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专题02 翻折变换（折叠问题版）-八年级数学上册压轴题专题精选汇编（苏科版）
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苏科版数学八年级上册压轴题专题精选汇编
专题02 翻折变换（折叠问题）
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2021八上·嘉兴期末）如图，折叠直角三角形纸片ABC，使得点A、B都与斜边AB上的点F重合，折痕分别为DE和GH、则下列结论不一定成立的是（ )
A． B． C． D．
【答案】B
【完整解答】解：A、由折叠性质得：AD=DF，BH=HF，
∴AF=2DF，BF=2FH，
又∵AF+FB=AB，
∴2DF+2FH=AB，即2（DF+FH）=AB，
∴DH=AB，A不符合题意；
B、由折叠性质得：EF=AE，FG=BG，
若AE=BG，则有EF=FG成立，显然条件不足，无法判断，B符合题意；
C、由折叠性质得：∠A=∠EFD，∠B=∠GFH，
又∵三角形ABC是直角三角形，且∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠EFD+∠GFH=90°，
∴∠EFG=90°，即EF⊥FG，C不符合题意；
D、由折叠性质得：ED⊥AB，GH⊥BA，
∴DE∥GH.
故答案为：B.
【思路引导】（1）由由折叠性质得：AD=DF，BH=HF，再由线段和差关系推导出2（DF+FH）=AB，即可推出DH=AB；（2）由折叠性质得：EF=AE，FG=BG，条件并未告知AE=BG，显然结论无法成立；（3）由折叠性质得：∠A=∠EFD，∠B=∠GFH，再通过直角三角形中∠A+∠B=90°进行等量代换，再通过互补关系即可推出EF⊥FG；（4）由折叠性质得ED和GH分别平行于AB即可判断.
2．（2分）（2021八上·桓台期末）如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【完整解答】解：
根据折叠可知∠A′=∠A，
∵∠1=70°，
∴∠A′DA=180°-∠1=110°，
∴根据三角形外角∠A′=∠2-∠A′DA=152°-110°=42°，
∴∠A=42°．
故答案为：B．
【思路引导】根据折叠的性质可得∠A′=∠A，利用邻补角的性质求出∠A′DA=180°-∠1=110°，最后利用三角形外角的性质可得∠A′=∠2-∠A′DA=152°-110°=42°，从而得解。
3．（2分）（2021八上·河东期末）如图，已知D为边的中点，E在上，将沿着折叠，使A点落在上的F处．若，则等于（ ）
A．65 B． C． D．
【答案】C
【完整解答】解：∵△DEF是△DEA沿直线DE翻折变换而来，
∴AD＝DF，
∵D是AB边的中点，
∴AD＝BD，
∴BD＝DF，
∴∠B＝∠BFD，
∵∠B＝70°，
∴∠BDF＝180°−∠B−∠BFD＝180°−70°−70°＝40°．
故答案为：C．
【思路引导】先根据图形翻折不变性的性质可得出AD＝DF，根据等边对等角的性质得出∠B＝∠BFD，再根据三角形的内角和定理列式计算即可求解。
4．（2分）（2021八上·天津市期末）如图，在中，，，是上一点，将沿折叠，使点落在边上的处，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【完整解答】解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，
∴∠B=90°-25°=65°，
∵△CDE由△CDB折叠而成，
∴∠CED=∠B=65°，
∵∠CED是△AED的外角，
∴∠ADE=∠CED-∠A=65°-25°=40°．
故答案为：D．
【思路引导】先利用三角形的内角和求出∠B，再根据折叠求出∠CED=∠B=65°，最后利用三角形的外角可得∠ADE=∠CED-∠A=65°-25°=40°．
5．（2分）（2021八上·东莞月考）如图，把纸片的沿折叠，点A落在四边形外，则、与的关系是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】C
【完整解答】解：如图：分别延长CE、BD交于A′点，
∴∠2=∠EA′A+∠EAA′，∠1=∠DA′A+∠DAA′，
而根据折叠可以得到∠EA′A=∠EAA′，∠DA′A=∠DAA′，
∴．
故答案为：C．
【思路引导】先求出∠2=∠EA′A+∠EAA′，∠1=∠DA′A+∠DAA′，再根据折叠的性质计算求解即可。
6．（2分）（2021八上·顺平期中）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB．若∠BA'C＝110°，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．80° B．90° C．100° D．110°
【答案】A
【完整解答】解：连接AA′，如图：
∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∠BA'C＝110°，
∴∠A′CB+∠A′BC＝70°，
∴∠ACB+∠ABC＝140°，
∴∠BAC＝180°－140°＝40°，
∴∠1＝∠DAA′+∠DA′A，∠2＝∠EAA′+∠EA′A，
∵∠DAA′＝∠DA′A，∠EAA′＝∠EA′A，
∴∠1+∠2＝2（∠DAA′+∠EAA′）＝2∠BAC＝80°．
故答案为：A
【思路引导】连接AA′，先求出∠BAC，再证明∠1+∠2＝2∠BAC即可得出结论。
7．（2分）（2020八上·温州期中）如图，△ABC的周长为30，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连结AD，若AE=4，则△ABD的周长是（ ）
A．22 B．20 C．18 D．15
【答案】A
【完整解答】解：依题可得，
AE=CE=4，CD=AD，
∴AC=8，
∵C△ABC=AB+BC+CA=30，
∴AB+BC=30-8=22，
∴C△ABD=AB+BD+DA=AB+BD+CD=AB+BC=22.
故答案为：A.
【思路引导】根据折叠的性质得AE=CE=4，CD=AD，再由三角形周长结合已知条件即可求得答案.
8．（2分）（2020八上·南丹月考）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变.请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）
A．∠A=∠1+∠2 B．2∠A=∠1+∠2
C．3∠A=2∠1+∠2 D．3∠A=2（∠1+∠2）
【答案】B
【完整解答】 解：如图，连接DE，
在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°；
∴∠A’+∠B+∠C=180°①；
在△A'DE中∠A‘+∠A’DE+∠A‘ED=180°②；
在四边形BCDE中∠B+∠C+∠1+∠2+∠A'DE+∠A'ED=360°③；
①+②﹣③得2∠A’=∠1+∠2，
即2∠A=∠1+∠2.
故答案为：B.
．
【思路引导】在△ABC、四边形BCDE和△A'D中，分别根据内角和列式，三式联立再结合折叠的性质可得2∠A’=∠1+∠2，则知结果.
