数学九年级下册第二十八章 锐角三角函数28.2 解直角三角形及其应用同步练习题

这是一份数学九年级下册第二十八章 锐角三角函数28.2 解直角三角形及其应用同步练习题，共11页。

1.【中考·兰州】如图，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB，则cs A＝( )
A.eq \f(\r(5),2) B.eq \f(1,2) C.eq \f(2\r(5),5) D.eq \f(\r(5),5)

第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
2.【中考·沈阳】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是( )
A．eq \f(4\r(3),3) B．4 C．8eq \r(3) D．4eq \r(3)
3.如图,在正方形网格中,若△ABC的三个顶点都在格点上,则tan∠BAC的值是( )
A.34B.45C.43D.35
4.若△ABC在网格中的位置如图,则cs B的值为( )
A.55B.255C.12D.2
5.如图,在正方形网格中,若△ABC的三个顶点均在格点上,则sin∠ABC的值为( )
A.12B.255C.55D.2

第5题图 第6题图 第9题图
6.如图,在Rt△ABC中,若∠C＝90°,AB＝4,∠A＝30°,则AC的长为( )
A.2B.3C.3D.23
7.已知一个直角三角形的周长是4+26,斜边上中线的长为2,则这个三角形的面积为( )
A.5B.2C.54D.1
8.在Rt△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,∠C＝90°,∠A＝30°,斜边上的高为1,则Rt△ABC的三边长分别为( )
A.a＝233,b＝2,c＝433B.a＝3,b＝2,c＝7
C.a＝2,b＝233,c＝433D.a＝23,b＝2,c＝4
9.【2021·玉林】如图，△ABC底边BC上的高为h1，△PQR底边QR上的高为h2，则有( )
A．h1＝h2 B．h1＜h2 C．h1＞h2 D．以上都有可能
10.【中考·湘西州】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cs∠BDC＝eq \f(5,7)，则BC的长是( )
A．10 B．8 C．4eq \r(3)D．2eq \r(6)

第10题图 第11题图 第12题图
11.【2021·黑龙江】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB的延长线上，连接CD，若AB＝2BD，tan∠BCD＝eq \f(2,3)，则eq \f(AC,BC)的值为( )
A．1 B．2 C．eq \f(1,2) D．eq \f(3,2)
12.如图,菱形ABCD的周长为40 cm,DE⊥AB,垂足为E,sin A＝35,则下列结论:①DE＝6 cm;②BE＝2 cm;③菱形ABCD的面积为60 cm2;④BD＝410 cm.其中正确的结论有( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
二、填空题
13.解直角三角形的依据：
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则有：
(1)三边之间的关系：__________；
(2)两锐角之间的关系：______________________________；
(3)边角之间的关系：
sinA＝______，sinB＝______，
csA＝______，csB＝______，
tanA＝______，tanB＝______．
14.在Rt△ABC中,∠C＝90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且a＝7,c＝72,则b＝ ,∠A＝ ,∠B＝ .
15.如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,CD⊥AB于点D.若AC＝23,tan ∠BCD＝22,则AB＝ .

