第一章集合中的创新问题练习---2022-2023学年高一数学人教A版（2019）必修一重难点突破

集合中的创新问题

一、单选题（本大题共7小题，共35.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.     设全集，且U的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定，空集表示的字符串为000000；对于任意两集合A，B，我们定义集合运算A且，若，，则表示的6位字符串是(    )

A. 101010 B. 011001 C. 010101 D. 000111

2.     若数集…，…，，Z具有性质P：对任意的i，Z，与两数中至少有一个属于A，则称集合A为“权集”，则 (    )

A. 为“权集” B. 为“权集”
C. “权集”中的元素可以有0 D. “权集”中一定有元素1

3.     已知集合，集合，，满足：①每个集合都恰有3个元素；②集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，则的最大值与最小值的和为(    )

A. 60 B. 63 C. 56 D. 57

4.     已知非空集合，设集合，分别用、、表示集合A、S、T中元素的个数，则下列说法不正确的是(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则可能为18 D. 若，则不可能为19

5.     对于任意两个数x，，定义某种运算“◎”如下：①当或，时，x◎；②当，时，x◎则集合◎的子集个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

6.     设集合M是R的子集，如果满足：，，，称为集合M的聚点．则下列集合中以0为聚点的有(    )
   ①
   ②
   ③
   ④

A. ②③ B. ②④ C. ①③ D. ①③④

7.     设集合A是集合的子集，对于，定义给出下列三个结论：

①存在的两个不同子集A，B，使得任意都满足且

②任取的两个不同子集A，B，对任意都有

③任取的两个不同子集A，B，对任意都有

其中所有正确结论的序号是(    )

A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③

二、多选题（本大题共1小题，共5.0分。在每小题有多项符合题目要求）

8.    在整数集Z中，被7除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，即，，1，2，3，4，5，6，给出如下四个结论，其中正确的结论为(    )

A.
B.
C.
D. 若，则整数a，b属于同一类

三、填空题（本大题共3小题，共15.0分）

9.    设A是整数集的一个非空子集，对于，若，且，则称k是A的一个“孤立元”．集合元素中T的“孤立元”是__________；对给定集合，由S中的3个元素构成的所有集合中，含“孤立元”的集合有__________个
10. 若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称这两个集合构成“蚕食”．对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为__________.
11. 定义集合运算：设，，则集合的所有元素之和为__________.

四、解答题（本大题共1小题，共12.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

12. 本小题分
    已知集合…，…，，若对任意的i，，与两数中至少有一个属于则称集合A具有性质
    分别判断数集与是否具有性质P，并说明理由；
    当时，若，求集合
    

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】

【分析】
本题考查集合的新概念问题，属于基础题.
先求，再根据6位字符串概念即可解决问题.
【解答】
解：由A且可得，，
所以由6位字符串的概念可知表示的是010101，
故选  

2.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查了学生对新定义的应用能力．
结合新定义可判断不是“权集”可判断A；为“权集”可判断B，根据定义可直接判断C，举反例可判断D，从而得到答案．

【解答】

解：由于与均不属于数集，故A不正确；
由于，，，，，都属于数集，故B正确；
由“权集”的定义可知，故“权集”中的元素不能有0，故C不正确；
数集为“权集”，但没有元素1，故D不正确．
故选

3.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查集合的新定义问题，属于中档题.

由题意分别列出符合题意的集合，即可计算 的最大值与最小值.

【解答】

解：集合，

当，，时，取得最小值，
为，

当，，时，取得最大值，
为，

的最大值与最小值的和为
故选：

4.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查了集合中元素的个数新定义问题 ，属于较难题目，
结合新定义及考虑集合T元素个数减小的情况，有两类情况分析各选项可得答案

【解答】

解：考虑集合S元素个数减小的情况，若存在的情况使S减小，不妨假设，
T中，与同时成立，且，故T中有两对相等，即T减小2，
因此，集合S中出现会使得减小
考虑集合T元素个数减小的情况，有两类情况：
第一类情况：出现且不等的情况，同上可得减小
第二类情况：出现的情况即三数等差的情况，此时不能保证S中出现的
情况，故减小
对选项A、B，当时，最多的和情况有种，故，选项B正确：
又集合A中只有4个元素时，最多只存在一对，故，
同时B中至少有，，共3个不同元素，即
因此，，故选项 A正确;
对选项C、D，当时，同可知，
若存在至少一对，则，
故要使或19，则一定不能出现的情况，只能有这样等差的情况，
要使，则只能一组三数等差，比如1，3，6，10，17，只有一组等差，且，D错误：
要使，则只能两组三数等差，比如1，3，5，10，17，只有两组等差，且，C正确.
综上所述，
本题选

5.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查集合的新定义问题，属于中档题.
按照题意把集合A中元素一一列举出来，进而求得子集的个数.

