考点04 分式与分式方程-2022年中考数学高频考点专题突破 （全国通用）（原卷版）

这是一份考点04 分式与分式方程-2022年中考数学高频考点专题突破 （全国通用）（原卷版），共13页。学案主要包含了解题技巧等内容，欢迎下载使用。


基础知识点：
知识点1-1 分式的相关概念
（1）一般地，整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么称为分式．
（2）分式中，A叫做分子，B叫做分母．
注：①若B≠0，则有意义；②若B=0，则无意义；③若A=0且B≠0，则=0．
知识点1-2 分式的基本性质
1）分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．
用式子表示为或，其中A，B，C均为整式．
知识点1-3 约分与通分
1）约分及约分法则
约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．
约分法则：把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数．如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分．
注：约分的根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式．
2）通分及通分法则
通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这一过程称为分式的通分．
通分法则：把两个或者几个分式通分：①先求各个分式的最简公分母（即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂和所有不同因式的积）；②再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式；
③若分母是多项式，则先分解因式，再通分．
注：通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．
3）最简分式
分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．
注：约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式．
4）最简公分母
几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．
知识点1-4分式的运算
1）分式的加减
①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为：．
②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．
用式子表示为：．
2）分式的乘法
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为：．
3）分式的除法
除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．
用式子表示为：．
4）分式的乘方
乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示为：为正整数，．
5）分式的混合运算
含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．
混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．
知识点1-5分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
注：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．
知识点1-6分式方程的解法
1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．
2）解分式方程的步骤：
①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；
②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；
③解整式方程；
④验根．
注：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．
3）增根
在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．
注：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解．
重难点题型
题型1 分式有意义和无意义的条件
【解题技巧】分式有意义的条件：分母不等于0. 反之就就是无意义的条件。
1．（2020·湖南衡阳·中考真题）要使分式有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2020·江苏南京·中考真题）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________．
3．（2020·云南昆明·中考真题）要使有意义，则x的取值范围是_____．
4．（2020·湖南郴州·中考真题）若分式的值不存在，则__________．
5．（2020·贵州贵阳·中考真题）当时，下列分式没有意义的是（ ）
A．B．C．D．
6．（广西贵港·中考真题）若分式的值不存在，则x的值为_____．
题型2 分式值为0的条件
【解题技巧】满足分式的值为0的条件：分子为0分母不为0.
1．（2020·浙江金华·中考真题）分式的值是零，则x的值为（ ）
A．5B．2C．－2D．－5
2．（2020·四川雅安·中考真题）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．0B．1C．﹣1D．±1
3．（2020·江苏淮安·）方程的解为__________．
4．（2019·北京中考真题）若分式的值为0，则的值为______.
5．（2019·山东聊城·中考真题）如果分式的值为0，那么的值为（ ）
A．-1B．1C．-1或1D．1或0
6．（浙江丽水·中考真题）若分式的值为0，则x的值为
A．3B．C．3或D．0
7．（2020·内蒙古中考真题）下列命题正确的是（ ）
A．若分式的值为0，则x的值为±2． B．一个正数的算术平方根一定比这个数小．
C．若，则． D．若，则一元二次方程有实数根．
题型3 分式的基本性质
【解题技巧】分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值
不变.
1．（2020·河北中考真题）若，则下列分式化简正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2020·浙江湖州·中考真题）化简：＝_____．
3．（2019·江苏扬州·中考真题）分式可变形为( )
A．B．-C．D．
4．（山东莱芜·中考真题）若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A．B．C．D．
5．（浙江义乌·中考真题）下列计算错误的是（ ）
A．B．C．D．
6．（福建三明·中考真题）化简：=______．
7．（贵州贵阳·中考真题）分式化简的结果为 ．
8．（广西桂林·中考真题）分式与的最简公分母是__________．
题型4 分式的化简求值
【解题技巧】与实数运算类似，分式的混合运算应先乘方、后乘除、最后加减，有括号时，先算括号里面的，并恰当运用运算律简化运算。一个分式与一个整式相加减时，可以把整式视为分母为1的分式，以免通分漏项。
1．（2020·浙江衢州·中考真题）先化简，再求值：，其中a=3．
2．（2020·四川遂宁·中考真题）先化简，（﹣x﹣2）÷，然后从﹣2≤x≤2范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
3．（2020·山东德州·中考真题）先化简：，然后选择一个合适的x值代入求值．
4．（2020·湖南怀化·中考真题）先化简，再求值：，然后从，0，1中选择适当的数代入求值．
5．（2020·河南中考真题）先化简，再求值：，其中
6．（2020·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：，其中．
7．（2020·山西中考真题）（1）计算：
（2）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．
第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
第六步
任务一：填空：①以上化简步骤中，第_____步是进行分式的通分，通分的依据是____________________或填为_____________________________；
②第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是_____________________________________；
任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果；
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．
8．（2020·辽宁丹东·中考真题）先化简，再求代数式的值：，其中．
9．（2020·湖南娄底·中考真题）先化简，然后从，0，1，3中选一个合适的数代入求值．
10．（2020·内蒙古赤峰·中考真题）先化简，再求值：，其中m满足：.
