考点03 二次根式-2022年中考数学高频考点专题突破 （全国通用）（原卷版）

这是一份考点03 二次根式-2022年中考数学高频考点专题突破 （全国通用）（原卷版），共13页。学案主要包含了解题技巧等内容，欢迎下载使用。


基础知识点：
知识点1-1二次根式及性质
1）二次根式的定义：一般地，形如(a≥0)的式子叫做二次根式。
2）二次根式的基本性质：① (a≥0)； ② (a≥0)； ③ (a取全体实数)。
3）立方根的基本性质：①(a取全体实数)； ② (a取全体实数)。
知识点1-2二次根式的相关概念
1）最简二次根式：
最简二次根式满足的条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
化二次根式为最简二次根式的方法和步骤： eq \\ac(○,1)如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。 eq \\ac(○,2)如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。
2）同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。
知识点1-3二次根式的运算
1）二次根式的加减：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
2）二次根式的乘法：①； ② (a≥0， b≥0)。
3）二次根式的除法：①； ② (a≥0， b＞0)。
4）分母有理化：
5）二次根式混合运算：二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。
题型1 二次根式有意义的条件
【解题技巧】（1）对于二次根式有意义的条件求取值范围类题型，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数以及分式分母不为零．（2）对于解决此类型的题目关键从被开方数中找出一对相反数，利用二次根式的被开方数是非负数进行求解即可.
1．（2020·广东中考真题）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2020·四川绵阳·中考真题）若有意义，则a的取值范围是（ ）
A．a≥1B．a≤1C．a≥0D．a≤﹣1
3．（2020·湖南中考真题）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____．
4．（内蒙古赤峰·中考真题）能使式子成立的x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2020·四川成都市中考模拟）若，则的值为_________．
6．（山东济宁·中考真题）若在实数范围内有意义，则x满足的条件是
A． B．C．D．
7．（2020·甘肃省庆阳市中考模拟）若都是实数，且，则_______．
题型2利用二次根式的性质化简
【解题技巧】在中，因为无论a为正还是负，一定是非负数，所以根据无法判断a的正负性。
又因为二次根式的结果必须为非负，所以对于解决此类型的题目关键根据被开方数为非负数确定相关字母的符号，利用二次根式的性质即可化简。
1．（2019·四川内江·中考真题）若，则_____．
2．（2020·四川攀枝花·中考真题）实数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）．
A．B．0C．D．
3．（2020·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A．B．C．1D．
4．（2020·甘肃金昌·中考真题）已知，当分别取1，2，3，……，2020时，所对应值的总和是__________．
5．（2020·安徽初三其他）化简二次根式 的结果是（ ）
A．B．－C．D．－
6．（2020·湖南益阳·中考真题）若计算的结果为正整数，则无理数的值可以是__________．
（写出一个符合条件的即可）
7．（2020·湖北武汉·中考真题）计算的结果是_______.
8．（2020·广东潮阳·期末）计算: =_________.
题型3 复合二次根式化简
【解题技巧】将化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2=a且mn=，则a+2可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得化简．
注：主要思想是将根式下面的整体构造成完全平方的形式，再用二次根式的性质（）开方即可。
1．（2020·湖北丹江口·初二期末）先阅读下列的解答过程，然后作答：
形如的化简，只要我们找到两个数、使，，
这样，，于是.
例如：化简.
解：这里，，由于，，即，，
.
由上述例题的方法化简：（1）；（2）
2．（2020·重庆初三其他）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么，如何将双重二次根式化简．我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．
材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)和Q(x，y’)给出如下定义：若则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点(3，2)的“横负纵变点”为(3，2)，点(﹣2，5)的“横负纵变点”为(﹣2，﹣5)．问题：（1）点的“横负纵变点”为 ，点的“横负纵变点”为 ；
（2）化简：；
3．（2020·山东泗水·中考模拟）阅读下面的解答过程，然后作答：
有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数 m和n，使m2+n2=a 且 mn=，则a+2 可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得化简．
例如：∵5+2=3+2+2=（）2+（）2+2=（+）2
∴==+
请你仿照上例将下列各式化简：（1），（2）．
4．（2020·安徽安庆·中考二模）阅读理解题，下面我们观察：
反之，
所以，所以
完成下列各题：（1）在实数范围内因式分解：；（2）化简：；（3）化简：．
5．（2020·安徽无为·初三期末）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：
．请你仿照小明的方法解决下列问题：
（1），则____，____；（2）已知是的算术平方根，求的值；（3）当时，化简_______．
6．（贵州黔西·中考真题）阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索：
设（其中均为整数），则有．
∴．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
当均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示，得＝ ，＝ ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数，填空： ＋ ＝( ＋ )2；
（3）若，且均为正整数，求的值．
题型4最简二次根式的识别与运用
【解题技巧】最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不
含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
1．（2020·山东济宁·中考真题）下列各式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2019·山西中考真题）下列二次根式是最简二次根式的是( )
A．B．C．D．
3．（甘肃兰州·中考真题）下列二次根式中，是最简二次根式的是
A．B．C．D．
4．（上海中考真题）下列式子中，属于最简二次根式的是
A．B．C．D．
5．（山东烟台·中考真题）与最简二次根式5是同类二次根式，则a=_____．
6．（2020·山东阳谷·中考模拟）已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方式相同，若a是正整数，则a的最小值为（ ）
A．23B．21C．15D．5
7．（2020·江苏宝应·初三二模）最简根式与是同类二次根式，则a=____．
8．（2020·商丘综合实验中学初中部初二月考）下列根式中，不能与合并的是（ ）
A．B．C．D．
题型5二次根式的估算
【解题技巧】通常利用平方法，结合“夹逼法”确定平方根的范围，即a<1．（2020·天津中考真题）估计的值在（ ）
A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间
2．（2020·山东临沂·中考真题）设，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2020·贵州黔南·中考真题）已知，a介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2020·四川达州·中考真题）下列各数中，比3大比4小的无理数是（ ）
A．3.14B．C．D．
5．（2019·四川绵阳·中考真题）已知是整数，当取最小值时，的值是( )
A．5B．6C．7D．8
6（2020·内蒙古赤峰·中考真题）估计的值应在 （ ）
A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间
7．（2020·北京中考真题）写出一个比大且比小的整数______．
8．（2020·江苏南通·）若m＜2＜m+1，且m为整数，则m＝_____．
9．（云南昆明·中考真题）黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请你估算﹣1的值（ ）
A．在1.1和1.2之间 B．在1.2和1.3之间 C．在1.3和1.4之间 D．在1.4和1.5之间
题型6分母有理化与分子有理化
【解题技巧】二次分母有理化就是通过分子和分母同时乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程，混合运算中进行二次根式的除法运算，一般都是通过分母有理化而进行的．
1．（2019·江苏常州·中考真题）下列各数中与的积是有理数的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2019·湖北中考真题）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故，由，解得，即．根据以上方法，化简后的结果为（ ）
A．B．C．D．
3．（贵州毕节·中考真题）观察下列运算过程：
……
请运用上面的运算方法计算：
=_____．
4．（2020·湖南炎陵·初三其他）化简时，甲的解法是：==，乙的解法是： ==，以下判断正确的是（ ）
A．甲的解法正确，乙的解法不正确 B．甲的解法不正确，乙的解法正确
C．甲、乙的解法都正确 D．甲、乙的解法都不正确
5．（2020·广东顺德·初三三模）“分母有理化”是根式运算的一种化简方法，如：；除此之外，还可以用先平方再开方的方法化简一些有特点的无理数，如要化简，可以先设，再两边平方得，又因为，故x＞0，解得，，根据以上方法，化简的结果是（ ）
A．B．C．D．3
6．（2020·安徽天长·中考模拟）比较大小：___
7．（2020·北京市第十三中学分校中考模拟）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”:
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下：