9．（2分）（2020八上·来宾期末）如图，△ABE，△ADC是△ABC分别沿着边AB，AC翻折形成的，若∠BCA：∠ABC：∠BAC=28：5：3，BE与DC交于点F，则∠BFC的度数为（ ）
A．15° B．20° C．30° D．36°
【答案】C
【完整解答】解：如图，设AE和DF交于M点，
∵∠BCA：∠ABC：∠BAC=28：5：3，
∴∠BCA=180°×=140°， ∠ABC=180°×=25°， ∠BAC=180°×=15°，
由折叠的特点可知，∠EAD=3∠BAC=3×15°=45°，∠D=∠ABC=25°，
∠BEA=∠BCA=140°，
∴∠FME=∠AMD=180°-∠D-∠MAD=180°-25°-45°=110°，
∠FEM=180°-∠BCA=180°-140°=40°，
∴∠BFE=180°-∠FME-∠FEM=180°-110°-40°=30°.
故答案为：30°.
【思路引导】由△ABC的各内角之比分别求出其三个角的度数，然后根据折叠图形的特点，得出有关角的大小，再根据三角形内角和定理求出∠FME的度数，利用补角的性质求出∠BFE的度数，于是根据三角形的内角和定理即可求出∠BFE的度数.
10．（2分）（2019八上·台州开学考）如图，三角形纸片ABC中，∠A=80º，∠B=60º，将纸片的角折叠，使点C落在△ABC内，若∠α=30º，则∠β的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【完整解答】解：如图，
∠α =180°-2∠CEF，
∠=180°-2∠CFE，
∠α+∠ =180°-2∠CEF+180°-2∠CFE=360°-2（∠CEF+∠CFE），
∠C=180°-（∠A+∠B）=180°-（80°+60°）=40°，
∴∠CEF+∠CFE=180°-∠C=180°-40°=140°，
∴∠α+∠ =360°-2×140°=80°，
∴∠=80°-∠α=80°-30°=50°，
故答案为：C.
【思路引导】根据折叠的特点把∠α 与∠之和与∠CEF与∠CFE之和联系起来，利用三角形内角和定理求出∠C，从而再利用三角形内角和定理可求出∠CEF和∠CFE之和，则∠α与∠ 之和可求，因为 ∠α=30º ，
则∠的度数可求。
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2020八上·东海期末）如图的三角形纸片中，AB＝7，AC＝5，BC＝6，沿过点C的直线折叠这个三角形，使点A落在BC边上的点E处，折痕为CD，则△BED的周长为 .
【答案】8
【完整解答】解：由折叠可得：
故答案为：8.
【思路引导】由折叠可得AD=ED，AC=CE=5，从而由BE=BC-CE求出BE，根据△BED的周长计算方法将三角形周长转化为AB+BD的长，即可得出答案.
12．（2分）（2022八上·博白期末）如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分，平分，若，则的度数为 .
【答案】120°
【完整解答】解：如图，连接AA'，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
，
，
，
沿DE折叠，
， ，
， ，
，
故答案为： .
【思路引导】，连接AA'，由角平分线的定义得 ， ，利用三角形内角和得 ，即得 ，由三角形内角和得∠A=60°，由折叠性质及三角形外角的性质得 .
13．（2分）（2021八上·顺义期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，将△ABC沿CD折叠，点A落在BC边上的点处，若∠B＝35°，则的度数为 ．
【答案】20°
【完整解答】解：，∠B＝35°，
，
是由翻折得到，
，
，
．
故答案为：20°．
【思路引导】利用翻折不变性、三角形内角和定理和三角形外角性质，即可解决问题。
14．（2分）（2021八上·澄海期末）如图，在Rt△ABC中，，点D为斜边上的一点，连接，将沿翻折，使点B落在点E处，点F为直角边上一点，连接，将沿翻折，点A恰好与点E重合，则∠CEF的度数为 ．
【答案】90°
【完整解答】解：∵∠ACB=90°，
∴∠B+∠A=90°，
∵△BCD沿CD翻折，使点B落在点E处，将沿翻折，点A恰好与点E重合，
由折叠前后对应角相等可知：
∴∠B=∠CED，∠A=∠FED，
∴∠CEF=∠CED+∠FED=∠B+∠A=90°，
故答案为：90°．
【思路引导】△BCD沿CD翻折，使点B落在点E处，将沿翻折，点A恰好与点E重合，由折叠前后对应角相等可知∠B=∠CED，∠A=∠FED，即可得解。
15．（2分）（2021八上·吉林期末）如图，在△ABC中，点D、E分别为边BC、AC上的点，将△CDE沿DE翻折得到△C′DE，使C′D∥AB．若∠A＝75°，则∠C′EA的大小为 °．
【答案】30
【完整解答】解：如图，
∵C′D∥AB，
∴∠DGE=∠A=75°，
由折叠性质可知，∠C'=∠C=45°，
∴∠C′EA=∠DGE-∠C'=75°-45°=30°，
故答案为30．
【思路引导】由C′D∥AB，推出∠DGE=∠A=75°，由折叠性质可知，∠C'=∠C=45°，再根据三角形外交性质得出∠C′EA的度数。
16．（2分）（2020八上·宁波开学考）如图1是长方形纸带, ∠DEF=17°,将纸带沿EF折叠成图2,再沿BF折叠成图3,则图3中的∠CFE的度数是 .
【答案】129°
【完整解答】解：在图1中，
∵AE∥BF，
∴∠BFE=∠DEF=17°，
∵∠GEF=17°，
∴∠BGE=∠BFE+∠GEF=17°+17°=34°，
∵∠FGC=∠BGE=34°，
∵∠GFC=180°-∠FGC=180°-34°=146°，
∴∠CFE=∠GFC-∠BFE=146°-17°=129°.
故答案为：129°.
【思路引导】根据平行的性质可知∠BFE的度数，再结合折叠的特点可知∠GEF的度数，则由三角形外角的性质可求∠BGE，然后再由对顶角相等，结合折叠的性质和平行线的性质求出∠CFE即可。
17．（2分）已知等边三角形ABC中，AB=4，点D是边AB的中点，点E是边BC上的动点，连接DE，将△BDE沿直线DE翻折，点B的对应点为B′，当直线B′E与直线AC的夹角为30°时，BE的长度是 ．
【答案】1+ 或4﹣2
【完整解答】 ,设 交AC于F, 交AC于G,翻折 ,
,若 ,则 , ,过D作 ,则 .
, . . . ,所以BE=1+ .
延迟AC, B′E交于点F,
,则
.
作 , 作 ,通过翻折可知, ,
所以 .在 中,BE=2BM= .
故答案为1+ 或4﹣2 ．
【思路引导】分类讨论，当直线B′E与直线AC的夹角为30°时的两种不同情况，即可求解.
