专题02 翻折变换（折叠问题版）-【挑战压轴题】2022-2023学年八年级数学上册压轴题专题精选汇编（苏科版）

2022-2023学年苏科版数学八年级上册压轴题专题精选汇编

专题02 翻折变换（折叠问题）

考试时间：120分钟 试卷满分：100分

一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）

1．（2分）（2021八上·嘉兴期末）如图，折叠直角三角形纸片ABC，使得点A、B都与斜边AB上的点F重合，折痕分别为DE和GH、则下列结论不一定成立的是（　　)

A． B． C． D．

【答案】B

【完整解答】解：A、由折叠性质得：AD=DF，BH=HF，

∴AF=2DF，BF=2FH，

 又∵AF+FB=AB，

∴2DF+2FH=AB，即2（DF+FH）=AB，

∴DH=AB，A不符合题意；

 B、由折叠性质得：EF=AE，FG=BG，

 若AE=BG，则有EF=FG成立，显然条件不足，无法判断，B符合题意；

 C、由折叠性质得：∠A=∠EFD，∠B=∠GFH，

 又∵三角形ABC是直角三角形，且∠C=90°，

∴∠A+∠B=90°，

∴∠EFD+∠GFH=90°，

∴∠EFG=90°，即EF⊥FG，C不符合题意；

 D、由折叠性质得：ED⊥AB，GH⊥BA，

∴DE∥GH.

 故答案为：B.

 【思路引导】（1）由由折叠性质得：AD=DF，BH=HF，再由线段和差关系推导出2（DF+FH）=AB，即可推出DH=AB；（2）由折叠性质得：EF=AE，FG=BG，条件并未告知AE=BG，显然结论无法成立；（3）由折叠性质得：∠A=∠EFD，∠B=∠GFH，再通过直角三角形中∠A+∠B=90°进行等量代换，再通过互补关系即可推出EF⊥FG；（4）由折叠性质得ED和GH分别平行于AB即可判断.

2．（2分）（2021八上·桓台期末）如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，，则的度数为（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【完整解答】解：

根据折叠可知∠A′=∠A，

∵∠1=70°，

∴∠A′DA=180°-∠1=110°，

∴根据三角形外角∠A′=∠2-∠A′DA=152°-110°=42°，

∴∠A=42°．

故答案为：B．

【思路引导】根据折叠的性质可得∠A′=∠A，利用邻补角的性质求出∠A′DA=180°-∠1=110°，最后利用三角形外角的性质可得∠A′=∠2-∠A′DA=152°-110°=42°，从而得解。

3．（2分）（2021八上·河东期末）如图，已知D为边的中点，E在上，将沿着折叠，使A点落在上的F处．若，则等于（　　）

A．65 B． C． D．

【答案】C

【完整解答】解：∵△DEF是△DEA沿直线DE翻折变换而来，

∴AD＝DF，

∵D是AB边的中点，

∴AD＝BD，

∴BD＝DF，

∴∠B＝∠BFD，

∵∠B＝70°，

∴∠BDF＝180°−∠B−∠BFD＝180°−70°−70°＝40°．

故答案为：C．

【思路引导】先根据图形翻折不变性的性质可得出AD＝DF，根据等边对等角的性质得出∠B＝∠BFD，再根据三角形的内角和定理列式计算即可求解。

4．（2分）（2021八上·天津市期末）如图，在中，，，是上一点，将沿折叠，使点落在边上的处，则等于（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【完整解答】解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，

∴∠B=90°-25°=65°，

∵△CDE由△CDB折叠而成，

∴∠CED=∠B=65°，

∵∠CED是△AED的外角，

∴∠ADE=∠CED-∠A=65°-25°=40°．

故答案为：D．

【思路引导】先利用三角形的内角和求出∠B，再根据折叠求出∠CED=∠B=65°，最后利用三角形的外角可得∠ADE=∠CED-∠A=65°-25°=40°．

5．（2分）（2021八上·东莞月考）如图，把纸片的沿折叠，点A落在四边形外，则、与的关系是（　　）.

