高中数学2.1 直线的倾斜角与斜率优秀ppt课件

倾斜角与斜率

1．理解直线的斜率和倾斜角的概念，掌握过两点的直线的斜率公式．

2．了解斜率公式的推导，会用代数和几何两种方法推导斜率公式．

3．通过本节课的学习，培养严密的逻辑思维能力和严谨的科学态度，养成从不同角度思考同一个问题的科学思维习惯．

教学重点：会求直线的斜率与倾斜角．

教学难点：理解直线的斜率与倾斜角的概念．

环节一：引入新课

思考：我们知道，点是构成直线的基本元素. 在平面直角坐标系中，点用坐标表示，那么，直线如何表示呢？

环节二：课堂探究

为了研究这个问题，我们需要弄清楚:

问题1：确定一条直线位置的几何要素是什么?对于平面直角坐标系中的一条直线l，如何利用坐标系确定它的位置?

答案：两点以及一点和一个方向可以确定一条直线，由方向向量我们可以知道，两点确定一条直线可以归结为一点和一个方向确定一条直线.

问题2：在平面直角坐标系中，我们规定一条直线向上的方向为这条直线的方向. 因此，这些直线的区别在于它们的方向不同. 如何表示这些直线的方向？

答案：

在平面直角坐标系中，我们规定一条水平直线的方向向右.

其他它还有如图所示的三种情形，我们规定直线向上的方向为这条直线的方向.

进一步，我们观察下图中这些直线，它们的区别在于它们的方向不同.我们看到，这些直线相对于x轴的倾斜程度不同，也就是它们与x轴所成的角不同. 因此，我们可以利用这样的角来表示这些直线的方向．

当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角（angle of inclination）．

问题3：当直线l与x轴平行或重合时，其倾斜角大小为多少?直线的倾斜角的取值范围是什么?

答案：当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°．因此，直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.

这样，平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等. 因此，我们可以用倾斜角表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向．

问题4：直线l的倾斜角α与P1(x1，y1)， P2(x2，y2)有什么内在联系?

追问1：对于一个一般性命题，可以从特殊的情形来考虑，先尝试解决如下问题.

在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α．

 (1)已知直线l经过点O(0，0)，P(，1)，α与点O，P的坐标有什么关系?

 (2)类似地，如果直线l经过点P1(－1，1)，P2(，0)，α与点P1，P2的坐标又有什么关系?

答案：对于问题（1），如图，

向量，且直线OP的倾斜角也为α．由正切函数的定义，有

．

对于问题（2），如图，

．平移向量到，则点P的坐标为，且直线OP的倾斜角也是α．由正切函数的定义，有

．

追问2：将特殊情形推广到一般情形，能得到什么结论？

答案：一般地，如图，

当向量的方向向上时，．平移向量到，则点P的坐标为，且直线OP的倾斜角也是α，由正切函数的定义，有tanα=．

同样，当向量的方向向上时，如图，

，也有tan α==．

追问3：当直线P1P2与x轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？

答案：当直线P1P2与x轴平行或重合时，y1=y2， α=0o，符合

tan α=

结论 直线l的倾斜角α与直线l上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的坐标有如下关系：tan α=

我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率（slope），斜率常用小写字母k表示，即k=tanα.

日常生活中常用“坡度”表示倾斜面的倾斜程度：坡度=．

当直线的倾斜角为锐角时，直线的斜率与坡度是类似的．

α=0o ⇔ k=0；

0o<α<90o ⇔ k>0；

α=90o ⇔ 斜率不存在；

90o<α<180o ⇔ k<0.

问题5：当直线的倾斜角由0o逐渐增大到180o时，其斜率如何变化？为什么?

答案：当倾斜角α满足0o≤α<90o且逐渐增大时，斜率k逐渐增大；

当倾斜角α=90o，斜率不存在；

当倾斜角α满足90o<α<180o且逐渐增大时，斜率k逐渐增大.

结论：由正切函数的单调性，倾斜角不同的直线其斜率也不同．因此，我们可以用斜率表示倾斜角不等于90o的直线相对于x轴的倾斜程度，进而表示直线的方向．

由tanα=及k=tanα知，k=

问题6：直线的方向向量与斜率k有什么关系？

答案：我们知道，直线P1P2上的向量及与它平行的向量都是直线的方向向量，直线P1P2的方向向量的坐标为，

当直线P1P2与x轴不垂直时，，此时向量也是直线P1P2的方向向量，且它的坐标为即其中k是直线P1P2的斜率．因此，若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为（x，y），则.

环节三：知识应用

例1 如图，已知A(3，2)，B(－4，1)，C(0，－1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．

解：直线AB的斜率kAB==；

直线BC的斜率kBC=== ；

直线CA的斜率kCA===1．

由kAB>0及kCA>0可知，直线AB与CA的倾斜角均为锐角；

由kBC<0可知，直线BC的倾斜角为钝角．

课时检测

1.已知直线斜率的绝对值等于1，求直线的倾斜角.

2.已知四边形ABCD的四个顶点是A(2，3)，B(1，–1)，C(–1，–2)，

D(–2，2)，求四边形ABCD的四条边所在直线的斜率．

3.m为何值时，(1)经过A(–m，6)，B(1，3m)两点的直线的斜率是12 ?

(2)经过A(m，2)，B(–m， –2m–1)两点的直线的倾斜角是60o ?

答案：1. 45°或135°； 

2. kAB=4，kBC=，kCD= 4，kAD=；

3.(1) m= 2；(2) m=.