班海数学人教版八下-18.2 特殊的平行四边形【优质教案】

18.2 特殊的平行四边形

矩形及其性质

    教学目标

    知识与技能了解矩形的有关概念，理解并掌握矩形的有关性质．

    过程与方法：

  经过探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理意识；掌握几何思维方法．

    情感态度与价值观

    培养严谨的推理能力，以及自主合作精神；体会逻辑推理的思维价值．

    重难点、关键

    重点：掌握矩形的性质，并学会应用．

    难点：理解矩形的特殊性．

    关键：把握平行四边形的演变过程，迁移到矩形概念与性质上来，明确矩形是特殊的平行四边形．

    教学准备

    教师准备：投影仪，收集有关矩形的图片，制作教具．

学生准备：复习平行四边形性质，预习矩形这节内容．

学法解析

    1．认知起点：已经学习了三角形、平行四边形、菱形，积累了一定的经验的基础上学习本节课内容．

    2．知识线索：情境与操作→平行四边形→矩形→矩形性质．

    3．学习方式：观察、操作、感知其演变，以合作交流的学习方式突破难点．

    教学过程

   一、联系生活，形象感知

    【显示投影片】

    教师活动：将收集来的有关长方形图片，播放出来，让学生进行感性认识，然后定义出矩形的概念．

    矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．（也就是小学学习过的长方形）．

    教师活动：介绍完矩形概念后，为了加深理解，也为了继续研究矩形的性质，拿出教具．同学生一起探究下面问题：

问题1：改变平行四边形活动框架，将框架夹角∠α变为90°，平行四边形成为一个矩形，这说明平行四边形与矩形具有怎样的从属关系？（教师提问）

学生活动：观察教师的教具，研究其变化情况，可以发现：矩形是平行四边形的特例，属于平行四边形，因此它具有平行四边形的所有性质．   

问题2：既然它具有平行四边形的所有性质，那么矩形是否具有它独特的性质呢？（教师提问）

    学生活动：由平行四边形对边平行以及刚才∠α变为90°，可以得到∠α的补角也是90°，从而得到：矩形的四个角都是直角．

    评析：实际上，在小学学生已经学过长方形四个角都是90°，这里学生不难理解．

   教师活动：用橡皮筋做出两条对角线，让学生观察这两条对角线的关系，并要求学生证明（口述）．

学生活动：观察发现：矩形的两条对角线相等。口述证明过程是：充分利用（SAS）三角形全等来证明．

    口述：∵四边形ABCD是矩形

    ∴∠ABC=∠DCB=90°，AB=DC，    又∵BC为公共边，

    ∴△ABC≌△DCB（SAS）    ∴AC=BD

    教师提问：AO=_____AC，BO=______BD呢？（，）BO是Rt△ABC的什么线？由此你可以得到什么结论？

    学生活动：观察、思考后发现AO=AC，BO=BD，BO是Rt△ABC的中线．由此归纳直角三角形的一个性质：

    直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

    直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半（师生回忆）．

    【设计意图】采用观察、操作、交流、演绎的手法来解决重点突破难点．

    二、范例点击，应用所学

例1  如图，矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠AOB=60°，AB=4cm，求矩形对角线的长．（投影显示）

    思路点拨：利用矩形对角线相等且平分得到OA=OB，由于∠AOB=60°，因此，可以发现△AOB为等边三角形，这样可求出OA=AB=4cm，∴AC=BD=2OA=8cm．

    【活动方略】

    教师活动：板书例1，分析例1的思路，教会学生解题分析法，然后板书解题过程.

