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北师大版初中数学九年级上册期末测试卷（标准难度）（含答案解析）

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这是一份北师大版初中数学九年级上册期末测试卷（标准难度）（含答案解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

北师大版初中数学九年级上册期末测试卷

考试范围：全册；考试时间：120分钟；总分：120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

如图，在正方形中，，点，分别在边，上，若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为( )

A. B. C. D.

如图，菱形的周长为，对角线，相交于点，点是的中点，连接，则线段的长等于( )

A. B. C. D.

若、是一元二次方程的两个根，则的值是( )

A. B. C. D.

等腰三角形的一边长是，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为( )

A. B. C. 或 D.

“宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶相当于西乐的，，，，，是采用“三分损益法”通过数学方法获得．现有一款“一起听古音”的音乐玩具，音乐小球从处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，且小球进入每个小洞的可能性大小相同．现有一个音乐小球从处先后两次进入小洞，先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是( )

A. B. C. D.

在不透明的袋子里装有颜色不同的个红球和若干个白球，每次从袋子里摸出来个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在，估计袋中白球有( )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

如图，矩形被分成个正方形和个小矩形后形成一个中心对称图形，如果矩形∽矩形，那么的值为( )

A. B. C. D.

如图，在中，，，，点在边上，点在线段上，于点，交于点，若，则的长为( )

A. B. C. D.

如图，是由两个相同的小正方体和一个圆锥体组成的立体图形，其左视图是( )

A. B. C. D.

一个几何体是由一些大小相同的小正方块摆成的，其从上面看与从前面看所得到的图形如图所示，则组成这个几何体的小正方块最多有( )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

函数与在同一坐标系中的图象可能是( )

A. B. C. D.

已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，下列说法正确的是( )

A. 反比例函数的表达式是
B. 两个函数图象的另一交点坐标为
C. 当或时，
D. 正比例函数与反比例函数都随的增大而增大

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

如图，正方形纸片的边长为，是边上一点，连接、折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上，若，则的长为______．
若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为．
如图，正方形中，为上一点，交的延长线于点，若，，则的长为．

如图，菱形顶点在函数的图象上，函数的图象关于直线对称，且经过点、两点，若，，则______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

本小题分
如图，在▱中，对角线与相交于点，点，分别为，的中点，延长至，使，连接．
求证：≌；
当与满足什么数量关系时，四边形是矩形？请说明理由．

本小题分

暑假期间，某商场购进一批价格为元的文化衫，根据市场预测，每件文化衫售价为元时，每周可售出件，售价每上涨元，销售量将减少件，为了维护消费者的利益，物件部门规定，该文化衫的售价不能超过进价的倍该商场为了确保这批文化衫每周的销售利润为元，每件文化衫应定价多少元？

本小题分
已知关于的一元二次方程．
求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．
如果方程的两个实数根为，，且与都为整数，求所有可能的值．
本小题分
某学校为了解全校学生对电视节目新闻、体育、动画、娱乐、戏曲的喜爱情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图．

请根据以上信息，解答下列问题
这次被调查的学生共有多少名？
请将条形统计图补充完整；
若该校有名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？
该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
本小题分

如图，在矩形中，点，分别在，上，连结，，且．

求证：．

连结，，线段是线段与的比例中项．

若，求线段的长．

求证：∽．

本小题分

如图是一个大正方体切去一个小正方体组成的几何体．

下列三个图形中，从上面、左面、正面看到的平面图形分别是________、________、________；

若大正方体的边长为，小正方体的边长为，求这个几何体的表面积．

本小题分
如图，和是直立在地面上的两根立柱，，某一时刻在阳光下的投影．

请你在图中画出此时在阳光下的投影．

在测量的投影时，同时测量出在阳光下的投影长为，请你计算的长．

本小题分
为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量毫克与药物点燃后的时间分成正比例，药物燃尽后，与成反比例如图所示已知药物点燃后分钟燃尽，此时室内每立方米空气中含药量为毫克．

求药物燃烧时，与之间函数的表达式．

求药物燃尽后，与之间函数的表达式．

研究表明，空气中每立方米的含药量不低于毫克，且持续分钟以上才能有效杀灭空气中的病菌，请计算说明此次消毒能否有效杀灭空气中的病菌．

本小题分
如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与坐标轴分别交于，两点．

求一次函数的表达式
根据图象直接写出中的取值范围
求的面积．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了正方形的性质，折叠的性质，含角的直角三角形的性质等知识点，能综合性运用性质进行推理是解此题的关键．
由正方形的性质和平行线的性质得出，，由折叠的性质得出，，从而得出，得出，设，得出，，从而得出，解方程求出，即可得出答案．
【解答】
解：四边形是正方形，
，，
，
将四边形沿折叠，点恰好落在边上，
，，
，
，
，
设，则，，
，
解得，
．
故选D．

