数学必修 第一册3.3 幂函数巩固练习

3.3 幂函数

一、幂函数的图象与概念

1、定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．

2、幂函数的特征：（1）xα的系数是1；（2）xα的底数x是自变量；（3）xα的指数α为常数．

只有满足这三个条件，才是幂函数．

对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数．

3、幂函数的图象

同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，的图象(如图)．

二、幂函数的性质

1、所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；

2、如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；

3、如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴；

4、在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴．

题型一 判断是否为幂函数

【例1】下列函数是幂函数的是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】C

【解析】形如的函数为幂函数，则为幂函数.故选：C.

【变式1-1】下列函数是幂函数的是（）

A．        B．        C．        D．

【答案】C

【解析】形如（为常数且）为幂函数，

所以，函数为幂函数，

函数、、均不是幂函数.故选：C.

【变式1-2】下列函数中，不是幂函数的是（    ）

A．y＝2x        B．y＝x－1        C．y＝        D．y＝x2

【答案】A

【解析】不是幂函数；，，为幂函数；故选：A.

【变式1-3】下列幂函数中，定义域为R的幂函数是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】D

【解析】A：，则需要满足，即，

所以函数的定义域为，故A不符合题意；

B：，则需要满足，

所以函数的定义域为，故B不符合题意；

C：，则需要满足，

所以函数的定义域为，故C不符合题意；

D：，故函数的定义域为，故D正确；故选：D.

题型二 求幂函数的解析式

【例2】（多选）如果幂函数的图象不过原点，则实数的取值为（    ）

A．        B．        C．        D．无解

【答案】BC

【解析】由已知可得，解得或.故选：BC.

【变式2-1】已知幂函数的图像过点，则的解析式为=__________．

【答案】

【解析】由题意知，设幂函数的解析式为为常数)，

则，解得，

所以.

【变式2-2】已知幂函数在上单调递增，则的解析式是_____.

【答案】

【解析】是幂函数，

，解得或，

若，则，在上不单调递减，不满足条件；

若，则，在上单调递增，满足条件；

即.

【变式2-3】已知幂函数在为减函数，则___________.

【答案】

【解析】为幂函数，

所以，解得：或.

当时，为R上的增函数；

当时，为R上的减函数.

所以，所以.

【变式2-4】已知幂函数的图象关于y轴对称，则___________．

【答案】4

【解析】由于是幂函数，所以，解得或.

当时，，图象关于轴对称，符合题意.

当时，，图象关于原点对称，不符合题意.

所以的值为，∴. ，.

题型三 幂函数定义域问题

【例3】函数的定义域是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】B

【解析】因为，

则有，解得且，

因此的定义域是．故选：B.

【变式3-1】函数的定义域为______.

【答案】

【解析】由可知其定义域为.

【变式3-2】已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ）

A．R        B．C．        D．

【答案】C

【解析】设，因为的图象过点，

所以，解得，则，

故的定义域为．故选：C

【变式3-3】若有意义，则实数的取值范围是________

【答案】

【解析】若有意义，则，解得

所以实数的取值范围是.

题型四 幂函数的值域问题

【例4】函数在区间[－4，－2]上的最小值是____．

【答案】

【解析】因为函数在(－∞，0)上单调递减，

所以当x＝－2时，．

【变式4-1】若幂函数的图象过点，则的值域为____________．

【答案】

【解析】设，因为幂函数的图象过点，所以

所以，所以

【变式4-2】已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值是（    ）

A．1        B．        C．        D．

【答案】C

【解析】由幂函数的图像过点，

可得，解得，所以，

函数，

则，

所以在区间上单调递增，

所以的最小值.故选：

【变式4-3】幂函数的图象过点，则函数的值域是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】C

【解析】设，代入点得

，

则，令，

函数的值域是.故选：C.

【变式4-4】已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为_____．

【答案】

【解析】由函数单调递增，

①当时，若，有，

而，此时函数的值域不是；

②当时，若，有，而，

若函数的值域为，必有，可得．

则实数的取值范围为．

题型五 幂函数图象的判断及应用

【例5】幂函数在第一象限的图像如图所示，则的大小关系是 （    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】D

【解析】根据幂函数的性质，

在第一象限内，的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，

所以由图像得：，故选：D

【变式5-1】函数和的图象如图所示，有下列四个说法：

①如果，那么；

②如果，那么；

③如果，那么；

④如果时，那么.

其中正确的是（    ）.

A．①④        B．①        C．①②        D．①③④

【答案】A

【解析】当三个函数的图象依和次序呈上下关系时，可得 ，

所以，若，可得，所以①正确；

当三个函数的图象依，和次序呈上下关系时，或 ，

所以，若，可得，所以②错误；

由于当三个函数的图象没有出现和次序的上下关系 ，所以③错误；

当三个函数的图象依和次序呈上下关系时， ，

所以，若时，可得，所以④正确.故选；A．

【变式5-2】已知幂函数的图象经过点，则的大致图象是（    ）

A．     B．      C．      D．

【答案】A

【解析】设幂函数为，

因为幂函数的图象经过点，

所以，即，解得，所以，

则函数的定义域为，所以排除CD，

因为，所以在上为减函数，

所以排除B，故选：A

【变式5-3】图中C1、C2、C3为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（    ）

A．、、        B．、、        C．、、        D．、、

【答案】D

【解析】由幂函数在第一象限内的图象，结合幂函数的性质，

可得：图中C1对应的，C2对应的，C3对应的，

结合选项知，指数的值依次可以是．故选：D.

