浙教版初中数学九年级上册第四单元《相似三角形》单元测试卷（标准难度)（含答案解析）

浙教版初中数学九年级上册第四单元《相似三角形》单元测试卷

考试范围：第四单元；考试时间：120分钟；总分：120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    已知点是线段上的一点，线段是和的比例中项，下列结论中，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形，分别取，的中点，，连结以点为圆心，以的长为半径画弧，交的延长线于点作，交的延长线于点则下列矩形中是黄金矩形的是(    )

A. 矩形 B. 矩形 C. 矩形 D. 矩形

3.    如图，直线，直线，分别与、、相交于点、、和点、、若，，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

4.    如图，已知为的角平分线，交于，如果，那么：等于(    )

A. ： B. ： C. ： D. ：

5.    如图，在中，，，，点在边上，且，过点作一条直线交边于点，使与相似，则的长是(    )

A.  B.  C. 或 D. 以上都不对

6.    如图，在平面直角坐标系中，正方形的边、分别在轴和轴上，，点是边上靠近点的三等分点，将沿直线折叠后得到，若反比例函数的图象经过点，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.    如图，已知是正三角形，点是边上一动点不与、重合，以为边作正三角形，边与边交于点，则图中一定相似的三角形有(    )

A. 对 B. 对 C. 对 D. 对

8.    如图，在正方形中，为的中点，，那么图中与相似的三角形有(    )

A.  B.
C. ， D. ，

9.    如图，长、宽均为，高为的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图是此时的示意图，则图中水面高度为(    )
    

A.  B.  C.  D.

10. 如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，，则建筑物的高是(    )

A.
B.
C.
D.

11. 如图，矩形相框的外框矩形的长为，宽为，上下边框的宽度都为，左右边框的宽度都为则符合下列条件的，的值能使内边框矩形和外边框矩形相似的为(    )

A.  B.  C. ， D. ，

12. 如图，已知点，，以点为位似中心，按的比例把缩小，则点的对应点的坐标为(    )
     

A.  B.
C. 或 D. 或

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 已知三个数，，，要使其中一个数是其他两数的比例中项，则的取值是________．
14. 如图，在矩形中，，，点是边上一点，若与相似，则的长度为______．

15. 如图，有一块形状为的斜板余料，，，，要把它加工成一个形状为▱的工件，使在边上，，两点分别在边，上，若是边的中点，则的面积为          ．
     
16. 如图，四边形与四边形位似，以点为位似中心，，则           ．
     

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分

已知线段，，，且．

求的值．

如线段，，满足，求的值．

18. 本小题分

已知，求的值．

已知，，求的值．

19. 本小题分
    如图，已知，，，，．
    求的长；
    求的长．

20. 本小题分
    如图，在平行四边形中，交于点，交的延长线于点求证：．
     
21. 本小题分

如图，在四边形中，，相交于点，点在上，且．

与相等吗？为什么？

判断与是否相似，并说明理由．

22. 本小题分
    如图，中，厘米，厘米，点从出发，以每秒厘米的速度向运动，点从同时出发，以每秒厘米的速度向运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，设运动的时间为．
    
    用含的代数式表示：______，______．
    当以，，为顶点的三角形与相似时，求运动时间是多少？
23. 本小题分
    幼儿园购买了一个板长为，支架高的跷跷板如图所示，支点在板的中点．因支架过高不宜小朋友玩，故把它暂时存放在高的车库里准备改装现有几个小朋友把板的一端按到地面上．
    
    板的另一端会不会碰到车库的顶部？
    能否通过移动支架，使点恰好碰到车库的顶部？若能，求出此时支点的位置；若不能，请说明理由．
24. 本小题分

如图，已知在矩形中，，在上取一点，沿将向上折叠，使点落在上的点处，若四边形与矩形相似，求的长．

25. 本小题分
    如图，四边形各顶点的坐标分别在第一象限内，画出以原点为位似中心，将四边形缩小，使它们的相似比为的位似图形，并写出各顶点坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：点是线段上的一点，线段是和的比例中项，
，
点是的黄金分割点，
，
故选：．
根据黄金分割的定义判断即可．
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义，找出黄金分割中成比例的对应线段是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】略
 

3.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
解得：，
故选：．
根据平行线分线段成比例定理解答即可．
本题考查了平行线分线段成比例定理，注意：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
，
故选：．
利用平行线分线段成比例定理求解即可．
本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
分为两种情况：即，
∽，
，
，
；

，
，
∽，
，
，
，不合题意，
故选：．
分两种情况：，根据∽，得出，代入求出即可；，根据∽，得出，代入求出．
本题考查了相似三角形的性质，关键是求出符合条件的所有情况，主要考查学生的理解能力和计算能力，用的数学思想是方程思想和分类讨论思想．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性质，求得的坐标是解题的关键．
过作于，交于，设，，，通过证得∽，得到，解方程组求得、的值，即可得到的坐标，代入即可求得的值．
【解答】
解：过作于，交于，

