专题05 等腰三角形的判定和性质-【挑战压轴题】2022-2023学年八年级数学上册压轴题专题精选汇编（苏科版）

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2022-2023学年苏科版数学八年级上册压轴题专题精选汇编
专题05 等腰三角形的判定和性质
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2021八上·海曙期末）如图，CD是等腰三角形 △ABC底边上的中线，BE平分∠ABC，交CD于点E，AC＝8，DE＝2，则 △ BCE的面积是（　　）

A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】C
【完整解答】解：过点E作EF⊥BC于F，

∵AC＝BC＝8，CD是等腰三角形△ABC底边上的中线，
∴CD⊥AB，
∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，
∴EF＝DE＝2，
∴△BCE的面积＝×BC×EF＝×8×2=8.
故答案为：C.
【思路引导】过点E作EF⊥BC于F，利用等腰三角形的性质可证得CD⊥AB，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可求出EF的长；再利用三角形的面积公式可求出△BCE的面积.
2．（2分）（2021八上·嵩县期末）等腰三角形的一个内角是 ，则它底角的度数是（　　）
A． B． 或
C． 或 D．
【答案】C
【完整解答】解：当70°角为顶角时，它的底角为 ，
当70°角为底角时，它底角的度数是70°
故答案为：C.
【思路引导】分情况讨论：当70°角为底角时；当70°角为顶角时，利用三角形的内角和定理求出其底角的度数，即可求解.
3．（2分）（2021八上·凉山期末）如图， 中， ， ， ，垂足为Q，延长MN至G，取 ，若 的周长为12， ，则 周长是（　　）

A．8＋2m B．8＋m C．6＋2m D．6＋m
【答案】C
【完整解答】解：∵ ， ，
∴△PMN是等边三角形，
∵ ，
∴QN=PQ= ，∠QMN=30°，∠QNM=60°，

∵ ，
∴∠GQN=∠G=30°，QN=NG= ，
∴∠QMN=∠G=30°，
∴QM=QG，
∵ 的周长为12， ，
∴MN=4，QN=NC=2，QM=QG=m，
∴ 周长是QM+QG+MN+NG=6+2m.
故答案为：C.
【思路引导】易得△PMN是等边三角形，得QN=PQ= MN，∠QMN=30°，∠QNM=60°，根据等腰三角形的性质可得∠GQN=∠G=30°，QN=NG=MN，推出QM=QG，根据△MNP的周长可得MN=4，QN=NC=2，QM=QG=m，据此求解.
4．（2分）（2020八上·东海期末）如图，△ABC中，AB＝AC，作△BCE，点A在△BCE内，点D在BE上，AD垂直平分BE，且∠BAC＝m°，则∠BEC＝（　　）

A．90°﹣ m° B．180°﹣2m°
C．30°+ m° D． m°
【答案】D
【完整解答】解：∵AD垂直平分BE，

∴AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵AB＝AC，
∴AE＝AC，
∴∠AEC＝∠ACE，
∴∠BEC＝∠BEA+∠ACE，
∵∠BAC＝m°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣m°，
∴∠BEC＝ （180°﹣∠ABC﹣∠ACB）＝ [180°﹣（∠ABC+∠ACB）]＝ [180°﹣（180°﹣m°）]＝ m°，
故答案为：D.
【思路引导】由AD垂直平分BE可得AB＝AE，从而得出AB＝AE=AC，利用等边对等角可得∠ABE＝∠AEB，∠AEC＝∠ACE，即得∠BEC＝∠BEA+∠ACE，由三角形内角和可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣m°，由∠BEC＝ （180°﹣∠ABC﹣∠ACB）即可求解.
5．（2分）（2021八上·如皋月考）如图，四边形ABCD中，AB=AD，点关于的对称点B′恰好落在CD上，若，则的度数为（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【完整解答】解：如图，连接AB′，BB′，过A作AE⊥CD于E，