18．（2分）（2018八上·苍南月考）如图， 在△ABC中，E是BC边上一点，沿AE折叠，点B恰好落在AC边上的点D处，若∠BAC=60°， BE=CD，则∠AED= 度。
【答案】70
【完整解答】∵△ABC沿AE折叠，点B恰好落在AC边上的点D处，∠BAC=60°， BE=CD，
∴∠ADE=∠B，∠BAE=∠DAE=30°， BE=ED=CD，
设∠C=x°，则∠DEC=∠C=x°，
∴∠ADE=∠C+∠DEC=2x°=∠B，
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°，
即60°+2x°+x°=180°，
解得：x=40°，
∴∠ADE=2x°=80°，
∴∠AED=180°-∠DAE-∠DAE=180°-80°-30°=70°.
故答案为：70°.
【思路引导】根据翻折变换即轴对称的性质，可得∠ADE=∠B，∠BAE=∠DAE=30°， BE=ED=CD，进而知△DEC是等腰三角形. 设∠C=x°，根据外角的性质，知∠ADE=∠C+∠DEC=2x°，在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°，得到关于x的方程，解方程求出x的值，进而在△ADE中求出∠AED的度数.
19．（2分）（2019八上·灌云月考）如图，将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的A1，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为h1；还原纸片后，再将△ADE沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕D1E1到BC的距离记为h2：按上述方法不断操作下去…，经过第2019次操作后得到的折痕D2018E2018，到BC的距离记为h2019：若h1＝1，则h2019的值为
【答案】2﹣
【完整解答】解：如图，
由折叠的性质可得：AA1⊥DE，DA＝DA1，
又∵D是AB中点，
∴DA＝DB，
∴DB＝DA1，
∴∠BA1D＝∠B，
∴∠ADA1＝2∠B，
又∵∠ADA1＝2∠ADE，
∴∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC，
∴AA1⊥BC，
∴AA1＝2h1＝2，
∴h1＝2−1＝1，
同理，h2＝2− ，h3＝2− × ＝2− …
∴经过第n次操作后得到的折痕Dn−1En−1到BC的距离hn＝2− ，
∴h2019＝2− .
故答案为：2− .
【思路引导】由折叠的性质可得AA1⊥DE，DA＝DA1，利用中点的性质可得DA＝DA1=DB，从而可得∠ADA1＝2∠B，继而可得∠ADE＝∠B，利用平行线的判定可得DE∥BC.由AA1⊥BC，可得AA1＝2h1＝2，从而求出h1＝2−1＝1，同理可得h2＝2− ，h3＝2− × ＝2− …，从而可得经过第n次操作后得到的折痕Dn−1En−1到BC的距离hn＝2− ，然后求出当n=2019时，h的值即可.
20．（2分）如图，将一条两边互相平行的纸带折叠，若∠1＝30°，则∠α＝ °．
【答案】75
【完整解答】解：如图，
∵纸袋的两边是平行的，
∴∠2=∠1=30°，
由折叠的特点知：2 ∠α +∠2=180°，
∴2 ∠α +30=180°，
∴∠α=75°；
故答案为：75.
【思路引导】先由两直线平行同位角相等求出∠2的度数，再由折叠的性质，结合平角的定义，列式求出 ∠α 即可。
三．解答题（共9小题，满分60分）
21．（5分）（2021八上·温州期中）如图，将△ABC三个角分别沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处.求∠1+∠2的度数.
【答案】解：∵将△ABC三个角分别沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处，
∴∠B＝∠HOG，∠A＝∠DOE，∠C＝∠EOF，
∵∠1+∠2+∠HOG+∠EOF+∠DOE＝360°，
∵∠HOG+∠EOF+∠DOE＝∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠1+∠2＝360 °﹣180°＝180°.
【思路引导】根据折叠的性质可得∠B＝∠HOG，∠A＝∠DOE，∠C＝∠EOF，则∠HOG+∠EOF+∠DOE＝∠A+∠B+∠C＝180°，根据周角的概念可得∠1+∠2+∠HOG+∠EOF+∠DOE＝360°，据此求解.
22．（5分）（2020八上·商河期末）如图，将△ABC沿着平行于BC的直线DE折叠，点A落到点A′，若∠C＝125°，∠A＝20°，求∠BD A′的度数.
【答案】解：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝20°，∠C＝125°，
∴∠B＝35°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝35°，∠BDE＋∠B＝180°，
∴∠BDE＝180−∠B＝180°−35°＝145°，
∵△ADE沿DE折叠成△A′DE，
∴∠A′DE＝∠ADE＝35°，
∴∠BDA′＝∠BDE−∠A′DE＝145°−35°＝110°．
【思路引导】先求出 ∠B＝35°， 再求出 ∠BDE＝ 145°，最后求 ∠BD A′的度数即可。
23．（5分）（2020八上·漳平期中）如图Ⅰ，已知 纸片中， ， ，将其折叠，如图Ⅱ，使点A与点B重合，折痕为 ，点D、E分别在 、 上，求 的大小．
【答案】解：∵
∴
∵
∴
∵使点A与点B重合，折痕为
∴
∴ ．
【思路引导】根据等腰三角形的性质得 ，再根据三角形的内角和定理得 ，然后根据折叠的性质得 ，最后根据 计算即可．
24．（5分）（2020八上·北京期中）如图，三角形纸片中，AB=8cm，BC=6cm，AC=5cm．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，求 的周长
【答案】解：∵BC沿BD折叠点C落在AB边上的点E处，
∴DE=CD，BE=BC，
∵AB=8cm，BC=6cm，
∴AE=AB-BE=AB-BC=8-6=2cm，
∴△ADE的周长=AD+DE+AE，
=AD+CD+AE，
=AC+AE，
=5+2，
=7cm．
【思路引导】根据翻折变换的性质可得DE=CD，BE=BC，然后求出AE，再根据三角形的周长列式求解即可．
25．（6分）（2019八上·同安月考）如图，四边形 中， ， ，点 ， 分别在 ， 上，将 沿 翻折，得 ，若 ， ，求 的度数．
【答案】解： ， ，
， ，
沿 翻折得 ，
，
，
在 中， ．
【思路引导】根据平行线的性质可知 ， ，根据折叠的性质可知 ， ，再利用三角形内角和定理即可解答.