A． B．

C． D．

【答案】C

【完整解答】解：如图：分别延长CE、BD交于A′点，

∴∠2=∠EA′A+∠EAA′，∠1=∠DA′A+∠DAA′，

而根据折叠可以得到∠EA′A=∠EAA′，∠DA′A=∠DAA′，

∴．

故答案为：C．

【思路引导】先求出∠2=∠EA′A+∠EAA′，∠1=∠DA′A+∠DAA′，再根据折叠的性质计算求解即可。

6．（2分）（2021八上·顺平期中）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB．若∠BA'C＝110°，则∠1+∠2的度数为（　　） 

A．80° B．90° C．100° D．110°

【答案】A

【完整解答】解：连接AA′，如图：

∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∠BA'C＝110°，

∴∠A′CB+∠A′BC＝70°，

∴∠ACB+∠ABC＝140°，

∴∠BAC＝180°－140°＝40°，

∴∠1＝∠DAA′+∠DA′A，∠2＝∠EAA′+∠EA′A，

∵∠DAA′＝∠DA′A，∠EAA′＝∠EA′A，

∴∠1+∠2＝2（∠DAA′+∠EAA′）＝2∠BAC＝80°．

故答案为：A

【思路引导】连接AA′，先求出∠BAC，再证明∠1+∠2＝2∠BAC即可得出结论。

7．（2分）（2020八上·温州期中）如图，△ABC的周长为30，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连结AD，若AE=4，则△ABD的周长是（　　）

A．22 B．20 C．18 D．15

【答案】A

【完整解答】解：依题可得，

AE=CE=4，CD=AD，

∴AC=8，

∵C△ABC=AB+BC+CA=30，

∴AB+BC=30-8=22，

∴C△ABD=AB+BD+DA=AB+BD+CD=AB+BC=22.

故答案为：A.

【思路引导】根据折叠的性质得AE=CE=4，CD=AD，再由三角形周长结合已知条件即可求得答案.

8．（2分）（2020八上·南丹月考）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变.请试着找一找这个规律，你发现的规律是（　　）

A．∠A=∠1+∠2 B．2∠A=∠1+∠2

C．3∠A=2∠1+∠2 D．3∠A=2（∠1+∠2）

【答案】B

【完整解答】 解：如图，连接DE，

在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°；

∴∠A’+∠B+∠C=180°①；

在△A'DE中∠A‘+∠A’DE+∠A‘ED=180°②；

在四边形BCDE中∠B+∠C+∠1+∠2+∠A'DE+∠A'ED=360°③；

①+②﹣③得2∠A’=∠1+∠2，

即2∠A=∠1+∠2.

故答案为：B.

．

【思路引导】在△ABC、四边形BCDE和△A'D中，分别根据内角和列式，三式联立再结合折叠的性质可得2∠A’=∠1+∠2，则知结果.

9．（2分）（2020八上·来宾期末）如图，△ABE，△ADC是△ABC分别沿着边AB，AC翻折形成的，若∠BCA：∠ABC：∠BAC=28：5：3，BE与DC交于点F，则∠BFC的度数为（　　） 

A．15° B．20° C．30° D．36°

【答案】C

【完整解答】解：如图，设AE和DF交于M点，

∵∠BCA：∠ABC：∠BAC=28：5：3，

∴∠BCA=180°×=140°， ∠ABC=180°×=25°， ∠BAC=180°×=15°，

由折叠的特点可知，∠EAD=3∠BAC=3×15°=45°，∠D=∠ABC=25°，

∠BEA=∠BCA=140°，

∴∠FME=∠AMD=180°-∠D-∠MAD=180°-25°-45°=110°，

∠FEM=180°-∠BCA=180°-140°=40°，

∴∠BFE=180°-∠FME-∠FEM=180°-110°-40°=30°.

故答案为：30°.