2.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了菱形的对角线互相平分，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理和性质是解题的关键．
根据菱形的四条边都相等求出，再根据菱形的对角线互相平分可得，然后判断出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得．
【解答】
解：菱形的周长为，
，．
又为的中点，
是的中位线．
．
故选A．

3.【答案】

【解析】解：、是一元二次方程的两个根，
，，
是的一个根，
，
，
．
故选：．
由于、是一元二次方程的两个根，根据根与系数的关系可得，，而是方程的一个根，可得，即，那么，再把、的值整体代入计算即可．
本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程两根、之间的关系：，．

4.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了根的判别式、一元二次方程的解、等腰三角形的性质、三角形三边关系，分为腰长及为底边长两种情况，求出值是解题的关键．
当为腰长时，将代入原一元二次方程可求出的值；当为底边长时，利用等腰三角形的性质可得出根的判别式，解之可得出值．再根据三角形三边关系判断是否符合题意即可．
【解答】
解：当为腰长时，将代入，得：，
解得：，
的两个根是，，，符合题意；
当为底边长时，关于的方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
的两个根是，，符合题意．
的值为或．
故选C

5.【答案】

【解析】解：根据题意画图如下：

共有种等可能的情况数，其中先发出“商”音，再发出“羽”音的有种，
则先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是．
故选：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中先发出“商”音，再发出“羽”音的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．

6.【答案】

【解析】

【分析】
此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率求解是解题的关键．由摸到白球的频率稳定在得出口袋中得到红球的频率，进而求出球的总数即可求出白球的个数．
【解答】
解：由题意可得：红球的频率为，
球的总个数为：个，
则白球个数为：个．
故选D．

7.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了相似图形：把形状相同的图形称为相似图形．相似图形面积的比等于相似比的平方．也考查了中心对称图形．
设小正方形的边长为，大正方形的边长为，则，，，，利用相似的性质得到，即，则，所以，，然后根据相似的性质求的值．
【解答】
解：设小正方形的边长为，大正方形的边长为，
则，，，，
，，
矩形∽矩形，
，即，
，
，，
矩形∽矩形，
．
故选：．

8.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．
根据题意和三角形相似的判定和性质，可以求得的长，本题得以解决．
【解答】解：作交于点，则∽，

，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
设，则，
，，
，
，，，
，
∽，
，
即，
解得，，
，
故选：．

9.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的几何体的视图．解答此题根据从左面看到的图形为一个正方形与三角形即可得到答案．
【解答】
解：该几何体的左视图是下面一个正方形与上面一个三角形．故该几何体的三视图如图所示：

故选D．

10.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查组合体的三视图，根据从上面和前面看得到的图形判断几何体的形状是解题的关键．

根据从不同方向观察物体，易得这个几何体共有层，由从上面看得到的图形可得最下面一层有个正方体，由从正面看得到的图形可得最上面一层最多有个正方体，从而可得组成这个几何体最多需要多少个小正方体．

【解答】

解：综合从上面看得到的图形和从正面看得到的图形，这个几何体最下面一层有个正方体，最上面一层最多有个正方体，

所以组成这个几何体的小正方块最多有个．

故选C．

11.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由的取值确定函数所在的象限，根据反比例函数与一次函数的图象特点解答即可．
【解答】
解：当时，，在一、二、四象限，在一、三象限，无选项符合．
当时，，在一、三、四象限，在二、四象限，只有符合；
故选：．

12.【答案】

【解析】略

13.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，面积法求线段的长度等，解题关键是能够灵活运用轴对称的性质．
由折叠及轴对称的性质可知，垂直平分线段，先证≌，推出的长，再利用勾股定理求出的长，最后在中利用面积法可求出的长，可进一步求出的长，即可求的长．
【解答】
解：设折痕与交于点，如图，

四边形为正方形，
，，
由折叠及轴对称的性质可知，垂直平分线段，
，且，
，
又，
，
又，，
≌，
，
在中，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．

