高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数同步达标检测题

4.2 指数函数

一、指数函数的概念

1、定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，

其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数．

2、注意事项：指数函数的底数规定大于0且不等于1的理由：

（1）如果，当

（2）如果，如，当时，在实数范围内函数值不存在．

（3）如果，是一个常量，对它就没有研究的必要．

为了避免上述各种情况，所以规定且．

二、指数函数的图象与性质

三、比较指数幂的大小

比较幂的大小的常用方法：

（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；

（2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；

（3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．

四、简单指数不等式的解法

1、形如的不等式，可借助的单调性求解；

2、形如的不等式，可将化为为底数的指数幂的形式，再借助的单调性求解；

3、形如的不等式，可借助两函数，的图象求解。

题型一 指数函数的概念判断

【例1】下列函数中，是指数函数的个数是（    ）

①；②；③；④.

A．1        B．2        C．3        D．0

【答案】D

【解析】①中底数－8<0，所以不是指数函数；

②中指数不是自变量，而是的函数，所以不是指数函数；

③中底数，只有规定且时，才是指数函数；

④中前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数

故选：D.

【变式1-1】下列是指数函数的是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】D

【解析】根据指数函数的解析式可知，

为指数函数，A、B选项中的函数均不为指数函数，

C选项中的底数的范围未知，C选项中的函数不满足指数函数的定义.

故选：D.

【变式1-2】下列函数：①；②；③；④；⑤.其中一定为指数函数的有（    ）

A．0个        B．1个        C．2个        D．3个

【答案】B

【解析】形如且为指数函数，

其解析式需满足①底数为大于0，且不等于1的常数，

②系数为1，③指数为自变量，所以只有②是指数函数，

①③④⑤都不是指数函数，故选：B.

【变式1-3】函数，，，，其中指数函数的个数为（    ）

A．1        B．2        C．3        D．4

【答案】B

【解析】因为形如的函数称为指数函数，

所以和是指数函数，故选：B．

题型二 利用指数函数的概念求参

【例2】函数是指数函数，则（    ）

A．或        B．        C．        D．且

【答案】C

【解析】由指数函数定义知，同时，且，所以解得，故选：C

【变式2-1】若函数是指数函数，则等于（    ）

A．或        B．        C．        D．

【答案】C

【解析】由题意可得，解得.故选：C.

【变式2-2】函数是指数函数，则有（    ）

A．a＝1或a＝3        B．a＝1        C．a＝3        D．a＞0且a≠1

【答案】C

【解析】由已知得，即，解得．故选：C

【变式2-3】已知函数和都是指数函数，则______.

【答案】

【解析】因为函数是指数函数，所以，

由是指数函数，所以，

所以，

题型三 求指数函数的解析式

【例3】若指数函数的图像经过点，则指数函数的解析式为___．

【答案】

【解析】设指数函数的解析式为（a＞0且a≠1），

∴，解得，

∴.

【变式3-1】已知函数是指数函数，且，则________.

【答案】

【解析】设（且），

则，得，故，

因此，.

【变式3-2】已知是指数函数，若，则___________.

【答案】

【解析】设，

因为，即，解得，

所以，即．

【变式3-3】已知函数是奇函数，且当时，，那么当时，的解析式是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】B

【解析】当时，则，所以，

又因为函数是奇函数，所以，

所以当时．

题型四 指数型函数过定点问题

【例4】函数，（且）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】B

【解析】令，解得，

所以当时，，

所以函数过定点.故选：B

【变式4-1】对任意实数且关于x的函数图象必过定点(    )

A．        B．        C．        D．

【答案】C

【解析】∵且，∴1－a＞0且1－a≠1，

故函数是指数函数，过定点(0，1)，

则过定点(0，5).故选：C.

【变式4-2】已知函数（且），则函数的图像恒过定点______．

【答案】

【解析】由解析式，当，即时，

所以的图像恒过定点.

