第5章 相交线与平行线-暑假分层作业3 平行线的模型(解析版)

这是一份第5章 相交线与平行线-暑假分层作业3 平行线的模型(解析版)，共30页。

第03练 平行线的模型


平行线四大模型
模型一“铅笔”模型

点P在EF右侧，在AB、 CD内部

“铅笔”模型

结论1：若AB∥CD,则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；
结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.


模型二“猪蹄”模型（M模型）

点P在EF左侧，在AB、 CD内部

“猪蹄"模型

结论1:若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；
结论2:若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.


模型三“鸡翅”模型

点P在EF右侧,在AB、 CD外部

“臭脚"模型
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；
结论2：若∠P=∠AEP—∠CFP或∠P=∠CFP—∠AEP,则AB∥CD。

模型四“骨折”模型

点P在EF左侧，在AB、 CD外部

“骨折”模型
结论1：若AB∥CD,则∠P=∠CFP—∠AEP或∠P=∠AEP—∠CFP；
结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP—∠CFP，则AB∥CD.




模型一：铅笔模型
1．如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（     ）

A．70° B．65° C．35° D．50°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平行线的性质和∠1=30°，∠2=35°，可以得到∠BCE的度数，本题得以解决．
【详解】
解：作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴AB∥DE∥CF，
∴∠1=∠BCF，∠FCE=∠2，
∵∠1=30°，∠2=35°，
∴∠BCF=30°，∠FCE=35°，
∴∠BCE=65°，
故选：B．

【点睛】
本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．
2．如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则α与β一定满足的等式是（　　）

A．α+β＝180° B．α+β＝90° C．β＝3α D．α﹣β＝90°
【答案】D
【解析】
【分析】
过C作CF∥AB，根据平行于同一条直线的两条直线平行得到AB∥DE∥CF，根据平行线的性质得到作差即可．
【详解】
详：过C作CF∥AB，

∵AB∥DE，
∴AB∥DE∥CF，
∴
∴
故选：D．
【点睛】
考查平行公理已经平行线的性质，解题的关键是注意辅助线的作法，作出辅助线．
3．已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示方式放置（∠BAC＝30°），并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝22°，则∠2的度数是_____．

【答案】38°
【解析】
【分析】
过点B作BD∥a，可得∠ABD=∠1=22°，a∥b，可得BD∥b，进而可求∠2的度数．
【详解】
如图，过点B作BD∥a，
∴∠ABD=∠1=22°，

∵a∥b，
∴BD∥b，
∴∠2=∠DBC=∠ABC-∠ABD=60°-22°=38°．
故答案为：38°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
4．如图，AB//CD，点 为两平行线间的一点．请证明两个结论．


（1）；
（2）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】
【分析】
（1）过点作，根据平行线的性质求证即可；
（2）根据平行线的性质即可得证；
【详解】
（1）过点作，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
，，
．


（2）
，

，
又∵∠BED=∠BEF+∠DEF，
．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．


模型二：“猪蹄”模型（M模型）
1．如图，已知，，，则的度数是（       ）

A．80° B．120°
C．100° D．140°
【答案】C
【解析】
【分析】
过E作直线MN//AB，根据两直线平行，同旁内角互补即可求出∠1，进而可求出∠2，然后根据平行于同一条直线的两直线平行可得MN//CD，根据平行线性质从而求出∠C．
【详解】
解：过E作直线MN//AB，如下图所示，

∵MN//AB，
∴∠A+∠1＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠1＝180°﹣∠A＝180°﹣140°＝40°，
∵，
∴
∵MN//AB，AB//CD，
∴MN//CD，
∴∠C+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠C＝180°﹣∠2＝180°﹣80°＝100°，
故选：C．
【点睛】
此题考查的是平行线的判定及性质，掌握构造平行线的方法是解决此题的关键．
2．如图，直线，，则（        ）