【思路引导】由△ABC的各内角之比分别求出其三个角的度数，然后根据折叠图形的特点，得出有关角的大小，再根据三角形内角和定理求出∠FME的度数，利用补角的性质求出∠BFE的度数，于是根据三角形的内角和定理即可求出∠BFE的度数.

10．（2分）（2019八上·台州开学考）如图，三角形纸片ABC中，∠A=80º，∠B=60º，将纸片的角折叠，使点C落在△ABC内，若∠α=30º，则∠β的度数是（　　） 

A． B． C． D．

【答案】C

【完整解答】解：如图，

∠α =180°-2∠CEF，

∠=180°-2∠CFE，

∠α+∠ =180°-2∠CEF+180°-2∠CFE=360°-2（∠CEF+∠CFE），

∠C=180°-（∠A+∠B）=180°-（80°+60°）=40°，

∴∠CEF+∠CFE=180°-∠C=180°-40°=140°，

∴∠α+∠ =360°-2×140°=80°，

∴∠=80°-∠α=80°-30°=50°，

故答案为：C.

​​​​​

【思路引导】根据折叠的特点把∠α 与∠之和与∠CEF与∠CFE之和联系起来，利用三角形内角和定理求出∠C，从而再利用三角形内角和定理可求出∠CEF和∠CFE之和，则∠α与∠ 之和可求，因为 ∠α=30º ，

则∠的度数可求。

二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）

11．（2分）（2020八上·东海期末）如图的三角形纸片中，AB＝7，AC＝5，BC＝6，沿过点C的直线折叠这个三角形，使点A落在BC边上的点E处，折痕为CD，则△BED的周长为　     　.

【答案】8

【完整解答】解：由折叠可得：

故答案为：8.

 【思路引导】由折叠可得AD=ED，AC=CE=5，从而由BE=BC-CE求出BE，根据△BED的周长计算方法将三角形周长转化为AB+BD的长，即可得出答案.

12．（2分）（2022八上·博白期末）如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分，平分，若，则的度数为　     　.

【答案】120°

【完整解答】解：如图，连接AA'，

平分 ， 平分 ，

， ，

，

，

，

，

沿DE折叠，

， ，

， ，

，

故答案为： .

 【思路引导】，连接AA'，由角平分线的定义得 ， ，利用三角形内角和得 ，即得 ，由三角形内角和得∠A=60°，由折叠性质及三角形外角的性质得 .

13．（2分）（2021八上·顺义期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，将△ABC沿CD折叠，点A落在BC边上的点处，若∠B＝35°，则的度数为　     　．

【答案】20°

【完整解答】解：，∠B＝35°，

，

是由翻折得到，

，

，

．

故答案为：20°．

【思路引导】利用翻折不变性、三角形内角和定理和三角形外角性质，即可解决问题。

14．（2分）（2021八上·澄海期末）如图，在Rt△ABC中，，点D为斜边上的一点，连接，将沿翻折，使点B落在点E处，点F为直角边上一点，连接，将沿翻折，点A恰好与点E重合，则∠CEF的度数为　     　．

【答案】90°

【完整解答】解：∵∠ACB=90°，

∴∠B+∠A=90°，

∵△BCD沿CD翻折，使点B落在点E处，将沿翻折，点A恰好与点E重合，

由折叠前后对应角相等可知：

∴∠B=∠CED，∠A=∠FED，

∴∠CEF=∠CED+∠FED=∠B+∠A=90°，

故答案为：90°．

【思路引导】△BCD沿CD翻折，使点B落在点E处，将沿翻折，点A恰好与点E重合，由折叠前后对应角相等可知∠B=∠CED，∠A=∠FED，即可得解。

15．（2分）（2021八上·吉林期末）如图，在△ABC中，点D、E分别为边BC、AC上的点，将△CDE沿DE翻折得到△C′DE，使C′D∥AB．若∠A＝75°，则∠C′EA的大小为 　     　°．