第15题图 第16题图 第17题图
16.【中考·盐城】如图，在△ABC中，BC＝eq \r(6)＋eq \r(2)，∠C＝45°，AB＝eq \r(2)AC，则AC的长为________．
17.【2021·海南】如图，△ABC的顶点B，C的坐标分别是(1，0)，(0，eq \r(3))，且∠ABC＝90°，∠A＝30°，则顶点A的坐标是____________．
18.在△ABC中,BC＝2,AC＝23,∠A＝30°,则AB的长为 .
三、解答题
19.在Rt△ABC中,∠C＝90°,根据下列条件解直角三角形.
(1)∠B＝45°,c＝14;
(2)a＝6,∠A＝60°.
20.如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,D为AB的中点,连接CD.若BC＝4,CD＝3,求sin ∠ACD的值.
21.如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,D为BC上一点,AB＝5,BD＝1,tan B＝34.
(1)求AD的长;
(2)求sin α的值.
22.如图,有一个底面直径与杯高均为15 cm的杯子里盛了一些溶液,当它支在桌子上倾斜到液面与杯壁呈52°时才能将液体倒出,求此时杯子的最高处与桌面的距离.(结果精确到0.01 cm,参考数据:sin 52°≈0.79,cs 52°≈0.62,tan 52°≈1.28)
23.如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ADC＝120°，AB＝AD，E是BC的中点，DE＝15，DC＝24，求四边形ABCD的周长．
24.如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,D是边AB的中点,P是边AC上一动点,BP与CD相交于点E.
(1)如果BC＝6,AC＝8,且P为AC的中点,求线段BE的长.
(2)连接PD,如果PD⊥AB,且CE＝2,ED＝3,求cs A的值.
参考答案
一、选择题
1.【中考·兰州】如图，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB，则cs A＝( D )
A.eq \f(\r(5),2) B.eq \f(1,2) C.eq \f(2\r(5),5) D.eq \f(\r(5),5)

第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
2.【中考·沈阳】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是( D )
A．eq \f(4\r(3),3) B．4 C．8eq \r(3) D．4eq \r(3)
3.如图,在正方形网格中,若△ABC的三个顶点都在格点上,则tan∠BAC的值是( C )
A.34B.45C.43D.35
4.若△ABC在网格中的位置如图,则cs B的值为( A )
A.55B.255C.12D.2
5.如图,在正方形网格中,若△ABC的三个顶点均在格点上,则sin∠ABC的值为( C )
A.12B.255C.55D.2

第5题图 第6题图 第9题图
6.如图,在Rt△ABC中,若∠C＝90°,AB＝4,∠A＝30°,则AC的长为( D )
A.2B.3C.3D.23
7.已知一个直角三角形的周长是4+26,斜边上中线的长为2,则这个三角形的面积为( B )
A.5B.2C.54D.1
8.在Rt△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,∠C＝90°,∠A＝30°,斜边上的高为1,则Rt△ABC的三边长分别为( A )
A.a＝233,b＝2,c＝433B.a＝3,b＝2,c＝7
C.a＝2,b＝233,c＝433D.a＝23,b＝2,c＝4
9.【2021·玉林】如图，△ABC底边BC上的高为h1，△PQR底边QR上的高为h2，则有( )
A．h1＝h2 B．h1＜h2 C．h1＞h2 D．以上都有可能
【点拨】如图，分别作出△ABC底边BC上的高AD(即h1)，△PQR底边QR上的高PE(即h2)．
在Rt△ADC中，h1＝AD＝5×sin 55°；
在Rt△PER中，h2＝PE＝5×sin 55°，∴h1＝h2.
10.【中考·湘西州】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cs∠BDC＝eq \f(5,7)，则BC的长是( D )
A．10 B．8 C．4eq \r(3)D．2eq \r(6)

