高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.1 直线的倾斜角与斜率同步达标检测题

2.1.2　两条直线平行和垂直的判定

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.(多选题)下列说法错误的是(　　)

A.若直线l1⊥l2,则它们的斜率之积互为负倒数

B.若直线l1∥l2,则两直线的斜率相等或都不存在

C.若两条直线中,一条直线的斜率存在,而另一条直线的斜率不存在,则两条直线一定垂直

D.两条不重合直线的倾斜角的正弦值相等,则这两条直线平行

解析若两直线垂直,则两直线的斜率之积为-1或其中一条直线斜率不存在,另一条直线斜率为0,据此知A,C错误;两直线平行,可能两直线斜率都不存在,故B正确;因为60°和120°的正弦值相等,但两直线不平行,所以D错误.

答案ACD

2.若过点A(2,-2),B(5,0)的直线与过点P(2m,1),Q(-1,m)的直线平行,则m的值为(　　)

A.-1 B. C.2 D.

解析由kAB=kPQ,得,即m=.

答案B

3.已知点A(m,3),B(2m,m+4),C(m+1,2),D(1,0),且直线AB与直线CD平行,则实数m的值为(　　)

A.1 B.0

C.0或1 D.0或2

解析(方法1)∵A(m,3),B(2m,m+4),

∴直线AB的一个方向向量为=(m,m+1).

∵C(m+1,2),D(1,0),

∴直线CD的一个方向向量为=(-m,-2).

由直线AB与直线CD平行,得m×(-2)-(m+1)×(-m)=0,解得m=0或m=1.

经检验,当m=0或m=1时,两直线不重合.故选C.

(方法2)当m=0时,直线AB与直线CD的斜率均不存在,此时AB∥CD,满足题意.

当m≠0时,

kAB=,kCD=,

由题意得kAB=kCD,即,解得m=1.

经检验,当m=0或m=1时,两直线不重合.故选C.

答案C

4.以A(-1,1),B(2,-1),C(1,4)为顶点的三角形是(　　)

A.锐角三角形

B.钝角三角形

C.以A点为直角顶点的直角三角形

D.以B点为直角顶点的直角三角形

解析易知kAB==-,kAC=,

∴kAB·kAC=-1,∴AB⊥AC,∠A为直角.

答案C

5.已知l1的倾斜角为60°,l2经过点M(1,),N(-2,-2),则直线l1与l2的位置关系是　　　　　. 

解析由题意知,k1=tan60°=,k2=,k1=k2,所以直线l1与直线l2平行或重合.

答案平行或重合

6.若不同两点P,Q的坐标分别为(a,b),(3-b,3-a),则线段PQ的垂直平分线的斜率为　　　　. 

解析由题意得kPQ==1,所以线段PQ的垂直平分线的斜率为-1.

答案-1

7.已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(-2,-4),B(6,6),C(0,6),求此三角形三边的高所在直线的斜率.

解由斜率公式可得kAB=,kBC==0,kAC==5.

由kBC=0知直线BC∥x轴,

故BC边上的高线与x轴垂直,其斜率不存在.

设AB,AC边上高线的斜率分别为k1,k2,由k1kAB=-1,k2kAC=-1,

即k1=-1,5k2=-1,

解得k1=-,k2=-.

综上可知,BC边上的高所在直线的斜率不存在;

AB边上的高所在直线的斜率为-;

AC边上的高所在直线的斜率为-.

关键能力提升练

8.已知▱ABCD的三个顶点的坐标分别是A(0,1),B(1,0),C(4,3),则顶点D的坐标为(　　)

A.(3,4) B.(4,3) C.(3,1) D.(3,8)

解析设点D(m,n),直线AB,DC,AD,BC的斜率分别为kAB,kDC,kAD,kBC,由题意,得AB∥DC,AD∥BC,

则有kAB=kDC,kAD=kBC,

所以解得m=3,n=4.

所以顶点D的坐标为(3,4).

