浙教版九年级上册第4章 相似三角形综合与测试同步达标检测题

浙教版初中数学九年级上册第四单元《相似三角形》

考试范围：第四章；考试时间：120分钟；总分：120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 下列各条线段中，成比例的是(    )

A. ，，， B. ，，，
C. ，，， D. ，，，

2. 如果均不为，则下列比例式中错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图，在中，，，，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，已知一组平行线，被直线、所截，交点分别为、、和、、，且，，，则(    )

A.
B.
C.
D.

5. 若∽，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如果三角形的每条边都扩大为原来的倍，那么三角形的每个角(    )

A. 都扩大为原来的倍 B. 都扩大为原来的倍
C. 都扩大为原来的倍 D. 都与原来相等

7. 如图，在矩形中，，，点、在边上，和交于点，若，则图中阴影部分的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，中，点、分别是、边的中点，则：(    )

A. ：
B. ：
C. ：
D. ：

9. 如图，小明为了测量大楼的高度，在离点米放了一个平面镜，小明沿方向后退米到点，此时从镜子中恰好看到楼顶的点，已知小明的眼睛点到地面的高度是米，则大楼的高度是(    )

A. 米
B. 米
C. 米
D. 米

10. “跳眼法”是指用手指和眼睛估测距离的方法，
    步骤：
    第一步：水平举起右臂，大拇指紧直向上，大臂与身体垂直；
    第二步：闭上左眼，调整位置，使得右眼、大拇指、被测物体在一条直线上；
    第三步：闭上右眼，睁开左眼，此时看到被测物体出现在大拇指左侧，与大拇指指向的位置有一段横向距离，参照被测物体的大小，估算横向距离的长度；
    第四步：将横向距离乘以人的手臂长度与眼距的比值一般为，得到的值约为被测物体离观测点的距离值．
    如图是用“跳眼法”估测前方一辆汽车到观测点距离的示意图，该汽车的长度大约为米，则汽车到观测点的距离约为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

11. 下列各组图形中，一定相似的是(    )

A. 所有矩形 B. 所有正方形 C. 所有菱形 D. 所有平行四边形

12. 如图，以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，以下说法中错误的是(    )

A. ∽
B. 点、点、点三点在同一直线上
C. ：：
D.
 

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 已知中的三边，，，，，分别为，，上的高，则          ．
14. 如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、如果，，那么线段的长是______．

15. 如图，已知，点是上一点，连接要使∽，只需添加条件                    只要写出一种合适的条件．

16. 已知两个相似多边形的周长比为：，它们的面积和为，则较小多边形的面积是______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 如图，乐器上的一根弦，两个端点、固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，求、之间的距离．

18. 已知：中，为上的中线，点在上，且，射线交于点，求的值．

19. 如图，在矩形中，点、分别在边、上，∽，，，求的长．

20. 如图，已知，则与相似吗？为什么？

21. 如图，在中，，于点，是的中点，连结，与相交于点求证：∽．

22. 某小队在探险过程途中发现一个深坑，小队人员为了测出坑深，采取如下方案：如图所示，在深坑左侧用观测仪从观测出发点观测深坑底部，且观测视线刚好经过深坑边缘点，在深坑右侧用观测仪从测出发点观测深坑底部，且观测视线恰好经过深坑边缘点，点，，，，，在同一水平线上
    已知：，，观测仪高，观测仪高，，，深坑宽度，请根据以上数据计算深坑深度多少米？

23. 如图，小明欲测量一座垂直于地面的古塔的高度，他直立站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他与该塔的距离，已知小明的身高，他的影长．
    图中与是否相似？请说明理由．
    求出古塔的高度．

24. 如图，在中，，且，写出图中的相似三角形，并指出其相似比．

25.  如图，把缩小后得到，求与的相似比．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了比例线段：对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比即它们的长度比与另两条线段的比相等，如  ：：即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．根据比例线段的定义对各选项分别进行判断即可．
【解答】
解：因为：：，则，，，不是比例线段，所以选项错误；
B.因为：：，则，，，不是比例线段，所以选项错误；
C.因为：：，则，，，不是比例线段，所以选项错误；
D.因为：：，则，，，是比例线段，所以选项正确．
故选D．  

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积．
根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．
【解答】
解：由得，，故本选项正确，不符合题意；
B.由得，，故本选项错误，符合题意；
由得，，故本选项正确，不符合题意；
D.由得，，故本选项正确，不符合题意．
故选B．  

3.【答案】 

【解析】解：，
，即，
解得：，
故选：．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，即，
解得，，
故选：．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：∽，
，
，，
，
故选：．
根据∽，可以得到，然后根据，，即可得到的值．
本题考查相似三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用相似三角形的性质解答．
 

6.【答案】 

【解析】解：所得的三角形与原三角形相似
三角形的每个角都与原来相等
故选：．
三角形的每条边都扩大为原来的倍，所得的三角形与原三角形相似，相似比是：，根据相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等．
本题主要考查相似三角形的性质，对应角相等．
 

