第5章 相交线与平行线-暑假分层作业4 相交线与平行线压轴题型(解析版)

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第04练 相交线与平行线压轴题型

一、单选题
1．如图，，点在直线上，．若，则的大小为（       ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据垂直的定义及平行线的性质求解即可．
【详解】
解：∵∠EFA+∠EFB=180°，∠EFB=150°，
∴∠EFA=30°，
∵EF⊥FG，
∴∠EFG=90°，
∴∠AFG=∠EFG-∠EFA=60°，
∵AB∥CD，
∴∠FGD=∠AFG=60°，
故选：C．
【点睛】
此题考查了平行线的性质以及垂直的定义，熟记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
2．如图，已知直线，则∠α、∠β、∠γ之间的关系是（          ）


A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
过∠β顶点作AB的平行线，把∠β分成∠1和∠2，然后根据平行线的性质即可得到解答 ．
【详解】
解：如图，过∠β顶点作AB的平行线，把∠β分成∠1和∠2，


则∠1=∠α，∠2+∠γ=180°，∠1+∠2=∠β，
∴∠β+∠γ−∠α=180°，
故选D．
【点睛】
本题考查平行线的应用，熟练掌握平行线的性质是解题关键 ．
3．①如图1，ABCD，则∠A＋∠E＋∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A＋∠C；③如图3，ABCD，则∠A＋∠E－∠1＝180°；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C＋∠P．以上结论正确的个数是（　　）

A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④
【答案】C
【解析】
【分析】
①过点E作直线，由平行线的性质即可得出结论；
②过点E作直线，由平行线的性质即可得出结论；
③过点E作直线，由平行线的性质可得出∠A+∠E-∠1=180°；
④先过点P作直线，再根据两直线平行，内错角相等和同位角相等即可作出判断．
【详解】
解：①过点E作直线，

∵，∴，∴∠A＋∠1＝180°，∠2＋∠C＝180°，
∴∠A＋∠C＋∠AEC＝360°，故①错误；
②过点E作直线，

∵，
∴，∴∠A＝∠1，∠2＝∠C，
∴∠AEC＝∠A＋∠C，即∠AEC＝∠A＋∠C，故②正确；
③过点E作直线，

∵，∴，∴∠A＋∠3＝180°，∠1＝∠2，
∴∠A＋∠AEC－∠2＝180°，即∠A＋∠AEC－∠1＝180°，故③正确；
④如图，过点P作直线，

∵，∴，
∴∠1=∠FPA，∠C=∠FPC，
∵∠FPA=∠FPC+∠CPA，
∴∠1＝∠C＋∠CPA，
∵AB∥CD，∴∠A＝∠1，即∠A＝∠C+∠CPA，故④正确．
综上所述，正确的小题有②③④．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是平行线的性质及平行公理的推论，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
4．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的3倍少20°，那么这两个角是（　　）
A．50°、130° B．都是10°
C．50°、130°或10°、10° D．以上都不对
【答案】C
【解析】
【分析】
首先由两个角的两边分别平行，可得这两个角相等或互补．然后设其中一角为x°，由其中一个角比另一个角的3倍少20°，然后分别从两个角相等与互补去分析，即可求得答案，注意别漏解．
【详解】
解：∵两个角的两边分别平行，
∴这两个角相等或互补．
设其中一角为x°，
若这两个角相等，则x＝3x﹣20，
解得：x＝10，
∴这两个角的度数是10°和10°；
若这两个角互补，
则180﹣x＝3x﹣20，
解得：x＝50，
∴这两个角的度数是50°和130°．
∴这两个角的度数是50°、130°或10°、10°．
故选：C．
【点睛】
此题考查了平行线的性质与一元一次方程的解法．此题难度适中，解题的关键是掌握如果两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，注意方程思想的应用．
5．将图1中周长为32的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为48的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为（       ）

A．16 B．24 C．30 D．40
【答案】D
【解析】
【分析】
设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为x+y，4号正方形的边长为2x+y，5号长方形的长为3x+y，宽为y-x，根据图1中长方形的周长为32，求得x+y=4，根据图2中长方形的周长为48，求得AB=24-3x-4y，根据平移得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形ABCD的周长=2（AB+AD），计算即可得到答案．
【详解】
设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为x+y，4号正方形的边长为2x+y，5号长方形的长为3x+y，宽为y-x，
由图1中长方形的周长为32，可得，y+2（x+y）+（2x+y）=16，
解得：x+y=4，
如图，
∵图2中长方形的周长为48，
∴AB+2（x+y）+2x+y+y-x=24，
∴AB=24-3x-4y，
根据平移得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形ABCD的周长，
∴2（AB+AD）=2(24-3x-4y+x+y+2x+y+y-x)=2（24-x-y）=48-2（x+y）=48-8=40，
故选：D．
．
【点睛】
此题考查整式加减的应用，平移的性质，利用平移的性质将不规则图形变化为规则图形进而求解，解题的关键是设出未知数，列代数式表示各线段进而解决问题．
6．图，C是直线AB上一点，CD⊥AB，EC⊥CF，则图中互余的角的对数与互补的角的对数分别是（     ）

