初中数学人教版九年级上册22.1.1 二次函数单元测试课时作业

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第22章二次函数课后培优练 单元测试（时间120分钟，满分120分） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列函数表达式中，一定为二次函数的是（        ） A．y＝2x﹣5 B．y＝ax2+bx+c C．h＝ D．y＝x2+ 【答案】C 【详解】 解：A.是一次函数，故此选项错误； B.当a≠0时，是二次函数，故此选项错误； C.是二次函数，故此选项正确； D.含有分式，不是二次函数，故此选项错误； 故选：C． 2．如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为．点P的坐标为，则△PMN的面积为（        ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】 解：∵抛物线的对称轴为x＝−3，点N（−1，1）是抛物线上的一点， ∴，， 解得：，， ∴， ∴， ∵，， ∴PN∥y轴，且PN＝1， ∴△PMN的面积为：， 故选：A． 3．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（        ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．与x轴没有交点 【答案】B 【详解】 解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是 故A，C选项正确，B选项不正确， D．令y=0，，∴抛物线与x轴没有交点，故D选项正确， 故选B. 4．若二次函数y＝ax2+bx+c的部分图像如图所示，则方程ax2+bx+c＝0的解是（　 　） A．x＝1 B．x＝1或﹣4 C．x1＝1，x2＝﹣3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣2 【答案】C 【详解】 解：由二次函数y=ax2+bx+c的图象可知： 抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），对称轴为直线x=-1， ∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（-3，0）， ∴一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x1=-3，x2=1． 故选：C． 5．若函数y＝ax2﹣x+1（a为常数）的图象与x轴只有一个交点，那么a满足(      ) A．a＝ B．a≤ C．a＝0或a＝﹣ D．a＝0或a＝ 【答案】D 【详解】 解：①函数为二次函数，y=ax2﹣x+1（a≠0）， ∴Δ=1﹣4a=0， ∴a=； ②函数为一次函数， ∴a=0， ∴a的值为或0； 故选：D． 6．如图，一次函数y1＝kx+n（k≠0）与二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）的图象相交于A（﹣1，4），B（6，2）两点，则关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解集为（　 　） A．﹣1≤x≤6 B．﹣1≤x＜6 C．﹣1＜x≤6 D．x≤﹣1或x≥6 【答案】A 【详解】 解：∵一次函数y1＝kx+n（k≠0）与二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）的图象相交于A（﹣1，4），B（6，2）两点， 根据图象可得关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解集是：﹣1≤x≤6． 故选：A． 7．飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行时间t（单位：秒）的函数表达式为，当滑行时间为10秒时，滑行距离为450米；当滑行时间为20秒时，滑行距离为600米，则飞机的最大滑行距离为（        ） A．600米 B．800米 C．1000米 D．1200米 【答案】A 【详解】 解：∵时，；时，， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴当时，S最大，且最大值为600， 即飞机的最大滑行距离为600米，故A正确． 故选：A． 8．抛物线的函数表达式为时，若将y轴向上平移2个单位长度，将x轴向右平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：∵将y轴向上平移2个单位长度，x轴向右平移3个单位长度， ∴抛物线向下平移2个单位长度，向左平移3个单位长度， ∴该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为； 整理得：， 故选：D 9．