第10题图 第11题图 第12题图
11.【2021·黑龙江】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB的延长线上，连接CD，若AB＝2BD，tan∠BCD＝eq \f(2,3)，则eq \f(AC,BC)的值为( B )
A．1 B．2 C．eq \f(1,2) D．eq \f(3,2)
【点拨】过点D作DM⊥BC，交CB的延长线于点M，如图．
∵∠ACB＝∠DMB＝90°，∠ABC＝∠DBM，
∴△ABC∽△DBM，
∴eq \f(BD,AB)＝eq \f(BM,BC)＝eq \f(DM,AC).
∵AB＝2BD，∴eq \f(BD,AB)＝eq \f(BM,BC)＝eq \f(DM,AC)＝eq \f(1,2).
在Rt△CDM中，
tan∠MCD＝eq \f(2,3)＝eq \f(DM,CM)，
设DM＝2k，则CM＝3k.
又∵eq \f(BM,BC)＝eq \f(1,2)＝eq \f(DM,AC)，∴BC＝2k，AC＝4k，
∴eq \f(AC,BC)＝eq \f(4k,2k)＝2，故选B.
12.如图,菱形ABCD的周长为40 cm,DE⊥AB,垂足为E,sin A＝35,则下列结论:①DE＝6 cm;②BE＝2 cm;③菱形ABCD的面积为60 cm2;④BD＝410 cm.其中正确的结论有( B )
A.4个B.3个C.2个D.1个
二、填空题
13.解直角三角形的依据：
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则有：
(1)三边之间的关系：__________；
【答案】a2＋b2＝c2
(2)两锐角之间的关系：______________________________；
【答案】∠A＋∠B＝90°
(3)边角之间的关系：
sinA＝______，sinB＝______，
csA＝______，csB＝______，
tanA＝______，tanB＝______．
【答案】eq \f(a,c) eq \f(b,c) eq \f(b,c) eq \f(a,c) eq \f(a,b) eq \f(b,a)
14.在Rt△ABC中,∠C＝90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且a＝7,c＝72,则b＝ 7 ,∠A＝ 45° ,∠B＝ 45° .
15.如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,CD⊥AB于点D.若AC＝23,tan ∠BCD＝22,则AB＝32 .