因为，所以
再例如：求的最大值．做法如下：
解：由可知，而
当时，分母有最小值2，所以的最大值是2．
解决问题：（1）比较和的大小；（2）求的最大值和最小值．
题型7二次根式的混合运算
【解题技巧】二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变解答．
掌握二次根式的乘除法法则是解决此类题的关键，①两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变；②两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.
二次根式的混合运算可以说是二次根式乘、除法、加、减法的综合应用，在进行二次根式的混合运算时应注意以下几点：
①观察式子的结构，选择合理的运算顺序，二次根式的混合运算与实数运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号先算括号内的；
②在运算过程中，每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作是“多项式”；
1．（2020·山东聊城·中考真题）计算的结果正确的是（ ）．
A．1B．C．5D．9
2．（2020·江苏泰州·中考真题）下列等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
3．（辽宁大连·中考真题）计算：（ +2）2﹣+2﹣2
．
4．（2020·湖南中考真题）计算：﹣＝_____．
5．（2020·湖南株洲·中考真题）计算的结果是________．
6．（2020·山东青岛·中考真题）计算的结果是___．
7．（2020·内蒙古中考真题）计算：______．
8．（2020·山西中考真题）计算： ________．
题型8二次根式的运用
【解题技巧】该根题型没有固定模式，据题意灵活分析再结合二次根式解题即可。
1．（2019·湖北宜昌·中考真题）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为如图，在中，，，所对的边分别记为，，，若，，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2018·山东枣庄·中考真题）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S=．现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为______．
3．（山东莱芜·中考真题）如图，正三角形和矩形具有一条公共边，矩形内有一个正方形，其四个顶点都在矩形的边上，正三角形和正方形的面积分别是2和2，则图中阴影部分的面积是 ．
4．（2020·河北中考真题）已知：，则_________．
5．（2020·湖南邵阳·中考真题）在如图方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则2个空格的实数之积为________．
6．（四川眉山·中考真题）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（ ）．
A．3B．5C．15D．25
7．（2020·江苏宿迁·中考真题）在△ABC中，AB=1，BC=，下列选项中，可以作为AC长度的是（ ）
A．2B．4C．5D．6
2
1
6
3