【变式4-3】已知函数（，且）的图象过定点，则（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】C

【解析】函数（，且）的图象过定点，

所以为，

，故选：C.

题型五 指数函数的图象问题

【例5】函数的图像如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（    ）

A．，        B．，        C．，        D．，

【答案】D

【解析】由函数的图像可知，

函数在定义域上单调递减，

，排除AB选项；

函数图像是由向左平移所得，

，.故D选项正确.

【变式5-1】若函数的图象如图所示，且，则实数，的值可能为（       ）

A．，        B．，        C．，        D．，

【答案】C

【解析】由函数的图像，可得函数为单调递增函数，所以，

又由，可得，可得，

结合选项，只有C项适合.故选：C.

【变式5-2】函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（    ）

A．，，，     B．，，，     C．，，，     D．，，，

【答案】C

【解析】直线与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，

而，

所以a，b，c，d的值分别是，，，，故选：C.

【变式5-3】如图，曲线①②③④分别是指数函数，，，的图像，则实数a、b、c、d的大小关系满足（    ）

A．        B．      C．；        D．．

【答案】B

【解析】作出直线，此时与各函数的交点的纵坐标即为对应的底数，如图，

所以，故选：B

【变式5-4】在同一平面直角坐标系中，指数函数且和一次函数的图像关系可能是（    ）

A．     B．     C．     D．

【答案】C

【解析】由得，

所以一次函数与x轴交于，与y轴交于，故排除B选项；

对于A选项，一次函数的纵截距，而幂函数的图象中的，故A选项不正确；

对于D选项，一次函数的纵截距，而幂函数的图象中的，故D选项不正确；

对于C选项，一次函数的纵截距，而幂函数的图象中的，故C选项正确；

故选：C.

【变式5-5】已知函数（且）的图象不经过第二象限，则的取值范围为（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】A

【解析】因为函数（且）的图象不经过第二象限，

所以，解得，即；故选：A

【变式5-6】如果函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，则（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】B

【解析】函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，

则，解得，故选：B

题型六 比较指数幂的大小

【例6】已知，则的大小关系为（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】C

【解析】∵是减函数，，所以，

又，∴．故选：C．

【变式6-1】若，则a､b､c的大小关系是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】A

【解析】因为在上单调递增，且，

所以，即，

因为在上单调递减，且，

所以，即，

所以，即，故选：A

【变式6-2】已知函数，则的大小关系为（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】D

【解析】由，，即，

所以，又，

所以，而递增，

故，故选：D

【变式6-3】设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】B

【解析】因为在上单调递增，在上单调递减

所以，故.故选：B

【变式6-4】若，，，，则，，的大小关系为（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】D

【解析】由指数函数是上的减函数，

，即，

幂函数，在上是增函数，

，即，

，故．故选：D．

【变式6-5】已知函数，，是正实数，，，，则，，的大小关系为(    )

A．        B．        C．        D．

【答案】A

【解析】因为，是正实数，

所以由基本不等式可得：，

又，，

所以，

因为函数为减函数，

所以，

即.故选：A.

题型七 解指数型不等式

【例7】若x满足不等式，则函数的值域是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】B

【解析由可得，

因为在上单调递增，所以即，解得：，

所以，即函数的值域是，故选：B.

【变式7-1】已知函数，则不等式的解集为(    )

A.        B.        C.        D.

【答案】B

【解析】可知函数为减函数，由，可得，

整理得，解得，

所以不等式的解集为．故选B.

【变式7-2】不等式的解集是______．

【答案】

【解析】．

【变式7-3】解不等式（且）.

【答案】当时，解集为，当时，解集为.

【解析】当时，由于单调递增，所以，解得：或；

当时，于单调递减，所以，解得：，

综上：当时，解集为，当时，解集为.

【变式7-4】已知函数，则不等式的解集为______．

【答案】

【解析】因为，定义域为，且，故为奇函数；

又均为单调增函数，故是上的单调增函数；

则，即，也即，

故，，解得.

