初中数学人教版七年级上册3.4 实际问题与一元一次方程精品第4课时教学设计

3.4 实际问题与一元一次方程（第4课时） 教学设计

一、内容和内容解析

1.内容

本节课是人教版《义务教育教科书•数学》七年级上册（以下统称“教材”）第三章“一元一次方程”3.4实际问题与一元一次方程第4课时，内容包括建立方程模型解决电话计费问题.

2.内容解析

电话计费问题是生活中的常见问题，具有一定的现实性和开放性．生活中的数学问题大多是具有开放性的综合问题，所以对这类问题的探究是“数学回归生活，服务于生活”的需要，本节课是3.4节“实际问题与一元一次方程”的最后一课，设置这一探究的目的不仅是解决这个具体问题，而且是通过这个问题的解决过程让学生进一步体验“建模解题”的过程，渗透建模思想．

建模解题大致分为三个环节：将实际问题转化为数学模型（建立模型）、解决数学模型、利用模型结论解释实际问题，在这三个环节中“建立模型”尤为重要，需要学生具有一定的分析、转化能力．在电话计费问题中建立模型的关键有两个，一是应用分类思想对不同情形分别进行分析；二是发现并利用相等关系确立方程模型．其中分类思想是解决综合性问题时的重要策略，需要学生在适当条件下具有较强的分类意识和确定分类节点的能力．同时本节课问题中的相等关系比之前的问题具有更强的隐蔽性，需要学生根据数量间的大小变化来确定和解决，这增加了列方程的难度．

基于以上分析，可以确定本节课的教学重点为：建立电话计费问题的方程模型．

二、目标和目标解析

1.目标

（1）体验建立方程模型解决问题的一般过程

（2）体会分类思想和方程思想，增强应用意识和应用能力．

2.目标解析

达成目标（1）的标志是：经历以下过程：通过分类讨论将电话计费问题转化为方程问题、解觉方程问题、利用方程问题的结论解释各个分类区间的话费变化情况，从而最终得到整体的话费选择方案．

达成目标（2）的标志是：学生对下列方面有所体会：在什么情况下需要分类讨论；如何根据已知条件初步选择分类关键点；一个量由“大于另一个量”逐步演变为“小于另一个量”的过程中，一般会经历“两个量相等”的这一过程；相等关系的数学模型——方程的建立对问题整体分析的重要性；借助图表分析问题的优越性，等等．

三、教学问题诊断分析

学生通过之前的学习，比较熟悉在一些典型问题中应用方程模型，而对于“电话计费问题”这样的综合性问题，还缺乏解决问题的经验，容易无所适从或片面理解，学生一般可以发现“计费方式”的选择要依赖于“主叫时间”的变化，要根据时间分类讨论，但缺乏系统有效的分类方法，会出现分类不准确的问题；同时学生对于电话计费这种生活化的问题，更习惯于使用生活化的原理和语言去解释，如“计费的多少、增长的快慢”等，而缺乏将实际问题数学化，然后利用数学原理来解释问题的意识．

对于本节课的问题，学生不是完全没有基础，只是在思维方式的逻辑性和解决方法的科学性方面有待清晰的梳理和规范，所以本节课针对以上问题，实施以下三个步骤：（1）先由学生根据问题情境独立思考并表述对问题的认识；（2）通过借鉴其他同学的观点再次思考、讨论，进一步认识和表述；（3）教师在学生认识的基础上加以点拨，引导学生数学化地解决问题，而后学生第三次系统认识并解决问题．

基于以上分析，确定本节课的教学难点为：由实际问题抽象出数学模型的探究过程．

四、教学过程设计

（一）对问题的初步认识

问题1：下面表格给出的是两种移动电话的计费方式：

你了解表格中这些数字的含义吗?

师生活动：教师提问，学生思考、回答．

教师对回答的方向适当给予提示，如“月使用费的比较”“超时费的比较”等，然后教师列举出一两个具体的主叫时间，让学生通过简单计算回答相应的费用．

【设计意图】通过提问和学生的回答，了解学生对表格信息的理解能力，引导学生对表格信息做初步梳理和简单加工；通过对几个容易计算的主叫时间的话费计算，检验学生是否理解表格信息的含义，并渗透“话费多少与主叫时间相关”．

问题2：你觉得选择哪种计费方式更省钱呢？

师生活动：教师提出问题，学生思考回答．根据学生的回答情况，教师适当加以引导；

若学生回答计费方式一或计费方式二省钱，可发动其他学生通过举例等方式加以质疑；

若学生的回答中出现分类讨论的趋势，则教师加以肯定并进一步引导学生对分类的关键点、分类后各区间中的变化趋势作进一步的探究．

讨论后安排学生再次思考，可适当讨论．

【设计意图】学生对电话计费问题是有生活基础的，所以也具备一定的认识基础，在给出探究问题之后让学生充分的发言，表达自己对问题的直观认识，这也是学生对问题的第一次认识．在此基础上学生之间通过发表意见，互相借鉴，为对问题的进一步探究进行准备．