26．（8分）（2021八上·盐湖期中）如图，将 ABC分别沿AB，AC翻折得到 ABD和 AEC，线段BD与AE交于点F，连接BE．
（1）（4分）若∠ABC=20°，∠ACB=30°，求∠DAE及∠BFE的度数．
（2）（4分）若BD所在的直线与CE所在的直线互相垂直，求∠CAB的度数．
【答案】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：∵BD所在直线与CE所在直线互相垂直，
∴ ，
由翻折的性质可得 ， ，
∴ ，
∴ ．
【思路引导】（1）利用三角形内角和求出∠BAC=130°，由折叠可得 ，可得， ，从而求出∠DAE=30°，利用三角形内角和求出∠DFA的度数，根据对顶角相等可得∠BFE=∠DFA，即得结论；
（2）由垂直的定义可求出， 由翻折的性质可得 ， ，从而求出 ，利用三角形的内角和求出∠CAB的度数即可.
27．（7分）（2021八上·赣州期中）将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在点 处
（1）（1分）如图①，点A落在四边形BCDE的边BE上，则∠A与∠1之间的数量关系是 ；
（2）（3分）如图②，若点A落在四边形BCDE的内部，则∠A与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
（3）（3分）如图③，点A落在四边形BCDE的外部，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度数．
【答案】（1）∠1＝2∠A
（2）如图②，2∠A＝∠1+∠2．
理由如下：∵∠AED+∠ADE＝180°﹣∠A，∠A′ED+∠A′DE＝180°﹣∠A′，
∴∠A′DA+∠A′EA＝360°﹣（∠A+∠A′），
∴∠A+∠A′+∠A′DA+∠A′EA＝360°，
∵∠1+∠A′DA+∠2+∠A′EA＝360°，
∴∠A′+∠A＝∠1+∠2，
由折叠可得：∠A＝∠A′，
∴2∠A＝∠1+∠2，
故答案为：2∠A＝∠1+∠2；
（3）如图③，
∵∠DME＝∠A′+∠2，∠1＝∠A+∠DME，
由折叠可得：∠A＝∠A′，
∴∠1＝∠A+∠A′+∠2＝2∠A+∠2，
∴2∠A＝∠1﹣∠2＝80°﹣24°＝56°，
∴∠A＝28°．
故答案为：28°．
【完整解答】解：（1）如图①，∠1＝2∠A．
理由如下：由折叠可得：∠EA′D＝∠A；
∵∠1＝∠A+∠EA′D，
∴∠1＝2∠A，
故答案为：∠1＝2∠A；
【思路引导】（1）运用折叠原理以及三角形的外角性质即可解决问题；
（2）运用折叠原理以及四边形的内角和定理即可解决问题；
（3）运用三角形的外角性质即可解决问题。
28．（10分）（2021八上·永安期末）已知，在 中，点E在边 上，点D是 上一个动点，将 沿E、D所在直线进行翻折得到 ，
（1）（1分）如图1，若 ，则 ；
（2）（3分）在图1中细心的小明发现了 ， ， 之间的关系，请您替小明写出这个数量关系并证明；
（3）（3分）小明进一步探索发现∶当 _▲_时，有 ，请你证明这个结论；
（4）（3分）若点D在线段 上运动，问小明发现的 ， ， 的数量关系会变吗？请你在备用图中画出一个不同于图1的示意图，并直接写出你的结论.
【答案】（1）100°
（2）解： .
证明如下：连接 ，
∵ 是 的一个外角， 是 的一个外角，
∴ ， ，
由翻折知： ，
∴
；
（3）解：当 时，有 .
证明如下：∵ ，
∴ ，
由翻折知 ，
∴ ，
∴ ；
（4）
【完整解答】解：（1）∵ ，
∴∠BED+∠BDE=130°，
∵△BDE翻折得到△FDE，
∴∠FED+∠FDE=130°，
∴ ；
故答案为：100°；
（4） ；
证明：如图：
∵∠BMD为△EFM外角，
∴∠BMD=∠AEF+∠F，
∵∠FDC为△DMB外角，
∴∠FDC=∠B+∠BMD=∠B+∠F+∠AEF，
∵△BDE翻折得到△FDE，
∴∠F=∠B，
∴ .
【思路引导】（1）利用三角形的内角和定理算出∠BED+∠BDE=130°，由翻折得∠FED+∠FDE=130°，进而根据平角的定义得出∠AEF+∠FDC=100°；
（2）连接BF，利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和得∠AEF=∠EBF+∠BFE， ∠FDC=∠BFD+∠FBD，根据翻折的性质得出 ，∠BFD=∠FBD，进行即可得出答案；
（3）当BD=BE时，利用等边对等角得出，再利用翻折得，故可得出∠BDE=∠DEF，然后根据平行线的判定定理即可得出结论；
（4） 数量关系会变，结论：，理由如下：根据三角形外角的性质得出∠BMD=∠AEF+∠F，∠FDC=∠B+∠BMD=∠B+∠F+∠AEF，根据翻折的性质得出∠F=∠B，从而即可得出结论.
29．（9分）（2019八上·涡阳月考）如图
（1）（6分）如图1，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，
①写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；
②设 的度数为x，∠ 的度数为y，那么∠1，∠2的度数分别是多少？（用含有x或y的代数式表示）
③∠A与∠1、∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律．
（2）（3分）如图2，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE外部时，∠A与∠1、∠2的数量关系是否发生变化？如果发生变化，求出∠A与∠1、∠2的数量关系；如果不发生变化，请说明理由.
【答案】（1）解：①根据翻折的性质知△EAD≌△EA′D，
其中∠EAD=∠EA′D，∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE；
②）∵∠AED=x，∠ADE=y，
∴∠AEA′=2x，∠ADA′=2y，
∴∠1=180°-2x，∠2=180°-2y；
③∠A= （∠1+∠2）；
∵∠1=180°-2x，∠2=180°-2y，
∴x=90- ∠1，y=90- ∠2，
∴∠A=180°-x-y=190-（90- ∠1）-（90- ∠2）= （∠1+∠2）．
（2）解：∵△A′DE是△ADE沿DE折叠得到，
∴∠A′=∠A，
又∵∠AEA′=180°-∠2，∠3=∠A′+∠1，
∴∠A+∠AEA′+∠3=180°，
即∠A+180°-∠2+∠A′+∠1=180°，
整理得，2∠A=∠2-∠1．
∴∠A= （∠2-∠1）．
【思路引导】（1）①根据翻折方法可得△ADE≌△A′DE；②根据翻折方法可得∠AEA′=2x，∠ADA′=2y，再根据平角定义可得∠1=180°-2x，∠2=180°-2y；③首先由∠1=180°-2x，2=180°-2y，可得x=90- ∠1，y=90- ∠2，再根据三角形内角和定理可得∠A=180°-x-y，再利用等量代换可得∠A= （∠1+∠2）；（2）根据折叠的性质和三角形内角和定理解答即可．
苏科版数学八年级上册压轴题专题精选汇编
专题02 翻折变换（折叠问题）
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2021八上·嘉兴期末）如图，折叠直角三角形纸片ABC，使得点A、B都与斜边AB上的点F重合，折痕分别为DE和GH、则下列结论不一定成立的是（ )
A． B． C． D．
【答案】B
【完整解答】解：A、由折叠性质得：AD=DF，BH=HF，
∴AF=2DF，BF=2FH，
又∵AF+FB=AB，
∴2DF+2FH=AB，即2（DF+FH）=AB，
∴DH=AB，A不符合题意；
B、由折叠性质得：EF=AE，FG=BG，
若AE=BG，则有EF=FG成立，显然条件不足，无法判断，B符合题意；
C、由折叠性质得：∠A=∠EFD，∠B=∠GFH，
又∵三角形ABC是直角三角形，且∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠EFD+∠GFH=90°，
∴∠EFG=90°，即EF⊥FG，C不符合题意；
D、由折叠性质得：ED⊥AB，GH⊥BA，
∴DE∥GH.