，
，
，
，
，
∽，
，
设，
，，
正方形的边、分别在轴和轴上，，点是边上靠近点的三等分点，
，，
，
解得，，
，
反比例函数的图象经过点，
．
故选D．  

7.【答案】 

【解析】题图中的相似三角形有∽，∽，∽，∽，∽，共对．

理由：和是正三角形，

，

∽，

易得，又，

∽，

，又，

∽，
∽，

，，

∽．

综上，共有对相似三角形故选B．

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了相似三角形的判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似；也考查了正方形的性质和勾股定理．
根据正方形的性质，设，则，，，利用勾股定理计算出，，，然后根据三组对应边的比相等的两个三角形相似可判断∽，∽．
【解答】
解：设，则，，，
在中，，
在中，，
在中，，
，，，
，
∽，
同理可得∽．
故选：．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查相似三角形的应用、勾股定理、长方体的体积、梯形的面积的计算方法等；熟练掌握勾股定理，由长方体容器内水的体积得出方程是解决问题的关键．
设，则，由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出，再由勾股定理求出，过点作于，由∽得出，求得结果即可．
【解答】
解：过点作于，如图所示：

设，则，
根据题意得：，
解得：，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
∽，
，
即，
．
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：，，
，
∽，
，
，，，
，
，
解得，，
即建筑物的高是，
故选：．
根据题意和图形，利用三角形相似，可以计算出的长，从而可以解答本题．
本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查相似多边形的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．分两种情形，利用相似多边形的性质求解即可．
【解答】
解：如图，当矩形∽矩形时，则有，
，
可得，选项B符合题意，
当矩形∽矩形时，则有，
，
推不出：或或，或，．
故选项A，，，都不满足条件，此种情形不存在．
矩形∽矩形，可得，
故选：．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了位似图形的性质．此题比较简单，注意位似图形有两个．
由，以为位似中心，按比例尺：把缩小，根据位似图形的性质，即可求得点的对应点的坐标．
【解答】
解：，以为位似中心，按比例尺：把缩小，
点的对应点的坐标为：或．
故选：．  

13.【答案】或或 

【解析】

【分析】
本题考查了比例的基本性质，理解比例中项的概念是解题的关键．
根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积，列式求解即可．
【解答】
解：根据比例中项的概念，结合比例的基本性质，可得：
，得；
，得；
，得．
故答案为或或．  

14.【答案】或或 

【解析】解：设为，
，
，
和是对应边时，
∽，
，
即，
解得，，
经检验或是分式方程的解．

和是对应边时，
∽，
，
即，
解得，
经检验是分式方程的解，
当或或时，与相似，
故答案为：或或．
设为，表示出，然后分和是对应边，和是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．
本题考查了相似三角形的性质，矩形的性质主要利用了相似三角形对应边成比例，难点在于要分情况讨论．
 

15.【答案】 

【解析】略
 

16.【答案】略 

【解析】略
 

17.【答案】解：
，
；
设，则，，，
，
，
，
，，，
． 

【解析】此题主要考查了比例的性质，根据已知得出，，进而得出的值是解题关键．
根据比例的性质得出，即可得出的值；
首先设，则，，，利用求出的值，即可得出答案．
 

18.【答案】略 

【解析】略
 

19.【答案】解：，
，即，
解得，，
则；
，
，即，
解得，． 

【解析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
 

20.【答案】略 

【解析】略
 

21.【答案】解：与相等．
理由：在和中，，
∽，
，
；

与相似．
理由：由，得，
在和中，，，
∽．

【解析】略
 

22.【答案】解：厘米，厘米；
  ，
当时，∽，即，解得；
当时，∽，即，解得．
运动时间为秒或秒． 

【解析】

【分析】
本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．
利用速度公式求解；
由于，利用相似三角形的判定，当时，∽，即；当时，∽，即，然后分别解方程即可．
【解答】
解：厘米，厘米，
故答案为：厘米，厘米；

见答案．  

23.【答案】解：如图所示，过点作的延长线于点．


，
，
∽，
．
，，
，
板的另一端不会碰到车库顶部．
能．理由如下：
，，即，
 ，即此时支点距离点的距离是 ． 

【解析】略
 

24.【答案】略 

【解析】略
 

25.【答案】解：

从图上可读出各点的坐标分别为：
，，． 

【解析】连接、、、并截取、、、长度找到各点的对应点，顺次连接即可．
本题考查了画位似图形．画位似图形的一般步骤为：确定位似中心，分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．