∵点B关于AC的对称点B′恰好落在CD上，
∴AC垂直平分BB′，
∴AB＝AB′，
∴∠BAC＝∠B′AC，
∵AB＝AD，
∴AD＝AB′，
又∵AE⊥CD，
∴∠DAE＝∠B'AE，
∴∠CAE＝∠BAD＝α，
又∵∠AEB′＝∠AOB′＝90°，
∴四边形AOB′E中，∠EB′O＝180°−α，
∴∠ACB′＝∠E B′O−∠COB′＝180°−α−90°＝90°−α，
∴∠ACB＝∠ACB′＝90°−α，
故答案为：D.
【思路引导】连接AB′，BB′，过A作AE⊥CD于E，利用轴对称的性质可证得AC垂直平分BB′，∠BAC＝∠B′AC，利用垂直平分线的性质可推出AB＝AB′，由此可推出AD=AB′；利用等腰三角形的性质可得到∠DAE=∠BAE，由此可表示出∠CAE及∠EB′O；然后根据∠ACB′＝∠E B′O−∠COB′，代入计算可表示出∠ACB的度数.
6．（2分）（2021八上·盐湖期中）有一题目：“如图，∠ABC=40°，BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF=DE，求∠DFB的度数．”小贤的解答：以D为圆心，DE长为半径画圆交AB于点F，连接DF，则DE=DF，由图形的对称性可得∠DFB=∠DEB．结合平行线的性质可求得∠DFB=140°．而小军说：“小贤考虑的不周全，∠DFB还应有另一个不同的值”．下列判断正确的是（　　）

A．小军说的对，且∠DFB的另一个值是40°
B．小军说的不对，∠DFB只有140°一个值
C．小贤求的结果不对，∠DFB应该是20°
D．两人都不对，∠DFB应有3个不同值
【答案】A
【完整解答】解：

如图，以点D为圆心， 长为半径画圆交 于点F， ，连接 ， ，则 ，
，
平分 ，
由图形的对称性可知： ，
， ，
，
，
当点F位于点 处时，
，
．
故答案为：A．
【思路引导】以点D为圆心， 长为半径画圆交 于点F， ，连接 ， ，则 ，由图形的对称性可知 ，结合平行线的性质求∠DFB=140°，当点F位于点 处时，由DF=DF'可求出∠DF'B的度数.
7．（2分）（2021八上·江津期中）如图，D为∠BAC的外角平分线上一点并且满足BD＝CD，∠DBC＝∠DCB，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠DAF＝∠CBD.其中正确的结论有（　　）个

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【完整解答】解：∵AD平分 ，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，故①正确；
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
∵ ，
∴ ，

又∵ ，
∴∠BDC＝∠BAC，故③正确；
∵AD平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，∠BDC＝∠BAC，
∴ ，
∴∠DAF＝∠CBD，故④正确；
综上所述，正确的有①②③④；
故答案为：D.
【思路引导】由角平分线的性质可得DE=DF，根据HL证明，可得CE=AF， ，根据HL证明，可得，从而得出，据此判断①②；在△AOB和△DOC中，，∠AOB=∠DOC，可得∠BDC＝∠BAC，据此判断③；利用三角形的内角和可求∠DAF+∠DAE=∠DBC+∠DCB
，从而得出∠DAF＝∠CBD，据此判断④.
8．（2分）（2021八上·江阴期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝46°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，点E在BC上，点F在AC上，连接EF.将∠C沿EF折叠，点C与点O恰好重合时，则∠OEC的度数（　　）

A．90° B．92° C．95° D．98°
【答案】B
【完整解答】解：连接BO，CO，

∵∠BAC=46°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，
∴∠OAB=∠OAC=23°，
∵OD是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∵OA=OB，∠OAB=23°，
∴∠OAB=∠ABO=23°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=67°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=67°-23°=44°，
∵AB=AC，∠OAB=∠OAC，AO=AO，
∴△ABO≌△ACO（SAS），
∴BO=CO，
∴∠OBC=∠OCB=44°，
∵点C沿EF折叠后与点O重合，
∴EO=EC，
∴∠EOC=∠OCE=44°，
∴∠OEC=180°-∠EOC-∠OCE=180°-2×44°=92°.
故答案为：B.
【思路引导】连接BO，CO，由角平分线的概念可得∠OAB=∠OAC=23°，根据垂直平分线的性质可得OA=OB，结合等腰三角形的性质可得∠OAB=∠ABO=23°，∠ABC=∠ACB=67°，然后求出∠OBC的度数，证明△ABO≌△ACO，得到BO=CO，则∠OBC=∠OCB=44°，根据折叠的性质可得EO=EC，则∠EOC=∠OCE=44°，然后在△OEC中，应用内角和定理进行求解.
9．（2分）（2021八上·崇阳期中）如图，已知 ，点 、 、 、…在射线ON上，点 、 、 、…在射线OM上， 、 、 …均为等边三角形，若 ，则 的边长为(　　)

