第三章 函数奇偶性的应用练习---2022-2023学年高一数学人教A版（2019）必修一重难点突破

函数奇偶性的应用

一、单选题（本大题共6小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.     已知，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则(    )

A.  B. 2 C. 1 D. 3

2.     已知是上的奇函数，当时，，则满足的m的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

3.     函数是定义在上的奇函数.若，则的值为(    )

A. 6 B. 5 C. 4 D. 3

4.     已知函数，且，那么等于(    )

A.  B.  C.  D. 10

5.     已知函数，则使得成立的实数x的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

6.     二次函数是区间上的偶函数，若函数，则，，的大小关系为(    )

A.  B.
C.  D.

二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。在每小题有多项符合题目要求）

7.     已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是(    )

A. 函数有3个单调区间
B. 当时，
C. 函数有最小值
D. 不等式的解集是

8.     下列说法正确的是(    )

A. 若函数是奇函数，则
B. 函数的图像关于y轴对称是为偶函数的充要条件
C. 若函数是奇函数，当时，则当时
D. 若函数是偶函数，且在上单调递增，则

三、填空题（本大题共3小题，共15.0分）

9.     已知定义在R上的偶函数，当时，，则函数的解析式为__________；若，则a的取值范围为__________.
10. 设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为__________.
11. 已知定义在R上的函数满足：是奇函数，是偶函数，则等于__________.

四、解答题（本大题共3小题，共36.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

12. 本小题分

若函数自变量的取值区间为时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“罗尔区间”.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，

求解析式；

求函数的“罗尔区间”；

13. 本小题分

已知是定义在R上的奇函数，且当时，

求的值；

求函数的解析式；

直接写出函数的单调递增区间.

14. 本小题分

已知函数是定义在R上的奇函数，当时，

求的解析式；

求不等式的解集.

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查利用函数的奇偶性求函数值，属于较易题.
由，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，由函数奇偶性有，，分别取，可求得，，即可解得.

【解答】

解：，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，
则，，
又，
，即，
解得，

故选

2.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题主要考查利用函数的单调性以及奇偶性求解不等式，属于中档题.
根据函数的奇偶性和单调性建立关于m的不等式，解不等式即可求出m的取值范围.

【解答】

解：函数与在上均为减函数，
函数在上为减函数.
又，是R上的奇函数，
，且，
，
或，
解得或
故选

3.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题主要考查函数奇偶性的应用，属于中档题.
根据奇函数的定义域关于原点对称，求出b，利用，求出a即可．

【解答】

解：函数是定义在上的奇函数，
，即，解得，
则，
又，
，解得，

故选

4.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查函数奇偶性的应用，属于中档题.
令，由函数奇偶性的定义得其为奇函数，根据题意和奇函数的性质求出的值．

【解答】

解：令，易得其为奇函数，
则，
所以，得，
因为是奇函数，即，所以，
则
所以
故选

5.【答案】B 

【解析】

【分析】

根据函数奇偶性和单调性之间的关系，由可得，即可得到结论．
本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．

【解答】

解：函数的定义域为R，
由可得，
所以为偶函数，
当时，单调递增，
由可得，
解得，
故选：

6.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题主要考查函数的奇偶性的应用，二次函数的图象和性质，属于中档题．
由条件可得，求得，可得，再利用二次函数的图象和性质求得，，的大小关系．

【解答】

解：由于二次函数是区间上的偶函数，
故有，解得或舍去
，
为二次函数，
它的图象的对称轴为，且图象为开口向上的抛物线．
又，
，
故选

7.【答案】BCD 

【解析】

【分析】

本题主要考查了函数的奇偶性、单调性、最值及二次函数的性质，属于中档题.
根据偶函数的对称性，以及二次函数的性质对四个命题分别进行判断，即可得出结论.

【解答】

解：A选项，时，，
故在上递增，在上递减，
因为函数为偶函数，所以在上递减，在递增，
所以函数有4个单调区间，故A错误；
当时，，
又函数是定义在R上的偶函数，时，，
所以时，，故B正确；
因为时，在上递增，在上递减，
所以函数在时取得最小值为，
根据偶函数的对称性可知函数有最小值，故C正确；
因为，所以不等式的解集是，故D正确.
故选：

8.【答案】BD 

【解析】

【分析】
本题考查函数的奇偶性，单调性，属于基础题.
根据函数的奇偶性和对称性分别判断ABC选项，再结合单调性判断D选项.
【解答】
解：A选项，可能不在定义域内，A错;
函数图像关于y轴对称则一定是偶函数，偶函数关于y轴对称，B正确;
当时，，则，C错误;
易知在上单调递减，所以，D正确.
故选  

9.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查函数解析式的求解以及不等式的求解，属于中档题.
根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式，再利用函数的单调性求不等式即可．

【解答】

解：因为当 时， ，若 时，则 ，
所以 ，
又因为函数 是 R上为偶函数，所以 ，
所以 ，
所以函数 的解析式为 
又当 时， 为增函数，
所以不等式 等价于 ，
所以 ，两边平方得，即 ，
解得 或 ，所以 a的取值范围为 
故答案为 

10.【答案】1 

【解析】

【分析】

本题主要考查了函数的奇偶性，函数的最值，考查学生的计算能力和推理能力，难度适中.

【解答】

 解：由题意知，，设，则，
所以为奇函数，在区间上的最大值与最小值的和为0，故，

故答案为

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用函数的奇偶性求解析式，求函数值.
先根据是奇函数，是偶函数，构造新函数，，然后根据奇偶性列出两个等式，联立即可求解.

【解答】

解：是奇函数，是偶函数，
则①，
②，
由①得，代入中②得：
，
，
将2代入得：
故答案为：

12.【答案】解：因为为R上的奇函数，，
又当时，，
所以当时，，
所以，
所以
设为的一个“罗尔区间”，
则，，b同号.
设，在上单调递减，
，
即a，b是方程的两个不等正根，
，，
在内的“罗尔区间”为
当时，同理可求在内的“罗尔区间”为 

【解析】本题重点考查函数的奇偶性和单调性，属于中档题.
运用函数的奇偶性求出的解析式即可；
利用在上的单调性，得到关于a和b的一个方程组，构造一个方程使得a，b恰好是其两个不等正根，求解得到内的“罗尔区间”，同理可得内的“罗尔区间”.
 

13.【答案】解：由题意可知，，
则
当时，，则，
函数为奇函数，故，
且函数定义域为R，则，
故
当时，是开口向上的抛物线，
对称轴为，所以单调递增区间为；
当时，是开口向下的抛物线，
对称轴为，所以单调递增区间为；
综上，函数的单调递增区间为 

【解析】本题考查了函数奇偶性的性质的应用，利用函数奇偶性的定义将变量进行转化是解决本题的关键，考查转化思想，培养了学生分析问题与解决问题的能力.
根据题意求出的值；
设，则，由条件和奇函数的性质求出的表达式，且，再用分段函数表示出来即可．
根据分段函数与二次函数性质求解函数单调区间.
 

14.【答案】解：若，，则，
因为函数是定义在R上的奇函数，
所以，且，
所以；
因为，
当，，解得
当，，解得，
当，，成立；
故不等式的解集为 

【解析】本题考查了函数的奇偶性的应用，同时考查了分段函数的单调性及应用，属于中档题．
设，则；从而由求解析式，又，即可求解；
分段讨论，求出不等式的解集．