故答案为：B.
【思路引导】（1）由由折叠性质得：AD=DF，BH=HF，再由线段和差关系推导出2（DF+FH）=AB，即可推出DH=AB；（2）由折叠性质得：EF=AE，FG=BG，条件并未告知AE=BG，显然结论无法成立；（3）由折叠性质得：∠A=∠EFD，∠B=∠GFH，再通过直角三角形中∠A+∠B=90°进行等量代换，再通过互补关系即可推出EF⊥FG；（4）由折叠性质得ED和GH分别平行于AB即可判断.
2．（2分）（2021八上·桓台期末）如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【完整解答】解：
根据折叠可知∠A′=∠A，
∵∠1=70°，
∴∠A′DA=180°-∠1=110°，
∴根据三角形外角∠A′=∠2-∠A′DA=152°-110°=42°，
∴∠A=42°．
故答案为：B．
【思路引导】根据折叠的性质可得∠A′=∠A，利用邻补角的性质求出∠A′DA=180°-∠1=110°，最后利用三角形外角的性质可得∠A′=∠2-∠A′DA=152°-110°=42°，从而得解。
3．（2分）（2021八上·河东期末）如图，已知D为边的中点，E在上，将沿着折叠，使A点落在上的F处．若，则等于（ ）
A．65 B． C． D．
【答案】C
【完整解答】解：∵△DEF是△DEA沿直线DE翻折变换而来，
∴AD＝DF，
∵D是AB边的中点，
∴AD＝BD，
∴BD＝DF，
∴∠B＝∠BFD，
∵∠B＝70°，
∴∠BDF＝180°−∠B−∠BFD＝180°−70°−70°＝40°．
故答案为：C．
【思路引导】先根据图形翻折不变性的性质可得出AD＝DF，根据等边对等角的性质得出∠B＝∠BFD，再根据三角形的内角和定理列式计算即可求解。
4．（2分）（2021八上·天津市期末）如图，在中，，，是上一点，将沿折叠，使点落在边上的处，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【完整解答】解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，
∴∠B=90°-25°=65°，
∵△CDE由△CDB折叠而成，
∴∠CED=∠B=65°，
∵∠CED是△AED的外角，
∴∠ADE=∠CED-∠A=65°-25°=40°．
故答案为：D．
【思路引导】先利用三角形的内角和求出∠B，再根据折叠求出∠CED=∠B=65°，最后利用三角形的外角可得∠ADE=∠CED-∠A=65°-25°=40°．
5．（2分）（2021八上·东莞月考）如图，把纸片的沿折叠，点A落在四边形外，则、与的关系是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】C
【完整解答】解：如图：分别延长CE、BD交于A′点，
∴∠2=∠EA′A+∠EAA′，∠1=∠DA′A+∠DAA′，
而根据折叠可以得到∠EA′A=∠EAA′，∠DA′A=∠DAA′，
∴．
故答案为：C．
【思路引导】先求出∠2=∠EA′A+∠EAA′，∠1=∠DA′A+∠DAA′，再根据折叠的性质计算求解即可。
6．（2分）（2021八上·顺平期中）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB．若∠BA'C＝110°，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．80° B．90° C．100° D．110°
【答案】A
【完整解答】解：连接AA′，如图：
∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∠BA'C＝110°，
∴∠A′CB+∠A′BC＝70°，
∴∠ACB+∠ABC＝140°，
∴∠BAC＝180°－140°＝40°，
∴∠1＝∠DAA′+∠DA′A，∠2＝∠EAA′+∠EA′A，
∵∠DAA′＝∠DA′A，∠EAA′＝∠EA′A，
∴∠1+∠2＝2（∠DAA′+∠EAA′）＝2∠BAC＝80°．
故答案为：A
【思路引导】连接AA′，先求出∠BAC，再证明∠1+∠2＝2∠BAC即可得出结论。
7．（2分）（2020八上·温州期中）如图，△ABC的周长为30，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于点E，连结AD，若AE=4，则△ABD的周长是（ ）
A．22 B．20 C．18 D．15
【答案】A
【完整解答】解：依题可得，
AE=CE=4，CD=AD，
∴AC=8，
∵C△ABC=AB+BC+CA=30，
∴AB+BC=30-8=22，
∴C△ABD=AB+BD+DA=AB+BD+CD=AB+BC=22.
故答案为：A.
【思路引导】根据折叠的性质得AE=CE=4，CD=AD，再由三角形周长结合已知条件即可求得答案.
8．（2分）（2020八上·南丹月考）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变.请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）
A．∠A=∠1+∠2 B．2∠A=∠1+∠2
C．3∠A=2∠1+∠2 D．3∠A=2（∠1+∠2）
【答案】B
【完整解答】 解：如图，连接DE，
在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°；
∴∠A’+∠B+∠C=180°①；
在△A'DE中∠A‘+∠A’DE+∠A‘ED=180°②；
在四边形BCDE中∠B+∠C+∠1+∠2+∠A'DE+∠A'ED=360°③；
①+②﹣③得2∠A’=∠1+∠2，
即2∠A=∠1+∠2.
故答案为：B.
．
【思路引导】在△ABC、四边形BCDE和△A'D中，分别根据内角和列式，三式联立再结合折叠的性质可得2∠A’=∠1+∠2，则知结果.