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=1．下列结论： ①abc＜0；②3a+c＞0；③（a+c）2-b2＜0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的为（      ） A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【详解】 解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线对称轴为直线x=-=1＞0， ∴b=-2a＜0， ∵抛物线与y轴交点在x轴下方， ∴c＜0， ∴abc＞0，①错误； ∵x=-1时，y=a-b+c=3a+c＞0， ∴②正确； ∵（a+c）2-b2=（a+b+c）（a-b+c），且a+b+c＜0，a-b+c＞0， ∴（a+c）2-b2＜0，③正确； ∵x=1时，y=a+b+c为最小值， ∴a+b≤m（am+b），④正确． 故选：B． 10．已知二次函数（h为常数），当时，函数y的最大值为，则h的值为（        ） A．1或3 B．4或6 C．3或6 D．1或6 【答案】D 【详解】 当h＞5时， ∵ 二次函数（h为常数），当时，函数y的最大值为， ∴， 解得h=6或h=4(舍去)； 当h＜2时， ∵ 二次函数（h为常数），当时，函数y的最大值为， ∴， 解得h=1或h=3(舍去)； 故选D． 二、填空题（每小题3分，共30分） 11．如果函数y＝（m﹣2）是二次函数，则m的值为________． 【答案】﹣3 【详解】 解：由题意得： m2+m﹣4＝2且m﹣2≠0， ∴m＝2或﹣3且m≠2， ∴m＝﹣3， 故答案为：﹣3． 12．已知抛物线与x轴的公共点坐标是，则_______． 【答案】6 【详解】 解：∵抛物线与x轴的公共点坐标是， 令y=0，则， 解得：， ∴． 故答案为：6． 13．抛物线y=（x+2）2上有三点A（-4，y1），B（-1，y2），C（1，y3），则对称轴为 __________；，，的大小关系为__________． 【答案】          【详解】 解：∵抛物线y=（x+2）2， ∴开口向上，对称轴是直线x=-2； 由增减性可知，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大， ∴A（-4，y1）关于对称轴的对称点（0，y1）， ∵-1＜0＜1， ∴y2＜y1＜y3． 故答案为：x=-2；y2＜y1＜y3． 14．如图，二次函数的图象开口向上，图象经过点（－1，2）和（1，0）且与y轴交于负半轴，下列四个结论：①abc＜0；②2a＋b＞0；③a＋b＋c＝0；④a＞1．其中正确的有________．（填序号）    【答案】②③④ 【详解】 解：观察图象得：抛物线开口向上，对称轴，且与y轴交于负半轴， ∴， ∴， ∴abc＞0，故①错误； 观察图象得：，， ∴， ∴，故②正确； 观察图象得：当时x=1时，y=0， ∴a＋b＋c＝0，故③正确； ∵图象经过点（－1，2）和（1，0）， ∴a＋b＋c＝0，a-b＋c＝2， ∴2a+2c=2，即a=-c+1， ∵， ∴，即， ∴a＞1，故④正确； ∴正确的有②③④． 故答案为：②③④ 15．抛物线与x轴的公共点是，，该抛物线的对称轴是直线________． 【答案】 【详解】 解：∵抛物线与x轴的交点为，， ∴两交点关于抛物线的对称轴对称， 则此抛物线的对称轴是直线． 故答案为：． 16．已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t﹣4＝0的两实数根，则（m+3）（n+3）的最小值是_________． 【答案】1 【详解】 解：∵m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t﹣4＝0的两实数根， ∴m+n＝2t，m•n＝t2﹣2t﹣4， ∴（m+3）（n+3）＝mn+3（m+n）+9＝t2﹣2t﹣4+6t+9＝t2+4t+5＝（t+2）2+1， ∴（m+3）（n+3）的最小值是1． 故答案为：1． 17．如图，某拱桥桥洞的形状是抛物线，若取水平方向为x轴，拱桥的拱点O为原点建立直角坐标系，它可以近似地用函数表示（单位：m）．已知目前桥下水面宽4m，若水位下降1.5m，则水面宽为______m． 【答案】8 【详解】 解：目前桥下水面宽4m， 即x=2时， 当水位下降1.5m，即 此时水面的宽为8m 故答案为：8． 18．已知函数y＝﹣x2+2x+6，当0≤x＜m时，函数值的取值范围是6≤y≤7，则实数m的取值范围是 ___________． 