A．16 B．64 C．128 D．256
【答案】C
【完整解答】解：如图，

∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，
∴∠2=120°，
∵∠MON=30°，
∴∠1=180°-120°-30°=30°，
又∵∠3=60°，
∴∠5=180°-60°-30°=90°，
∵∠MON=∠1=30°，
∴OA1=A1B1=1，
∴A2B1=1，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，
∵∠4=∠12=60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，
∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，
∴A3B3=4B1A2=4，
A4B4=8B1A2=8，
A5B5=16B1A2=16，
以此类推：A8B8=27B1A2=27=128.
故答案为：C.
【思路引导】对图形进行角标注，由等边三角形的性质可得A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，根据邻补角的性质可得∠2=120°，由内角和定理可得∠1的度数，然后由平角的概念求出∠5的度数，推出OA1=A1B1=A2B1=1，根据等边三角形的性质以及角之间的关系可得A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，由平行线的性质可得∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，然后根据含30°角的直角三角形的性质可得A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，进而求出A3B3，A4B4，A5B5的值，据此解答.
10．（2分）（2018八上·北京月考）若（a﹣2）2+|b﹣3|＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．7或8
【答案】D
【完整解答】解：∵（a﹣2）2+|b﹣3|=0，
∴a﹣2=0，b﹣3=0，
解得a=2，b=3，
①当腰是2，底边是3时，三边长是2，2，3，此时符合三角形的三边关系定理，
即等腰三角形的周长是2+2+3=7；
②当腰是3，底边是2时，三边长是3，3，2，此时符合三角形的三边关系定理，
即等腰三角形的周长是3+3+2=8．
故答案为：D．

【思路引导】首先根据非负数的性质可以得到a,b的长度，再分类讨论:腰为2，底为3；和腰为3，底为2，分别求出即可
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2021八上·长沙期末）如图， 、 的平分线相交于点F，过F作 ，交 于点D，交 于点E， ， ，则 　 　 .

【答案】5
【完整解答】解： 是 的平分线，
，
，
，
，
，
同理可得： ，
，
故答案为：5.
【思路引导】由角平分线的定义得∠DBF=∠CBF ，由平行线性质得∠DFB=∠CBF ，即得∠DBF=∠DFB，根据等角对等边得出DF=DB=3cm，同里得出EF=EC=2cm， 利用DE=DF+EF计算即可.
12．（2分）（2021八上·句容期末）如图， ，点P在 的边 上，以点P为圆心， 为半径画弧，交 于点A，连接 ，则 　 　 .

【答案】70
【完整解答】解：由作图可知，PO=PA，
∴∠PAO=∠O=35°，
∴∠APN=∠O+∠PAO=70°.
故答案为：70.
【思路引导】由作图可知：PO=PA，根据等边对等角得∠PAO=∠O=35°，由三角形的任意一个外角等于与之不相邻的两个内角的和可得∠APN=∠O+∠PAO，据此计算.
13．（2分）（2021八上·句容期末）如图， 是一角度为 的锐角木架，要使木架更加牢固，需在其内部添加一些连接支撑木件 、 、 …，且 …，在 、 足够长的情况下，如果最多能添加这样的连接支撑木件为6根，则锐角 的范围为　 　.

【答案】0°＜α＜
【完整解答】解：∵OE=EF，
∴∠EOF=∠EFO=α，
∴∠GEF=∠EOF+∠EFO=2α，
同理可得∠GFH=3α，∠HGB=4α，
∵最多能添加这样的钢管6根，
∴7α＜90°，
∴0°＜α＜ ，
故答案为：0°＜α＜ .
【思路引导】根据等腰三角形的性质得∠EOF=∠EFO=α，由外角的性质可得∠GEF=∠EOF+∠EFO=2α，
同理可得∠GFH=3α，∠HGB=4α，由题意可得7α＜90°，求解即可.
14．（2分）（2021八上·淳安期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，D为BC的中点，连接AD，E是AB上的一点，P是AD上一点，连接EP、BP，AC=10，BC=12，则EP+BP的最小值是　 　.

