第一章集合的实际应用练习---2022-2023学年高一数学人教A版（2019）必修一重难点突破

集合的实际应用

一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.     北京人大附中月考有三只股票A，B，C，28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一只股票．在不持有A股票的人中，持有B股票的人数是持有C股票的人数的2倍．在持有A股票的人中，只持有A股票的人数比除了持有A股票外，同时还持有其他股票的人数多在只持有一只股票的人中，有一半持有A股票，则只持有B股票的股民人数是  (    )

A. 7 B. 6 C. 5 D. 4

2.     某公司共有50人，此次组织参加社会公益活动，其中参加A项公益活动的有28人，参加B项公益活动的有33人，且A，B两项公益活动都不参加的人数比都参加的人数的三分之一多1人，则只参加A项不参加B项的有 (    )

A. 7人 B. 8人 C. 9人 D. 10人

3.     调查了100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么对于既带感冒药又带胃药的人数，下列说法中正确的是(    )

A. 最多人数是55 B. 最少人数是55 C. 最少人数是75 D. 最多人数是80

4.     某年级先后举办了数学、历史、音乐的讲座，其中有85人听了数学讲座，70人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，16人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，还有5人听了全部讲座．则听讲座的人数为(    )

A. 181 B. 182 C. 183 D. 184

二、多选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题有多项符合题目要求）

5.     某校举办运动会，高一的两个班共有120名同学，已知参加跑步、拔河、篮球比赛的人数分别为58，38，52，同时参加跑步和拔河比赛的人数为18，同时参加拔河和篮球比赛的人数为16，同时参加跑步、拔河、篮球三项比赛的人数为12，三项比赛都不参加的人数为20，则(    )

A. 同时参加跑步和篮球比赛的人数为24 B. 只参加跑步比赛的人数为26
C. 只参加拔河比赛的人数为16 D. 只参加篮球比赛的人数为22

6.     启东中学高一月考]由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数史称戴德金分割，才结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是  (    )

A. ，是一个戴德金分割
B. M没有最大元素，N有一个最小元素
C. M有一个最大元素，N有一个最小元素
D. M没有最大元素，N也没有最小元素

7.     向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人.则下列说法正确的是.(    )

A. 赞成A的不赞成B的有10人 B. 赞成B的不赞成A的有11人
C. 对A，B都赞成的有21人 D. 对A，B都不赞成的有8人

三、填空题（本大题共3小题，共15.0分）

8.     某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店：
   ①第一天售出但第二天未售出的商品有__________种；
   ②这三天售出的商品最少有__________种．
9.     某班有36名同学参加数学、物理、化学竞赛小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则只参加物理小组的有__________人，同时参加数学和化学小组的有__________人．
10. 某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出20种商品，第二天售出14种商品，第三天售出18种商品，前两天都售出的商品有5种，后两天都售出的商品有4种，则该网店这三天售出的商品最少有__________种.

四、解答题（本大题共2小题，共24.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

11. 本小题分

学校举办运动会时，高一班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.同时参加田径和球类比赛的有多少人?只参加游泳一项比赛的有多少人?

12. 本小题分
    某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组．已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，求同时参加数学和化学小组的有多少人．
    

答案和解析

1.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查利用venn图解决实际问题，属难题.
根据题意，作出Venn图，借助Venn图即可求解.

【解答】

解：设只持有A股票的人数为如图所示，

则持有A股票还持有其他股票的人数为图中部分，
因为在只持有一只股票的人中，有一半持有A股票，
所以只持有B和C股票的人数和为图中部分
假设只同时持有B和C股票的人数为如图所示，
则，即，
则X的取值可能是9、8、7、6、5、4、3、2、
与之对应的a值为2、5、8、11、14、17、20、23、
因为在不持有A股票的股民中，持有B股票的人数为持有C股票的人数的2倍，
所以，即，故，时满足题意，
故，，故只持有B股票的股民人数是7，
故选

2.【答案】D 

【解析】

【分析】

利用Venn图，将满足条件的集合人数确定即可．
本题主要考查集合元素个数的确定，利用Venn图，建立方程关系是解决此类问题的基本方法．

【解答】

解：如图所示，

设A，B两项公益活动都参加的有x人，则仅参加A项的有人，仅参加B项的有人，A，B两项公益活动都不参加的有人，根据题意得，解得，
所以只参加A项不参加B项的有人，
故选

3.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查Venn图以及集合的实际应用，属于中档题.
利用韦恩图求解即可.