【答案】30

【完整解答】解：如图，

∵C′D∥AB，

∴∠DGE=∠A=75°，

由折叠性质可知，∠C'=∠C=45°，

∴∠C′EA=∠DGE-∠C'=75°-45°=30°，

故答案为30．

【思路引导】由C′D∥AB，推出∠DGE=∠A=75°，由折叠性质可知，∠C'=∠C=45°，再根据三角形外交性质得出∠C′EA的度数。

16．（2分）（2020八上·宁波开学考）如图1是长方形纸带, ∠DEF=17°,将纸带沿EF折叠成图2,再沿BF折叠成图3,则图3中的∠CFE的度数是　     　.

【答案】129°

【完整解答】解：在图1中，

∵AE∥BF，

∴∠BFE=∠DEF=17°，

∵∠GEF=17°，

∴∠BGE=∠BFE+∠GEF=17°+17°=34°，

∵∠FGC=∠BGE=34°，

∵∠GFC=180°-∠FGC=180°-34°=146°，

∴∠CFE=∠GFC-∠BFE=146°-17°=129°.

故答案为：129°.

【思路引导】根据平行的性质可知∠BFE的度数，再结合折叠的特点可知∠GEF的度数，则由三角形外角的性质可求∠BGE，然后再由对顶角相等，结合折叠的性质和平行线的性质求出∠CFE即可。

17．（2分）已知等边三角形ABC中，AB=4，点D是边AB的中点，点E是边BC上的动点，连接DE，将△BDE沿直线DE翻折，点B的对应点为B′，当直线B′E与直线AC的夹角为30°时，BE的长度是　              　．

【答案】1+ 或4﹣2

【完整解答】 ,设 交AC于F, 交AC于G,翻折 ,

,若 ,则 , ,过D作 ,则 .

, . . . ,所以BE=1+ .

延迟AC, B′E交于点F,

,则

.

作 , 作 ,通过翻折可知, ,

所以 .在 中,BE=2BM= .

故答案为1+ 或4﹣2 ．

【思路引导】分类讨论，当直线B′E与直线AC的夹角为30°时的两种不同情况，即可求解.

18．（2分）（2018八上·苍南月考）如图， 在△ABC中，E是BC边上一点，沿AE折叠，点B恰好落在AC边上的点D处，若∠BAC=60°， BE=CD，则∠AED=　     　 度。

【答案】70

【完整解答】∵△ABC沿AE折叠，点B恰好落在AC边上的点D处，∠BAC=60°， BE=CD，

∴∠ADE=∠B，∠BAE=∠DAE=30°， BE=ED=CD，

设∠C=x°，则∠DEC=∠C=x°，

∴∠ADE=∠C+∠DEC=2x°=∠B，

在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°，

即60°+2x°+x°=180°，

解得：x=40°，

∴∠ADE=2x°=80°，

∴∠AED=180°-∠DAE-∠DAE=180°-80°-30°=70°.

故答案为：70°.

【思路引导】根据翻折变换即轴对称的性质，可得∠ADE=∠B，∠BAE=∠DAE=30°， BE=ED=CD，进而知△DEC是等腰三角形.  设∠C=x°，根据外角的性质，知∠ADE=∠C+∠DEC=2x°，在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°，得到关于x的方程，解方程求出x的值，进而在△ADE中求出∠AED的度数.

19．（2分）（2019八上·灌云月考）如图，将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的A1，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为h1；还原纸片后，再将△ADE沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕D1E1到BC的距离记为h2：按上述方法不断操作下去…，经过第2019次操作后得到的折痕D2018E2018，到BC的距离记为h2019：若h1＝1，则h2019的值为　           　

【答案】2﹣

【完整解答】解：如图，

由折叠的性质可得：AA1⊥DE，DA＝DA1，

又∵D是AB中点，

∴DA＝DB，

∴DB＝DA1，

∴∠BA1D＝∠B，

∴∠ADA1＝2∠B，

又∵∠ADA1＝2∠ADE，

∴∠ADE＝∠B，

∴DE∥BC，

∴AA1⊥BC，

∴AA1＝2h1＝2，

∴h1＝2−1＝1，

同理，h2＝2− ，h3＝2− × ＝2− …

∴经过第n次操作后得到的折痕Dn−1En−1到BC的距离hn＝2− ，

∴h2019＝2− .