A．3，4 B．4，7 C．4，4 D．4，5
【答案】B
【解析】
【分析】
根据垂直的定义、角互余与互补的定义即可得．
【详解】
，
，
，，
，
，
，
，，
，
则图中互余的角的对数为4对；
，
，
点C是直线AB上一点，
，
，，
又，，
，，
则图中互补的角的对数为7对，
故选：B．
【点睛】
本题考查了垂直的定义、角互余与互补的定义，熟练掌握各定义是解题关键．
二、填空题
7．如图，点B在点A北偏东40°方向，，点C在点B北偏西50°方向，，则点C到直线AB的距离为______m．

【答案】10
【解析】
【分析】
由两角互余，两直线平行内错角相等可求得的角度，进而求得答案．
【详解】
如图，正西方向为BM，正东方向为AN
则
∴
又
∴
∵
∴
∴点C到AB的距离为BC长，10m
故答案为：10．


【点睛】
本题考查余角、两直线平行内错角相等、点到直线的距离，熟练掌握相关知识是解题的关键．
8．将直角三角板按如图所示的位置放置，，，直线//，平分，在直线上确定一点，满足，则________．

【答案】15°或127.5°
【解析】
【分析】
分两种情况：D在C的左边；D在C的右边；根据平行线的性质和角平分线的定义即可求解．
【详解】
解：D在C的左边，如图，

∵BE平分∠ABC，∠ABC=45°
∴∠ABE=，
∵CE∥AB，
∴∠ABD=180°-∠BDC=150°，
∴∠EBD=；
D在C的右边，如图，

∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠ABC=22.5°，
∵CE∥AB，
∴∠ABD=∠BDC=30°，
∴∠EBD=30°-22.5°=7.5°．
故∠EBD=7.5或105度．
故答案为：15°或127.5°．
【点睛】
考查了平行线的性质，关键是熟悉两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等的知识点．注意分类思想的应用．
9．如图，已知AD//BC，BD平分∠ABC，∠A＝112°，且BD⊥CD，则∠ADC＝_____．

【答案】124°
【解析】
【分析】
先由平行线的性质求得∠ABC，然后根据角平分线的定义求得∠DBC，然后再根据平行线的性质求得∠ADB，最后结合BD⊥CD即可求得∠ADC．
【详解】
解：∵AD//BC
∴∠ABC=180°-∠A=180°-112°=68°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABC=34°
∵AD//BC
∴∠ADB=∠DBC=34°
∵BD⊥CD，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC=90°+34°=124°．
故答案为124°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、角平分线的性质、垂直的性质，其中掌握平行线的性质是解答本题的关键．
10．如图，已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上点P在AB，CD之间且在EF的左侧．若将射线EA沿EP折叠，射线FC沿FP折叠，折叠后的两条射线互相垂直，则ÐEPF的度数为       _____．

【答案】45°或135°
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，然后利用平行线的性质得出∠EMF与∠AEM和∠CFM的关系，然后可得答案．
【详解】
解：如图1，

过作，
，
，
，，
，
，
同理可得，
由折叠可得：，，
，
如图2，

过作，
，
，
，，
，
，
，
由折叠可得：，，
，
综上所述：的度数为或，
故答案为：45°或135°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，关键是正确画出图形，分两种情况分别计算出∠EPF的度数．
11．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=5cm，CB=12cm，AB=13cm，将△ABC沿直线CB向右平移3cm得到△DEF，DF交AB于点G，则点C到直线DE的距离为______cm．

【答案】
【解析】
【分析】
根据平移前后图形的大小和形状不变，添加辅助线构造梯形，利用面积相等来计算出答案．
【详解】
解：如图，连接AD、CD，作CH⊥DE于H，

依题意可得AD=BE=3cm，
∵梯形ACED的面积，
∴，
解得；
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是图形的平移和点到直线的距离，解题的关键是注意图形平移前后的形状和大小不变，以及平移前后对应点的连线相等．
三、解答题
12．探究并尝试归纳：

