2.3 用公式法求解一元二次方程 第2课时 数学北师大版九年级上册学案

3　用公式法求解一元二次方程

第2课时

【旧知再现】

1．三角形的面积公式：S＝__ah__(h是长为a的边上的高)；

2．矩形的面积公式：S＝__ab__(a是长，b是宽)；

3．菱形的面积公式：S＝__ab__(a，b是两对角线的长)；

4．正方形的面积公式：S＝__a2__(a是边长).

【新知初探】

阅读教材P44完成下面问题：

【问题】一个矩形的面积是10，长比宽大2，求矩形的长和宽．

你会发现：

1．问题是已知矩形的__面积__，求矩形的边长；

2．如果设宽是x，那么长是__(x＋2)__，根据__矩形的面积公式__，可列方程__x(x＋2)＝10__．

你发现的规律：已知一个几何图形的面积，求其边长(底或高)时，通常依据几何图形的__面积公式__列方程求解．设其中一边为未知数，并用其表示另一边．

【图表导思】

1．上面两个图形中空白部分的面积相同吗？

【解析】相同．

2．若空白部分的面积为540 m2，你能得到什么样的方程？

【解析】(32－x)(20－x)＝540.

　列一元二次方程解面积型问题

【教材P44引例补充】——与矩形有关的面积问题

(2020·西藏中考)列方程(组)解应用题

某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600 m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35 m，另外三面用69 m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1 m宽的门(不包括篱笆).求这个茶园的长和宽．

【完善解答】

设茶园垂直于墙的一边长为__x__m，

则另一边的长度为__(69＋1－2x)__m，设未知数

根据题意，得__x(69＋1－2x)＝600__，列方程

解得__x1＝15__，__x2＝20__，解方程

当x＝15时，70－2x＝40>35，不符合题意舍去；

__当x＝20时，70－2x＝30，符合题意__．验根

答：这个茶园的长和宽分别为30 m，20 m．作答

【归纳提升】

解决图形问题的三点注意

1．等量关系的寻找：可根据几何图形的特征，由面积公式、体积公式、勾股定理、全等等方面寻找等量关系．

2．转化思想的应用：在解决面积类问题时，常将不规则图形通过平移等转化为规则的图形，通过求面积列一元二次方程．

3．最终结果的检验：方程的解可以是任意实数，而实际问题的解应使实际问题有意义．

变式一：巩固 (2021·南京期中)从一块正方形的木板上锯掉2 m宽的长方形木条，剩下的面积是48 m2，则原来这块木板的面积是(B)

A．100 m2    B．64 m2

C．121 m2    D．144 m2

变式二：提升 (2021·铁岭期中)如图，在长30米，宽20米的矩形场地ABCD上，建有三条同样宽的小路，其中一条与AD平行，另两条与AB平行，其余的部分为草坪，已知草坪的总面积为551平方米，求小路的宽度．

【解析】设小路的宽为x米，

根据题意得：(30－x)(20－x)＝551，

解得：x＝49(舍去)或x＝1.

答：小路的宽为1米．

【火眼金睛】

如图所示，使用墙的一边(墙长7 m)，再用13 m的竹篱笆围三边，围成一个面积为20 m2的矩形，设与墙相对的边长为x m，可得长，宽分别为______________．

【正解】根据题意，得：x·＝20，

解得：x1＝5，x2＝8.

当x＝5时，此时宽为＝4(m).

当x＝8时，8>7，故舍去．

∴矩形的长为5 m，宽为4 m.

答案：5 m，4 m

【一题多变】

　用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD，墙可利用的最大长度为15米，一面利用墙，其余三面用篱笆围成，篱笆总长为24米．

(1)如图1，若围成的花圃面积为40平方米时，求BC的长．

(2)如图2，若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃面积为50平方米，请你判断能否成功围成花圃，如果能，求BC的长；如果不能，请说明理由．

【解析】(1)设BC的长度为x米，则AB的长度为米，

根据题意得：x·＝40，

整理得：x2－24x＋80＝0，解得：x1＝4，x2＝20.

∵20＞15，∴x2＝20(舍去).

答：BC的长为4米．

(2)不能围成，理由如下：

设BC的长为y米，则AB的长为米，

根据题意得：y·＝50，

整理得：y2－24y＋150＝0.

∵Δ＝(－24)2－4×1×150＝－24＜0，

∴该方程无实数根，

∴不能围成面积为50平方米的花圃．

【母题变式】

　【变式一】(变换条件)某建筑工程队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为440平方米．为了方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门．若设AB＝x米，则可列方程为(D)

A.x(81－4x)＝440　     B．x(78－2x)＝440　

C．x(84－2x)＝440　      D．x(84－4x)＝440

【变式二】(变换问法)如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用80米的围栏围成总面积为204平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？

【解析】设AB的长度为x米，则BC的长度为(80－4x)米，

根据题意得：(80－4x)x＝204，

解得：x1＝17，x2＝3，

则80－4x1＝12或80－4x2＝68，

∵68＞25，∴x2＝3(舍去)，

即AB＝17米，BC＝12米．

答：羊圈的边长AB为17米，BC为12米．

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