（二）对问题的深入探究

问题3：通过大家的讨论，你对电话计费问题有什么新的认识？

师生活动：教师提出问题，学生思考回答．根据学生的回答，教师适当加以归纳引导：

若学生还没有明确的分类，则引导学生思考“你可以确定哪一个时间区间内两种计费的比较结果？”，从而引导学生进行分类；

若学生已经对问题进行了分类，则追问“你为什么这样分类？”以及“在每一个时间区间内你是怎么分析的？”，从而引导学生更合理地解决问题．

【设计意图】学生在参考了其他同学的观点之后再次对问题进行认识，其认识过程与结论已经逐步接近正确而合理的方向，教师在此基础上加以引导和启发，帮助学生确定分类讨论的研究方式，并在总结学生发言的基础上归纳出“分类的关键点”，使学生的学习由“感性认识”逐步过渡到“理性分析”．

问题4：设一个月内用移动电话主叫为t min（t是正整数）．当t在不同时间范围内取值时，按方式一和方式二如何计费？

师生活动：教师提出问题，学生思考并制作表格，教师巡视．

教师请学生填写下面的表格，其他同学适当补充．

【设计意图】引导学生列表，让学生体验使用表格整理信息的益处，并通过列表使学生进一步明确两种计费方式的变化规律，同时考察学生列代数式表示未知量的能力．

问题5：观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？通过计算验证你的看法.

师生活动：教师提出问题，学生思考并小组讨论，教师选小组汇报讨论结果．

一般学生能够对“t小于150”“t=150”“t=350”三种情况作出准确的判断，而对于“t大于150 且小于 350”的情况，教师应辅助学生加以分析．

教师追问：

（1）当“t大于150且小于350”时，是否存在某一主叫时间使两种方式的计费相等？为什么？

（2）利用方程求出使两种方式的计费相等的主叫时间，得出 270 min 这个时间点.

（3）主叫时间“大于150 min 且小于 270 min”或“大于 270 min 且小于 350 min”时，分别选择哪种计费方式比较省钱？

对于“t大于 350”时两种计费方式的比较，教师可以更多地让学生去探究方法并表述，在此基础上加以适当的总结．

【设计意图】这一问是本节课的关键，学生通过分类讨论得到“方程模型”，并利用方程求出关键数据，这可以使学生认识到方程的重要性和应用价值，增强学生对模型的应用意识和应用能力．

问题6：综合以上的分析，可以发现：

               时，选择方式一省钱；

               时，选择方式二省钱；

               时，方式一、方式二均可．

师生活动：教师提出问题，学生思考并回答．

【设计意图】在得出方程模型的结论之后，引导学生利用结论解释实际问题，从而完成建模解题的完整过程．

（三）总结归纳

请学生回顾电话计费问题的探究过程，回答以下问题：

（1）解决本题的过程中你觉得最难突破的步骤是哪些？本题中运用了哪些方法突破这些难点？

（2）电话计费问题的解决过程中运用一元一次方程解决了什么问题？

【设计意图】在总结了本节课的知识性问题之后，继续引导学生总结本节课的过程与方法，使学生原来模糊的意识、零散的经验得以梳理，从而初步掌握探究同类问题的一般思路.

（四）针对训练

1. 小明和小强为了买同一种火车模型，决定从春节开始攒钱，小明原有200元，以后每月存50元；小强原有150元，以后每月存60元．设两人攒钱的月数为x（个）（x为整数）．

（1）根据题意，填写下表：

（2）在几个月后小明与小强攒钱的总数相同？此时他们各有多少钱？

（3）若这种火车模型的价格为780元，他们谁能够先买到该模型？

解：（1）见下表：

（2）根据题意，得200+50x=150+60x，

解得x=5．

所以150+60x=450．

答：在5个月后小明与小强攒钱的总数相同，此时每人有450元钱．

（3）根据题意，由200+50x=780，解得x=11.6，故小明在12个月后攒钱的总数超过780元.

由150+60x=780，解得x=10.5，

故小强在11个月后攒钱的总数超过780元.

所以小强能够先买到该模型．

2. 移动公司推出两种智能手机上网流量包：

如何选择流量包更划算？

解：设一个月内使用的流量为 x M，根据题意，当x在不同范围内取值时，两种流量包计费如下表：

（1）当 x≤320 时，流量包A 计费少（30元）；

（2）当 320＜x＜420 时，流量包A 计费少（＜50元）；

（3）当 x = 420时，两种流量包计费相等，都是50元．

师生活动：教师提出问题，学生思考、解答，小组讨论，选学生回答，教师点评．

【设计意图】在完成了“电话计费问题”的探究之后，通过类似问题使学生刚刚获取的经验得到巩固和深化，进一步熟悉解决问题的方法与过程，从而提高分析和解决问题的能力.

（五）当堂巩固

1. 小明所在城市的“阶梯水价”收费办法是：每户用水不超过5吨，每吨水费x元；超过5吨，超过部分每吨加收2元，小明家今年5月份用水9吨，共交水费为44元，根据题意列出关于x的方程正确的是（　A　）

A．5x+4（x+2）=44          B．5x+4（x－2）=44

  C．9（x+2）=44             D．9（x+2）－4×2=44 

2. 某市为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费：若每户每月用水不超过 7m3，则按 2 元/m3 收费；若每户每月用水超过 7 m3，则超过的部分按 3元/m3 收费. 如果某居民户去年12月缴纳了 53 元水费，那么这户居民去年12月的用水量为 20 m3.