答案A

9.已知△ABC的两顶点坐标为B(2,1),C(-6,3),其垂心为H(-3,2),则顶点A的坐标为(　　)

A.(-19,-62)

B.(19,-62)

C.(-19,62)

D.(19,62)

解析设A的坐标为(x,y),由已知得,AH⊥BC,BH⊥AC,且直线AH,BH的斜率存在,

所以

解得即顶点A的坐标为(-19,-62).

答案A

10.已知两点A(2,0),B(3,4),直线l过点B,且交y轴于点C(0,y),O是坐标原点,且O,A,B,C四点共圆,则y的值是(　　)

A.19 B.

C.5 D.4

解析由O,A,B,C四点共圆可以得出四边形OABC的对角互补,又由题意得∠COA=90°,所以∠CBA=90°,所以AB⊥BC,所以kAB·kBC=-1,即=-1,解得y=.故选B.

答案B

11.(多选题)设点P(-4,2),Q(6,-4),R(12,6),S(2,12),下面四个结论中正确的是(　　)

A.PQ∥SR B.PQ⊥PS

C.PS∥QS D.RP⊥QS

解析由斜率公式知,

kPQ==-,kSR==-,kPS=,kQS==-4,kPR=,

所以PQ∥SR,PS⊥PQ,RP⊥QS.而kPS≠kQS,

所以PS与QS不平行,故ABD正确.

答案ABD

12.(2020浙江嘉兴一中高二检测)直线l1,l2的斜率k1,k2是关于k的方程2k2-4k+m=0的两根,若l1⊥l2,则m=　　　　　;若l1∥l2,则m=　　　　　. 

解析由根与系数的关系,知k1k2=,

若l1⊥l2,则k1k2==-1,得m=-2;

若l1∥l2,则k1=k2,

∴Δ=16-8m=0,得m=2.

答案-2　2

13.已知A(1,-1),B(2,2),C(3,0)三点,点D使直线CD⊥AB,且CB∥AD,则点D坐标为　　　　　. 

解析设D(x,y),则kCD=,kAB=3,kCB=-2,kAD=.∵kCD·kAB=-1,kAD=kCB,

∴即D(0,1).

答案(0,1)

14.已知直线l1,l2不重合,直线l1过点A(-2,m)和点B(m,4),直线l2的斜率为-2,直线l3的斜率为-,若l1∥l2,l2⊥l3,则实数m+n的值为　　　　　. 

解析由题意可得,直线l1的斜率为,直线l2的斜率为-2,且l1∥l2,所以=-2,解得m=-8.

由于直线l3的斜率为-,因为l2⊥l3,

所以(-2)·-=-1,解得n=-2,

所以m+n=-10.

答案-10

15.已知直线l的倾斜角为30°,点P(2,1)在直线l上,直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置,此时直线l1与l2平行,且l2是线段AB的垂直平分线,其中A(1,m-1),B(m,2),试求实数m的值.

解易知直线l1的倾斜角为30°+30°=60°,

∴直线l1的斜率k1=tan60°=.

当m=1时,直线AB的斜率不存在,此时l2的斜率为0,不满足l1∥l2.

当m≠1时,直线AB的斜率kAB=,

∴线段AB的垂直平分线l2的斜率k2=.

∵l1与l2平行,∴k1=k2,即,

解得m=4+.

综上,实数m的值为4+.

学科素养创新练

16.已知三个点A(2,2),B(-5,1),C(3,-5),试求第四个点D的坐标,使这四个点构成平行四边形.

解若以AC为对角线,则形成▱ABCD1,设D1(x1,y1).

由于BC∥AD1,AB∥CD1,

∴kBC=,kAB=,

∴解得

即D1(10,-4).

若以BC为对角线,则形成▱ACD2B.设D2(x2,y2),

同理可得解得

即D2(-4,-6).

若以AB为对角线,则形成▱ACBD3.设D3(x3,y3),

同理可得解得

即D3(-6,8).

故当点D的坐标为(10,-4)或(-4,-6)或(-6,8)时,这四个点构成平行四边形.