【暑假分层作业】第01练 相交线-2022年七年级数学(含答案及解析)

第01练 相交线

知识点1 直线交点个数

1、两条直线交于一点，我们称这两条直线相交，相对的，我们称这两条直线为相交线．

2、 n条直线两两相交，最多有1+2+3+…+（n﹣1）=个交点，最少有1个交点．

知识点2 邻补角与对顶角

邻补角

1. 邻补角：两个角有一条公共边，他们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角.

2. 邻补角的模型：

∠1和∠3是邻补角，∠1和∠4是邻补角，∠2和∠3是邻补角，∠2和∠4是邻补角，

特点：①成对出现；②两个角有公共的顶点；③两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.

3. 邻补角的性质：两个角的和为180°.

对顶角

1. 对顶角的模型：

∠1和∠2是对顶角，∠3和∠4是对顶角.

特点：①成对出现；②两个角有公共的顶点；③每个角的两边互为另一个角的反向延长线.

2. 对顶角的性质：对顶角相等.

知识点3 垂线

垂线

1. 两直线相交所形成的角中，当有一个角等于90°时，这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，他们的交点叫做垂足.

2. 垂直的模型：

②直线a垂直于直线b于点O（或直线b垂直于直线a于点O）.

结论：两垂直直线形成的四个角都是直角，均为90°.

3. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

垂线段

1. 过直线外一点作直线的垂线，以这个点和垂足为端点的线段叫做这个点到直线的垂线段.

2. 垂线段模型：

线段AB是点A到直线a的垂线段.

3. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.

简单说成：垂线段最短.

4. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.

注意：距离是长度，不是线段.

知识点4 同位角、内错角、同旁内角

三线八角模型：

1. 同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角分别在两直线的同一方，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．如∠1与∠8，∠2与∠5.

2. 内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两侧，则这样一对角叫做内错角．如∠1与∠6，∠4与∠5.

3. 同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同一旁，则这样一对角叫做同旁内角．如∠1与∠5，∠4与∠6.

4. 三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U” 形.

1．如图，直线a，b被c所截，则与是（       ）

A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角

【答案】A

【解析】

【分析】

两条直线a、b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，被截两直线a、b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角，根据同位角的特点选择即可．

【详解】

解：∵和 两个角都在两被截直线b和a的同侧，并且在第三条直线c的的同旁，

∴和是直线a，b被c所截而成的同位角．

故选A．

【点睛】

本题考查了同位角，内错角，同旁内角和邻补角的判别，熟练掌握每种角的特征是解题的关键．

2．如图，AB与CD相交于点O，OE是的平分线，且OC恰好平分，则下列结论中：①；②；③；④，正确的个数有（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】D

【解析】

【分析】

根据角平分线的定义和对顶角的性质，逐项判断即可求解．

【详解】

解：∵OE是的平分线，

∴，故①正确；

∵OC恰好平分，

∴，故②正确；

∴，

∵，

∴，故③正确；

∵，

∴，

∵，

∴，故④正确；

∴正确的有4个．

故选：D

【点睛】

本题主要考查了角平分线的定义和对顶角的性质，熟练掌握一般地，从一个角的顶点出发，在角的内部把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线；对顶角相等是解题的关键．

3．如图，直线AB，CD相交于点O，于点O，，则的度数（       ）

A．50° B．120° C．130° D．140°

【答案】C

【解析】

【分析】

根据垂直定义得出∠EOD=90°，得出，根据对顶角相等，得出∠AOC的度数即可．

【详解】

解：，

∴∠EOD=90°，

∵∠1=40°，

∴，

∴∠AOC=∠BOD=130°，故C正确．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了垂直的定义，对顶角性质，求出∠BOD的度数是解题的关键．

4．如图，直线AB，CD相交于点O，．若，则∠BOD的度数为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

