北师大版初中数学九年级上册第四章《图形的相似》单元测试卷（较易）（含答案解析）
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考试范围：第四章；考试时间：100分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
- 下列四组长度的线段中，是成比例线段的是( )
A. ，，， B. ，，，
C. ，，， D. ，，，
- 若，则的值为( )
A. B. C. D.
- 如图，，直线、与这三条平行线分别交于点、、和点、、已知，，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
- 如图，在中，，，，，则的长为( )
A. B. C. D.
- 下列各组图形中一定是相似形的是( )
A. 两个直角三角形 B. 两个等边三角形 C. 两个菱形 D. 两个矩形
- 下列图形不是形状相同的图形是( )
A. 同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片
B. 用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有图案和放大图案
C. 某人的侧身照片和正面像
D. 一棵树与它倒影在水中的像
- 如图，已知，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是( )
A. B. C. D.
- 如图是巴西电力公司的标志及结构图，作者用一大一小两颗星巧妙地重叠组合，自然地把高压输电塔与五角星这一光明的象征联系在一起，那么结构图中的两个阴影三角形的面积之比为( )
A. B. C. D.
- 如图，在中，，若，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
- 一个直角三角形木架的两条直角边的边长分别是，现要做一个与其相似的三角形木架，如果以长的木条为其中一边，那么另两边中长度最大的一边最多可达到( )
A. B. C. D.
- 如图，在某一时刻测得米长的竹竿竖直放置时影长米，在同一时刻旗杆的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为米，留在墙上的影长米，则旗杆的高度( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
- 如图，已知∽，点是的中点，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
- 在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，以点为位似中心，相似比为，把缩小，得到，则点的对应点的坐标为______．
- 如图，，，，的面积是，那的面积是______．
- 如图，在边长为个单位的方格纸中，它们的顶点在小正方形顶点位置，点，，，，也是小正方形的顶点，从点，，，，中选取三个点所构成的三角形与相似，那么这个三角形是 ．
- 如图，已知中，，为的中点，于，交于，连接，若，则的值为______．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）
- 已知线段，，．
求线段与线段的比．
如果线段、、、成比例，求线段的长．
是和的比例中项吗？为什么？ - 已知：如图所示，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．当、两点中有一点到达终点，则同时停止运动．
如果、分别从，同时出发，那么几秒后，的长度等于？
如果、分别从，同时出发，那么几秒后，与相似？
- 如图，在四边形中，点是对角线上一点，且．
若，求的度数；
判断与是否相似，并说明理由．
- 如图所示，和是有公共顶点的等腰直角三角形，，的延长线交于点．
把绕点旋转到图，，的关系是______选填“相等”或“不相等”；简要说明理由；
若，，把绕点旋转，当时，在图中作出旋转后的图形，______，简要说明计算过程；
在的条件下写出旋转过程中线段的最小值为______，最大值为______．
- 如图，在中，，，是边上的中线，点为线段上一点不与点、重合，连接，作与的延长线交于点，与交于点，连接．
求证：∽；
求的度数．
- 如图，已知三角形，是的平分线，平移三角形，使点移动到点，点的对应点是，点的对应点是．
在图中画出平移后的三角形；
若，与相交于点，则______，______
- 如图，已知∽，，，求的度数．
- 如图所示，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点，，在格点网格线的交点上．
将绕点逆时针旋转，得到，画出；
以点为位似中心放大，得到，使与的位似比为：，请你在网格内画出．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一对选项一一分析，排除错误答案即可．
【解答】
解：、，故选项错误；
B、，故选项错误；
C、，故选项正确；
D、，故选项错误．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：，
，
．
故选：．
利用分式的基本性质得到，然后利用等比性质求解．
本题考查了比例的性质：灵活应用比例性质内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质进行计算．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
根据平行线分线段成比例定理即可解决问题．
【解答】
解：，
，即，
，
，
故选：．
4.【答案】
【解析】解：，
，
，，，
，
，
故选：．
根据平行线分线段成比例定理得出比例式，再代入求出答案即可．
本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
5.【答案】
【解析】【解析】
本题主要考查了相似图形及其概念．如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．
【答案】
解：等边三角形的对应角相等，对应边的比相等，
两个等边三角形一定是相似形，
又直角三角形，菱形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例，
两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形，
故选：．
6.【答案】
【解析】解：、同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片，是形状相同的图形，不合题意；
B、用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有图案和放大图案，是形状相同的图形，不合题意；
C、某人的侧身照片和正面像，不是形状相同的图形，符合题意；
D、一棵树与它倒影在水中的像，是形状相同的图形，不合题意；
故选：．
利用相似图形的定义分别分析得出符合题意的图形即可．
此题主要考查了相似图形的定义，正确把握定义是解题关键．
7.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了相似三角形的判定：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．
【解答】
解：，
，
，，都可判定∽，
选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似，
故选C．
8.【答案】
