专题05 最短路径问题-【挑战压轴题】2021-2022学年八年级数学上册压轴题专题精选汇编（人教版）

2022-2023学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编

专题05 最短路径问题

一．选择题

1．（2022春•开江县期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝32°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小，此时∠EDF＝（　　）

A．110° B．112° C．114° D．116°

2．（2020秋•泗水县期末）如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，QD＝1.5，点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP＝AQ＝2，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为（　　）

A．3.5 B．4 C．5 D．6

3．（2022春•蜀山区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，∠ABC的平分线交AC于点D，点E，F分别是BD、AB上的动点，则AE+EF的最小值为（　　）

A．2 B．2.4 C．2.5 D．3

4．（2020秋•封开县期末）如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，AD＝3.5cm，点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP＝AQ＝2cm，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为（　　）

A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm

5．（2020秋•丛台区校级期末）A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行线，桥与河岸垂直）（　　）

A．（BM垂直于a） B．（AM不平行BN） 

C．（AN垂直于b） D．（AM平行BN）

6．（2022春•鼓楼区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，5），B（5，1），C（m，﹣m），D（m﹣3，﹣m+4），当四边形ABCD的周长最小时，则m的值为（　　）

A．3 B． C．2 D．

7．（2020秋•东城区校级期中）如图，在△ABC中AB＝AC，BC＝4，面积是20，AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于E、F点，若点D为BC边的中点，点M为线段上一动点，则△CDM周长的最小值为（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12

8．（2019秋•吴兴区期末）线段AB上有一动点C（不与A，B重合），分别以AC，BC为边向上作等边△ACM和等边△BCN，点D是MN的中点，连接AD，BD，在点C的运动过程中，有下列结论：①△ABD可能为直角三角形；②△ABD可能为等腰三角形；③△CMN可能为等边三角形；④若AB＝6，则AD+BD的最小值为．其中正确的是（　　）

A．②③ B．①②③④ C．①③④ D．②③④

二．填空题

9．（2020秋•碑林区校级期末）如图，四边形ABCD中，∠B＝30°，∠D＝120°，且AB⊥AC，AD+CD＝6，则四边形ABCD周长的最小值是 　               　．

10．（2020秋•无棣县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝6，P为BC边的垂直平分线DE上一个动点，则△ACP周长的最小值为　   　．

11．（2022春•新乡期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM平分∠ACB，点D为CM上一点，点P为边AC上一动点（不与点A，C重合），连结DP，BP．已知CD＝BC，当DP+BP的值最小时，∠CDP的度数为 　     　．

12．（2022春•济源期末）如图，在直角坐标系中，点A（2，2），C（4，4）是第一象限角平分线上的两点，点B的纵坐标为2，且BA＝CB，在y轴上取一点D，连接AB，BC，AD，CD，使得四边形ABCD的周长最小，则这个周长的最小值为 　              　．

13．（2022春•思明区校级月考）若m为常数，且m＞0，点A的坐标为（0，10m），B点的坐标为（5m，﹣2m），C点为x轴上一点，AC+BC的最小值为　    　，AC﹣BC最大值为　    　．（用含m的代数式表示）

14．（2022春•海淀区校级月考）已知：如图，AD是等边△ABC中∠BAC的平分线，P是AD上一点，E为AC中点，连接PC，PE，若AB＝6，则PC+PE的最小值是　            　．

15．（2020秋•碑林区校级期末）如图，点A，B在直线MN的同侧，A到MN的距离AC＝8，B到MN的距离BD＝5，已知CD＝4，P是直线MN上的一个动点，记PA+PB的最小值为a，|PA﹣PB|的最大值为b，则a2﹣b2＝　    　．

16．（2022春•番禺区期末）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边OA在x轴上，且OA＝6，点B的坐标为（2，4）点D为OA的中点，AB的垂直平分线交x轴于点C，交AB于点E，点P为线段CE上的一动点，当△APD的周长最小时，点P的坐标为 　                　．