    学生活动：参与教师讲例，总结几何分析思路．

    【问题探究】（投影显示）

如图，△ABC中，∠A=2∠B，CD是△ABC的高，E是AB的中点，求证：DE=1/2AC．

思路点拨：本题可从E是AB的中点切入，考虑应用三角形中位线定理．应用三角形中位线必需找到另一个中点．分析可知：可以取BC中点F，也可以取AC的中点G为尝试．

    【活动方略】

    教师活动：操作投影仪，引导、启发学生的分析思路，教会学生如何书写辅助线．

学生活动：分四人小组，合作探索，想出几种不同的证法

证法一：取BC的中点F，连结EF、DF，如图（1）

∵E为AB中点，∴EFAC，∴∠FEB=∠A，

∵∠A=2∠B，∴∠FEB=2∠B．DF=BC=BF，∴∠1=∠B，∴∠FEB=2∠B=2∠1=∠1+∠2，

∴∠1=∠2，∴DE=EF=AC．

证法二：取AC的中点G，连结DG、EG，∵CD是△ABC的高，

∴在Rt△ADC中，DG=AC=AG，

∵E是AB的中点，∴GE∥BC，∴∠1=∠B．

∴∠GDA=∠A=2∠B=2∠1，

又∠GDA=∠1+∠2，∴∠1+∠2=2∠1，

∴∠2=∠1，∴DE=DG=AC．

    【设计意图】

    补充这道演练题是训练学生的应用能力，提高一题多解的意识，形成几何思路．

    三、随堂练习，巩固深化

   【探研时空】

已知：如图，从矩形ABCD的顶点C作对角线BD的垂线与∠BAD的平分线相交于点E．求证：AC=CE．

    思路点拨：要证AC=CE，可以考虑∠E=∠CAE，AE平分∠BAD，所以∠DAE=∠BAE，因此，从中发现∠CAE=∠DAE-∠DAC．

    另外一个条件是CE⊥BD，这样过A作AF⊥BD于F，则AF∥CE，可以将∠E转化为∠FAE，∠FAE=∠BAE-∠FAE．现在只要证明∠BAF=∠DAC即可，而实际上，∠BAF=∠BDA=∠DAC，问题迎刃而解．

    四、课堂总结，发展潜能

矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，因此，矩形是平行四边形的特例，具有平行四边形所有性质．

2．性质归纳：

    （1）边的性质：对边平行且相等．

    （2）角的性质：四个角都是直角．

    （3）对角线性质：对角线互相平分且相等．

（4）对称性：矩形是轴对称图形．

矩形的判定

教学目标：

　　1．理解并掌握矩形的判定方法．

　　2．使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力。

重点、难点：

1．重点：矩形的判定．

2．难点：矩形的判定及性质的综合应用．

3．难点的突破方法：

    矩形是有一个角是直角的平行四边形，在判定一个四边形是不是矩形时，首先看这个四边形是不是平行四边形，再看它两边的夹角是不是直角，这种用“定义”判定是最重要和最基本的判定方法（这体现了定义作用的双重性、性质和判定）．而其它判定都是以 “定义”为基础推导出来的．因此本节课要从复习矩形定义下手，并指出由平行四边形得到矩形只需要添加一个独立条件，然后让学生思考讨论，如果小华做出的是一个平行四边形，再加一个什么条件可以说明它是一个矩形呢？从而导出矩形判定方法．

    对于判定方法1，要着重说明这个性质包括两个条件：（1）是平行四边形；（2）两条对角线相等．对于判定2，只要求是四边形即可，因为有三个角是直角，可以推出四边形是平行四边形，而由对角线相等却推不出四边形是平行四边形．为了加深印象，我们安排了例1，在教学中可以适当地再增加一些判断的题目．

      要让学生知道（1）矩形的判定方法有以下三种：①一个角是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形；③有三个角是直角的四边形．（2）而由矩形和平行四边形及四边形的从属关系将矩形的判定方法又可分为两类：①从四边形出发必须增加三个特定的独立条件；②从平行四边形出发只需再增加一个特定的独立条件．（3）特别地：①如果所给四边形添加的条件不满足三个的肯定不是矩形；②所给四边形添加的条件是三个独立条件，但若与判定方法不同，则需要利用定义和判定方法证明或举反例，才能下结论．

　　在教学中，除教材中所举的门框或矩形零件外，还可以结合生产生活实际说明判定矩形的实用价值．

三、例题的意图分析

    本节课的三个例题都是补充题，例1的一组判断题是为了让学生加深理解判定矩形的条件，老师们在教学中还可以适当地再增加一些判断的题目；例2是利用矩形知识进行计算；例3是一道矩形的判定题，三个题目从不同的角度出发，来综合应用矩形定义及判定等知识的．

四、课堂引入　　

1．什么叫做平行四边形？什么叫做矩形？

2．矩形有哪些性质？

3．矩形与平行四边形有什么共同之处？有什么不同之处？

4．事例引入：小华想要做一个矩形像框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形像框吗？看看谁的方法可行？

通过讨论得到矩形的判定方法．

矩形判定方法1：对角钱相等的平行四边形是矩形．

矩形判定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形．

（指出：判定一个四边形是矩形，知道三个角是直角，条件就够了．因为由四边形内角和可知，这时第四个角一定是直角．）

五、例习题分析

    例1（补充）下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？

    （1）有一个角是直角的四边形是矩形；                 （×）

    （2）有四个角是直角的四边形是矩形；                 （√）

    （3）四个角都相等的四边形是矩形；                   （√）

     （4）对角线相等的四边形是矩形；                     （×）

     （5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；           （×）

（6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；           （√）

（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；   （×）

（8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（√）

    （9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形．   (√)

