北师大版初中数学八年级下册期末测试卷（难度标准）（含答案解析)

北师大版初中数学八年级下册期末测试卷

考试范围：全册；考试时间：100分钟；总分：120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，已知点到，，的距离相等，下列说法：点在的平分线上；点在的平分线上；点在的平分线上；点在，，的平分线的交点上．其中正确的是

A.  B.  C.  D.

2. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点若，则的长为

A.
B.
C.
D.

3. 某单位为响应政府号召，需要购买分类垃圾桶个，市场上有型和型两种分类垃圾桶，型分类垃圾桶元个，型分类垃圾桶元个，总费用不超过元，则不同的购买方式有

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

4. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到若点恰好落在边上，且，则的度数为

A.  B.  C.  D.

5. 将多项式加上一个单项式后，使它能够在我们所学范围内因式分解，则此单项式不能是

A.  B.  C.  D.

6. 学校为创建“书香校园”，购买了一批图书．已知购买科普类图书花费元，购买文学类图书花费元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少本．求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是元，则可列方程为   

A.  B.
C.  D.

7. 如图，四边形中．，，为的平分线，，，分别是，的中点，则的长为

A.
B.
C.
D.

8. 如图，▱纸片中，，，，剪掉两个角后，得到六边形，它的每个内角都是，且，，则这个六边形的周长为

A.  B.  C.  D.

9. 已知关于的分式方程的解为非负数，则正整数的所有个数为

A.  B.  C.  D.

10. 小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，，分别对应下列六个字：华、我、爱、美、游、中，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是

A. 爱我中华 B. 我游中华 C. 中华美 D. 我爱美

11. 如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是

A.
B.
C.
D.

12. 在四边形中，，，，，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交于点，若点是的中点，则的长为

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 如图，在中，，的平分线交于点，已知，，则点到边的距离为______．
     

14. 不等式组的解集是，则的取值范围是______．
15. 如图，和关于点成中心对称，若，，，则的长是      ．

16. 已知请计算 ______ 用含的代数式表示

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）

17. 如图，在等边三角形中，是边上的动点，以为一边，向上作等边三角形，连接．
    
    和全等吗？请说出你的理由；
    试说明．
18. 年新型冠状病毒肺炎疫情肆虐，红星社区为了提高社区居民的身体素质，鼓励居民在家锻炼，特采购了一批跳绳免费发放，已知根幸福牌跳绳和根平安牌跳绳共需元，根平安牌跳绳和根幸福牌跳绳共需元．
    求幸福牌跳绳和平安牌跳绳的单价；
    已知该社区需要采购两种品牌的跳绳共根，且平安牌跳绳的数量不少于幸福牌跳绳数量的倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
19. 如图，已知点是的边的中点，点是外一点．
     

画，使与关于点成中心对称

画，使与关于点成中心对称．

20. 对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式．
    对于等式可以由图进行解释：这个大长方形的长为______，宽为______，用长乘以宽可求得其面积．同时，大长方形的面积也等于个长方形和个正方形的面积之和．
    如图，试用两种不同的方法求图的面积，
    方法：______；
    方法：______；
    数学等式：______；
    利用中得到的数学等式，解决以下问题：已知，，求的值．

21. 在抗击新冠肺炎疫情期间，市场上防护口罩出现热销．某药店用元购进甲，乙两种不同型号的口罩共个进行销售，已知购进甲种口罩与乙种口罩的费用相同，购进甲种口罩单价是乙种口罩单价的倍．
    求购进的甲，乙两种口罩的单价各是多少？
    若甲，乙两种口罩的进价不变，该药店计划用不超过元的资金再次购进甲，乙两种口罩共个，求甲种口罩最多能购进多少个？
22. 甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司共捐款元，乙公司共捐款元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话：
    
    甲、乙两公司各有多少人？
    现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买、两种防疫物资，种防疫物资每箱元，种防疫物资每箱元．若购买种防疫物资不少于箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来注：、两种防疫物资均需购买，并按整箱配送．
23. 在中，点，在上，且，求证：．
    
    
     

24. 如图，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，如图是由图中阴影部分拼成的一个长方形．
    请问用这两个图可以验证公式法因式分解中的哪个公式？直接写出公式
    试利用这个公式计算：直接写出计算结果______．
    若图中的阴影部分的面积是，，直接写出的值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】略
 