【答案】9.6
【完整解答】解：连接PC，

∵∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∵D为BC的中点，
∴AD垂直平分BC，BD=BC=6
∴BP=CP，
∴EP+BP=EP+CP
要使EP+BP的值最小，利用两点之间线段最短和垂线段最短，可知当点E，P，C在同一直线上时，且CE⊥AB时，EP+BP的值最小，最小值为EC的长；
∵，
∴10CE=12×8
解之：CE=9.6.
故答案为：9.6.
【思路引导】连接PC，利用已知易证△ABC是等腰三角形，利用等腰三角形的性质可求出BD的长，利用勾股定理求出AD的长，利用垂直平分线的性质可证得BP=PC；由此可得到EP+BP=EP+CP，要使EP+BP的值最小，利用两点之间线段最短和垂线段最短，可知当点E，P，C在同一直线上时，且CE⊥AB时，EP+BP的值最小，最小值为EC的长；然后三角形的面积公式可求出CE的长.
15．（2分）（2021八上·宁波期末）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝1，D是斜边AB上一点（与点A，B不重合），将△BCD绕着点C旋转90°到△ACE，连结DE交AC于点F，若△AFD是等腰三角形，则AF的长为 　 　.

【答案】或
【完整解答】解：∵Rt△ABC中，AC=BC=1，
∴∠CAB=∠B=45°，
∵△BCD绕着点C旋转90°到△ACE，
∴∠ECD=90°，∠CDE=∠CED=45°，
①AF=FD时，
∠FDA=∠FAD=45°，
∴∠AFD=90°，
∠CDA=45°+45°=90°=∠ECD=∠DAE，
∵EC=CD，
∴四边形ADCE是正方形，
∴AD=DC，
∴AF= AC= ×1= ；
②AF=AD时，
∠ADF=∠AFD=67.5°，
∴∠CDB=180°-∠ADE-∠EDC=180°-67.5°-45°=67.5°，
∴∠DCB=180°-67.5°-45°=67.5°，
∴∠DCB=∠CDB，
∴BD=CB=1，
∴AD=AB-BD= ，
∴AF=AD= ，
故答案为： 或 .
【思路引导】Rt△ABC中，AC=BC=1，可得∠CAB=∠B=45°，由旋转的性质可得∠ECD=90°，∠CDE
=∠CED=45°，分两种情况①AF=FD时，②AF=AD时，根据等腰三角形的性质分别解答即可.
16．（2分）（2021八上·中山期末）如图，，，AD是∠BAC内的一条射线，且，P为AD上一动点，则的最大值是　 　．

【答案】5
【完整解答】解：如图，

作点B关于射线的对称点，连接、，B'P．
则，，，．
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
在中，，
当P、、C在同一直线上时，取最大值，即为5．
∴的最大值是5．
故答案为：5．

【思路引导】作点B关于射线的对称点，连接、，B'P．易证 是等边三角形，可得，在中，由于，所以当P、、C在同一直线上时，取最大值，即为的长.

17．（2分）（2021八上·建华期末）小聪在研究题目“如图，在等腰三角形ABC中， ， ， 的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，点C沿直线EF折叠后与点O重合，你能得出那些结论？”时，发现了下面三个结论：① ；②图中没有60°的角；③D、O、C三点共线．请你直接写出其中正确的结论序号：　 　

【答案】①
【完整解答】解：∵∠BAC=50°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO= ∠BAC= ×50°=25°．
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=65°．
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=25°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=65°-25°=40°．
∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，
∴直线AO垂直平分BC，
∴OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=40°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE．
∴∠COE=∠OCB=40°；
在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-40°-40°=100°，
∴∠OEF= ∠CEO=50°，①符合题意；
∵∠OCB=∠OBC=∠COE=40°，
∴∠BOE=180°-∠OBC-∠COE-∠OCB =180°-40°-40°-40°=60°， ②不符合题意；
∵∠ABO=∠BAO=25°，DO是AB的垂直平分线，
∴∠DOB=90°-∠ABO=75°，
∵∠OCB=∠OBC=40°，
∴∠BOC=180°-∠OBC -∠OCB=180°-40°-40°=100°，
∴∠DOC=∠DOB+∠BOC=75°+100°=175°，即D、O、C三点不共线，③不符合题意.
故答案为：①．
【思路引导】根据等腰三角形的性质，角平分线，垂直平分线的定义对每个结论一一判断即可。
18．（2分）（2021八上·铁西月考）如图，矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，点M在对角线BD上，点N为射线BC上一动点，连接MN，DN，且∠DNM＝∠DBC，当DMN是等腰三角形时，线段BN的长为　 　．