14.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查的是一元二次方程的解有关知识，设，则，再结合的一元二次方程，有一根为得出即可解答
【解答】
解：对于一元二次方程，
设，
所以，
而关于的一元二次方程，有一根为，
所以有一个根为，
则，
解得，
所以一元二次方程必有一根为．

15.【答案】

【解析】解：四边形为正方形，

，，
，
，
，
，
，
，
又，
∽，
，即，
，
，
，，
∽，
，即，
．
故答案为．
利用同角的余角相等可得出，结合可得出∽，利用相似三角形的性质可求出的长，进而可得出的长，由，可得出∽，再利用相似三角形的性质可求出的长．
本题考查了相似三角形判定与性质以及正方形的性质．

16.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了反比例图象上点的坐标特征，菱形的性质，含度角的直角三角形，关键是确定点在第一象限的角平分线上．
连接，，过作轴于点，延长与轴交于点，过点作轴于点，得、、在第一象限的角平分线上，求得点坐标，进而求得点坐标，便可求得结果．
【解答】
解：连接，，过作轴于点，延长与轴交于点，过点作轴于点，

函数的图象关于直线对称，
、、三点在同一直线上，且，
，
不妨设，则，
点在反比例函数的图象上，
，，
，
，
，
，
，
又，，
中，，，
，，
，，
，
，
则．
故答案为：．

17.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，，，
，
点，分别为，的中点，
，，
，
在和中，

≌；
解：当时，四边形是矩形；
理由如下：
，，
，
是的中点，
，
，
同理：，
，
，
由得：≌，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形．

【解析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
由平行四边形的性质得出，，，，由平行线的性质得出，证出，由证明≌即可；
证出，由等腰三角形的性质得出，，同理：，得出，，得出四边形是平行四边形，即可得出结论．

18.【答案】解：设每件文化衫的定价为元，则每周的销售量为件，
依题意，得：，
解得：，．
因为售价不能超过进价的倍，
所以，
所以不合题意，舍去，
所以．
答：每件文化衫应定价为元．

【解析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设每件文化衫的定价为元，则每周的销售量为件，根据每周销售利润每件的利润每周销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取符合题意的值即可得出结论．

19.【答案】解：证明：，
无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；
，即，
解得：，，
一元二次方程的两根为，，
或，
如果为整数，则为的约数，
，
如果为整数，则为的约数，
，
则为或．
整数的所有可能的值为，或．

【解析】本题考查了根的判别式、解一元二次方程，解题的关键是：牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”；利用解方程求出的整数值．
根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可证出方程有两个不相等的实数根；
解方程求出方程的两根为，，得出或，然后利用有理数的整除性确定的整数值．

20.【答案】解：这次被调查的学生人数为名；

喜爱“体育”的人数为名，
补全图形如下：

估计全校学生中喜欢体育节目的约有名；

列表如下：

	甲	乙	丙	丁
甲	---	乙，甲	丙，甲	丁，甲
乙	甲，乙	---	丙，乙	丁，乙
丙	甲，丙	乙，丙	---	丁，丙
丁	甲，丁	乙，丁	丙，丁	---

所有等可能的结果为种，恰好选中甲、乙两位同学的有种结果，
所以恰好选中甲、乙两位同学的概率为．

【解析】根据动画类人数及其百分比求得总人数；
总人数减去其他类型人数可得体育类人数，据此补全图形即可；
用样本估计总体的思想解决问题；
根据题意先列表，得出所有情况数，再找到恰好选中甲、乙两位同学的结果数，根据概率公式即可得出答案．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

21.【答案】证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
在和中，

≌，
；
解：如图，

由可知，≌，
，
，
线段是线段与的比例中项，
，
，
，
负值舍去
证明：线段是线段与的比例中项，
，
，
，
∽．

【解析】本题主要考查的是矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定的有关知识．
根据矩形的性质得到，进而证明，得到≌，根据全等三角形的性质得到；
根据全等三角形的性质得到，求得，根据已知条件得到，于是得到；
根据线段是线段与的比例中项，得到，根据相似三角形的判定定理即可得到结论．

22.【答案】解：；；．
由图可知，几何体的表面积与大正方体的表面积相同，
大正方体的边长为，
这个几何体的表面积为：

【解析】

【分析】
本题考查了简单组合体的三视图以及几何体的表面积，画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．
根据从上面、左面、正面看到的三视图，可得答案．
依据三视图的面积，即可得到这个几何体的表面积．
【解答】
解：由题可得，从上面、左面、正面看到的平面图形分别是，，．
故答案为：；；．
见答案．