【解答】

解：按照题意，将集合A中元素逐一列举出来如下：
 ，
故集合A中共有11个元素，所以集合A的子集个数为
故选

6.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查的知识点是集合元素的性质，其中正确理解新定义，集合的聚点的含义，是解答本题的关键，属于中档题．
由已知中关于集合聚点的定义，我们逐一分析四个集合中元素的性质，并判断是否满足集合聚点的定义，进而得到答案．

【解答】

解：①对于集合，若0为该集合的聚点，
则，，，
取，此时不存在，使得，故此集合不是以0为聚点的．
②集合，对任意的a，都存在实际上任意比a小的正数都可以，使得，
是集合的聚点．
③集合，由，，
故对，存在，使成立，故0是此集合的聚点．
④集合Z中的元素是整数，取，不存在，使成立，
不是集合Z的聚点．
故选：

7.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查了命题正误的判断，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
对题目中给的新定义要充分理解，对于，或1，可逐一对命题进行判断，举实例证明存在性命题是真命题，举反例可证明全称命题是假命题．

【解答】

解：对于，定义，
①例如正奇数，正偶数，
，，
，，故①正确；
②若，则，则且，或且，或且，
，
若，则，则且，，
任取的两个不同子集A，B，对任意都有，
故②正确；
③例如：，，，
当时，，，，
，故③错误.
所有正确结论的序号是：①②.
故答案选：

8.【答案】ACD 

【解析】

【分析】

本题主要考查新定义的应用，利用定义正确理解“类”的定义是解决本题的关键，属于中档题．
利用新定义对各个选项进行分析即可求解.

【解答】

解：，，故A正确；
，，故B错误；
整数集中的数被7除的数可以且只可以分成七类，故，故C正确；
整数a，b属于同一“类”，整数a，b被7除的余数相同，从而被7除的余数为0，反之也成立，故"整数a，b属于同一‘类'”的充要条件是“”，故D正确．
故选：

9.【答案】5

16

【解析】

【分析】

本题考查了元素与集合的关系.
对集合T中每个元素进行判断即可；集合中3个元素构成的所有集合为20个，先求出不含孤立元的集合个数，进而可得含“孤立元”的集合个数.

【解答】

解：集合，依次判断每个元素是否为孤立元：
对于1，，不是孤立元；
对于2，，，不是孤立元；
对于3，，不是孤立元；
对于5，，，是孤立元，
所以集合元素中T的“孤立元”是5；

集合中3个元素构成的所有集合为20个，

不含孤立元的集合有，，，个，

故含“孤立元”的集合有16个.
故答案为5；

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查集合的运算以及包含关系，考查新定义的理解和运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．
讨论和，求得集合B，再由新定义，得到a的方程，即可解得a的值．

【解答】

解：当时，，此时满足
当时，，此时集合A，B只能是“蚕食”关系，
当集合A，B有公共元素时，解得，
当集合A，B有公共元素时，解得
故a的取值集合为
故答案为：

11.【答案】6 

【解析】

【分析】

本题考查集合中元素的性质，属于基础题.
由集合A、B的元素，列出各种可能出现的情况，可得集合，进一步得出答案．

【解答】

解：由题意知，，，
若，，则；若，，则；
若，，则；若，，则
由集合中元素的互异性，得集合，
所以集合的所有元素的和为
故答案为

12.【答案】解：因为，，，，，都属于数集，
所以数集具有性质P，
因为和均不属于数集，
所以数集不具有性质P；
当时，令，当时，，
因为集合A具有性质P，所以，，2，3，4，5，
所以
所以，，，
所以，，所以，
即，
又因为，
所以，所以，
所以，
所以，
所以，
所以 

【解析】本题主要考查元素与集合的关系，属于中档题．
根据性质P的定义判断即可；
根据条件进行推理，可得集合