A．150° B．180° C．210° D．240°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意作直线l平行于直线l1和l2，再根据平行线的性质求解即可.
【详解】
解：作直线l平行于直线l1和l2．


，
．
，
．
故选C．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，掌握两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等是解题关键．
3．如图，若直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝30°则∠2的度数为 ___．

【答案】150°##150度
【解析】
【分析】
延长AB交l2于E，根据平行线的判定可得AB∥CD，根据平行线的性质先求得∠3的度数，再根据平行线的性质求得∠2的度数．
【详解】
解：延长AB交l2于E，
∵∠α=∠β，
∴AB∥CD，
∴∠2+∠3=180°
∵l1∥l2，
∴∠3=∠1=30°，
∴∠2=180°-∠3=150°．
故答案为：150°．

【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质和判定定理是解题的关键．
4．如图，直线a与∠AOB的一边射线OA相交，∠1＝130°，向下平移直线a得到直线b，与∠AOB的另一边射线OB相交，则∠2+∠3＝___．

【答案】
【解析】
【分析】
过点O作，利用平移的性质得到，可得判断，根据平行线的性质得，，可得到，从而得出的度数．
【详解】
解：过点O作，
∵直线a向下平移得到直线b，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．

【点睛】
本题考查了平移的性质，平行线的性质，过拐点作已知直线的平行线是解题的关键．
5．综合探究：已知，点、分别是、上两点，点在、之间，连接、．
       
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数．
【答案】（1）90°；（2）120°
【解析】
【分析】
（1）过作，根据平行线的传递性、两直线平行内错角相等解题；
（2）过作，过点作，根据两直线平行，内错角相等性质解得，再根据角平分线性质，求得，最后再用平行线定理解题，证明，进而计算的值即可．
【详解】
解：（1）如图1，过作，
，

，


图1
（2）如图2，过作，过点作设
，，

，
，，

平分，平分，

，
，

平分，
，
，
，，
，，

图2
【点睛】
本题考查平行线的定理、角平分线的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
6．(1)问题情景：如图1，AB//CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．
小明想到一种方法，但是没有解答完：
如图2，过P作PE//AB，∴∠APE+∠PAB=180°，
∴∠APE=180°-∠PAB=180°-130°=50°
∵AB//CD，∴PE//CD．
……
请你帮助小明完成剩余的解答．
(2)问题迁移：请你依据小明的解题思路，解答下面的问题：
如图3，AD//BC，当点P在A、B两点之间时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，则∠CPD，∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由．

【答案】(1) 110°，见解析；(2) ∠CPD=∠α+∠β，理由见解析
【解析】
【分析】
(1)过P作PE∥AB，构造同旁内角，通过平行线性质，可得∠APC=50°+60°=110°
(2)过P作PE∥AD交CD于E点，推出AD∥PE∥BC，根据平行线性质得到∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案.
【详解】
解：(1)剩余过程：∠CPE+∠PCD=180°，
∴∠CPE=180°-120°=60°
∠APC=50°+60°=110°；
(2)∠CPD=∠α+∠β，理由如下：
如下图，过P作PE∥AD交CD于点E，

∵AD∥BC
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β.
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考察学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角.


模型三：“鸡翅”模型
1．已知：如图，直线．求证：.

【解析】过点C 作CF∥AB，

∵AB∥ED，
∴AB∥ED∥CF，
∴∠BCF=∠ABC，∠DCF=∠EDC，
∴∠ABC+∠CDE=∠BCD；
2．已知，，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，作的平分线交于点，点为上一点，连接，若的平分线交线段于点，连接，若，过点作交的延长线于点，且，求的度数．

【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的性质得出，再根据等量代换可得，最后根据平行线的判定即可得证；
（2）过点E作，延长DC至Q，过点M作，根据平行线的性质及等量代换可得出，再根据平角的含义得出，然后根据平行线的性质及角平分线的定义可推出；设，根据角的和差可得出，结合已知条件可求得，最后根据垂线的含义及平行线的性质，即可得出答案．
【详解】
（1）证明：