题型5 解分式方程
【解题技巧】分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③检验(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).
1．（2020·江苏常州·中考真题）解方程：；
2．（2020·海南中考真题）分式方程的解是（ ）
A．B．C．D．
3．（2020·黑龙江哈尔滨·中考真题）方程的解是（ ）
A．B．C．D．
4．（2020·山东济南·中考真题）代数式与代数式的值相等，则x＝_____．
5．（2020·黑龙江大庆·中考真题）解方程：
6．（2020·湖南郴州·中考真题）解方程：
7．（2020·山东日照·中考真题）解方程：+1＝．
8．（2020·浙江杭州·中考真题）若分式的值等于1，则x＝_____．
9．（2019·山东淄博·中考真题）解分式方程时，去分母变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）分式与的最简公分母是_______，方程的解是____________．
题型6 分式方程含参（一）（有增根和无解）
【解题技巧】方程有增根，则这个根使得分式的分母为0.利用这个条件，我们可以先求解出增根的情况，在根据题意求解出其他字母的值。
1．（2020·四川遂宁·中考真题）关于x的分式方程﹣＝1有增根，则m的值（ ）
A．m＝2B．m＝1C．m＝3D．m＝﹣3
2．（2020·山东潍坊·中考真题）若关于x的分式方程有增根，则_________．
3．（2019·四川巴中·中考真题）若关于x的分式方程有增根，则m的值为_______．
4．（2018·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若关于x的方程无解，则m的值为__．
5．（2018·四川达州·中考真题）若关于x的分式方程=2a无解，则a的值为_____．
6．（山东东营·中考真题）若分式方程无解，则的值为 ．
7．（2019·山东烟台·中考真题）若关于的分式方程有增根，则的值为_____.
题型7分式方程含参（二）（解为正数或负数）
1．（2020·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若关于x的分式方程＝+5的解为正数，则m的取值范围为（ ）
A．m＜﹣10 B．m≤﹣10 C．m≥﹣10且m≠﹣6 D．m＞﹣10且m≠﹣6
2．（2020·四川泸州·中考真题）已知关于x的分式方程的解为非负数，则正整数m的所有个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．（2020·四川眉山·中考真题）关于的分式方程的解为正实数，则的取值范围是________．
4．（2020·黑龙江鹤岗·中考真题）已知关于的分式方程的解为非正数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2020·云南中考真题）若整数使关于的不等式组，有且只有45个整数解，且使关于的方程的解为非正数，则的值为（ ）
A．或B．或C．或D．或或
6．（四川成都·中考真题）已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是 .
7．（2020·内蒙古包头·初三学业考试）若关于的方程的解为非负数，则的取值范围是__________
题型8分式方程含参（三）（整数解问题）
1．（2020·湖北荆门·中考真题）已知关于x的分式方程的解满足，且k为整数，则符合条件的所有k值的乘积为（ ）
A．正数B．负数C．零D．无法确定
2．（2020·重庆中考真题）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥5，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．-1B．-2C．-3D．0
3．（2020·黑龙江穆棱·朝鲜族学校中考真题）若关于x的分式方程有正整数解，则整数m的值是（ ）
A．3B．5C．3或5D．3或4
4．（2020·重庆中考真题）若关于x的一元一次不等式结的解集为；且关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（ ）
A．7B．－14C．28D．－56
5．（2019·重庆中考真题）若数a使关于x的不等式组有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．1