【变式5-4】若幂函数与在第一象限内的图像如图所示，则（    ）

A．；        B．，；

C．，；        D．，．

【答案】B

【解析】由图象知；在上递增，所以，

由的图象增长的越来越慢，所以，

在上递减，所以，

又当时，的图象在的下方，所以，故选：B

【变式5-5】函数的图象是（    ）

A．     B．    C．    D．

【答案】A

【解析】函数，满足，

即函数是偶函数，图象关于y轴对称，D错误；

该函数是幂函数，，

故该函数是增函数，且增长得越来越快，故A正确，BC错误.故选：A.

题型六 幂函数图象过定点问题

【例6】三个幂函数（1），（2），（3）都经过的点的坐标是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】D

【解析】当时，得到，，，故都过点.故选：.

【变式6-1】若函数与图象关于对称，且，则必过定点（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】D

【解析】，，，

所以，函数的图象过定点，

又函数与图象关于对称，

因此，函数必过定点.故选：D.

【变式6-2】函数的图象必经过定点

A．        B．        C．        D．

【答案】D

【解析】令,解得,当时,,所以图象恒过，故选D

【变式6-3】函数恒过定点______．

【答案】

【解析】当，即时，，函数恒过定点.

【变式6-4】函数的图象过定点________．

【答案】

【解析】幂函数的图象过，

将代入，可得，

所以函数的图象过定点.

【变式6-5】幂函数的图象过点，则函数的图象经过定点____．

【答案】

【解析】因为幂函数过点，可解得，

所以，

故，

当时，，

故恒过定点.

题型七 利用幂函数单调性解不等式

【例7】若幂函数的图象过点（16，8），则的解集为（    ）

A．（–∞，0）∪（1，+∞）        B．（0，1）      C．（–∞，0）        D．（1，+∞）

【答案】D

【解析】设幂函数的解析式是，

将点（16，8）代入解析式得16α=8，解得，

故函数在定义域是[0，+∞），

故在[0，+∞）递增，故 ，解得x>1．故选D．

【变式7-1】已知函数，那么不等式的解集为__________．

【答案】

【解析】已知函数，可知函数是增函数，且是偶函数，

不等式等价于

【变式7-2】若 ，求a的取值范围.

【答案】

【解析】的定义域为，且在上是减函数，

原不等式等价于，即，

，的取值范围是.

【变式7-3】已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，求满足的实数的取值范围.

【答案】且.

【解析】因为函数在上单调递减，所以，解得.

因为，所以或2.

又函数的图象关于轴对称，所以是偶数，

而为奇数，为偶数，所以，

所以，在上为增函数，在上为减函数，

所以等价于且，

解得且.

故实数的取值范围为且.

【变式7-4】已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递减，求满足的实数a的取值范围.

【答案】

【解析】因为函数在上单调递减，所以，解得.

又，所以.

又函数）的图象关于y轴对称，所以为偶数，所以.

，得或或，

解得或，所以实数a的取值范围是.

题型八 幂函数性质的综合应用

【例8】已知幂函数在上单调递增.

（1）求的值；

（2）当时，记的值域为集合，若集合，且，求实数的取值范围.

【答案】（1）0；（2）

【解析】（1）∵为幂函数，∴，∴或2.

当时，在上单调递增，满足题意.

当时，在上单调递减，不满足题意，舍去.

∴.

（2）由（1）知，.

∵在上单调递增，∴.

∵，，∴，

∴解得.

故实数的取值范围为.

【变式8-1】已知幂函数的图像关于y轴对称．

（1）求的解析式；

（2）求函数在上的值域．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）因为是幂函数，

所以，解得或．

又的图像关于y轴对称，所以，

故．

（2）由（1）可知，．

因为，所以，

又函数在上单调递减，在上单调递增，

所以．

故在上的值域为．

【变式8-2】已知函数．

（1）若为偶函数，且在是增函数，求的解析式：

（2）若在上减函数，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）{或且}.

【解析】（1）在上增函数，，解得

又,，

由为偶函数知，；

（2）若在上减函数，则，

解得或，

即的取值范围是{或且}．

【变式8-3】已知幂函数为奇函数．

（1）求实数m的值；

（2）求函数的值域．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）∵函数为幂函数，

，解得或5，

当时，，为奇函数，

当时，，为偶函数，

函数为奇函数，；

（2）由（1）可知，，则，，

令，则，，

则，，

函数为开口向下，对称轴为的抛物线，

当时，函数，

当，函数取得最大值为1，

的值域为，故函数的值域为

【变式8-4】已知幂函数（）在是严格减函数，且为偶函数.

（1）求的解析式；

（2）讨论函数的奇偶性，并说明理由.

【答案】（1）；（2）当时，为偶函数；当时，为奇函数；当且时，为非奇非偶函数.理由见解析.

【解析】（1）因为幂函数（）在是严格减函数，

所以，即 ，解得：，

因为，所以，

当时，，此时为奇函数，不符合题意；

当时，，此时为偶函数，符合题意；

当时，，此时为奇函数，不符合题意；

所以，

（2），

令

当时，，，此时是奇函数，

当时，，此时是偶函数，

当且时，，，

，，此时是非奇非偶函数函数.