 指出：

    （1）所给四边形添加的条件不满足三个的肯定不是矩形；

    （2）所给四边形添加的条件是三个独立条件，但若与判定方法不同，则需要利用定义和判定方法证明或举反例，才能下结论．

例2 （补充）已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4 cm，求这个平行四边形的面积．

分析：首先根据△AOB是等边三角形及平行四边形对角线互相平分的性质判定出ABCD是矩形，再利用勾股定理计算边长，从而得到面积值．

解：∵　 四边形ABCD是平行四边形，

∴   AO=AC，BO=BD

∵　 AO=BO，

∴　 AC=BD．

∴　 ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．

在Rt△ABC中，

∵　 AB=4cm，AC=2AO=8cm，

∴   BC=（cm）．

     例3 （补充）  已知：如图（1），ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H．求证：四边形EFGH是矩形．

分析：要证四边形EFGH是矩形，由于此题目可分解出基本图形，如图（2），因此，可选用“三个角是直角的四边形是矩形”来证明．

证明：∵  四边形ABCD是平行四边形，

∴  AD∥BC．

∴　∠DAB＋∠ABC=180°．

又   AE平分∠DAB，BG平分∠ABC ，

∴　∠EAB＋∠ABG=×180°=90°．

∴　∠AFB=90°．

同理可证  ∠AED=∠BGC=∠CHD=90°．

∴  四边形EFGH是平行四边形（有三个角是直角的四边形是矩形）．

六、随堂练习

1．（选择）下列说法正确的是（    ）．

（A）有一组对角是直角的四边形一定是矩形（B）有一组邻角是直角的四边形一定是矩形

（C）对角线互相平分的四边形是矩形      （D）对角互补的平行四边形是矩形

2．已知：如图 ，在△ABC中，∠C＝90°， CD为中线，延长CD到点E，使得 DE＝CD．连结AE，BE，则四边形ACBE为矩形．

七、课后练习

1．工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：

⑴ 先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使AB＝CD，EF＝GH；

⑵ 摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是     形，根据的数学道理是：          ；

⑶ 将直角尺靠紧窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是    形，根据的数学道理是：       ；
 

2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，求∠A、∠B的度数．

菱形及其性质    

学习目标：

1.经历从现实生活中抽象出图形的过程，了解菱形的概念及其与平行四边形的关系；

2.体会菱形的轴对称性，经历利用折纸等活动探索菱形性质的过程，发展合情推理能力；

3.在证明性质和运用性质解决问题的过程中进一步发展学生的逻辑推理能力

学习重难点：运用性质解决实际问题。

学习过程：

一、自主学习：

复习旧知：          

平行四边形有哪些性质？

边：                                          

角：                                          

对角线：                                      

预习新知：

1、（                                             ）叫菱形

2、菱形的性质

1）菱形具有平行四边形的一切性质。

2)边（                         ）                                               

3）对角线（                    ）                                          

4）对称性：菱形是  （       )图形，它有（ )条对称轴，对称轴互相   (   )。

学以致用：

如图：在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°,BD=6，求菱形的边长AB和对角线AC的长。

三、课堂检测：

1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（  ）

A.对角相等          B.对边相等  

C.对角线互相垂直    D.对角线相等

2.菱形的周长为100 cm，一条对角线长为14 cm，则另一条对角线长为  (    )           。

3、在菱形ABCD中，对角线AC=8，BD=6，则它的周长为  (　　　　）         ，面积为   （　　　　）           。

四、课后作业：

1.随堂练习。

2、习题

菱形的判定        

学习目标：

1．通过自学能说出菱形的判定方法；会用判定方法进行有关的论证和计算；

2．在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力．

学习重难点：理解并掌握菱形的判定方法；会用判定方法进行有关的论证和计算。

学习过程：

一、自主学习：          

1．菱形的定义：（                                       

         ）。定义既可以看成性质，也可以看成（         ）。

2.菱形的性质：（                                          ）。

二、合作探究：

1、根据菱形的定义，（              ）的平行四边形是菱形。

除此之外，你认为还有什么条件可以判定一个平行四边形是菱形？先想一想，再交流。

 定理：（                          ）的平行四边形是菱形。

（合作完成证明过程）

已知：

求证：

证明：

2、已知线段AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD,使AC为菱形的一条对角线吗？你是怎么做的？与大家进行交流。（也可以展示）

3、定理：（               ）的四边形是菱形。

（合作完成证明过程）

已知：

求证：

证明：

4、看课本“做一做”，说说小颖这样做的道理.

学以致用：

 如图，ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB= 5  ，AC=8，DB=6

求证:四边形ABCD是菱形.

三、课堂检测：

1.判断题，对的画“√”错的画“×”

(1).对角线互相垂直的四边形是菱形（    ）

(2).对角线互相垂直且平分的四边形是菱形（   ）

2、如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．  

求证：四边形AECD是菱形；

四、课后作业：

1、练习。

2、习题

正方形的判定

教学目标:

知道正方形的判定方法，会运用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定条件进行有关的论证和计算.