第15题图 第16题图 第17题图
16.【中考·盐城】如图，在△ABC中，BC＝eq \r(6)＋eq \r(2)，∠C＝45°，AB＝eq \r(2)AC，则AC的长为________．
【点拨】作AD⊥BC，垂足为点D.设AC＝x，则AB＝eq \r(2)x.
在Rt△ACD中，AD＝AC·sin C＝eq \f(\r(2),2)x，CD＝AC·cs C＝eq \f(\r(2),2)x.
在Rt△ABD中，AB＝eq \r(2)x，AD＝eq \f(\r(2),2)x，
∴BD＝eq \r(AB2－AD2)＝eq \f(\r(6),2)x.
∴BC＝BD＋CD＝eq \f(\r(6),2)x＋eq \f(\r(2),2)x＝eq \r(6)＋eq \r(2).
∴x＝2，即AC＝2.
【答案】2
17.【2021·海南】如图，△ABC的顶点B，C的坐标分别是(1，0)，(0，eq \r(3))，且∠ABC＝90°，∠A＝30°，则顶点A的坐标是____________．
【点拨】如图，过点A作AG⊥x轴，垂足为点G.
∵B，C的坐标分别是(1，0)，(0，eq \r(3))，∴OC＝eq \r(3)，OB＝1.
∴BC＝eq \r(12＋（\r(3)）2)＝2.
∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，∴AB＝eq \f(BC,tan 30°)＝eq \f(2,\f(\r(3),3))＝2eq \r(3).
∵∠ABG＋∠CBO＝90°，∠BCO＋∠CBO＝90°，
∴∠ABG＝∠BCO.
∴sin∠ABG＝eq \f(AG,AB)＝sin∠BCO＝eq \f(OB,BC)＝eq \f(1,2)，cs∠ABG＝eq \f(BG,AB)＝cs∠BCO＝eq \f(OC,BC)＝eq \f(\r(3),2).
∴AG＝eq \r(3)，BG＝3.
∴OG＝1＋3＝4.
∴顶点A的坐标是(4，eq \r(3))．
【答案】(4，eq \r(3))
18.在△ABC中,BC＝2,AC＝23,∠A＝30°,则AB的长为 2或4 .
三、解答题
19.在Rt△ABC中,∠C＝90°,根据下列条件解直角三角形.
(1)∠B＝45°,c＝14;
(2)a＝6,∠A＝60°.
解:(1)∠A＝45°,a＝b＝142＝72.
(2)∠B＝30°,b＝2,c＝22.
20.如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,D为AB的中点,连接CD.若BC＝4,CD＝3,求sin ∠ACD的值.
解:∵∠ACB＝90°,D为AB的中点,∴CD＝12AB＝AD,
∴AB＝2CD＝6,∠ACD＝∠A,
∴sin ∠ACD＝sin ∠A＝BCAB＝46＝23.
21.如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,D为BC上一点,AB＝5,BD＝1,tan B＝34.
(1)求AD的长;
(2)求sin α的值.
解:(1)由tan B＝34可设AC＝3x,BC＝4x.
又∵AC2+BC2＝AB2,∴(3x)2+(4x)2＝52,
解得x＝1或x＝－1(舍去),∴AC＝3,BC＝4.
∵BD＝1,∴CD＝3,∴AD＝CD2+AC2＝32.
(2)过点D作DE⊥AB于点E.
∵12BD·AC＝12AB·DE,∴DE＝1×35＝35,
∴sin α＝DEAD＝210.
22.如图,有一个底面直径与杯高均为15 cm的杯子里盛了一些溶液,当它支在桌子上倾斜到液面与杯壁呈52°时才能将液体倒出,求此时杯子的最高处与桌面的距离.(结果精确到0.01 cm,参考数据:sin 52°≈0.79,cs 52°≈0.62,tan 52°≈1.28)
解:如图,过点A作AE⊥BC,交BC于点E,过点C作CF⊥PD,交PD所在直线于点F,那么AE+CF的长即为此时杯子的最高处与桌面的距离.
在Rt△ACE中,AE＝AC·cs ∠CAE＝15×cs 52°≈15×0.62＝9.3(cm).
在Rt△DCF中,CF＝CD·sin ∠CDF＝15×sin 52°≈15×0.79＝11.85(cm),
所以AE+CF＝9.3+11.85＝21.15(cm).
答:此时杯子的最高处与桌面的距离约为21.15 cm.
23.如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ADC＝120°，AB＝AD，E是BC的中点，DE＝15，DC＝24，求四边形ABCD的周长．
解：如图，过点A作AF⊥BD于点F.
∵∠BAD＝120°，AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝30°.
∵∠ADC＝120°，
∴∠BDC＝∠ADC－∠ADB＝120°－30°＝90°.
在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，E是BC的中点，DE＝15，
∴BC＝2DE＝30.
∴BD＝eq \r(BC2－DC2)＝eq \r(302－242)＝18.
∵AD＝AB，AF⊥BD，∴DF＝eq \f(1,2)BD＝eq \f(1,2)×18＝9.
在Rt△AFD中，∵∠AFD＝90°，∠ADB＝30°，
∴AD＝AB＝eq \f(DF,cs 30°)＝eq \f(9,\f(\r(3),2))＝6eq \r(3).
∴四边形ABCD的周长为AB＋BC＋CD＋AD＝6eq \r(3)＋30＋24＋6eq \r(3)＝54＋12eq \r(3).
24.如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,D是边AB的中点,P是边AC上一动点,BP与CD相交于点E.
(1)如果BC＝6,AC＝8,且P为AC的中点,求线段BE的长.
(2)连接PD,如果PD⊥AB,且CE＝2,ED＝3,求cs A的值.
解:(1)∵P为AC的中点,AC＝8,∴CP＝4.
∵∠ACB＝90°,BC＝6,∴BP＝213.
∵D是边AB的中点,P为AC的中点,
∴点E是△ABC的重心,
∴BE＝23BP＝4133.
(2)如图,过点B作BF∥CA,交CD的延长线于点F,∴BDDA＝FDDC＝BFCA.
∵BD＝DA,∴FD＝DC,BF＝AC.
∵CE＝2,ED＝3,∴CD＝5,∴EF＝8,
∴CPBF＝CEEF＝28＝14,∴CPAC＝14,∴CPPA＝13.
设CP＝k,∴PA＝3k.
∵PD⊥AB,D是边AB的中点,∴PA＝PB＝3k,
∴BC＝22k,∴AB＝26k.
∵AC＝4k,∴cs A＝63.