【答案】15或24或
【完整解答】解：①如图1中，

当NM=ND时，
∴∠NDM=∠NMD，
∵∠MND=∠CBD，
∴∠BDN=∠BND，
∴BD=BN==15；
②如图2中，

当DM=DN时，
此时M与B重合，
∴BC=CN=12，
∴BN=24；
③如图3中，

当MN=MD时，
∴∠NDM=∠MND，
∵∠MND=∠CBD，
∴∠NDM=∠MND=∠CBD，
∴BN=DN，
设BN=DN=x，
在Rt△DNC中，∵DN2=CN2+CD2，
∴x2=（12-x）2+92，
∴x=，
综上，当DMN是等腰三角形时，线段BN的长为15或24或．
故答案为：15或24或．

【思路引导】分三种情况：①当NM=ND时，②当DM=DN时，③当MN=MD时，根据等腰三角形的性质及勾股定理分别求解即可.
19．（2分）（2021八上·沈阳期中）已知长方形ABCD，AB＝6，BC＝10，M为线段AD上一点且AM＝8，点P从B出发以每秒2个单位的速度沿线段BC﹣CD的方向运动，至点D停止，设运动时间为t秒，当 AMP为等腰三角形时，t的值为　 　．

【答案】 或2或
【完整解答】解： 四边形 是矩形，
， ， ，
当 为等腰三角形时，分三种情况：
①当 时，点 在 的垂直平分线上，
取 的中点 ，过点 作 交 于 ，如图1所示：

则四边形 是矩形，
，
；
②当 时，如图2所示：

在 中，由勾股定理得： ，
；
③当 时，过点 作 于 ，如图3所示：

则四边形 为矩形，
， ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
，
；
综上所述， 的值为： 或2或 ，
故答案为： 或2或 ．

【思路引导】由四边形 是矩形， ， ， ，当 为等腰三角形时，分三种情况：①当 时，点 在 的垂直平分线上，②当 时，③当 时，过点 作 于 ，分类讨论即可。
20．（2分）（2021八上·武昌期中）如图，已知△ABC中，OE、OF分别是AB、AC的垂直平分线，∠OBC，∠OCB的平分线相交于点I，有如下结论：①AO＝CI；②∠ABC+∠ACO＝90°；③∠BOI＝∠COI；④OI⊥BC.其中正确的结论是 　 　.

【答案】②③④
【完整解答】解： OE、OF分别是AB、AC的垂直平分线，


设①AO＝CI成立，则CO＝CI，即点C在OI的垂直平分线上，
这与CI是∠OCB的角平分线互相矛盾，
故①错误，
，
，
，
∴2∠ABO+2∠OBC+2∠OCA=180°，
∴∠ABO+∠OBC+∠OCA=90°，
∠ABC+∠ACO =90°，
故②正确；
过点I作 ，

分别是 的角平分线，



是 的角平分线
∠BOI＝∠COI，
故③④正确.
故答案为：②③④.
【思路引导】由垂直平分线的性质可得AO=BO，AO=CO，则BO=CO，若AO＝CI成立，则CO＝CI，即点C在OI的垂直平分线上，这与CI是∠OCB的角平分线互相矛盾，据此判断①；由等腰三角形的性质可得∠ABO=∠BAO，∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB，结合内角和定理可得∠ABC+∠ACO =90°，据此判断②；过点I作IP⊥BO，IQ⊥OC，IR⊥BC，由角平分线的性质可得PI=RI，QI=RI，则PI=QI，由BO=CO可知OI是∩BOC的角平分线，据此判断③④.
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（5分）（2021八上·顺义期末）“三等分角”是被称为几何三大难题的三个古希腊作图难题之一．如图1所示的“三等分角仪”是利用阿基米德原理做出的．这个仪器由两根有槽的棒PA，PB组成，两根棒在P点相连并可绕点P旋转，C点是棒PA上的一个固定点，点A，O可在棒PA，PB内的槽中滑动，且始终保持OA＝OC＝PC．∠AOB为要三等分的任意角．则利用“三等分角仪”可以得到∠APB ＝∠AOB．
我们把“三等分角仪”抽象成如图2所示的图形，完成下面的证明．
已知：如图2，点O，C分别在∠APB的边PB，PA上，且OA＝OC＝PC．
求证：∠APB ＝∠AOB．