【解析】解：由题意，知：和都是顶角为的等腰三角形
∽
在中，
，
：
，
：
．
故选：．
图中阴影部分的两个三角形是正五角星的两个角，即都是顶角为的等腰三角形，因此两个三角形相似，根据顶角为的等腰三角形的底边与腰的比为黄金分割比，即；而大三角形的底边又是小三角形的腰，所以小三角形底边与大三角形的底边之比为：，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得出：．
此题主要考查了相似三角形的性质和顶角为的等腰三角形中底边与腰的比为黄金分割比这两个知识点．
9.【答案】
【解析】解：
∽
即
故选：．
由题可知∽，则可根据相似比求解．
本题主要考查相似三角形的性质，对应边的比相等．
10.【答案】
【解析】解：一个直角三角形木架的两条直角边的边长分别是，，
三角形的斜边长为：，
现要做一个与其相似的三角形木架，以长的木条为其中一边，
当另两边中长度最大的一边最长，则两三角形的相似比为：：：，
故设要做的三角形最长边长为：．
故选：．
直接利用勾股定理得出斜边长，再利用相似三角形的性质得出相似比，进而得出答案．
此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似比是解题关键．
11.【答案】
【解析】解：作于点，如图，则四边形为矩形，，，
根据题意得，即，解得，
所以．
答：旗杆的高度为．
故选：．
作于点，如图，则四边形为矩形，，，利用“在同一时刻物高与影长的比相等得到”，求出从而可得到的长．
本题考查了相似三角形的应用：通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．
12.【答案】
【解析】解：，是的中点，
，
∽，
，
即：，
解得：，
故选：．
根据相似三角形列出比例式，代入有关数据求解即可．
考查了相似三角形的性质，解题的关键是根据相似三角形列出比例式，难度较小．
13.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
根据位似变换的性质计算即可．
【解答】
解：以点为位似中心，相似比为，把缩小，点的坐标是，
则点的对应点的坐标为或，即或，
故答案为：或．
14.【答案】
【解析】解：的面积为，且，
的高为，
，且．
四边形是梯形，
四边形的面积为：
的面积为：．
故答案为：．
求出的高，即是梯形的高，再利用梯形的面积公式，最后作差即可得到答案．
本题考查了梯形的面积，三角形的面积，解题的关键是熟练运用三角形和梯形面积公式解决问题．
15.【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定利用勾股定理求得，，，可得到，即可得到．
【解答】
解：连结、，如图所示：
由勾股定理得，，，
，，，，，
，
．
16.【答案】
【解析】解：过点作交的延长线于点，
，，
为等腰直角三角形，
设，
，，为边上的中点，
为的中位线，
，，
，
在中，为边上的中线，
，
，
，
∽，
，
故答案为：．
根据直角三角形斜边中线的性质和相似三角形的性质和判定解答即可．
本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质，相似三角形的性质和判定，根据已知条件作出辅助线是解决本题的关键．
17.【答案】解：；，
：：：；
线段、、、是成比例线段，
，
，
，
；
是，理由：
，，
，
是和的比例中项．
【解析】根据；，即可求得：的值；
根据线段、、、是成比例线段，可得，再根据，即可得出线段的长；
根据，，可得，进而得出是和的比例中项．
本题主要考查了成比例线段，判段四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可；求线段之比时，要先统一线段的长度单位．
18.【答案】解：设运动时间为秒，则，，．
依题意得：，
即，
整理得：，
解得：不合题意，舍去，．
答：秒后，的长度等于．
当∽时，，
即，
解得：；
当∽时，，
即，
解得：．
答：秒或秒后，与相似．
【解析】设运动时间为秒，则，，．
利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
分∽及∽两种情况考虑，利用相似三角形的判定定理，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了相似三角形的判定、勾股定理以及一元二次方程的应用，解题的关键是：利用勾股定理，找出关于的一元二次方程；分∽及∽两种情况，求出值．
19.【答案】解：．
∽，
，
；
∽，理由如下：
，
，
又，
∽．
【解析】通过证明∽，可得，即可求解；
由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，可证明∽．
本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
20.【答案】相等；
；
；
【解析】
解：，的关系是相等．
理由：和是有公共顶点的等腰直角三角形，，
，，，
≌，
；
故答案为：相等．
作出旋转后的图形，如图所示：
，
，
，，
∽，
，
；
故答案为：；
如图所示，以为圆心，长为半径画圆，当在下方与相切时，的值最小；当在在右上方与相切时，的值最大．
如图所示，分两种情况讨论：
在中，，因此锐角的大小直接决定了的大小．
当小三角形旋转到图中的位置时，
在中，，
在中，，
四边形是正方形，
，
，
在中，，
即旋转过程中线段的最小值为；
当小三角形旋转到图中时，可得为最大值，
此时，，
即旋转过程中线段的最大值为．
故答案为：，．
【分析】
依据和是有公共顶点的等腰直角三角形，，即可，，，进而得到≌，可得出；
依据，，可得∽，即可得到，进而得到；
以为圆心，长为半径画圆，当在下方与相切时，的值最小；当在在右上方与相切时，的值最大．在中，，因此锐角的大小直接决定了的大小．分两种情况进行讨论，即可得到旋转过程中线段的最小值以及最大值．
本题属于几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、圆的有关知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会分类讨论的思想思考问题，学会利用图形的特殊位置解决最值问题．
21.【答案】证明：，，
，
又，
∽；
解：由得∽，
，
，
又，
∽，
．
【解析】得出，，则结论得证；
证明∽，得出．
本题考查了等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．
22.【答案】
【解析】解：如图，即为所求；
是的平分线，
，
由平移的性质知，，，
，
，
故答案为：，．
根据平移的性质可画出；
利用平移的性质得，，再根据平行线的性质和三角形内角和定理可得答案．
本题主要考查了平移的性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识，利用平移的性质准确画出图形是解题的关键．
23.【答案】解：，，
，
∽，
，，
，，
，
∽，
，
．
【解析】根据三角形内角和定理求出，根据相似三角形的性质得出，，求出，，推出∽，根据相似三角形的性质得出即可．
本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的应用，解此题的关键是求出∽．
24.【答案】解：如图，为所作；
如图，为所作．
【解析】利用网格特点和旋转的性质画出、的对应点、即可；
延长到使，延长到使，从而得到．
本题考查了作图位似变换：掌握画位似图形的一般步骤确定位似中心；分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形也考查了旋转变换．