2.【答案】

【解析】略
 

3.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
设购买 型分类垃圾桶 个，则购买 型分类垃圾桶 个，根据总价 单价 数量，结合总费用不超过 元，即可得出关于 的一元一次不等式，解之即可得出 的取值范围，再结合 ， 均为非负整数，即可得出 的可能值，进而可得出购买方案的数量．
【解答】
解：设购买 型分类垃圾桶 个，则购买 型分类垃圾桶 个，
依题意，得： ，
解得： ．
， 均为非负整数，
可以为 ， ， ，
共有 种购买方案．
故选 B ．   

4.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，灵活运用这些的性质解决问题是本题的关键．
由旋转的性质可得 ， ，由等腰三角形的性质可得 ， ，由三角形的外角性质和三角形内角和定理可求解．
【解答】
解： ，
，
，
将 绕点 按逆时针方向旋转得到 ，
， ，
，
，
，
，
，
故选： ．

5.【答案】

【解析】

【分析】
此题考查了因式分解 运用公式法，以及整式的加减，熟练掌握公式是解本题的关键．
各项利用公式法分解，判断即可．
【解答】
解： 、 ，不符合题意；
B 、 ，不能分解，符合题意；
C 、 ，不符合题意；
D 、 ，不符合题意．
故选： ．   

6.【答案】

【解析】解：设科普类图书平均每本的价格是元，则可列方程为：
．
故选：．
直接利用购买科普书的数量比购买文学书的数量少本得出等式进而得出答案．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确得出等量关系是解题关键．
 

7.【答案】

【解析】

【分析】
此题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
根据勾股定理得到 ，根据平行线的性质和角平分线的定义得到 ，求得 ，连接 并延长交 于 ，根据全等三角形的性质得到 ， ，求得 ，根据三角形中位线定理即可得到结论．
【解答】
解： ，
，
， ，
，
，
，
为 的平分线，
，
，
，
连接 并延长交 于 ，

，
，
是 的中点，
，
，
≌ ，
， ，
，
是 的中点，
．
故选： ．   

8.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查的是三角形的外角，等边三角形的性质及判定，平行四边形的性质等有关知识，由题意先利用三角形的外角可以得到 ， ，进而得到 和 都是等边三角形，得出 ， ，最后利用平行四边形 的周长 即可求解．
【解答】
解： 六边形 的每个内角都是 ，
， ， ， ，
， ，
， ，
和 都是等边三角形，
， ，
平行四边形 的周长为： ，
则这个六边形的周长为：
平行四边形 的周长 ．
故选 B ．   

9.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查了分式方程的解和解分式方程，解一元一次不等式．解分式方程一定要考虑产生增根的情形．
解分式方程 得到方程的解为 ，令 ，解这个一元一次不等式取正整数解，最后去掉使方程产生增根的 的值即可得出结论．
【解答】
解： ．
去分母得： ．
．
是原方程的增根，
．
．
关于 的分式方程 的解为非负数，
．
解得： ．
正整数 的所有值为： ， ， ， ，共 个．
故选 B ．   

10.【答案】

【解析】解：，
信息中的汉字有：华、我、爱、中．
所以结果呈现的密码信息可能为爱我中华．
故选：．
利用提公因式法和平方差公式分解因式的结果为，然后找出对应的汉字即可对各选项进行判断．
本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．
 

11.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查了旋转的性质和含 角的直角三角形，此题实际上是利用直角三角形的性质和旋转的性质将所求线段 与已知线段 的长度联系起来求解的．由直角三角形的性质得到 ，然后根据旋转的性质和等腰三角形的判定得到 ．
【解答】
解： 在 中， ， ， ，
，则 ．
又由旋转的性质知， ， ，
是 的中垂线，
．
根据旋转的性质知 ．
故选： ．   

12.【答案】

【解析】解：如图，连接，
由题可得，点和点在的垂直平分线上，
垂直平分，
，，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，．
在中，，
，
即，
解得．
故选：．
连接，根据基本作图，可得垂直平分，由垂直平分线的性质得出再根据证明≌，那么，等量代换得到，利用线段的和差关系求出然后在中利用勾股定理即可求出的长．
本题考查了基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质的综合运用．线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，确定垂直平分是解决问题的关键．
 