【答案】解：，
为等腰三角形，
，
由外角的性质得：，
，
再由外角的性质得：，
，
．
【思路引导】直接利用等腰三角形的性质结合三角形的外角性质得出答案。
22．（5分）（2021八上·营口期末）如图，在等腰△ABC和等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE且C、E、D三点共线，作AM⊥CD于M．若BD＝5，DE＝4，求CM．

【答案】解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△AEC和△ADB中，
，
∴△AEC≌△ADB（SAS），
又∵BD＝5，
∴CE＝BD＝5，
∵AD＝AE，AM⊥CD，DE＝4，
∴，
∴CM＝CE+EM＝5+2＝7．
【思路引导】根据SAS证出△AEC≌△ADB，再根据BD＝5，AD＝AE，AM⊥CD，DE＝4，代入计算即可。
23．（7分）（2021八上·松桃期末）如图，在 中， ，AB边的垂直平分线分别交AB于点E，交AC于点F，点D在EF上，且 ，G是AC的中点，连接DG.

（1）（3分）求证： ；
（2）（4分）判断 是否是等边三角形，并说明理由.
【答案】（1）证明：连接AD，

∵EF是AB的垂直平分线，点D在EF上，
∴ .
又∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形.
∵G是AC的中点，
∴ .
（2）解： 是等边三角形，理由如下：
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形.
【思路引导】（1）连接AD，由线段垂直平分线的性质可得AD=BD，即得AD=CD=BD，根据等腰三角形“三线合一”的性质即可求解；
（2）是；理由：由AD=CD=BD可得，，∠DBC=∠DCB ，从而得出 ，根据三角形内角和求出∠DBC+∠DCB=
120°，即得∠DBC=∠DCB=60°，根据等边三角形的判定方法即证.
24．（9分）（2021八上·平凉期中）探究与发现：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在底边BC上，AE=AD，连结DE.

（1）（3分）当∠BAD=60°时，求∠CDE的度数；
（2）（3分）当点D在BC （点B、C除外） 上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系；
（3）（3分）深入探究：若∠BAC≠90°，试就图②探究∠BAD与∠CDE的数量关系.
【答案】（1）解：∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，
∵∠BAD=60°，
∴∠DAE=30°，
∵AD=AE，
∴∠AED=75°，
∴∠CDE=∠AED-∠C=30°；
（2）设∠BAD=x，
∴∠CAD=90°﹣x，
∵AE=AD，
∴∠AED=45°+ ，
∴∠CDE= ；
∠CDE= ∠BAD
（3）设∠BAD=x，∠C=y，
∵AB=AC，∠C=y，
∴∠BAC=180°﹣2y，
∵∠BAD=x，
∴∠DAE=y+ ，
∴ .
∠CDE= ∠BAD
【思路引导】（1）根据等腰直角三角形的性质得 ∠B=∠C=45°，根据角的和差得 ∠DAE=30°， 根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理得 ∠AED=75°， 最后根据三角形外角的性质，由 ∠CDE=∠AED-∠C 即可求解；
（2）设∠BAD＝x，于是得到∠CAD＝90°−x，根据等腰三角形的性质得 ∠AED=45°+ ， 进而根据三角形外角的性质由 ∠CDE=∠AED-∠C 即可求解；
（3）设∠BAD＝x，∠C＝y，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理及三角形外角性质可求解．
25．（7分）（2020八上·松北期末）已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．

（1）（4分）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．
①求证：∠1＝∠2；
②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；
（2）（3分）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求 的值．
【答案】（1）解：①证明：如图1中，

∵AB＝AC，∠ABC＝60°
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AD⊥BN，
∴∠ADB＝90°，
∵∠MBN＝30°，
∠BFD＝60°＝∠1+∠BAF＝∠2+∠BAF，
∴∠1＝∠2
②证明：如图2中，

在Rt△BFD中，∵∠FBD＝30°，
∴BF＝2DF，
∵BF＝2AF，
∴BF＝AD，
∵∠BAE＝∠FBC，AB＝BC，
∴△BFC≌△ADB，
∴∠BFC＝∠ADB＝90°，
∴BF⊥CF
（2）解：在BF上截取BK＝AF，连接AK．