【答案】 【详解】 解：∵y＝﹣x2+2x+6＝﹣（x﹣1）2+7， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为（1，7）， 把x＝0代入y＝﹣x2+2x+6得y＝6， ∴抛物线经过（0，6）， （0，6）关于对称轴的对称点为（2，6）， ∴1＜m≤2时满足题意， 故答案为：1＜m≤2． 19．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3在t≤x≤t+3时的最小值是t，则t的值为_________________. 【答案】或﹣3 【详解】 解：y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，分类讨论： （1）若顶点横坐标在范围t≤x≤t+3右侧时，有t+3＜1，即t＜﹣2，此时y随x的增大而减小， ∴当x＝t+3时，函数取得最小值，y最小值＝t＝（t+3）2﹣2（t+3）﹣3， ∴t＝﹣3. （2）若顶点横坐标在范围t≤x≤t+3内时，即有t≤1≤t+3， 解这个不等式，即﹣2≤t≤1.此时当x＝1时，函数取得最小值，y最小值＝﹣4， ∴t＝﹣4， 不合题意. （3）若顶点横坐标在范围t≤x≤t+3左侧时，即t＞1时，y随x的增大而增大， ∵当x＝t时，函数取得最小值，y最小值＝t2﹣2t﹣3＝t，解得t＝ 或t＝（舍弃）， ∴t＝． 故答案为：或﹣3． 20．已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论的个数共有_______个． 【答案】3 【详解】 ∵抛物线的对称轴为：，且抛物线与x轴的一个交点坐标为(-2,0)， ∴抛物线与x轴的另一个坐标为(1,0)， ∴代入(-2,0)、(1,0)得：， 解得：，故③正确； ∵抛物线开口朝下， ∴， ∴，， ∴，故①错误； ∵抛物线与x轴两个交点， ∴当y=0时，方程有两个不相等的实数根， ∴方程的判别式，故②正确； ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 即，故④正确； ∵抛物线的对称轴为：，且抛物线开口朝下， ∴可知二次函数，在时，y随x的增大而减小， ∵， ∴，故⑤错误， 故正确的有：②③④， 故答案为：3． 三、解答题（每小题10分，共60分） 21．园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为x米． (1)长为________米（包含门宽，用含x的代数式表示）； (2)若苗圃的面积为，求x的值； (3)当x为何值时，苗圃的面积最大，最大面积为多少？ 【答案】(1)（36-3x）；(2)8；(3)当x为米时，苗圃ABCD的最大面积为平方米 【解析】 (1)∵木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃的一边长为x米， BC的长为32-3x+4=（36-3x）米， 故答案为：（36-3x）； (2)根据题意得，， 解得，x=4或x=8， ∵当x=4时，36-3x=24>14， ∴x=4舍去， ∴x的值为8； (3)设苗圃的面积为w， ， ∵4<36-3x14， ∴， ∵-3<0，图象开口向下， ∴当时，w取得最大值，w最大为； 答：当x为米时，苗圃ABCD的最大面积为平方米． 22．在平面直角坐标系内，二次函数的图象经过点和． (1)求这个二次函数的表达式； (2)求出二次函数的顶点坐标； (3)将该二次函数的图象向右平移几个单位，可使平移后所得的图象经过坐标原点，请在图中直接画出平移后的二次函数的大致图象，并写出平移后的图象与轴的另一个交点的坐标． 【答案】(1)；(2)；(3)图见解析， 【解析】 （1）解：把点和的坐标代入，得 解这个方程组，得∴二次函数表达式为． （2）解∶．∴二次函数的顶点坐标是． （3）解：当时，∴如图，抛物线与轴的交点坐标为，∴将二次函数图象向右平移一个单位，可以使图象经过原点，平移后的图象如图．此时的坐标是． 23．某超市销售一批成本为20元/千克的绿色健康食品，深受游客青睐．经市场调查发现，该食品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间满足一次函数关系，其图像如图所示． (1)求该食品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式； (2)若超市按售价不低于成本价，且不高于40元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该食品每天获得的利润W（元）最大？最大利润是多少？ (3)若超市要使每天销售该食品获得的利润不低于2400元，则每天的销售量最少应为 千克． 