9．（2分）（2020八上·来宾期末）如图，△ABE，△ADC是△ABC分别沿着边AB，AC翻折形成的，若∠BCA：∠ABC：∠BAC=28：5：3，BE与DC交于点F，则∠BFC的度数为（ ）
A．15° B．20° C．30° D．36°
【答案】C
【完整解答】解：如图，设AE和DF交于M点，
∵∠BCA：∠ABC：∠BAC=28：5：3，
∴∠BCA=180°×=140°， ∠ABC=180°×=25°， ∠BAC=180°×=15°，
由折叠的特点可知，∠EAD=3∠BAC=3×15°=45°，∠D=∠ABC=25°，
∠BEA=∠BCA=140°，
∴∠FME=∠AMD=180°-∠D-∠MAD=180°-25°-45°=110°，
∠FEM=180°-∠BCA=180°-140°=40°，
∴∠BFE=180°-∠FME-∠FEM=180°-110°-40°=30°.
故答案为：30°.
【思路引导】由△ABC的各内角之比分别求出其三个角的度数，然后根据折叠图形的特点，得出有关角的大小，再根据三角形内角和定理求出∠FME的度数，利用补角的性质求出∠BFE的度数，于是根据三角形的内角和定理即可求出∠BFE的度数.
10．（2分）（2019八上·台州开学考）如图，三角形纸片ABC中，∠A=80º，∠B=60º，将纸片的角折叠，使点C落在△ABC内，若∠α=30º，则∠β的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【完整解答】解：如图，
∠α =180°-2∠CEF，
∠=180°-2∠CFE，
∠α+∠ =180°-2∠CEF+180°-2∠CFE=360°-2（∠CEF+∠CFE），
∠C=180°-（∠A+∠B）=180°-（80°+60°）=40°，
∴∠CEF+∠CFE=180°-∠C=180°-40°=140°，
∴∠α+∠ =360°-2×140°=80°，
∴∠=80°-∠α=80°-30°=50°，
故答案为：C.
【思路引导】根据折叠的特点把∠α 与∠之和与∠CEF与∠CFE之和联系起来，利用三角形内角和定理求出∠C，从而再利用三角形内角和定理可求出∠CEF和∠CFE之和，则∠α与∠ 之和可求，因为 ∠α=30º ，
则∠的度数可求。
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2020八上·东海期末）如图的三角形纸片中，AB＝7，AC＝5，BC＝6，沿过点C的直线折叠这个三角形，使点A落在BC边上的点E处，折痕为CD，则△BED的周长为 .
【答案】8
【完整解答】解：由折叠可得：
故答案为：8.
【思路引导】由折叠可得AD=ED，AC=CE=5，从而由BE=BC-CE求出BE，根据△BED的周长计算方法将三角形周长转化为AB+BD的长，即可得出答案.
12．（2分）（2022八上·博白期末）如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分，平分，若，则的度数为 .
【答案】120°
【完整解答】解：如图，连接AA'，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
，
，
，
沿DE折叠，
， ，
， ，
，
故答案为： .
【思路引导】，连接AA'，由角平分线的定义得 ， ，利用三角形内角和得 ，即得 ，由三角形内角和得∠A=60°，由折叠性质及三角形外角的性质得 .
13．（2分）（2021八上·顺义期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，将△ABC沿CD折叠，点A落在BC边上的点处，若∠B＝35°，则的度数为 ．
【答案】20°
【完整解答】解：，∠B＝35°，
，
是由翻折得到，
，
，
．
故答案为：20°．
【思路引导】利用翻折不变性、三角形内角和定理和三角形外角性质，即可解决问题。
14．（2分）（2021八上·澄海期末）如图，在Rt△ABC中，，点D为斜边上的一点，连接，将沿翻折，使点B落在点E处，点F为直角边上一点，连接，将沿翻折，点A恰好与点E重合，则∠CEF的度数为 ．
【答案】90°
【完整解答】解：∵∠ACB=90°，
∴∠B+∠A=90°，
∵△BCD沿CD翻折，使点B落在点E处，将沿翻折，点A恰好与点E重合，
由折叠前后对应角相等可知：
∴∠B=∠CED，∠A=∠FED，
∴∠CEF=∠CED+∠FED=∠B+∠A=90°，
故答案为：90°．
【思路引导】△BCD沿CD翻折，使点B落在点E处，将沿翻折，点A恰好与点E重合，由折叠前后对应角相等可知∠B=∠CED，∠A=∠FED，即可得解。
15．（2分）（2021八上·吉林期末）如图，在△ABC中，点D、E分别为边BC、AC上的点，将△CDE沿DE翻折得到△C′DE，使C′D∥AB．若∠A＝75°，则∠C′EA的大小为 °．
【答案】30
【完整解答】解：如图，
∵C′D∥AB，
∴∠DGE=∠A=75°，
由折叠性质可知，∠C'=∠C=45°，
∴∠C′EA=∠DGE-∠C'=75°-45°=30°，
故答案为30．
【思路引导】由C′D∥AB，推出∠DGE=∠A=75°，由折叠性质可知，∠C'=∠C=45°，再根据三角形外交性质得出∠C′EA的度数。
16．（2分）（2020八上·宁波开学考）如图1是长方形纸带, ∠DEF=17°,将纸带沿EF折叠成图2,再沿BF折叠成图3,则图3中的∠CFE的度数是 .
【答案】129°
【完整解答】解：在图1中，
∵AE∥BF，
∴∠BFE=∠DEF=17°，
∵∠GEF=17°，
∴∠BGE=∠BFE+∠GEF=17°+17°=34°，
∵∠FGC=∠BGE=34°，
∵∠GFC=180°-∠FGC=180°-34°=146°，
∴∠CFE=∠GFC-∠BFE=146°-17°=129°.
故答案为：129°.
【思路引导】根据平行的性质可知∠BFE的度数，再结合折叠的特点可知∠GEF的度数，则由三角形外角的性质可求∠BGE，然后再由对顶角相等，结合折叠的性质和平行线的性质求出∠CFE即可。
17．（2分）已知等边三角形ABC中，AB=4，点D是边AB的中点，点E是边BC上的动点，连接DE，将△BDE沿直线DE翻折，点B的对应点为B′，当直线B′E与直线AC的夹角为30°时，BE的长度是 ．
【答案】1+ 或4﹣2
【完整解答】 ,设 交AC于F, 交AC于G,翻折 ,
,若 ,则 , ,过D作 ,则 .
, . . . ,所以BE=1+ .
延迟AC, B′E交于点F,
,则
.
作 , 作 ,通过翻折可知, ,
所以 .在 中,BE=2BM= .
故答案为1+ 或4﹣2 ．
【思路引导】分类讨论，当直线B′E与直线AC的夹角为30°时的两种不同情况，即可求解.