∵∠BFE＝∠2+∠BAF，∠CFE＝∠4+∠1，
∴∠CFB＝∠2+∠4+∠BAC，
∵∠BFE＝∠BAC＝2∠EFC，
∴∠1+∠4＝∠2+∠4
∴∠1＝∠2，∵AB＝AC，
∴△ABK≌CAF，
∴∠3＝∠4，S△ABK＝S△AFC，
∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠CFE＝∠AKB，∠BAC＝2∠CEF，
∴∠KAF＝∠1+∠3＝∠AKF，
∴AF＝FK＝BK，
∴S△ABK＝S△AFK，
∴ ．
【思路引导】（1）①只要证明∠2+∠BAF＝∠1+∠BAF＝60°即可解决问题；②只要证明△BFC≌△ADB，即可推出∠BFC＝∠ADB＝90°；（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．只要证明△ABK≌CAF，可得S△ABK＝S△AFC，再证明AF＝FK＝BK，可得S△ABK＝S△AFK，即可解决问题；
26．（10分）（2021八上·淳安期末）如图

（1）（5分）如图①，在△ABC中，D为△ABC外一点，若AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠B+∠ADC＝180°，求证：BC＝CD；
琮琮同学：我的思路是在AB上取一点F，使得AD=AF，连结CF，先证明△ADC≌△AFC得到DC＝FC，再证明CB＝CF，从而得出结论；
宸宸同学：我觉得也可以过点C作边AD的高线CG，由角平分线的性质得出CG=CE，再证明△GDC≌△EBC，从而得出结论.请根据两位同学的思路选择一种写出证明过程.
（2）（5分）如图②，D、E、F分别是等边△ABC的边BC、AB、 AC上的点， AD平分∠FDE， 且∠FDE=120°.求证：BE=CF.
【答案】（1）解：在AB上取点F，使AF＝AD．

∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠FAC，
∵AD＝AF，∠DAC＝∠FAC，AC＝AC（公共边）
∴△ADC≌△AFC（SAS），
∴DC＝FC，
∠CDA＝∠CFA，
又∵∠B+∠ADC＝180°，∠CFE+∠AFC＝180°，
∴∠B＝∠CFE，
∴CB＝CF，
又∵DC＝FC，
∴BC＝CD．
（2）证明：如图（2），在DE上取点G，使得DG=DF，
∵AD平分∠FDE， 且∠FDE=120°
∴∠ADE=∠ADF=60°，AD=AD
∴△ADG≌△ADF(SAS)
∴AG=AF，∠AGD=∠AFD
∵∠AGD+∠ADG+∠GAD=∠AFD+∠ADF+∠DAF=180°
∴∠AFD+∠AED=180°而∠AGD+∠AGE=180°
∴∠AED =∠AGE
∴AG=AE =AF，
∴AB－AE =AC－AF
∴BE=CF
【思路引导】（1）在AB上取点F，使AF＝AD，利用角平分线的定义可证得∠DAC＝∠FAC；再利用SAS证明△ADC≌△AFC，利用全等三角形的性质可推出DC＝FC；∠CDA＝∠CFA，利用补角的性质可知∠B＝∠CFE，利用等角对等边可证得CB＝CF，由此可推出结论.
（2）在DE上取点G，使得DG=DF，利用SAS证明△ADG≌△ADF，利用全等三角形的性质可推出AG=AF，∠AGD=∠AFD；再证明∠AED =∠AGE，可推出AG=AE=AF，然后根据AB－AE =AC－AF，可证得结论.
27．（10分）（2021八上·包河期末）在等腰△ABC中，AB=AC，点D是AC上一动点，点E在BD的延长线上，且AB=AE，AF平分∠CAE交DE于点F，连接FC．

（1）（3分）如图1，求证：∠ABE=∠ACF；
（2）（3分）如图2，当∠ABC=60°时，在BE上取点M，使BM=EF，连接AM．求证：△AFM是等边三角形；
（3）（4分）如图3，当∠ABC=45°，且AEBC时，求证：BD=2EF．
【答案】（1）证明：∵AF平分∠CAE，
∴∠EAF=∠CAF，
∵AB=AC，AB=AE，
∴AE=AC，
在△ACF和△AEF中，
∵AE=AC，∠EAF=∠CAF，AF=AF，
∴△ACF≌△AEF（SAS），
∴∠E=∠ACF，
∵AB=AE，
∴∠E=∠ABE，
∴∠ABE=∠ACF；
（2）解：如图，在BF上截取BM=CF，连接AM，