先求解结合，求解，再利用对顶角的性质可得答案．

【详解】

解： ，

，

故选B

【点睛】

本题考查的是垂直的定义，角的和差运算，对顶角的性质，熟练的运用几何图形中角的和差关系是解本题的关键．

5．如图，直线AB，CD相交于点O，于点O，若，则的度数为（       ）

A．30° B．25° C．20° D．10°

【答案】D

【解析】

【分析】

先根据对顶角相等得出，再由垂直的定义得出，进一步求出，即可得到答案．

【详解】

解：∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴．

故选：D．

【点睛】

本题主要考查垂线，解题的关键是掌握垂线的定义和对顶角的性质．

6．李庄附近有一条河，为了方便出行，村民想在河两岸搭建一座桥，图中搭建方式中，最短的是______，理由是______．

【答案】     AC##CA     垂线段最短

【解析】

【分析】

根据从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短，可知搭建方式最短的是AC，理由是垂线段最短．

【详解】

解：因为AC⊥BE，垂足为C，则AC为垂线段，可知最短的是AC，理由是垂线段最短．

故答案为：AC，垂线段最短．

【点睛】

本题考查了垂线的性质：从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．

7．点O在直线AB上，过点O作射线OC、OD，使得OC⊥OD，若∠AOC＝20°，则∠BOD的度数是______．

【答案】或

【解析】

【分析】

根据题意可知，射线OC、OD可能在直线AB的同侧，也可能在直线AB的异侧，分两种情况进行讨论即可．

【详解】

如图，当OC，OD在直线AB同侧时，

∵OC⊥OD，∠AOC＝20°，

∴；

如图，当OC，OD在直线AB异侧时，

∴．

综上可知，∠BOD的度数是或．

【点睛】

本题主要考查了垂线的定义，解决问题的关键是根据题意画出图形，解题时注意分类讨论思想的运用．

8．如图，直线AB与CD相交于点O，OM⊥AB，若∠DOM＝55°，则∠AOC＝______°．

【答案】35

【解析】

【分析】

根据垂线的定义，求一个角的余角即可求解．

【详解】

解：∵OM⊥AB，

∴∠BOM＝90°，

∵∠DOM＝55°，

∴∠BOD＝90°﹣55°＝35°，

∴∠AOC＝∠BOD＝35°，

故答案为：35．

【点睛】

本题考查了求一个角的余角，掌握垂线的定义是解题的关键．

9．如图，直线AB，CD交于点O，OC平分∠BOE，OE⊥OF，若∠DOF＝15°，则∠EOA＝_________．

【答案】30°##30度

【解析】

【分析】

根据垂直定义可得∠EOF＝90°，从而利用平角定义求出∠COE＝75°，然后利用角平分线的定义求出∠BOE＝2∠COE＝150°，最后利用平角定义求出∠EOA，即可解答．

【详解】

解：∵OE⊥OF，

∴∠EOF＝90°，

∵∠DOF＝15°，

∴∠COE＝180°﹣∠EOF﹣∠DOF＝75°，

∵OC平分∠BOE，

∴∠BOE＝2∠COE＝150°，

∴∠AOE＝180°﹣∠∠BOE＝30°，

故答案为：30°．

【点睛】

本题考查了垂线，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．

10．已知点O是直线上一点，，平分，，请写出下列正确结论的序号_____________

①②③④

【答案】①②③

【解析】

【分析】

根据图形的特点及角平分线的概念依次求出各角度即可解答．

【详解】

解：∵，

∴∠BOC=180°-=130°，则①正确

∵OD平分，

∴∠AOD=，则②正确

∴∠BOD=180°-∠AOD=155°，则③正确

∵

∴∠COE=-=40°，则④错误．

故答案为：①②③．

【点睛】

本题主要考查角平分线、垂直、邻补角的定义以及角的和差等知识点，熟知邻补角的定义及角平分线的定义成为解答本题的关键．

11．如图，直线AB、CD相交于点O，，且，求的度数．

【答案】

【解析】

【分析】

结合图形，根据对顶角、垂直关系、互余等找到各个角之间的关系求解即可．

【详解】

解：直线AB、CD相交于点O，

，

，

，

，

，

故的度数是．

【点睛】

本题考查求角度问题，涉及到对顶角相等、垂直定义和互余求角度，熟练掌握相关概念是解决问题的关键．

12．如图，直线，相交于点，平分，，求的度数．

【答案】

【解析】

【分析】

利用余角、邻补角和垂线的定义来求解即可．

【详解】

解：，，

，

，

，

平分，

．

【点睛】

本题考查的是余角、邻补角和垂线的定义，解题的关键是掌握互余两角的和为90°，互补两角的和为180°．

13．如图，直线AB和CD相交于点O，，OF平分．

(1)若，求的度数；

(2)若，求的度数．

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）由对顶角相等求出，从而可得的度数，再由平角的定义求；

（2）设，，利用角平分线的性质表示出，再由解方程即可求出的值，从而计算的度数．

(1)

解：，

，

，

．

(2)

解：设，，则，

平分，

，

，

，

解得，

．

【点睛】

本题考查了对顶角的性质，角平分线的定义，平角的定义，掌握角的相关性质定理是解题的关键．

14．已知：如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，∠EOC＝∠COB．

(1)图中的对顶角有　   　对，它们是　   　．

(2)图中互补的角有　   　对，它们是　   　．

(3)求∠EOD的度数．

【答案】(1)两；∠AOC和∠BOD，∠BOC和∠AOD

(2)八；∠AOC和∠BOC，∠AOC和∠AOD，∠BOD和∠AOD，∠BOD和∠BOC，∠AOE和∠BOE，∠EOC和∠EOD，∠EOC和∠EOB，∠AOE和∠EOD

(3)140°

【解析】

【分析】

（1）根据对顶角的定义，判断即可；

（2）根据补角的定义进行判断即可；

（3）根据OE平分∠AOC，得出∠EOC＝∠AOE，设∠BOC＝x，则∠EOC＝∠AOE＝x，列出关于x的方程，解方程即可得出∠BOC的度数，再求出∠DOE的度数，即可得出结果．

(1)

解：图中的对顶角有：∠AOC和∠BOD，∠BOC和∠AOD．

故答案为：两；∠AOC和∠BOD，∠BOC和∠AOD．

(2)