18．（2分）（2018八上·苍南月考）如图， 在△ABC中，E是BC边上一点，沿AE折叠，点B恰好落在AC边上的点D处，若∠BAC=60°， BE=CD，则∠AED= 度。
【答案】70
【完整解答】∵△ABC沿AE折叠，点B恰好落在AC边上的点D处，∠BAC=60°， BE=CD，
∴∠ADE=∠B，∠BAE=∠DAE=30°， BE=ED=CD，
设∠C=x°，则∠DEC=∠C=x°，
∴∠ADE=∠C+∠DEC=2x°=∠B，
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°，
即60°+2x°+x°=180°，
解得：x=40°，
∴∠ADE=2x°=80°，
∴∠AED=180°-∠DAE-∠DAE=180°-80°-30°=70°.
故答案为：70°.
【思路引导】根据翻折变换即轴对称的性质，可得∠ADE=∠B，∠BAE=∠DAE=30°， BE=ED=CD，进而知△DEC是等腰三角形. 设∠C=x°，根据外角的性质，知∠ADE=∠C+∠DEC=2x°，在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°，得到关于x的方程，解方程求出x的值，进而在△ADE中求出∠AED的度数.
19．（2分）（2019八上·灌云月考）如图，将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的A1，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为h1；还原纸片后，再将△ADE沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕D1E1到BC的距离记为h2：按上述方法不断操作下去…，经过第2019次操作后得到的折痕D2018E2018，到BC的距离记为h2019：若h1＝1，则h2019的值为
【答案】2﹣
【完整解答】解：如图，
由折叠的性质可得：AA1⊥DE，DA＝DA1，
又∵D是AB中点，
∴DA＝DB，
∴DB＝DA1，
∴∠BA1D＝∠B，
∴∠ADA1＝2∠B，
又∵∠ADA1＝2∠ADE，
∴∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC，
∴AA1⊥BC，
∴AA1＝2h1＝2，
∴h1＝2−1＝1，
同理，h2＝2− ，h3＝2− × ＝2− …
∴经过第n次操作后得到的折痕Dn−1En−1到BC的距离hn＝2− ，
∴h2019＝2− .
故答案为：2− .
【思路引导】由折叠的性质可得AA1⊥DE，DA＝DA1，利用中点的性质可得DA＝DA1=DB，从而可得∠ADA1＝2∠B，继而可得∠ADE＝∠B，利用平行线的判定可得DE∥BC.由AA1⊥BC，可得AA1＝2h1＝2，从而求出h1＝2−1＝1，同理可得h2＝2− ，h3＝2− × ＝2− …，从而可得经过第n次操作后得到的折痕Dn−1En−1到BC的距离hn＝2− ，然后求出当n=2019时，h的值即可.
20．（2分）如图，将一条两边互相平行的纸带折叠，若∠1＝30°，则∠α＝ °．
【答案】75
【完整解答】解：如图，
∵纸袋的两边是平行的，
∴∠2=∠1=30°，
由折叠的特点知：2 ∠α +∠2=180°，
∴2 ∠α +30=180°，
∴∠α=75°；
故答案为：75.
【思路引导】先由两直线平行同位角相等求出∠2的度数，再由折叠的性质，结合平角的定义，列式求出 ∠α 即可。
三．解答题（共9小题，满分60分）
21．（5分）（2021八上·温州期中）如图，将△ABC三个角分别沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处.求∠1+∠2的度数.
【答案】解：∵将△ABC三个角分别沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处，
∴∠B＝∠HOG，∠A＝∠DOE，∠C＝∠EOF，
∵∠1+∠2+∠HOG+∠EOF+∠DOE＝360°，
∵∠HOG+∠EOF+∠DOE＝∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠1+∠2＝360 °﹣180°＝180°.
【思路引导】根据折叠的性质可得∠B＝∠HOG，∠A＝∠DOE，∠C＝∠EOF，则∠HOG+∠EOF+∠DOE＝∠A+∠B+∠C＝180°，根据周角的概念可得∠1+∠2+∠HOG+∠EOF+∠DOE＝360°，据此求解.
22．（5分）（2020八上·商河期末）如图，将△ABC沿着平行于BC的直线DE折叠，点A落到点A′，若∠C＝125°，∠A＝20°，求∠BD A′的度数.
【答案】解：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝20°，∠C＝125°，
∴∠B＝35°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝35°，∠BDE＋∠B＝180°，
∴∠BDE＝180−∠B＝180°−35°＝145°，
∵△ADE沿DE折叠成△A′DE，
∴∠A′DE＝∠ADE＝35°，
∴∠BDA′＝∠BDE−∠A′DE＝145°−35°＝110°．
【思路引导】先求出 ∠B＝35°， 再求出 ∠BDE＝ 145°，最后求 ∠BD A′的度数即可。
23．（5分）（2020八上·漳平期中）如图Ⅰ，已知 纸片中， ， ，将其折叠，如图Ⅱ，使点A与点B重合，折痕为 ，点D、E分别在 、 上，求 的大小．
【答案】解：∵
∴
∵
∴
∵使点A与点B重合，折痕为
∴
∴ ．
【思路引导】根据等腰三角形的性质得 ，再根据三角形的内角和定理得 ，然后根据折叠的性质得 ，最后根据 计算即可．
24．（5分）（2020八上·北京期中）如图，三角形纸片中，AB=8cm，BC=6cm，AC=5cm．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，求 的周长
【答案】解：∵BC沿BD折叠点C落在AB边上的点E处，
∴DE=CD，BE=BC，
∵AB=8cm，BC=6cm，
∴AE=AB-BE=AB-BC=8-6=2cm，
∴△ADE的周长=AD+DE+AE，
=AD+CD+AE，
=AC+AE，
=5+2，
=7cm．
【思路引导】根据翻折变换的性质可得DE=CD，BE=BC，然后求出AE，再根据三角形的周长列式求解即可．
25．（6分）（2019八上·同安月考）如图，四边形 中， ， ，点 ， 分别在 ， 上，将 沿 翻折，得 ，若 ， ，求 的度数．
【答案】解： ， ，
， ，
沿 翻折得 ，
，
，
在 中， ．
【思路引导】根据平行线的性质可知 ， ，根据折叠的性质可知 ， ，再利用三角形内角和定理即可解答.