(1)如图1，已知直线a与直线b平行，夹在平行线间的一条折线形成一个角∠A，试求∠1+∠2+∠A的度数，请加以说明．
(2)如图2，已知直线a与直线b平行，夹在平行线间的一条折线增加一个折，形成两个角∠A和∠B，请直接写出∠1+∠2+∠A+∠B＝　　度．
(3)如图3，已知直线a与直线b平行，夹在平行线间的一条折线每增加一个折，就增加一个角．当形成n个折时，请归纳并写出所有角与∠1、∠2的总和：　　【结果用含有n的代数式表示，n是正整数，不用证明】
【答案】(1)360°
(2)540
(3)
【解析】
【分析】
（1）过作//直线，再根据平行线的性质即可得到结论；
（2）过作//直线，//直线，则AC//BD//直线，根据平行线的性质即可得到结论；
（3）根据平行线的性质即可得到结论．
(1)
解：过A作AB//直线，
则AB//直线，
，
；
(2)
解：过作AC//直线，BD//直线，
则AC//BD//直线，
，
，
故答案为：540；
(3)
解：由（1），（2）知，
当形成个折时，所有角与、的总和，
当形成个折时，所有角与、的总和，

当形成个折时，所有角与、的总和，
故答案为：．

【点睛】
本题考查了平行线的性质，正确的作出图形是解题的关键．
13．如图1，AM∥NC，点B位于AM，CN之间，∠BAM为钝角，AB⊥BC，垂足为点B．

(1)若∠C＝40°，则∠BAM＝______；
(2)如图2，过点B作BD⊥AM，交MA的延长线于点D，求证：∠ABD＝∠C；
(3)如图3，在（2）问的条件下，BE平分∠DBC交AM于点E，若∠C＝∠DEB，求∠DEB的度数．
【答案】(1)130°
(2)见解析
(3)∠DEB的度数为30°
【解析】
【分析】
对于（1），过点B作平行线，即可得出AM∥BE∥NC，再根据“两直线平行，内错角相等”求出∠CBE，进而得出∠ABE，最后根据“两直线平行，同旁内角互补”得出答案；
对于（2），过点B作平行线，根据“两直线平行，同旁内角互补”得∠DBF＝90°，再根据“同角的余角相等”得∠ABD＝∠CBF，最后根据“两直线平行，内错角相等”得出答案；
对于（3），设∠DEB＝x，可得出∠ABD＝∠C＝∠DEB＝x，再作，可表示∠CBE=2x，然后表示∠DBC＝90°+x，最后根据∠DBC＝2∠CBE＝4x，列出方程，求出解即可.
(1)
过点B作BE∥AM，则AM∥BE∥NC，

∵BE∥NC，∠C＝40°，
∴∠CBE＝∠C＝40°．
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝90°﹣40°＝50°．
∵AM∥BE，
∴∠BAM+∠ABE＝180°，
∴∠BAM＝180°﹣50°＝130°．
故答案为：130°；
(2)
证明：如图，过点B作BF∥DM，则∠ADB+∠DBF＝180°．

∵BD⊥AM，
∴∠ADB＝90°．
∴∠DBF＝90°，∠ABD+∠ABF＝90°．
又∵AB⊥BC，
∴∠CBF+∠ABF＝90°．
∴∠ABD＝∠CBF．
∵AM∥CN，
∴BF∥CN，
∴∠C＝∠CBF．
∴∠ABD＝∠C．
(3)
设∠DEB＝x，由（2）可得∠ABD＝∠C，
∵∠C＝∠DEB，
∴∠ABD＝∠C＝∠DEB＝x．   
过点B作BF∥DM，如图，

∴∠DEB＝∠EBF，∠C＝∠FBC．
∴∠CBE＝∠EBF+∠FBC＝∠DEB+∠C＝2x．
∵∠DBC＝∠ABC+∠ABD＝90°+x．
∵BE平分∠DBC，
∴∠DBC＝2∠CBE＝4x，即4x＝90°+x，解得x＝30°．
∴∠DEB的度数为30°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，同角的余角相等，角平分线的定义等，构造平行线是解题的关键．
14．【阅读材料】
在“相交线与平行线”的学习中，有这样一道典型问题：
如图①，AB∥CD，点P在AB与CD之间，可得结论：∠BAP+∠APC+∠PCD=360°．

理由如下：
过点P作PQ∥AB．
∴∠BAP+∠APQ=180°．
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD．
∴∠PCD+∠CPQ=180°．
∴∠BAP+∠APC+∠PCD
=∠BAP+∠APQ+∠CPQ+∠PCD
=180°+180°
=360°．