故答案为：2− .

【思路引导】由折叠的性质可得AA1⊥DE，DA＝DA1，利用中点的性质可得DA＝DA1=DB，从而可得∠ADA1＝2∠B，继而可得∠ADE＝∠B，利用平行线的判定可得DE∥BC.由AA1⊥BC，可得AA1＝2h1＝2，从而求出h1＝2−1＝1，同理可得h2＝2− ，h3＝2− × ＝2− …，从而可得经过第n次操作后得到的折痕Dn−1En−1到BC的距离hn＝2− ，然后求出当n=2019时，h的值即可.

20．（2分）如图，将一条两边互相平行的纸带折叠，若∠1＝30°，则∠α＝　     　°．

【答案】75

【完整解答】解：如图，

∵纸袋的两边是平行的，

∴∠2=∠1=30°，

 由折叠的特点知：2 ∠α +∠2=180°，

∴2 ∠α +30=180°，

∴∠α=75°；

故答案为：75.

 【思路引导】先由两直线平行同位角相等求出∠2的度数，再由折叠的性质，结合平角的定义，列式求出 ∠α 即可。

三．解答题（共9小题，满分60分）

21．（5分）（2021八上·温州期中）如图，将△ABC三个角分别沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处.求∠1+∠2的度数.

【答案】解：∵将△ABC三个角分别沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处，

∴∠B＝∠HOG，∠A＝∠DOE，∠C＝∠EOF，

∵∠1+∠2+∠HOG+∠EOF+∠DOE＝360°，

∵∠HOG+∠EOF+∠DOE＝∠A+∠B+∠C＝180°，

∴∠1+∠2＝360  °﹣180°＝180°.

【思路引导】根据折叠的性质可得∠B＝∠HOG，∠A＝∠DOE，∠C＝∠EOF，则∠HOG+∠EOF+∠DOE＝∠A+∠B+∠C＝180°，根据周角的概念可得∠1+∠2+∠HOG+∠EOF+∠DOE＝360°，据此求解.

22．（5分）（2020八上·商河期末）如图，将△ABC沿着平行于BC的直线DE折叠，点A落到点A′，若∠C＝125°，∠A＝20°，求∠BD A′的度数.

【答案】解：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝20°，∠C＝125°，

∴∠B＝35°，

∵DE∥BC，

∴∠ADE＝∠B＝35°，∠BDE＋∠B＝180°，

∴∠BDE＝180−∠B＝180°−35°＝145°，

∵△ADE沿DE折叠成△A′DE，

∴∠A′DE＝∠ADE＝35°，

∴∠BDA′＝∠BDE−∠A′DE＝145°−35°＝110°．

【思路引导】先求出 ∠B＝35°， 再求出 ∠BDE＝ 145°，最后求 ∠BD A′的度数即可。

23．（5分）（2020八上·漳平期中）如图Ⅰ，已知 纸片中， ， ，将其折叠，如图Ⅱ，使点A与点B重合，折痕为 ，点D、E分别在 、 上，求 的大小． 

【答案】解：∵

∴

∵

∴

∵使点A与点B重合，折痕为

∴

∴ ．

【思路引导】根据等腰三角形的性质得 ，再根据三角形的内角和定理得 ，然后根据折叠的性质得 ，最后根据 计算即可．

24．（5分）（2020八上·北京期中）如图，三角形纸片中，AB=8cm，BC=6cm，AC=5cm．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，求 的周长 