；
（2）过点E作，延长DC至Q，过点M作



，，，











AF平分

FH平分



设

，













．
【点睛】
本题考查了平行线的判定及性质，角平分线的定义，能灵活根据平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键．

模型四：“骨折”模型
1．如图，如果AB∥EF，EF∥CD，则∠1，∠2，∠3的关系式__________．

【答案】∠2+∠3﹣∠1=180°
【解析】
【分析】
根据平行线的性质和平角定义求解即可．
【详解】
解：∵AB∥EF，EF∥CD，
∴∠2+∠BOE=180°，∠3+∠COF=180°，
∴∠2+∠3+∠BOE+∠COF=360°，
∵∠BOE+∠COF+∠1=180°，
∴∠BOE+∠COF=180°﹣∠1，
∴∠2+∠3+（180°﹣∠1）=360°，
即∠2+∠3﹣∠1=180°．
故答案为：∠2+∠3﹣∠1=180°．
【点睛】
本题考查平行线的性质、平角定义，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．
2．已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．
（1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；
（2）如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为 　 　．
（3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠APD，求∠AND的度数．

【答案】（1）∠APD=80°；（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；（3）∠AND=45°．
【解析】
【分析】
（1）首先过点P作PQ∥AB，则易得AB∥PQ∥CD，然后由两直线平行，同旁内角互补以及内错角相等，即可求解；
（2）作PQ∥AB，易得AB∥PQ∥CD，根据平行线的性质，即可证得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；
（3）先证明∠NOD=∠PAB，∠ODN=∠PDC，利用（2）的结论即可求解．
【详解】
解：（1）∵∠A=50°，∠D=150°，
过点P作PQ∥AB，

∴∠A=∠APQ=50°，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠D+∠DPQ=180°，则∠DPQ=180°-150°=30°，
∴∠APD=∠APQ+∠DPQ=50°+30°=80°；
（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，
如图，作PQ∥AB，

∴∠PAB=∠APQ，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠CDP+∠DPQ=180°，即∠DPQ=180°-∠CDP，
∵∠APD=∠APQ-∠DPQ，
∴∠APD=∠PAB-(180°-∠CDP)=∠PAB+∠CDP-180°；
∴∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；
(3)设PD交AN于O，如图，

∵AP⊥PD，
∴∠APO=90°，
由题知∠PAN+∠PAB=∠APD，即∠PAN+∠PAB=90°，
又∵∠POA+∠PAN=180°-∠APO=90°，
∴∠POA=∠PAB，
∵∠POA=∠NOD，
∴∠NOD=∠PAB，
∵DN平分∠PDC，
∴∠ODN=∠PDC，
∴∠AND=180°-∠NOD-∠ODN=180°-(∠PAB+∠PDC)，
由(2)得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，
∴∠PAB+∠PDC=180°+∠APD，
∴∠AND=180°-(∠PAB+∠PDC)
=180°-(180°+∠APD)
=180°-(180°+90°)
=45°，
即∠AND=45°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
3．如图1，MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间．
（1）求证：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；
（2）如图2，CD∥AB，点E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，求证：∠MCA＝∠DCE；

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；
【解析】
【分析】
（1）过点A作AD∥MN，根据两直线平行，内错角相等得到∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，根据角的和差等量代换即可得解；
（2）由两直线平行，同旁内角互补得到∴、∠CAB+∠ACD＝180°，由邻补角定义得到∠ECM+∠ECN＝180°，再等量代换即可得解；
【详解】
解：（1）证明：如图1，过点A作AD∥MN，

∵MN∥PQ，AD∥MN，
∴AD∥MN∥PQ，
∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，
∴∠CAB＝∠DAC+∠DAB＝∠MCA+∠PBA，
即：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；
（2）如图2，∵CD∥AB，
∴∠CAB+∠ACD＝180°，
∵∠ECM+∠ECN＝180°，
∵∠ECN＝∠CAB
∴∠ECM＝∠ACD，
即∠MCA+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，
∴∠MCA＝∠DCE；
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，线段、角、相交线与平行线，准确的推导是解决本题的关键．
