图中互补的角有：∠AOC和∠BOC，∠AOC和∠AOD，∠BOD和∠AOD，∠BOD和∠BOC，∠AOE和∠BOE，∠EOC和∠EOD，

∵OE平分∠AOC，

∴∠AOE=∠COE，

∵∠AOE+∠BOE=180°，

∴∠COE+∠BOE=180°，

∴∠EOC和∠EOB互补，

∵∠COE+∠EOD=180°，

∴∠AOE+∠EOD=180°，

∴∠AOE和∠EOD互补．

故答案为：八；∠AOC和∠BOC，∠AOC和∠AOD，∠BOD和∠AOD，∠BOD和∠BOC，∠AOE和∠BOE，∠EOC和∠EOD，∠EOC和∠EOB，∠AOE和∠EOD．

(3)

∵OE平分∠AOC，

∴∠EOC＝∠AOE，

设∠BOC＝x，则∠EOC＝∠AOE＝x，由平角定义得，

x+x+x＝180°，

解得：x＝100°

∴∠EOC＝∠AOE＝（180°﹣100°）＝40°，

∴∠DOE＝100°+40°＝140°，

答：∠EOD的度数为140°．

【点睛】

本题主要考查了对顶角的定义、补角的定义、角平分线的定义，熟练掌握相关定义，根据题意求出∠BOC的度数，是解题的关键．

15．（1）如图1，点B在直线AC上，∠ABD90°，BE平分∠ABD．试说明∠CBD2∠DBE．

（2）如图2，点B在直线AC上，∠EBD90°，BF平分∠ABD，试说明∠CBD2∠EBF．

（3）如图3，点B在直线AC上，∠EBD90°，BF平分∠ABD，（2）中的结论还成立吗？如果不成立，写出你发现的结论，并说明理由；如果成立，也请说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）成立，理由见解析

【解析】

【分析】

（1）分别求解 从而可得结论；

（2）先证明可得再利用等量代换可得结论；

（3）设 求解 再求解 从而可得结论．

【详解】

解：（1） 点B在直线AC上，∠ABD90°，

BE平分∠ABD，

（2） 点B在直线AC上，∠EBD90°，

BF平分∠ABD，

即

（3）成立，理由见解析：

设 而BF平分∠ABD，

∠EBD90°，

【点睛】

本题考查的是与余角和补角有关的计算，角平分线的定义，熟练的运用角的和差运算是解本题的关键．

1．如图，C是直线AB上一点，CD⊥AB，EC⊥CF，则图中互余的角的对数与互补的角的对数分别是（     ）

A．3，4 B．4，7 C．4，4 D．4，5

【答案】B

【解析】

【分析】

根据垂直的定义、角互余与互补的定义即可得．

【详解】

，

，

，，

，

，

，

，，

，

则图中互余的角的对数为4对；

，

，

点C是直线AB上一点，

，

，，

又，，

，，

则图中互补的角的对数为7对，

故选：B．

【点睛】

本题考查了垂直的定义、角互余与互补的定义，熟练掌握各定义是解题关键．

2．已知直线，垂足为，在内部，，于点，则的度数是______．

【答案】125°或55°

【解析】

【分析】

根据题意画出图形，分两种情况：当点F在射线OM上，当点F′在射线ON上，然后分别进行计算即可解答．

【详解】

解：如图：

分两种情况：

当点F在射线OM上，

∵AB⊥CD，OF⊥OE，

∴∠AOC＝∠EOF＝90°，

∴∠AOC＋∠COF＝∠EOF＋∠COF，

∴∠AOF＝∠COE，

∵∠COE＝125°，

∴∠AOF＝125°，

当点F′在射线ON上，

∵∠AOF＝125°，

∴∠AOF′＝180°−∠AOF＝55°，

综上所述，∠AOF的度数为125°或55°，

故答案为：125°或55°．

【点睛】

本题考查了对顶角、邻补角，垂线，根据题目的已知条件画出图形进行分析是解题的关键，同时渗透了数学的分类讨论思想．

3．直线，相交于点O，于点O，作射线，且在的内部．

(1)当点E，F在直线的同侧，

①如图1，若，，求的度数；

②如图2，若平分，请判断是否平分，并说明理由；

(2)若，请直接写出与之间的数量关系．

【答案】(1)①；②平分，理由见解析；

(2)或；

【解析】

【分析】

（1）①利用余角的定义以及角之间的关系可求出；②利用平分可得，利用余角的定义证明，，即，再由对顶角相等，等量代换可得，所以平分；

（2）需要分类讨论，当点E，F在直线的同侧和点E，F在直线的异侧两种情况，再分别表示出与，再消去即可．

(1)

解：①∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

②平分，如下图：

∵平分，

∴，

∵，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∴平分．

(2)

解：设，则，

当点E，F在直线的同侧时，如图：

，

∴，①

，②

令①×3+②×2可得：，

当点E，F在直线的异侧时，如图：

，

∴，①

，②

令①+②×2可得：，

综上所述：或．

【点睛】

本题考查对顶角，角平分线的定义，（2）稍有难度，关键是对E点的位置进行讨论，考查学生的计算能力．