【答案】解：∵BC沿BD折叠点C落在AB边上的点E处，

∴DE=CD，BE=BC，

∵AB=8cm，BC=6cm，

∴AE=AB-BE=AB-BC=8-6=2cm，

∴△ADE的周长=AD+DE+AE，

=AD+CD+AE，

=AC+AE，

=5+2，

=7cm．

【思路引导】根据翻折变换的性质可得DE=CD，BE=BC，然后求出AE，再根据三角形的周长列式求解即可．

25．（6分）（2019八上·同安月考）如图，四边形 中， ， ，点 ， 分别在 ， 上，将 沿 翻折，得 ，若 ， ，求 的度数． 

【答案】解： ， ，  

， ，

沿 翻折得 ，

，

，

在 中， ．

【思路引导】根据平行线的性质可知 ， ，根据折叠的性质可知 ， ，再利用三角形内角和定理即可解答.

26．（8分）（2021八上·盐湖期中）如图，将 ABC分别沿AB，AC翻折得到 ABD和 AEC，线段BD与AE交于点F，连接BE． 

（1）（4分）若∠ABC=20°，∠ACB=30°，求∠DAE及∠BFE的度数．

（2）（4分）若BD所在的直线与CE所在的直线互相垂直，求∠CAB的度数．

【答案】（1）解：∵ ， ， 

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ；

（2）解：∵BD所在直线与CE所在直线互相垂直，

∴ ，

由翻折的性质可得 ， ，

∴ ，

∴ ．

【思路引导】（1）利用三角形内角和求出∠BAC=130°，由折叠可得 ，可得，  ，从而求出∠DAE=30°，利用三角形内角和求出∠DFA的度数，根据对顶角相等可得∠BFE=∠DFA，即得结论；

（2）由垂直的定义可求出， 由翻折的性质可得 ， ，从而求出 ，利用三角形的内角和求出∠CAB的度数即可.

27．（7分）（2021八上·赣州期中）将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在点 处 

（1）（1分）如图①，点A落在四边形BCDE的边BE上，则∠A与∠1之间的数量关系是　          　；

（2）（3分）如图②，若点A落在四边形BCDE的内部，则∠A与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由．

（3）（3分）如图③，点A落在四边形BCDE的外部，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度数．

【答案】（1）∠1＝2∠A

（2）如图②，2∠A＝∠1+∠2．

理由如下：∵∠AED+∠ADE＝180°﹣∠A，∠A′ED+∠A′DE＝180°﹣∠A′，

∴∠A′DA+∠A′EA＝360°﹣（∠A+∠A′），

∴∠A+∠A′+∠A′DA+∠A′EA＝360°，

∵∠1+∠A′DA+∠2+∠A′EA＝360°，

∴∠A′+∠A＝∠1+∠2，

由折叠可得：∠A＝∠A′，

∴2∠A＝∠1+∠2，

故答案为：2∠A＝∠1+∠2；

（3）如图③，

∵∠DME＝∠A′+∠2，∠1＝∠A+∠DME，

由折叠可得：∠A＝∠A′，

∴∠1＝∠A+∠A′+∠2＝2∠A+∠2，

∴2∠A＝∠1﹣∠2＝80°﹣24°＝56°，

∴∠A＝28°．

故答案为：28°．

【完整解答】解：（1）如图①，∠1＝2∠A．

理由如下：由折叠可得：∠EA′D＝∠A；

∵∠1＝∠A+∠EA′D，

∴∠1＝2∠A，

故答案为：∠1＝2∠A；

【思路引导】（1）运用折叠原理以及三角形的外角性质即可解决问题；

（2）运用折叠原理以及四边形的内角和定理即可解决问题；

（3）运用三角形的外角性质即可解决问题。

28．（10分）（2021八上·永安期末）已知，在 中，点E在边 上，点D是 上一个动点，将 沿E、D所在直线进行翻折得到 ， 

（1）（1分）如图1，若 ，则 　     　；

（2）（3分）在图1中细心的小明发现了 ， ， 之间的关系，请您替小明写出这个数量关系并证明；  

（3）（3分）小明进一步探索发现∶当 _▲_时，有 ，请你证明这个结论；  

（4）（3分）若点D在线段 上运动，问小明发现的 ， ， 的数量关系会变吗？请你在备用图中画出一个不同于图1的示意图，并直接写出你的结论. 

