北师大版 (2019)必修 第一册4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较学案设计

§4　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

1．当a>1时，函数y＝ax的增长速度与a的大小有什么关系？

2．当a>1时，函数y＝logax的增长速度与a的大小有什么关系？

3．当x>0，n>1时，函数y＝xn的增长速度与n的大小有什么关系？

1．三种函数的增长趋势

2．当底数a>1时，由于指数函数y＝ax的值增长非常快，人们称这种现象为“指数爆炸”．

举例说明“指数爆炸”增长的含义．

[提示]　如1个细胞分裂x次后的数量为y＝2x，此为“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从图象上看出，存在x0，当x>x0时，数量增加特别快，足以体现“爆炸”的效果．

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．(　　)

(2)指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随自变量的增大，函数值增大的速度越来越快．(　　)

(3)对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢．(　　)

[答案]　(1)√　(2)√　(3)√

2.下图反映的函数的增长趋势是(　　)

A．一次函数 B．幂函数

C．对数函数 D．指数函数

C　[从图象可以看出这个函数的增长速度越来越慢，反映的是对数函数的增长趋势．]

3.四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：

关于x呈指数型函数变化的变量是________．

y2　[以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)可知变量y2关于x呈指数型函数变化．]

类型1　指数函数、对数函数、幂函数图象的比较

【例1】　函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象，如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.

(1)请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；

(2)结合函数图象，比较f(8)，g(8)，f(2 020)，g(2 020)的大小．

[解]　(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.

(2)∵g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，g(9)＝729，f(9)＝512，g(10)＝1 000，f(10)＝1 024，

∴f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)．

∴1<x1<2,9<x2<10.

∴x1<8<x2<2 020.

从图象上知，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)；

当x>x2时，f(x)>g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上是增函数，

∴f(2 020)>g(2 020)>g(8)>f(8)．

底数大于1的指数函数模型和幂指数大于1的幂函数模型都是增函数，增长的快慢交替出现，从这个实例我们可以体会到幂函数增长，指数爆炸等不同函数模型增大的含义．

1．四个函数在第一象限中的图象如图所示，a，b，c，d所表示的函数可能是(　　)

A．a：y＝2x，b：y＝x2，c：y＝，d：y＝2－x

B．a：y＝x2，b：y＝2x，c：y＝2－x，d：y＝

C．a：y＝x2，b：y＝2x，c：y＝，d：y＝2－x

D．a：y＝2x，b：y＝x2，c：y＝2－x，d：y＝

C　[a，c对应的是幂函数，a的指数大于1，c的指数大于0小于1；b和d对应的函数是指数函数，且b中的底数大于1，d中的底数大于0小于1.]

类型2　几类函数模型增长差异的比较

【例2】　已知三个变量y1，y2，y3随变量x变化的数据如下表：

则反映y1，y2，y3随x变化情况拟合较好的一组函数模型是(　　)

A．y1＝x2，y2＝2x，y3＝log2x

B．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x

C．y1＝log2x，y2＝x2，y3＝2x

D．y1＝2x，y2＝log2x，y3＝x2

B　[从题中表格可以看出，三个变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，呈指数型函数变化，变量y3的增长速度最慢，呈对数型函数变化．]

常见的函数模型及增长特点

(1)线性函数模型

线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．

(2)指数函数模型

指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．

(3)对数函数模型

对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．

(4)幂函数模型

幂函数y＝xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．

2．四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x>1)的函数关系是f1(x)＝x2，f2(x)＝2x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是(　　)

A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝2x

C．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x

D　[由增长速度可知，当自变量充分大时，指数函数的值最大．故选D.]

类型3　函数模型的构建

【例3】　假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：

方案一：每天回报40元；

方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；

方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．

请问，你会选择哪种投资方案？

[解]　设第x天所得回报是y元．

由题意，方案一：y＝40(x∈N＋)；

方案二：y＝10x(x∈N＋)；

方案三：y＝0.4×2x－1(x∈N＋)．

作出三个函数的图象如图：

由图可以看出，从每天回报看，在第一天到第三天，方案一最多，在第四天，方案一、二一样多，方案三最少，在第五天到第八天，方案二最多，第九天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，经验证到第三十天，所得回报已超过2亿元，

∴若是短期投资可选择方案一或方案二，长期的投资则选择方案三．

通过计算器计算列出三种方案的累积收入表．

∴投资一天到六天，应选方案一，投资七天方案一、二均可，投资八天到十天应选方案二，投资十一天及其以上，应选方案三．

函数模型构建的一般步骤

(1)收集数据．

(2)根据收集到的数据，在平面直角坐标系内画出散点图．

(3)根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型．

(4)选择其中的几组数据求出函数模型．

(5)将已知数据代入所求出的函数模型中进行检验，看其是否符合实际，若不符合实际，则返回步骤(3)；若符合实际，则进入下一步．

(6)用所得函数模型分析实际问题．

3．在一次数学试验中，采集到如下一组数据：

则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b为待定系数)(　　)

A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx

C．y＝ax2＋b D．y＝a＋

B　[在坐标系中描出各点，知模拟函数为y＝a＋bx.]

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)当x>1时，y＝x2比y＝2x增长得更快．(　　)

(2)存在x0，使得当a>1，n>0，x>x0时，logax<xn<ax成立．(　　)

(3)函数y＝x衰减的速度越来越慢．(　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　

2．下列函数中，增长速度越来越慢的是(　　)

A．y＝6x B．y＝log6x

C．y＝x6 D．y＝6x

B　[D中一次函数的增长速度不变，A、C中函数的增长速度越来越快，只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意．]

3．以下四种说法中，正确的是(　　)

A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快

B．对任意的x>0，xn>logax

C．对任意的x>0，ax>logax

D．不一定存在x0，当x>x0时，总有ax>xn>logax

D　[对于A，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长幅度不能比较；对于B、C，当0<a<1时，显然不成立．当a>1，n>0时，一定存在x0，使得当x>x0时，总有ax>xn>logax，但若去掉限制条件“a>1，n>0”，则结论不一定成立．]

4．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，当x∈R时，f(x)与g(x)的大小关系为_____．

f(x)>g(x)　[在同一直角坐标系中画出函数f(x)＝3x，g(x)＝2x的图象，如图所示，

由于函数f(x)＝3x的图象始终在函数g(x)＝2x图象的上方，则f(x)>g(x)．]

5．当x>4时，a＝4x，b＝log4x，c＝x4的大小关系是________．

b<c<a　[三个已知函数按增长速度由慢到快排列为y＝log4x，y＝x4，y＝4x，当x＝4时，b＝log44＝1，a＝c＝44，

所以a，b，c的大小关系是b<c<a.]

*§5　信息技术支持的函数研究(略)