∵△ACF≌△AEF，
∴EF=CF，∠E=∠ACF=∠ABM，
在△ABM和△ACF中，
∵AB=AC，∠ABM=∠ACF，BM=CF，
∴△ABM≌△ACF（SAS），
∴AM=AF，∠BAM=∠CAF，
∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠MAF=∠MAC+∠CAF=∠MAC+∠BAM=∠BAC=60°，
∵AM=AF，
∴△AMF为等边三角形；
（3）解：如图3，延长BA、CF交于N，

∵AE∥BC，
∴∠E=∠EBC，
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠E，
∴∠ABF=∠CBF，
∵∠ABC=45°，
∴∠ABF=∠CBF=22.5°，∠ACB=45°，
∴∠BAC=180°-45°-45°=90°，
∴∠ACF=∠ABF=22.5°，
∴∠BFC=180°-22.5°-45°-22.5°=90°，
∴∠BFN=∠BFC=90°，
在△BFN和△BFC中，
∵∠NBF=∠CBF，BF=BF，∠BFN=∠BFC，
∴△BFN≌△BFC（ASA），
∴CF=FN，即CN=2CF=2EF，
∵∠BAC=90°，
∴∠NAC=∠BAD=90°，
在△BAD和△CAN中，
∵∠ABD=∠ACN ，AB=AC，∠BAD=∠CAN，
∴△BAD≌△CAN（ASA），
∴BD=CN，
∴BD=2EF．
【思路引导】（1）先求出 AE=AC， 再利用SAS证明 △ACF≌△AEF ，最后求解即可；
（2）利用全等三角形的判定与性质求解即可；
（3）先求出 △BFN≌△BFC ，再求出 △BAD≌△CAN ，最后证明即可。
28．（7分）（2021八上·虎林期末）在等腰△ABC中，AB＝BC，点D，E在射线BA上，BD＝DE，过点E作EF∥BC，交射线CA于点F．请解答下列问题：

（1）（3分）当点E在线段AB上，CD是△ACB的角平分线时，如图①，求证：AE＋BC＝CF；（提示：延长CD，FE交于点M．）
（2）（4分）当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的角平分线时，如图②；当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的外角平分线时，如图③，请直接写出线段AE，BC，CF之间的数量关系，不需要证明；
【答案】（1）解：如图①，延长CD，FE交于点M．
∵AB＝BC，EF∥BC，
∴∠A＝∠BCA＝∠EFA，
∴AE＝EF，
∴MF∥BC，
∴∠MED＝∠B，∠M＝∠BCD，
又∵∠FCM＝∠BCM，
∴∠M＝∠FCM，
∴CF＝MF，
又∵BD＝DE，
∴△MED≌△CBD（AAS），
∴ME＝BC，
∴CF＝MF＝ME＋EF＝BC＋AE，
即AE＋BC＝CF；
（2）AE＝CF＋BC
【完整解答】解：（2）当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的角平分线时，BC＝AE＋CF，
如图②，延长CD，EF交于点M．

由①同理可证△MED≌△CBD（AAS），
∴ME＝BC，
由①证明过程同理可得出MF＝CF，AE＝EF，
∴BC＝ME＝EF＋MF＝AE＋CF；
当点E在线段BA的延长线上，
CD是△ACB的外角平分线时，AE＝CF＋BC．
如图③，延长CD交EF于点M，

由上述证明过程易得△MED≌△CBD（AAS），BC＝EM，CF＝FM，
又∵AB＝BC，
∴∠ACB＝∠CAB＝∠FAE，
∵EF∥BC，
∴∠F＝∠FCB，
∴∠F＝∠FAE，
∴EF＝AE，
∴AE＝FE＝FM＋ME＝CF＋BC，即：AE＝CF＋BC．

【思路引导】（1）延长CD，FE交于点M，利用“AAS”证明△MED≌△CBD，得到ME=BC，并利用角平分线和平行的模型证明CF=MF，AE=EF，从而得证；
（2）延长CD，EF交于点M，类似于（1）的方法可证明当点E在线段BA的延长线上，CD是三角形ACB的角平分线时，BC=AE+CF，当点E在线段BA的延长线上，CD是三角形ACB的外角平分线时，AE=CF+BC。