鲁教版 (五四制)九年级下册8 正多边形和圆学案

鲁教版（五四制）数学九年级下册

 5.8 正多边形和圆 学案

【学习目标】

1．理解正多边形概念，初步掌握正多边形与圆的关系；

2．会通过等分圆心角的方法等分圆周，画出所需的正多边形；

3．能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形；

4．理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念。

【学习重难点】

1．重点：正多边形的概念及正多边形与圆的关系。

2．难点：利用直尺与圆规作特殊的正多边形。

【学习过程】

一、概念理解

（1）概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。如果一个正多边形有n（n≥3）条边，就叫正n边形。等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形。

（2）概念理解：

①举例，说出自己在日常生活中见过的正多边形。

②矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？

问题：正多边形与圆有什么关系呢？什么是正多边形的中心？

分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分。要将圆五等分，把等分点顺次连结，可得正五边形。要将圆六等分呢？你知道为什么吗？

（3）借助量角器将一个圆分为三等份、四等分、五等分。

二、自主探究

1．问题：图中的正多边形，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？哪些既是轴对称图形，又是中心对称图形？如是轴对称图形，画出它的对称轴；如是中心对称图形，找出它的对称中心。（如果一个正多边形是中心对称图形，那么它的中心就是对称中心。）

思考：任何一个正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形吗？跟边数有何关系？

2．问题：用直尺和圆规作出正方形，正六多边形。

思考：如何作正三角形、正十二边形？

三、拓展学习

拓展1：已知：如图，五边形ABCDE内接于⊙O，AB=BC=CD=DE=EA。

求证：五边形ABCDE是正五边形。

拓展2：各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形。

相关概念：正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距。正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等。正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角。正n边形的每个中心角都等于。

四、知识梳理

1．_________________________________叫正多边形。

2．正多边形与圆的关系是_________________________________。

3．正多边形的对称性_________________________________。

【达标检测】

（一）判断。

1．各边相等的多边形是正多边形。（    ）

2．各角相等的多边形是正多边形。（    ）

3．正十边形绕其中心旋转36°和本身重合。（    ）

（二）填空。

1．正多边形都是________对称图形，一个正n边形有________条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的________；一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是________，又是________对称图形。

2．正十二边形的每一个外角为________°，每一个内角是________°，该图形绕其中心至少旋转________°和本身重合。

3．用一张圆形的纸剪一个边长为4cm的正六边形，则这个圆形纸片的半径最小应为________cm。

4．正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的______。

5．正方形ABCD的内切圆⊙O的半径OE叫做正方形ABCD的______。

6．若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是______度，半径是______，边心距是______，它的每一个内角是______。

7．正n边形的一个外角度数与它的______角的度数相等。

（三）解答题。

1．已知圆内接正方形的面积为8，求圆内接正六边形的面积。

2．已知三角形的两边长分别是方程的两根，第三边的长是方程的根，求这个三角形的周长。

3．△ABC是⊙O的内接等腰三角形，顶角∠BAC=36°，弦BD、CE分别平分∠ABC，∠ACB。

求证：五边形AEBCD是正五边形。

4．如图，正六边形的中心为O，如果用一个含30度的直角三角板，使角的顶点落在点O处，把这个正六边形的面积n等分，那么这样的n的所有可能值是多少？