【答案】（1）100°

（2）解： .  

证明如下：连接 ，

∵ 是 的一个外角， 是 的一个外角，

∴ ， ，

由翻折知： ，

∴

；

（3）解：当 时，有 .  

证明如下：∵ ，

∴ ，

由翻折知 ，

∴ ，

∴ ；

（4）

【完整解答】解：（1）∵ ，

∴∠BED+∠BDE=130°，

∵△BDE翻折得到△FDE，

∴∠FED+∠FDE=130°，

∴ ；

故答案为：100°；

（4） ；

证明：如图：

∵∠BMD为△EFM外角，

∴∠BMD=∠AEF+∠F，

∵∠FDC为△DMB外角，

∴∠FDC=∠B+∠BMD=∠B+∠F+∠AEF，

∵△BDE翻折得到△FDE，

∴∠F=∠B，

∴ .

【思路引导】（1）利用三角形的内角和定理算出∠BED+∠BDE=130°，由翻折得∠FED+∠FDE=130°，进而根据平角的定义得出∠AEF+∠FDC=100°；

（2）连接BF，利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和得∠AEF=∠EBF+∠BFE， ∠FDC=∠BFD+∠FBD，根据翻折的性质得出 ，∠BFD=∠FBD，进行即可得出答案；

（3）当BD=BE时，利用等边对等角得出，再利用翻折得，故可得出∠BDE=∠DEF，然后根据平行线的判定定理即可得出结论；

（4） 数量关系会变，结论：，理由如下：根据三角形外角的性质得出∠BMD=∠AEF+∠F，∠FDC=∠B+∠BMD=∠B+∠F+∠AEF，根据翻折的性质得出∠F=∠B，从而即可得出结论.

29．（9分）（2019八上·涡阳月考）如图

（1）（6分）如图1，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，

①写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；

②设 的度数为x，∠ 的度数为y，那么∠1，∠2的度数分别是多少？（用含有x或y的代数式表示）

③∠A与∠1、∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律．

（2）（3分）如图2，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE外部时，∠A与∠1、∠2的数量关系是否发生变化？如果发生变化，求出∠A与∠1、∠2的数量关系；如果不发生变化，请说明理由.  

【答案】（1）解：①根据翻折的性质知△EAD≌△EA′D， 

其中∠EAD=∠EA′D，∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE；

②）∵∠AED=x，∠ADE=y，

∴∠AEA′=2x，∠ADA′=2y，

∴∠1=180°-2x，∠2=180°-2y；

③∠A= （∠1+∠2）；

∵∠1=180°-2x，∠2=180°-2y，

∴x=90- ∠1，y=90- ∠2，

∴∠A=180°-x-y=190-（90- ∠1）-（90- ∠2）= （∠1+∠2）．

（2）解：∵△A′DE是△ADE沿DE折叠得到， 

∴∠A′=∠A，

又∵∠AEA′=180°-∠2，∠3=∠A′+∠1，

∴∠A+∠AEA′+∠3=180°，

即∠A+180°-∠2+∠A′+∠1=180°，

整理得，2∠A=∠2-∠1．

∴∠A= （∠2-∠1）．

【思路引导】（1）①根据翻折方法可得△ADE≌△A′DE；②根据翻折方法可得∠AEA′=2x，∠ADA′=2y，再根据平角定义可得∠1=180°-2x，∠2=180°-2y；③首先由∠1=180°-2x，2=180°-2y，可得x=90- ∠1，y=90- ∠2，再根据三角形内角和定理可得∠A=180°-x-y，再利用等量代换可得∠A= （∠1+∠2）；（2）根据折叠的性质和三角形内角和定理解答即可．