1．如图，AB//ED，α＝∠A+∠E， β＝∠B+∠C+∠D，则β与α的数量关系是（     ）


A．2β＝3α B．β＝2α C．2β＝5α D．β＝3α
【答案】B
【解析】
【分析】
作CF//ED，利用平行线的性质求得β与α，再判断β与α的数量关系即可．
【详解】
解：如图，作CF//ED，
   ∵AB//ED，
∴∠A+∠E=180°= α ，
∵ED//CF，
∴∠D+∠DCF=180°，
∵AB//ED，ED//CF，
∴AB//CF，
∴∠B+∠BCF=180°，


∴∠D+∠DCF+∠B+∠BCF=180°+180°
即 ∠B+∠C+∠D =360°= β ，
∴ β＝2α ．
故选B．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，熟悉运用平行线的性质是解题的关键．
2．如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（　　）

A．70° B．65° C．35° D．5°
【答案】B
【解析】
【分析】
作CF∥AB，根据平行线的性质可以得到∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，从而可得∠BCE的度数，本题得以解决．
【详解】
作CF∥AB，

∵AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴AB∥DE∥DE，
∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，
∵∠1＝30°，∠2＝35°，
∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，
∴∠BCE＝65°，
故选：B．
【点睛】
本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．
3．如图，已知，将直角三角形如图放置，若∠2=40°，则∠1为（　　　）

A．120° B．130° C．140° D．150°
【答案】B
【解析】
【分析】
过A作AB∥a，即可得到a∥b∥AB，依据平行线的性质，即可得到∠5的度数，进而得出的度数．
【详解】
解：标注字母，如图所示，过A作AB∥a，
∵a∥b， ∴a∥b∥AB，
∴∠2=∠3=40°，∠4=∠5，
又∵∠CAD=90°，
∴∠4=50°，
∴∠5=50°，
∴∠1=180°-50°=130°，
故选：B．

【点睛】
本题考查了平行线的性质，平行公理，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．
4．如图，直线，在中，，点落在直线上，与直线交于点，若，则的度数为（       ）.

A．30° B．40° C．50° D．65°
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意过点B作直线，利用平行线的判定定理和性质定理进行分析即可得出答案．
【详解】
解：如图，过点B作直线，

∵直线m//n，，
∴，
∴∠2+∠3=180°，
∵∠2=130°，
∴∠3=50°，
∵∠B=90°，
∴∠4=90°-50°=40°，
∵，
∴∠1=∠4=40°．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质定理和判定定理，熟练掌握两直线平行，平面内其外一条直线平行于其中一条直线则平行于另一条直线是解答此题的关键．
5．如图所示，直角三角板的60°角压在一组平行线上，，，则______度．

【答案】20
【解析】
【分析】
如图（见详解），过点E作， 先证明，再由平行线的性质定理得到，，结合已知条件即可得到．
【详解】
解：由题意可得：．
如图，过点E作，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即：．
故答案为：20．

6．如图，，则____________________．

【答案】
【解析】
【分析】
过点作的平行线，利用平行线的性质，即可证明．
【详解】
过点作的平行线



，
又


又
.
故答案为：．
【点睛】
本题考查了通过平行线的性质求解角度问题，解题关键在于过中间的点作已知直线的平行线．
7．一大门的栏杆如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，则∠ABC＋∠BCD＝_____．

【答案】270°
【解析】
【分析】
过B作BF∥AE，则CD∥BF∥AE．根据平行线的性质即可求解．
【详解】
过B作BF∥AE，
∵CD∥ AE，
则CD∥BF∥AE，

∴∠BCD+∠1=180°，
又∵AB⊥AE，
∴AB⊥BF，
∴∠ABF=90°，
∴∠ABC+∠BCD=90°+180°=270°．
故答案为：270．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补．正确作出辅助线是解题的关键．
8．如图，，平分，，，则__________．

