与应用：

（1）如图甲，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，请你写出阴影部分面积是　a2﹣b2　（写成两数平方差的形式）

（2）小颖将阴影部分裁下来，重新拼成一个长方形，如图乙，则长方形的长是　a+b　，宽是　a﹣b　，面积是　（a+b）（a﹣b）　（写成多项式乘法的形式）．

（3）比较甲乙两图阴影部分的面积，可以得到公式　（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2　（用式子表达）

（4）运用你所得到的公式计算：10.3×9.7．

【解答】解：（1）阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积＝a2﹣b2；

（2）长方形的宽为a﹣b，长为a+b，面积＝长×宽＝（a+b）（a﹣b）；

（3）由（1）、（2）得到，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；

故答案为：a2﹣b2，a﹣b，a+b，（a+b）（a﹣b），a2﹣b2；

（4）10.3×9.7＝（10+0.3）（10﹣0.3）

＝102﹣0.32

＝100﹣0.09

＝99.91．

日期：2021/1/27 22:11:39；用户：广饶数学；邮箱：chaoyin5@xyh.com；学号：24896626