13.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
过 作 于点 ，由角平分线的性质可得 ，由条件可求得 的长，则可求得答案．
【解答】
解：
如图，过 作 于点 ，
，
，
平分 ，
，
， ，
，
，
故答案为： ．   

14.【答案】

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组的解集为，
则，
，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了，结合不等式组的解集即可确定的范围．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

15.【答案】

【解析】略
 

16.【答案】

【解析】解：；
；
，
则的值个一次循环，则．
故答案是：．
首先把代入，利用表示出，进而表示出，，得到循环关系
本题考查了分式的混合运算，正确对分式进行化简，求得、、的值，得到循环关系是关键．
 

17.【答案】证明：与是等边三角形，
，，．
又，，
．
在和中，

≌．
≌，
，
又，
，
．

【解析】此题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质等知识点的理解和掌握，难易程度适中，是一道很典型的题目．
根据与是等边三角形，利用其三边相等和三角相等的关系，求证，然后即可证明结论．
根据≌，可得，利用等量代换求证即可．
 

18.【答案】解：设幸福牌跳绳的单价为元，平安牌跳绳的单价为元，
依题意，得：
解得：．
答：幸福牌跳绳的单价为元，平安牌跳绳的单价为元．
设购进幸福牌跳绳根，则购进平安牌跳绳根，
依题意，得：，
解得：．
设本次采购所花总金额为元，则．
，
值随值的增大而减小，
当时，取得最小值，最小值为，
当购进根幸福牌跳绳、根平安牌跳绳时，所花费用最少，最少费用为元．

【解析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
设幸福牌跳绳的单价为元，平安牌跳绳的单价为元，根据“根幸福牌跳绳和根平安牌跳绳共需元，根平安牌跳绳和根幸福牌跳绳共需元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购进幸福牌跳绳根，则购进平安牌跳绳根，根据平安牌跳绳的数量不少于幸福牌跳绳数量的倍，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，设本次采购所花总金额为元，根据总价单价数量可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
 

19.【答案】解：如图

为求作图形

为求作图形．

【解析】略
 

20.【答案】       

【解析】解 由图可得：大长方形的长为：，
宽为：，
由图可得：
方法一：；
方法二：；
则可得数学等式为：；
，，
所以，即：．
，
，
．
根据图形列代数式可求解；
方法一：根据正方形的面积公式可列式；
方法二：可利用所有长方形的面积和计算可求解；
数学等式：根据面积相等可列等式；
由已知条件两边同时平方，再展开后代入计算可求解代数式的值．
本题主要考查完全平方公式的几何背景，利用数形结合求解是解题的关键．
 

21.【答案】解：元．
设乙种口罩的单价为元，则甲种口罩的单价为元，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：甲种口罩的单价为元，乙种口罩的单价为元．
设该药店购进甲种口罩只，则购进乙种口罩只，
依题意，得：，
解得：．
答：甲种口罩最多购进只．

【解析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
设乙种口罩的单价为元，则甲种口罩的单价为元，根据数量总价单价，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设该药店购进甲种口罩只，则购进乙种口罩只，根据总价单价数量结合进货总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
 

22.【答案】解：设甲公司有人，则乙公司有人，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：甲公司有人，乙公司有人；
设购买种防疫物资箱，购买种防疫物资箱，
依题意，得：，

又，且，均为正整数，
，，
有种购买方案，方案：购买箱种防疫物资，箱种防疫物资；方案：购买箱种防疫物资，箱种防疫物资．

【解析】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找准等量关系，正确列出二元一次方程．
设甲公司有人，则乙公司有人，根据乙公司的人均捐款数是甲公司的倍，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设购买种防疫物资箱，购买种防疫物资箱，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，再结合且，均为正整数，即可得出各购买方案．
 

23.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
和中，
，
≌，
．

【解析】本题考查的是利用平行四边形的性质结合三角形全等来解决有关线段相等的证明．根据平行四边形的性质，证明，，进而证明，根据即可证明≌，根据全等三角形的对应边相等即可证明．
 

24.【答案】

【解析】解：图中阴影部分的面积是，图中阴影部分的面积是，
，可以验证平方差公式；
原式






．
故答案为：．
依题意可得：，，
，
．
，，
．
根据两个图形的面积相等，即可写出公式；
从左到右依次利用平方差公式即可求解；
根据，把的值代入即可求得的值．
本题考查了平方差的几何背景以及平方差公式的应用，正确理解平方差公式的结构是关键．