【答案】
【解析】
【分析】
过E点作EM∥AB，根据平行线的性质可得∠BED=∠B+∠D，利用角平分线的定义可求得∠B+3∠D=132°，结合∠B-∠D=28°即可求解．
【详解】
解：过E点作EM∥AB，

∴∠B=∠BEM，
∵AB∥CD，
∴EM∥CD，
∴∠MED=∠D，
∴∠BED=∠B+∠D，
∵EF平分∠BED，
∴∠DEF=∠BED，
∵∠DEF+∠D=66°，
∴∠BED+∠D=66°，
∴∠BED+2∠D=132°，
即∠B+3∠D=132°，
∵∠B-∠D=28°，
∴∠B=54°，∠D=26°，
∴∠BED=80°．
故答案为：80°．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，作出辅助线证出∠BED=∠B+∠D是解题的关键．
9．如图1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；


(1)若∠E＝60°，则∠F＝ ；
(2)请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由；
(3)如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）如图1，分别过点，作，，根据平行线的性质得到，，，代入数据即可得到结论；
（2）如图1，根据平行线的性质得到，，由，，得到，根据平行线的性质得到，于是得到结论；
（3）如图2，过点作，设，则，根据角平分线的定义得到，，根据平行线的性质得到，，于是得到结论．
(1)
解：如图1，分别过点，作，，
，
，，
又，，
，
，
又，
，
，，

；
故答案为：；
(2)
解：如图1，分别过点，作，，
，
，，
又，，
，
，
又，
，
，，
，
；
(3)
解：如图2，过点作，
由（2）知，，
设，则，
平分，平分，
，，
，
，，
，
．


【点睛】
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．
10．如图1，AB//CD，E是AB，CD之间的一点．

(1)判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并证明你的结论；
(2)如图2，若∠BAE，∠CDE的角平分线交于点F，直接写出∠AFD与∠AED之间的数量关系；
(3)将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3，若∠AGD的余角等于2∠E的补角，求∠BAE的大小．
【答案】(1)；
(2)；
(3)
【解析】
【分析】
（1）作EF∥AB，如图1，则EF∥CD，利用平行线的性质得∠1=∠EAE，∠2=∠CDE，从而得到∠BAE+∠CDE=∠AED
（2）如图2，由（1）的结论得∠AFD=∠BAE，∠CDF=∠CDE，则∠AFD=（∠BAE+∠CDE），加上（1）的结论得到∠AFD=∠AED；
（3）由（1）的结论得∠AGD=∠BAF+∠CDG，利用折叠性质得∠CDG=4∠CDF，再利用等量代换得到∠AGD=2∠AED-∠BAE，加上90°-∠AGD=180°-2∠AED，从而计算出∠BAE的度数．
(1)
∠BAE+∠CDE=∠AED
理由如下：
作EF∥AB，如图1
∵AB∥CD
∴EF∥CD
∴∠1=∠BAE，∠2=∠CDE
∴∠BAE+∠CDE=∠AED
(2)
如图2，由（1）的结论得
∠AFD=∠BAF+∠CDF
∵∠BAE、∠CDE的两条平分线交于点F
∴∠BAF=∠BAE，∠CDF=∠CDE
∴∠AFE=（∠BAE+∠CDE）
∵∠BAE+∠CDE=∠AED
∴∠AFD=∠AED
(3)
由（1）的结论得∠AGD=∠BAF+∠CDG
而射线DC沿DE翻折交AF于点G
∴∠CDG=4∠CDF
∴∠AGD=∠BAF+4∠CDF=∠BAE+2∠CDE=∠BAE+2（∠AED-∠BAE）=2∠AED-∠BAE
∵90°-∠AGD=180°-2∠AED
∴90°-2∠AED+∠BAE=180°-2∠AED
∴∠BAE=60°
【点睛】
本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．