故不等式的解集为.

故答案为：.

【变式7-5】已知函数.若，则实数的取值范围是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】D

【解析】令，

∴，即为奇函数，

又在R上均为减函数，

∴为减函数，

由得：，

∴，即，解得.故选：D.

题型八 指数型函数的单调性问题

【例8】函数的单调递减区间是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】A

【解析】设，在单调递增，在单调递减，

在单调递增，

根据“同增异减”可得，函数的单调递减区间是.故选：A.

【变式8-1】函数的单调递减区间为（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】D

【解析】因为函数在区间上单调递减，在上单调递增，

函数在定义域内是单调递减函数，

所以，根据复合函数单调性法则“同增异减”得：

的单调递减区间为.故选：D

【变式8-2】函数的单调递增区间为（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】A

【解析】设，函数的单调减区间是

由于在上单调递减，

所以函数的单调递增区间为，故选：A

【变式8-3】函数的单调递增区间为（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】C

【解析】依题意，，解得：，

即定义域为，

令，

则函数在上单调递增，在上单调递减，

而函数在R上单调递减，

因此，在上单调递减，在上单调递增，

所以函数的单调递增区间为.故选：C

【变式8-4】函数的严格增区间为_______.

【答案】

【解析】令，则函数为，为减函数，

所以要求函数的严格增区间，只需求的减区间，

又，

所以的减区间为，

所以函数的严格增区间为.

【变式8-5】函数的单调递增区间是_________．

【答案】

【解析】

令，

，

当时，即，单调递增；

当时，即，单调递减；

因为单调递增，

所以函数的单调递增区间为.

【变式8-6】若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围为______.

【答案】

【解析】由复合函数的同增异减性质可得，在上严格单调递减，

二次函数开口向上，对称轴为

所以，即

故答案为：

【变式8-7】已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是______．

【答案】

【解析】令，可得抛物线的开口向上，且对称轴为，

所以函数在上单调递减，在区间上单调递增，

又由函数，

根据复合函数的单调性的判定方法，

可得函数在上单调递增，在区间上单调递减，

因为函数在上单调递减，则，

可得实数的取值范围是.

题型九 指数型函数的奇偶性问题

【例9】已知函数为定义在R上的奇函数，求实数m，n的值.

【答案】

【解析】由于是定义在R上的奇函数，

所以，

所以，

由于是奇函数，所以，

所以，

即，

所以.

【变式9-1】已知函数是定义在上的奇函数，求实数的值.

【答案】

【解析】因为函数是定义在上的奇函数，

所以，即，解得.

【变式9-2】已知函数为偶函数，则______．

【答案】1

【解析】由题设，，

所以.

【变式9-3】已知函数是偶函数，则常数的值为__．

【答案】

【解析】易知函数定义域为

函数是偶函数

对定义域内每一个都成立

，

，

对定义域内每一个都成立

，即 .

【变式9-4】设函数（且）是定义域为的奇函数．求实数k的值；

【答案】

【解析】函数（且）是定义域为的奇函数,则，

所以，

又时，，

对任意的，都有成立，满足题意，

所以；

题型十 指数型函数的值域问题

【例10】函数的值域是__________.

【答案】

【解析】因为指数函数在上为单调递减函数，

所以当x=-3时，函数有最大值为，

当x=1时，函数有最小值为，所以值域为.

【变式10-1】函数，的值域是(    )

A．        B．        C．        D．

【答案】A

【解析】令，

则，

则，故选：A.

【变式10-2】已知函数，，则函数的值域为（    ）．

A．        B．        C．        D．

【答案】B

【解析】依题意，函数，，

令，则在上单调递增，即，

于是有，当时，，此时，，

当时，，此时，，

所以函数的值域为.故选：B

【变式10-3】函数在上的值域为___________.

【答案】

【解析】

∵则令

在递增

∴

故答案为：．