初中冀教版第十一章 因式分解综合与测试教案

 综合与实践二 

蓄水池建在哪里较好？

教学设计

教学目标：

1、学生通过将实际问题抽象为数学问题，亲身经历把“距离和最短”的问题转化为“两点之间线段最短”的数学问题，提高符号意识和抽象概括能力。

2、学生通过利用“两点之间线段最短”这条基本事实，通过相关的计算，发展应用意识，提高分析问题和解决问题的能力。通过从特殊到一般的归纳、递推和推理的过程来体会数学推理的必要性。

3、学生通过解决实际问题培养了数学的应用意识，提高了学习数学的兴趣，形成分析问题、解决问题、探究问题的方法，提高解决问题的能力，发展了思维能力；在实际解决问题的过程中体验数学探究的乐趣，形成科学的学习态度和科学的探究方法．

教学重难点

教学重点：探究“把蓄水池建在哪距离和最小”这个问题中，距离和转化为什么？对最小时蓄水池的位置的探究过程，以及最小值的求法。推理探究的过程。

教学难点：实际问题数学后，怎么解决数学问题。其中的符号化，分类讨论、归纳递推都是本节的难点。

教学过程

（一）问题引入：课本159页

1、请你结合题目分析这个问题可以转化成什么数学问题？   

蓄水池建在哪里较好？

在一条平直的道路旁，栽有n棵树，且相邻两棵树之间的距离相等。为了浇灌这些树，护林队计划建一个蓄水池收集雨水，并要求此蓄水池到每棵树的距离和最小，以便节约用水。那么蓄水池最好建在哪里？

（二）问题分析：

平直的道路我们抽象成一条直线，n棵树抽象成直线上的n个点，且这n个点每两个点间的距离都相等。蓄水池也抽象成一个点，蓄水池到每棵树的距离转化为两点间的距离。

画一条直线，分别用表示n棵树的位置。那不同的原点的取法对应不同的方法。

2、怎样表示距离和？

3、对于“n”的不同取值，探究当点P取在什么位置时，距离和“最小” .

设n=1、2、3、4、5，进行探究

学生先独立思考，探究。然后小组交流，充分交流后展示自己的方法．（学生板书）

（三）问题解决

学生展示：

对自然数n=1,2,3,4,5的特殊情况分别进行说明，再归纳整理，找出规律，得出一般结果（n为任意非零自然数的情况），并给予说明。

探究过程，蓄水池用P点表示，分为P点在数轴上和P点在数轴外，分别探究当n=1，2,3,4,5时的情况。

当n=1时，显然蓄水池与重合时最小。

当n=2时，讨论点P在直线外和点P在直线上，根据两点之间线段最短，当点P在直线上时短。点P在直线上时，分为在点的左侧，在线段上，在的右侧三种情况。显然在线段上时最短。

同理讨论n=3时，P应于点重合时距离和最小

当n=4、5时同理可得。

归纳猜想：当n为奇数时，P应于中间的一个点重合时，距离和最小。

          当n为偶数时，P应在中间两个点的线段上的任意一点时，距离和最小。

推理：当n=3时，我们把中间的一个点遮住，转化成两个点，利用n=2的结论，再考虑到遮住的这个点的距离，转化为n=1是的情况，与此点重合。依次类推，总结出n为任意值时的结论成立。

    下面我们来求出这个最小值，为了便于计算我们借助于数轴。每两棵树间的距离设为1个单位长度，向右为正方向，那原点我们选在哪呢？

原点的位置有多种选择。比较特殊的两种是：①取在A1处，其它点依次在原点的右侧，并且这些点到原点的距离就等于它们所对应的有理数。②取在蓄水池的位置，即最中间的点处，这样其它的点就对称地分布在原点两侧了。

当n=2k-1为奇数时，我们选取蓄水池的位置为原点建立数轴，那么将原点放在第k棵树的位置，。

当n=2k为偶数时，那么将蓄水池放在第k棵树与第k+1棵树之间的任意一处，我们选择中点为原点建立数轴。

用数轴上的数来表示每个点。这是本题的一个难点。

求和：当n=2k-1为奇数时，蓄水池到各树之间的距离和最小值为：2+4+6+…+2（k-1）=(k-1)k；当n=2k为偶数时，蓄水池到各树之间的距离和最小值为：1+3+5+…+（2k-1）=；如果每两棵树间的距离为a则乘a即可。

（四）拓展与应用

     上述问题中两棵树间的距离是相等的，如果不等，这个结论还成立吗？

解决问题：

.在一条直线上有依次排列的n(n>1)台机床在工作，我们要设置一个零件供应站P，使这n台机床到供应站P的距离总和最小。

（五）评价与反思

通过这节课的学习，你有那些收获和感悟呢？

1、实际问题转化成数学问题，构建数学模型的方法；

2、数形结合、分类讨论、归纳概括等解决问题的方法，是解决实际问题不可缺少的环节，尤其是遇到复杂问题时可用特殊值的办法把复杂问题简单化，探索出一般的规律。

3、解决问题的多样性。对不同的原点的取法，建立了不同的数轴，体会到思维差异的同时，要注意到最简单的方法。

   同学们通过本节课体会到了数学的应用性，学会分析问题解决问题，欣赏别人。

   期待同学们能解决更复杂的问题，有更精彩的表现。

（五）作业：

回顾本节课探究解决问题的方法，整理好归纳过程，总结自己的收获。写出一个小论文或总结。

六、板书设计

七、教学反思：

开始准备本节课时并没有想到本节课有如此大的价值，只是感觉本节课的结论有较多应用，尤其是在求如：的最小值，等类型的题目中。随着备课的深入，尤其是听了梁丽斌老师在区教研活动中对综合与实验课的设置目的、在教材中的地位、意义的讲座后，我对综合实践课有了新的认识。综合与实践课中设置了一个要探究的问题，对问题的研究，要综合较多的知识，可能涉及到前面几章的重要知识点，涉及到较多的方法，同时问题的课下延展以及解决问题时用到的方法，具备了常规课不具备的功能。对这节课的定位有了较多的转变，从应用的角度转化为探究问题本身。

上完课后，我对本节课有了更进一步的认识，看似简单的问题，确非常有探究性，在探究的过程中，真正的激发了学生思维的火花。

让我感觉收获最大的有：1、在探究完n=1,2,3,4,5的特殊情况后，屈佳璇同学用转化的方法把多个点进行逐一遮住两个的方法转化为已经推出的1，2的情况，无形中用到了数学归纳的证明方法，给了猜想一个非常严谨的证明，让这个结论有了理论依据。2、陈子越把n为奇数时，距离和最小值为：(k-1)k；和当n为偶数时，距离和最小值，两者之间的联系也通过加一棵树的方法联系了起来；3、李骥翔同学把直线的问题拓展成了平面的问题，如果n棵树不在同一直线上，是网格点上，不同行、不同列的5个点如何找到一个点满足到各点的距离和最短？可以采用先考虑行、再考虑列的方法转化成两个我们今天探究出的结论。我也在此基础上给同学们留了一个课下作业，让同学们课下探究其它的情况。在课前我没有想到学生们会有如此多元的思维角度，会想到如此巧妙的转化方法。

上完课后，自己深深体会到本节课这个问题设置的思想内涵。通过这节课的探讨、研究、备课、上课的过程，进一步体会到综合实践课设置的价值，好的问题情境，让学生真正体会到了做数学、学数学、理解数学的过程。

    好的问题需要我们在教学中不断的挖掘，真正利用好，让它发挥其价值。今后的教学中要注意对问题的挖掘，注意问题的探究价值，提高学生的思维品质、培养学生的创新思维。