7.【答案】 

【解析】解：过点作于，延长交于，

四边形是矩形，
，，
，
，
，，
∽，，
：：：，
又，
，，
，
，，
．
故选：．
过点作于，延长交于，通过证明∽，可得：：：，可求，的长，由面积的和差关系可求解．
本题主要考查了矩形的性质以及相似三角形的判定与性质，求出阴影部分的面积可以转化为几个规则图形的面积的和或差的关系．
 

8.【答案】 

【解析】解：点，分别是的边，的中点，
，，
即，
，
∽，相似比为，
，
是边的中点，
，
：：．
故选：．
首先证明∽，进而证明，，即可解决问题．
本题考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题，解题的关键是牢固掌握相似三角形的判定及其性质．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了相似三角形的应用，根据已知得出∽是解题关键．由图不难得出，∽，再利用相似三角形对应边成比例，进而可求解线段的长．
【解答】
解：，，
，
，
∽．
，
即，
，
即楼房的高度为．
故选A．  

10.【答案】 

【解析】解：观察图形，横向距离大约是汽车的长度的倍，
汽车的长度大约为米，
横向距离大约是米，
由“跳眼法”的步骤可知，将横向距离乘以，得到的值约为被测物体离观测点的距离值，
汽车到观测点的距离约为米，
故选：．
根据图形估计出横向距离，再根据“跳眼法”的步骤得到答案．
本题考查的是图形的相似以及“跳眼法”，正确估计出横向距离是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查相似图形的定义，即图形的形状相同，但大小不一定相同的是相似形．
根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【解答】
解：所有矩形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；
B.所有正方形，形状相同，但大小不一定相同，符合相似定义，故正确
C.所有菱形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；
D.所有平行四边形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；
故选B．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的性质是解题关键．
直接利用位似图形的性质进而分别分析得出答案．
【解答】
解：以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，
∽，点、点、点三点在同一直线上，，
：：，故选项C错误，符合题意．
故选：．  

13.【答案】：： 

【解析】

【分析】
本题考查了三角形的面积和比例线段．同一个三角形依面积公式可以有三种不同的表示法，这是解答此题的关键．设的面积为，根据面积相等可以列出，由此易求：：的值．
【解答】
解：设的面积为，则
，则，
，，
故：：：：．
故答案是：：．  

14.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
即，
，
．
故答案为：．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入已知数据计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
 

15.【答案】或或：：答案不唯一 

【解析】

【分析】
本题考查了相似三角形的判定，答案不唯一要判定两三角形相似，已知有一组公共角，则再添加一组角或夹公共角的两组边对应成比例，即可证明两个三角形相似．
【解答】
解：，，
∽；
，，
∽；
，：：，
∽．
故答案为或或：：答案不唯一  

16.【答案】 

【解析】解：两个相似多边形的周长比为：，
两个相似多边形的面积比为：，
设较小多边形的面积为，则较大多边形的面积为，
它们的面积和为，
，
，
较小多边形的面积是，
故答案为：．
根据相似多边形的性质可得，两个相似多边形的面积比为：，从而设设较小多边形的面积为，则较大多边形的面积为，然后根据它们的面积和为，
列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．
 

17.【答案】解：点是靠近点的黄金分割点，点是靠近点的黄金分割点，
，
．
答：之间的距离为． 

【解析】根据黄金分割的概念和黄金比值计算即可．
此题考查了黄金分割点的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．
 

18.【答案】解：过点作交于，
则，，
． 

【解析】过点作交于，根据平行线分线段成比例定理得到则，，计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，正确作出辅助线、灵活运用定理是解题的关键．
 

19.【答案】解：∽，
．
，，，
．
在中，
． 

【解析】本题考查的是相似三角形的性质和勾股定理，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
先根据相似三角形的性质求出的长，再由勾股定理即可得出结论．
 

20.【答案】解：与相似．理由如下：
，
，
即，
又在和中，，
，
在和中
，
，
∽． 

【解析】两个三角形的若是有两组角相等，那么这两个三角形是相似三角形．根据题意可分别求出两组角相等，从而知道与相似．
本题考查相似三角形的判定定理，两个三角形的两组角对应相等，那么这两个个三角形互为相似三角形．
 

21.【答案】证明：，是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，即
∽． 

【解析】本题考查了相似三角形的判定及等腰三角形的性质，求得是解决本题的关键．
由根据等腰三角形的性质可得，，再根据，，即可得到，结论∽得证．
 

22.【答案】解：过点作垂直，垂足为，如图：

，，，
，，
∽，∽，
，，
，，
，
，，，，，
设，则，
，
，
，
深坑深度米． 

【解析】过点作垂直，垂足为，然后根据已知证明∽，∽，得出，设，则米，解得，再求即可．
本题考查相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．
 

23.【答案】解：，，
可得∽，
∽，
，即，
即，
米，
古塔的高度为米． 

【解析】根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似；
利用相似三角形的性质求得相应线段的长即可．
本题考查了相似三角形应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
 

24.【答案】解：，
∽
又，，
，
，即与的相似比为． 

【解析】见答案．
 

25.【答案】解：相似三角形对应边的比是它们的相似比，故与的相似比为． 

【解析】见答案．