经历探究正方形判定条件的过程，发展学生初步的综合推理能力，主动探究的学习习惯，逐步掌握说理的基本方法.

理解特殊的平行四边形之间的内在联系，培养学生辩证看问题的观点.

教学重点：掌握正方形的判定条件.

教学难点：合理恰当地利用特殊平行四边形的判定进行有关的论证和计算.

教学过程：

一、创设问题情景，引入新课

我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形，那么思考一下，它们之间有怎样的包含关系？

通过填写让学生形象地看到正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形，还是特殊的平行四边形；而正方形、矩形、菱形都是平行四边形；矩形、菱形都是特殊的平行四边形.

1、怎样判断一个四边形是矩形？

2、怎样判断一个四边形是菱形？

3、怎样判断一个四边形是平行四边形？

4、怎样判断一个平行四边形是矩形、菱形？

议一议：你有什么方法判定一个四边形是正方形？

二、讲授新课

1．探索正方形的判定条件：

学生活动：四人一组进行讨论研究，老师巡回其间，进行引导、质疑、解惑，通过分析与讨论，师生共同总结出判定一个四边形是正方形的基本方法.

（1）直接用正方形的定义判定，即先判定一个四边形是平行四边形，若这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等，那么就可以判定这个平行四边形是正方形；

（2）先判定一个四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形，那么这个四边形是正方形；

（3）先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形，那么这个四边形是正方形.

后两种判定均要用到矩形和菱形的判定定理.矩形和菱形的判定定理是判定正方形的基础.这三个方法还可写成：有一个角是直角，且有一组邻边相等的四边形是正方形；有一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形.

上述三种判定条件是判定四边形是正方形的一般方法，可当作判定定理用，但由于判定平行四边形、矩形、菱形的方法各异，所给出的条件各不相同，所以判定一个四边形是不是正方形的具体条件也相应可作变化，在应用时要仔细辨别后才可以作出判断

2．正方形判定条件的应用

【例1】判断下列命题是真命题还是假命题？并说明理由.

四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形；

四个角相等且对角线互相垂直的四边形是正方形；

对角线互相垂直平分的四边形是正方形；

对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；

对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.

师生共析：

是真命题，.因为四条边相等的四边形是菱形，又四个角相等，根据四边形内角和定理知每个角为90°，所以由有一个角是直角的菱形是正方形可以判定此命题是真命题.

真命题，由四个角相等可知每个角都是直角，是矩形，由对角线互相垂直可判定这个矩形是菱形，所以根据是矩形又是菱形的四边形是正方形，可判定其为真.

假命题，对角线平分的四边形是平行四边形，对角线垂直的四边形是菱形，所以它不一定是正方形.如下图，满足AO=CO，BO=DO且AC⊥BD但四边形ABCD不是正方形.

假命题，它可能是任意四边形.如上图，AC⊥BD且AC=BD，但四边形ABCD不是正方形.

真命题。

方法一：对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，对角线垂直的平行四边形是菱形，所以是矩形又是菱形的四边形是正方形.可判定其为真.

方法二：对角线平分        平行四边形

                                 对角线垂直

                                平行四边形

                                对角线相等                 

     方法三：由对角线互相垂直平分可知是菱形，由对角线平分且相等可知是矩形，而既是菱形又是矩形的四边形就是正方形.

总结：通过辨析，掌握判定正方形的各种方法和思路，从题中所给各种不同条件出发，寻找命题成立的判定依据，以便灵活应用.

【补充例题】如下图，E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且∠EAF=45°，试说明EF=BE+DF.

师生共析：要证EF=BE+DF，如果能将DF移到EB延长线或将BE移到FD延长线上，然后就能证明两线段长度相等。此时可依靠全等三角形来解决.

像这种在EB上补上DF或在FD补上BE的方法叫做补短法.

解：将△ADF旋转到△ABC，则△ADF≌△ABG

∴AF=AG，∠ADF=∠BAG，DF=BG

∵∠EAF=45°且四边形是正方形，

∴∠ADF﹢∠BAE=45°，

∴∠GAB﹢∠BAE=45°，即∠GAE=45°，

∴△AEF≌△AEG（SAS），

∴EF=EG=EB﹢BG=EB﹢DF。

讨论：你能从一张彩色纸中剪出一个正方形吗？说出你的做法.

你怎么检验它是一个正方形呢？小组讨论一下.

三、随堂练习       

教材

通过练习进一步巩固正方形的判定方法的应用.

四、课时小结

师生共同总结，归纳得出正方形的判定方法，同时展示下图，通过直观感受进一步加深理解正方形判定方法的应用.

五、课后作业

习题六、板书设计：

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