【解答】

解：设100名携带药品出国的旅游者组成全集I，
其中带感冒药的人组成集合A，带胃药的人组成集合
又设所携带药品既非感冒药又非胃药的人数为x，则，
设以上两种药都带的人数为
由图，
 

，

，，
故最少人数是
故选

4.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题主要考查Venn图表达，比较基础．
设全班同学是全集U，听数学讲座的人组成集合A，听历史讲座的人组成集合B，听音乐讲座的人组成集合C，根据题意，用韦恩图表示出各部分的人数，即可求出

【解答】

解：设全班同学是全集U，听数学讲座的人组成集合A，听历史讲座的人组成集合B，听音乐讲座的人组成集合C，
根据题意，用韦恩图表示，如图所示：
，
由韦恩图可知，听讲座的人数为人，
故选：

5.【答案】BCD 

【解析】

【分析】

本题考查命题真假的判断，考查并集、并集、Venn图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
设同时参加跑步和篮球但不参加拔河的人数为a，由题意作出Venn图，列方程求出，由此能求出结果．

【解答】

解：设同时参加跑步和篮球但不参加拔河的人数为a，
由题意作出Venn图，如下：

，
解得
同时参加跑步和篮球比赛的人数为，故A错误
只参加跑步比赛的人数为，故B正确；
只参加拔河比赛的人数为16，故C正确；
只参加篮球比赛的人数为，故D正确．
故答案选：

6.【答案】BD 

【解析】

【分析】

本题是以集合为背景的创新题型，考查集合中交集和并集的定义，集合中元素的性质.
由题意知，作为有理数集Q的两个子集：集合M与集合N，易判断它们中有无最大元素和最小元素.

【解答】

解：对于选项A，因为，，，故A错误；
对于选项B，设，，满足戴德金分割，此时 M中没有最大元素， N有一个最小元素0，故B正确；
对于选项C，若 M有一个最大元素， N有一个最小元素，则不能同时满足，，故C错误；
对于选项D，设，，满足戴德金分割，此时 M没有最大元素， N也没有最小元素，故D正确．
故选

7.【答案】CD 

【解析】

【分析】

本题考查集合的交集并集中的元素个数问题，考查利用韦恩图解题.属于中等题.
记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合M，赞成事件B的学生全体为集合设对事件A，B都赞成的学生人数为x，列出方程能求出结果．

【解答】

解：赞成A的人数为，赞成B的人数为

记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合M，赞成事件B的学生全体为集合如图所示，

设对事件A，B都赞成的学生人数为x，

则对A，B都不赞成的学生人数为赞成A而不赞成B的人数为，

赞成B而不赞成A的人数为

依题意，解得

所以赞成A的不赞成B的有9人，赞成B的不赞成A的有12人，对A，B都赞成的有21人，对A，B都不赞成的有8人.

故选

8.【答案】16

29

【解析】

【分析】

本题考查集合的包含关系及其应用，考查了集合中元素的个数判断，考查学生的逻辑思维能力，是中档题．
①由题意画出图形得答案；②求出前两天所受商品的种数，由特殊情况得到三天售出的商品最少种数．

【解答】

解：①设第一天售出商品的种类集为A，第二天售出商品的种类集为B，第三天售出商品的种类集为C，
如图，则第一天售出但第二天未售出的商品有种；

②由①知，前两天售出的商品种类为种，第三天售出但第二天未售出的商品有种，
当这14种商品属于第一天售出但第二天未售出的16种商品中时，即第三天没有售出前两天未售出的商品时，这三天售出的商品种类最少为29种．
故答案为：①16；②

9.【答案】5

8

【解析】

【分析】

本小题主要考查Venn图表达集合的关系及运算、Venn图的应用、集合中元素的个数等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
画出表示参加数学、物理、化学课外探究小组集合的Venn图，结合图形进行分析求解即可．

【解答】

解：由条件知，每名同学至多参加两个小组，故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学小组． 

因为同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人， 
所以只参加物理小组的有人
设同时参加数学和化学小组的人数为x，
则只参加数学小组的人数为，  只参加化学小组的人数为
又总人数为36，  即， 
所以，解得， 
即同时参加数学和化学小组的有8人．

10.【答案】29 

【解析】

【分析】

本题考查集合元素个数，属于中档题.
通过Venn图解决问题，可以得到结果.

【解答】

解：设第一天售出商品的种类集为A，但第二天售出的商品的种类集为B，第三天售出商品种类集为C，如图，

则第一天售出但第二天未售出的商品有15种，前两天售出的商品种类为种，当第三天售出的18种商品都是第一天或第二天售出的商品时，这三天售出的商品种类最少为
故答案为

11.【答案】解：如图.

设同时参加田径和球类比赛的有x人，则
，
，
即同时参加田径和球类比赛的有3人，
而只参加游泳一项比赛的有人 

【解析】本题考查韦恩图解决集合问题，是基础题.
先根据题设画出对应的韦恩图，列出对应方程求解.
 

12.【答案】解：设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A，B，C，
同时参加数学和化学小组的有x人，由题意，得如图所示的Venn图．

由全班共36名同学，得

，

解得，即同时参加数学和化学小组的有8人．

【解析】本题主要考查Venn图表达集合的关系及运算、Venn图的应用、集合中元素的个数等基础知识，比较基础.
设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的有x人，由题意，得Venn图，进而列出方程求解即可.