3. 某市生活拨号上网有两种收费方式，用户可以任选其一. A计时制：0.05 元/分钟；B包月制：60 元/月(限一部个人住宅电话上网).  此外，两种上网方式都得加收通信费 0.02 元/分钟．

（1）某用户某月上网时间为x小时，请分别写出两种收费方式下该用户应该支付的费用；

（2）你认为采用哪种方式比较合算？

解：（1）采用计时制：(0.05＋0.02)×60x＝4.2x，

采用包月制：60＋0.02×60x＝60＋1.2x；

（2）由 4.2x ＝ 60＋1.2x，得 x＝20.  又由题意可知，上网时间越长，采用包月制越合算．所以，

当 0 < x < 20 时，采用计时制合算；

当 x＝20 时，采用两种方式费用相同；

当 x > 20 时，采用包月制合算．

4. 用A4纸在某复印社复印文件，复印页数不超过20时每页收费0.12元；复印页数超过20时，超过部分每页收费0.09元.  在某图书馆复印同样的文件，不论复印多少页，每页收费0.1元.  问：如何根据复印的页数选择复印的地点使总价格比较便宜？（复印的页数不为零）

解：设复印页数为x，依题意，列表得：

（1）当x＜20 时，0.12x 大于 0.1x 恒成立，图书馆价格便宜；

（2）当x = 20 时，图书馆价格便宜；

（3）当x大于20时，依题意得 2.4+0.09(x－20)＝0.1x.

解得 x＝60

所以，当x大于20且小于60时，图书馆价格便宜；

当x等于60时，两者价格相同；

当x大于60时，复印社价格便宜.

综上所述：当 x 小于60页时，图书馆价格便宜；

当 x 等于60时，两者价格相同；

当 x 大于60时，复印社价格便宜.

5. 小明可以到甲或乙商店购买练习本. 已知两商店的标价都是每本1元，甲商店的优惠方法是：购买10本以上时，从第11本开始按标价的70%出售；乙商店的优惠方法是：从第一本开始就按标价的80%出售.

（1）小明要买20本时，到哪家商店购买省钱；

（2）买多少本时，到两个商店花的钱一样多；

（3）小明现有24元钱，最多可买多少本练习本.

答案：（1）小明要买 20 本时，到乙家商店购买省钱；

（2）买30本时，到两个商店花的钱一样多；

（3）小明现有24元钱，最多可买 30 本练习本.

（六）感受中考

（2022•绥化）在长为2，宽为x（1＜x＜2）的矩形纸片上，从它的一侧，剪去一个以矩形纸片宽为边长的正方形（第一次操作）；从剩下的矩形纸片一侧再剪去一个以宽为边长的正方形（第二次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，则x的值为              ．

【解答】解：第一次操作后的两边长分别是x和（2－x），第二次操作后的两边长分别是（2x－2）和（2－x）．

当2x－2＞2－x时，有2x－2＝2(2－x)，解得x＝1.5，

当2x－2＜2－x时，有2(2x－2)＝2－x，解得x＝1.2．

故答案为：1.2或者1.5．

【设计意图】通过对最近几年的中考真题的训练，使学生提前感受中考考什么，进一步了解考点．

（七）课堂小结

1. 解决电话计费问题需要明确“哪种计费方式更省钱”与“主叫时间”有关.

2. 此类问题的关键是能够根据已知条件找到合适的分段点，然后建立方程模型分类讨论，从而得出整体选择方案.

【设计意图】通过问题引领学生梳理探究过程，归纳探究方法．

（八）布置作业

P106：练习：第3题.

P112：复习题3：第10题.

五、教学反思

列方程解决实际问题是本节教学的重点，也是难点，更是贯穿本章前后的一条主线．在前面讨论一元一次方程解法时，也是先给出实际问题，然后通过设未知数列方程再逐步研究和完善解一元一次方程一般步骤的．本节是直接运用解一元一次方程的一般步骤与方法解决实际问题．这样设计教材，既揭示了学习解一元一次方程的必要性，体现了一元一次方程在实际生活中广泛的应用价值，也有利于学生带着问题（如何解一元一次方程）来学习和探究，使得他们的学习方向更明确，阶段目标更具体，也利于分散难点，便于学生有层次、有梯度地学习．

学生在小学阶段及前三小节对列方程解决实际问题虽然有所了解，但是本节教材所涉及的实际问题的背景和表达都更加贴近实际，数量关系有的比较隐蔽，有的比较抽象，有的则更为复杂，需要学生结合自己的生活经验理清、理解，经历探究用一元一次方程解决实际问题的基本过程，进而逐步提升他们分析问题、解决问题的能力，有效积累探究、交流、反思等数学活动经验，体会转化化归和方程模型思想，增强数学应用意识和能力．