17．（2022•仪征市二模）如图，Rt△ABC≌Rt△FDE，∠ABC＝∠FDE＝90°，∠BAC＝30°，AC＝4，将Rt△FDE沿直线l向右平移，连接BD、BE，则BD+BE的最小值为 　            　．

18．（2022春•中原区校级月考）如图，在△ABC中，∠A＝45°，AB＝17，CD为AB边上的高，CD＝12，点P为边BC上的一个动点，M、N分别为边AB，AC上的动点，则△MNP周长的最小值是　                　．

19．（2020秋•河东区期末）如图，在边长为2的等边△ABC中，D是BC的中点，点E在线段AD上，连接BE，在BE的下方作等边△BEF，连接DF．当△BDF的周长最小时，∠DBF的度数是　    　．

三．解答题

20．（2022春•同安区校级月考）如图，A，B两个工厂位于一段直线形河的异侧，A厂距离河边AC＝5km，B厂距离河边BD＝1km，经测量CD＝8km，现准备在河边某处（河宽不计）修一个污水处理厂E．

（1）设ED＝x，请用x的代数式表示AE+BE的长；

（2）为了使两厂的排污管道最短，污水厂E的位置应怎样来确定此时需要管道多长？

（3）通过以上的解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你猜想的最小值为多少？

21．（2022春•青羊区校级月考）如图，已知△ABC三个顶点坐标分别为A（0，4），B（﹣2，﹣2），C（3，0），点P在线段AC上移动．

（1）△ABC的面积为　   　．

（2）当点P坐标为（1，m）时，请在y轴上找点Q，使△PQC周长最小，画出图形井求出Q点坐标和△PQC周长．

（3）直线BP将△ABC的面积分成1：n两部分．

①分别求出当n＝1，n＝2时P点坐标．

②直接写出直线BP将△ABC的面积分成1：n（n＞2）两部分时P点坐标．

22．（2020秋•襄城区期末）如图，已知△ABC是等边三角形，CD⊥AB于点D，点E是AC的中点．

（1）在直线CD上作一点P，使PA+PE最小；

（2）在（1）的条件下，若CD＝12，求线段DP的长．

23．（2020秋•恩施市期末）如图，B、C两点关于y轴对称，点A的坐标是（0，b），点C坐标为（﹣a，﹣a﹣b）．

（1）直接写出点B的坐标为　         　；

（2）用尺规作图，在x轴上作出点P，使得AP+PB的值最小；

（3）∠OAP＝　         　度．

24．（2017春•安溪县期末）已知点P在∠MON内．

（1）如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP．

①若∠MON＝50°，则∠GOH＝　     　；

②若PO＝5，连接GH，请说明当∠MON为多少度时，GH＝10；

（2）如图2，若∠MON＝60°，A、B分别是射线OM、ON上的任意一点，当△PAB的周长最小时，求∠APB的度数．

25．（2020秋•雨城区校级期中）如图，C为线段BD上的一个动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC．已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．

（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；

（2）请问：点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？求出这个最小值．

（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值．

26．（2022春•砀山县期末）作图：（不写作法，但要保留作图痕迹）

如图所示，要在街道旁修建一个牛奶站，向居民区A、B提供牛奶，牛奶站应建在什么地方，才能使A、B到它的距离之和最短．

27．（2020秋•海淀区期中）已知：如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，∠C＝60°，CD＝2AD，AB＝4．

（1）在AB边上求作点P，使PC+PD最小；

（2）求出（1）中PC+PD的最小值．

28．（2020秋•锡山区期中）如图，A、B两个小镇在河流的同侧，它们到河流的距离AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，现要在河流边修建一自来水厂分别向两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元．

（1）请在河流上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最少．（不写作法，保留作图痕迹）

（2）最低费用为多少？

29．（2019•花溪区一模）如图，等边三角形ABC的边长为6，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接BE，点P，N分别是BE，BC上的动点．

（1）求点D到线段BE的最短距离；

（2）若当PN+PD的长度取得最小值时，求BP的长度；

（3）点Q在BE上，若BQ＝1，求QN+NP+PD的长度最小值．