【问题解决】
(1)如图②，AB∥CD，点P在AB与CD之间，写出∠BAP，∠APC，∠PCD间的等量关系；（只写结论）
(2)如图③，AB∥CD，点P，E在AB与CD之间，AE平分∠BAP，CE平分∠DCP．写出∠AEC与∠APC间的等量关系，并说明理由；
(3)如图④，AB∥CD，点P，E在AB与CD之间，∠BAE=∠BAP，∠DCE=∠DCP，写出∠AEC与∠APC间的等量关系．（只写结论）
【答案】(1)∠APC=∠BAP+∠PCD
(2)∠AEC=∠APC，证明见解析
(3)∠APC+3∠AEC=360°
【解析】
【分析】
（1）过P作PM∥AB，可得∠BAP=∠MAP、DC∥PM，进而可得∠PCD=∠MPC，然后根据∠APC=∠APM+∠MPC运用等量代换即可解答；
（2）根据（1）可得∠APC=∠BAP+∠DCP、∠AEC=∠BAE+∠DCE，再根据角平分线的性质可得∠BAE=∠BAP、∠DCE=∠DCP，然后代入∠AEC=∠BAE+∠DCE即可；
（1）设∠EAB=x，∠DCE=y，则∠BAP=3x，∠DCP=3y，由（1）可得∠AEC=x+y，由平行线的性质可得∠APC+3x+3y=360°，然后整理即可解答．
(1)
解：∠APC=∠BAP+∠PCD；
过P作PM∥AB，
∴∠BAP=∠APM，DC∥PM，
∴∠PCD=∠MPC，
∵∠APC=∠APM+∠MPC，
∴∠APC=∠BAP+∠PCD．

(2)
（2）∠AEC=∠APC，理由如下：
过点P作PM∥AB，过点E作EN∥AB．
根据（1）可得：∠APC=∠BAP+∠DCP，∠AEC=∠BAE+∠DCE，
∵AE平分∠BAP，CE平分∠DCP，
∴∠BAE=∠BAP，∠DCE=∠DCP．
∴∠AEC=∠BAE+∠DCE=∠BAP+∠DCP=（∠BAP+∠DCP）=∠APC．
∴∠AEC=∠APC．
(3)
解：如图④中，设∠EAB=x，∠DCE=y，则∠BAP=3x，∠DCP=3y，
由题意可得：∠AEC=x+y，∠APC+3x+3y=360°，
∴∠APC+3∠AEC=360°，
故答案为：∠APC+3∠AEC=360°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识点，正确添加辅助线、构造平行线是解答本题的关键．
15．已知：如图1，直线AB、CD被直线MN所截，且AB∥CD．点E在直线AB、CD之间的线段MN上，P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、EQ．

(1)小明探究发现：∠PEQ＝∠APE+∠CQE，请你帮小明说明理由；
(2)如图2，已知∠FPB＝∠EPB，∠FQD＝∠EQD，若∠PEQ＝80°，请你利用小明发现的结论求∠PFQ的度数；
(3)如图3，若∠FPB＝∠EPB，∠FQD＝∠EQD，请你直接写出∠PEQ和∠PFQ之间的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)140°
(3)∠PEQ+3∠PFQ＝360°
【解析】
【分析】
（1 ）作EH∥AB，得到EH∥AB∥CD，利用平行线的性质得到∠1＝∠APE，∠2＝∠CQE，得出结论；
（2 ）根据（1）的结论得到∠PEQ＝80°，利用平行线的性质得到∠EPB+∠EQD＝280°，结合角平分线定义以及利用（1）的结论得出结果；
（3 ）设∠FPB＝y，∠FQD＝x，得到∠1+∠2＝360°﹣3（x+y），利用（1）的结论得出结果．
(1)
如图1，作EH∥AB．

∵AB∥CD，
∴EH∥AB∥CD．
∴∠1＝∠APE，∠2＝∠CQE，
∴∠1+∠2＝∠APE+∠CQE，
∴∠PEQ＝∠APE+∠CQE；
(2)
如图2，

由（ 1）的结论得∠PEQ＝∠APE+∠CQE＝80°，
∴∠EPB+∠EQD＝360°﹣（∠APE+∠CQE）＝280°．
∵∠FPB＝∠EPB，∠FQD＝∠EQD，
∴∠FPB+∠FQD＝（∠EPB+∠EQD）＝140°，
由（1 ）的结论得∠PFQ＝∠FPB+∠FQD＝140°；
(3)
结论：∠PEQ+3∠PFQ＝360°．
证明：如图3中，设∠FPB＝y，∠FQD＝x．

∵∠FPB＝∠EPB，∠FQD＝∠EQD，
∴∠EPB＝3x，∠EQD＝3y，
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠EPB+∠EQD）＝360°﹣3（x+y），
由（1 ）的结论得∠PFQ＝∠FPB+∠FQD＝x+y，∠PEQ＝∠1+∠2，
∴∠PEQ＝360°﹣3PFQ，
即∠PEQ+3∠PFQ＝360°．
【点睛】
本题考查平行线的判定和性质，通过构造平行线利用平行线的性质是解决问题的关键．