26．（8分）（2021八上·盐湖期中）如图，将 ABC分别沿AB，AC翻折得到 ABD和 AEC，线段BD与AE交于点F，连接BE．
（1）（4分）若∠ABC=20°，∠ACB=30°，求∠DAE及∠BFE的度数．
（2）（4分）若BD所在的直线与CE所在的直线互相垂直，求∠CAB的度数．
【答案】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：∵BD所在直线与CE所在直线互相垂直，
∴ ，
由翻折的性质可得 ， ，
∴ ，
∴ ．
【思路引导】（1）利用三角形内角和求出∠BAC=130°，由折叠可得 ，可得， ，从而求出∠DAE=30°，利用三角形内角和求出∠DFA的度数，根据对顶角相等可得∠BFE=∠DFA，即得结论；
（2）由垂直的定义可求出， 由翻折的性质可得 ， ，从而求出 ，利用三角形的内角和求出∠CAB的度数即可.
27．（7分）（2021八上·赣州期中）将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在点 处
（1）（1分）如图①，点A落在四边形BCDE的边BE上，则∠A与∠1之间的数量关系是 ；
（2）（3分）如图②，若点A落在四边形BCDE的内部，则∠A与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
（3）（3分）如图③，点A落在四边形BCDE的外部，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度数．
【答案】（1）∠1＝2∠A
（2）如图②，2∠A＝∠1+∠2．
理由如下：∵∠AED+∠ADE＝180°﹣∠A，∠A′ED+∠A′DE＝180°﹣∠A′，
∴∠A′DA+∠A′EA＝360°﹣（∠A+∠A′），
∴∠A+∠A′+∠A′DA+∠A′EA＝360°，
∵∠1+∠A′DA+∠2+∠A′EA＝360°，
∴∠A′+∠A＝∠1+∠2，
由折叠可得：∠A＝∠A′，
∴2∠A＝∠1+∠2，
故答案为：2∠A＝∠1+∠2；
（3）如图③，
∵∠DME＝∠A′+∠2，∠1＝∠A+∠DME，
由折叠可得：∠A＝∠A′，
∴∠1＝∠A+∠A′+∠2＝2∠A+∠2，
∴2∠A＝∠1﹣∠2＝80°﹣24°＝56°，
∴∠A＝28°．
故答案为：28°．
【完整解答】解：（1）如图①，∠1＝2∠A．
理由如下：由折叠可得：∠EA′D＝∠A；
∵∠1＝∠A+∠EA′D，
∴∠1＝2∠A，
故答案为：∠1＝2∠A；
【思路引导】（1）运用折叠原理以及三角形的外角性质即可解决问题；
（2）运用折叠原理以及四边形的内角和定理即可解决问题；
（3）运用三角形的外角性质即可解决问题。
28．（10分）（2021八上·永安期末）已知，在 中，点E在边 上，点D是 上一个动点，将 沿E、D所在直线进行翻折得到 ，
（1）（1分）如图1，若 ，则 ；
（2）（3分）在图1中细心的小明发现了 ， ， 之间的关系，请您替小明写出这个数量关系并证明；
（3）（3分）小明进一步探索发现∶当 _▲_时，有 ，请你证明这个结论；
（4）（3分）若点D在线段 上运动，问小明发现的 ， ， 的数量关系会变吗？请你在备用图中画出一个不同于图1的示意图，并直接写出你的结论.
【答案】（1）100°
（2）解： .
证明如下：连接 ，
∵ 是 的一个外角， 是 的一个外角，
∴ ， ，
由翻折知： ，
∴
；
（3）解：当 时，有 .
证明如下：∵ ，
∴ ，
由翻折知 ，
∴ ，
∴ ；
（4）
【完整解答】解：（1）∵ ，
∴∠BED+∠BDE=130°，
∵△BDE翻折得到△FDE，
∴∠FED+∠FDE=130°，
∴ ；
故答案为：100°；
（4） ；
证明：如图：
∵∠BMD为△EFM外角，
∴∠BMD=∠AEF+∠F，
∵∠FDC为△DMB外角，
∴∠FDC=∠B+∠BMD=∠B+∠F+∠AEF，
∵△BDE翻折得到△FDE，
∴∠F=∠B，
∴ .
【思路引导】（1）利用三角形的内角和定理算出∠BED+∠BDE=130°，由翻折得∠FED+∠FDE=130°，进而根据平角的定义得出∠AEF+∠FDC=100°；
（2）连接BF，利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和得∠AEF=∠EBF+∠BFE， ∠FDC=∠BFD+∠FBD，根据翻折的性质得出 ，∠BFD=∠FBD，进行即可得出答案；
（3）当BD=BE时，利用等边对等角得出，再利用翻折得，故可得出∠BDE=∠DEF，然后根据平行线的判定定理即可得出结论；
（4） 数量关系会变，结论：，理由如下：根据三角形外角的性质得出∠BMD=∠AEF+∠F，∠FDC=∠B+∠BMD=∠B+∠F+∠AEF，根据翻折的性质得出∠F=∠B，从而即可得出结论.
29．（9分）（2019八上·涡阳月考）如图
（1）（6分）如图1，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，
①写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；
②设 的度数为x，∠ 的度数为y，那么∠1，∠2的度数分别是多少？（用含有x或y的代数式表示）
③∠A与∠1、∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律．
（2）（3分）如图2，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE外部时，∠A与∠1、∠2的数量关系是否发生变化？如果发生变化，求出∠A与∠1、∠2的数量关系；如果不发生变化，请说明理由.
【答案】（1）解：①根据翻折的性质知△EAD≌△EA′D，
其中∠EAD=∠EA′D，∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE；
②）∵∠AED=x，∠ADE=y，
∴∠AEA′=2x，∠ADA′=2y，
∴∠1=180°-2x，∠2=180°-2y；
③∠A= （∠1+∠2）；
∵∠1=180°-2x，∠2=180°-2y，
∴x=90- ∠1，y=90- ∠2，
∴∠A=180°-x-y=190-（90- ∠1）-（90- ∠2）= （∠1+∠2）．
（2）解：∵△A′DE是△ADE沿DE折叠得到，
∴∠A′=∠A，
又∵∠AEA′=180°-∠2，∠3=∠A′+∠1，
∴∠A+∠AEA′+∠3=180°，
即∠A+180°-∠2+∠A′+∠1=180°，
整理得，2∠A=∠2-∠1．
∴∠A= （∠2-∠1）．
【思路引导】（1）①根据翻折方法可得△ADE≌△A′DE；②根据翻折方法可得∠AEA′=2x，∠ADA′=2y，再根据平角定义可得∠1=180°-2x，∠2=180°-2y；③首先由∠1=180°-2x，2=180°-2y，可得x=90- ∠1，y=90- ∠2，再根据三角形内角和定理可得∠A=180°-x-y，再利用等量代换可得∠A= （∠1+∠2）；（2）根据折叠的性质和三角形内角和定理解答即可．
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