【答案】(1)；(2)销售单价定为40元时，才能使销售该食品每天获得的利润W（元）最大，最大利润是2000元；(3)60 【解析】 （1）设每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式为y=kx＋b，由图像得：，解得：，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式为y=-2x+180； （2），函数的对称轴为直线，∵，，∴当x≤55时，W随x的增大而增大，∴当x=40时，W有最大值，最大值为2000，∴销售单价定为40元时，才能使销售该食品每天获得的利润W（元）最大，最大利润是2000元； （3）令W=2400，则解得：，，根据函数的性质得：当50≤x≤60时，W≥2400，当x=50时，y=-2×50+180=80（千克），当x=60时，y=-2×60＋180=60（千克），每天的销售量最少应为60千克． 24．如图,在坐标系中△ABC是等腰直角三角形,∠BAC =90°,A(1, 0),B(0, 2),抛物线的图象过点（2，-1）及点C. (1)求该抛物线的解析式； (2)求点C的坐标 (3)点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使以P，A，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1)；(2)（3，1）；(3)满足条件的P点只有一个，为(-2，1) 【解析】 （1）把点（2，-1）代入得=∴该抛物线的解析式为 （2）过点C作CD垂直轴于点D ∵△ABC是等腰直角三角形,∠BAC =90°∴BA=AC，∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3   ∴△BOA≌△ADC∴OA=DC，BO=AD∵A(1,0),B(0,2),∴OA=DC=1，BO=AD=2∴点C的坐标为（3,1） （3）分别过A, B, C三点作对边的平行线，交于P1 、P2 、P3①当AP//BC,且AP = BC时，如图: 将点C向下平移1个单位向左平移2个单位与点A重合，点B也向下平移1个单位向左平移2个单位与点P1重合，则P1(-2,1)，经检验:点P1在抛物线上，故P1满足条件，②当BP//AC,且BP=AC时:由平移可得则P2(2,3)，经检验，P2不在抛物线上；③当CP//AB,且CP=AB时，由平移可得则P3(4,-1)，经分析，点P3不在抛物线上，不合题意.综上所述，满足条件的P点只有一个，为(-2,1). 25．如图，抛物线与X轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接BC，点D为抛物线对称轴上一动点． (1)求直线BC的函数表达式； (2)连接OD，CD，求周长的最小值； (3)在抛物线上是否存在一点E．使以B、C、D、E为顶点的四边形是以BC为边的平行四边形？若存在，请直接写出E点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)；(3)存在，点或 【解析】 （1）解：当＝时，＝，则点，当＝时，，∴＝，＝，∴点，点，设直线解析式为：＝，．∴∴∴直线解析式为：； （2）解：∵，∴对称轴为＝，∵周长＝＝，∴有最小值时，周长的存在最小值，作点关于对称轴＝的对称点，∴＝，∴当点，点，点共线时，的值最小，最小值为，∵∴周长的最小值为； （3）解：∵以、、、为顶点的四边形是以为边的平行四边形，∴＝，或＝，∴＝，或＝∴＝或，∴点或． 26．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+2mx+3m，点A（3，0）． (1)当抛物线过点A时，求抛物线的解析式； (2)证明：无论m为何值，抛物线必过定点D，并求出点D的坐标； (3)在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于点M，PD与y轴交于点N．设S=S△PAM－S△BMN，问是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)y=-x2+2x+3；(2)证明见解析，；(3)存在，点的坐标是（1，4），．过程见解析 【解析】 （1）解：把x=3，y=0代入y=-x2+2mx+3m得，-9+6m+3m=0，∴m=1，∴y=-x2+2x+3； （2）证明：∵y=-x2+m（2x+3），∴当2x+3=0时，即时，，∴无论m为何值，抛物线必过定点D，点D的坐标是； （3）如图，连接OP，设点P（m，-m2+2m+3），设PD的解析式为：y=kx+b，∴，∴，∴PD的解析式为：y＝，当x＝0时，y＝，∴点N的坐标是（0，），∴，∵S=S△PAM-S△BMN，∴S=（S△PAM+S四边形AONM）－（S四边形AONM+S△BMN）=S四边形AONP-S△AOB，∵，当x＝0时，y=-x2+2x+3＝3，∴点B的坐标是（0，3），OB＝3，，∴＝＝，∴当时，，当时，，∴点的坐标是（1，4）．