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考点02 整式与因式分解-2022年中考数学高频考点专题突破 （全国通用）（解析版）
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这是一份考点02 整式与因式分解-2022年中考数学高频考点专题突破 （全国通用）（解析版），共35页。学案主要包含了解题技巧等内容，欢迎下载使用。
考点2. 整式与因式分解
知识框架：
基础知识点：
知识点1-1整式的相关概念
1)代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。
2)单项式：用数或字母的乘积表示的式子叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如，这种表示就是错误的，应写成；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如是6次单项式。
3)多项式：几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。
4）单项式与多项式统称整式。
知识点1-2幂运算
1）同底数幂的乘法：am·an=am+n。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
2）幂的乘方：(am)n=amn。幂的乘方，底数不变，指数相乘。
3）积的乘方：(ab)n=anbn。积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
4）同底数幂的除法：am÷an=am-n。同底数幂相除，底数不变，指数相减。
注：任何不等于0的数的0次幂都等于1。
知识点1-3整式加减
1)同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
2)合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。
合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变。
3)整式的加减：几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项。
去括号（添括号）法则：同号得正，异号得负。即括号外的因数的符号决定了括号内的符号是否改变：
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。
知识点1-4整式乘除
1）单项式与单项式的乘法：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
2）单项式与多项式的乘法：p(a+b+c)=pa+pb+pc。单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
3）多项式与多项式的乘法：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
4）平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式叫做平方差公式。
5）完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍。这两个公式叫做完全平方公式。
6）单项式与单项式的除法：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
7）多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
注：以上公式及法则在分式和二次根式的运算中同样适用。
知识点1-5 因式分解
1）定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
2）因式分解的常用方法：
①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；
②公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。
③分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)
④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)
3）因式分解的一般步骤：
（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。
（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式
（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
重难点题型：
题型1、代数式求值
【解题技巧】求代数式的值分为三种：
（1）直接代入求值：往往先化简再求值.
（2）间接代入求值：根据已知条件，先求出未知数的值，再代入求值；
（3）整体代入求值：当未知数的值不易直接求解时，通常用整体代入法。
1．（2020·山东潍坊·中考真题）若，则的值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】把所求代数式变形为，然后把条件整体代入求值即可．
【解析】∵，∴==4×1-3=1．故选：D．
【点睛】此题主要考查了代数式求值以及“整体代入”思想，解题的关键是把代数式变形为．
2．（2020·四川成都·中考真题）已知，则代数式的值为_________．
【答案】49
【分析】先将条件的式子转换成a+3b=7，再平方即可求出代数式的值．
【解析】解：∵，∴，∴，故答案为：49．
【点睛】本题考查完全平方公式的简单应用，关键在于通过已知条件进行转换．
3．（2020·湖南岳阳·中考真题）已知，则代数式的值为___________．
【答案】4
【分析】先根据整式的乘法去括号化简代数式，再将已知式子的值代入求值即可．
【解析】 将代入得：原式 故答案为：4．
【点睛】本题考查了代数式的化简求值，利用整式的乘法对代数式进行化简是解题关键．
4．（2020·山东临沂·中考真题）若，则________．
【答案】-1
【分析】将原式变形为，再将代入求值即可.
【解析】解：=
将代入，原式===1-2=-1故答案为：-1.
【点睛】本题考查了代数式求值，其中解题的关键是利用平方差公式将原式变形为.
5．（四川内江·中考真题）若实数x满足，则= ．
【答案】﹣2020．
【解析】∵，∴，=====4﹣2024=﹣2020，
故答案为：﹣2020．
考点：因式分解的应用；降次法；整体思想．
6．（2020·江苏连云港·中考真题）按照如图所示的计算程序，若，则输出的结果是________．
【答案】-26
【分析】首先把x=2代入计算出结果，判断是否小于0，若小于0，直到输出的结果是多少，否则将计算结果再次代入计算，直到小于0为止．
【解析】解：当x=2时，，故执行“否”，返回重新计算，
当x=6时，，执行“是”，输出结果：-26．故答案为：-26．
【点睛】此题主要考查了代数式求值，以及有理数的混合运算，要熟练掌握．解题关键是理解计算流程．
7．（2019·黑龙江中考真题）已知：ab=1，b=2a-1，求代数式的值．
【答案】-1.
【分析】根据ab=1，b=2a-1，可以求得b-2a的值，从而可以求得所求式子的值．
【解析】∵ab=1，b=2a-1，∴b-2a=-1，∴
【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
8．（2020·江苏徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数与的图像交于点，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】把P(，)代入两解析式得出和的值，整体代入即可求解C
【解析】∵函数与的图像交于点P(，)，
∴，，即，，∴．故选：C．
【点睛】本题考查了代数式的求值以及反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标同时满足两个函数的解析式．
题型2、探索规律（代数类）
【解题技巧】此类题型分两部分找规律：
①符号规律：通常是正负间或出现的规律，常表示为或或；
②数字规律：数字规律需要视题目而确定；
字母规律：通常字母规律是呈指数变换，长表示为：等形式；
算式规律这一类没有固定的套路，主要依靠学生对已知算式的观察、总结、逻辑推理，发现期中的规律。
常考的背景有：杨辉三角、等差数列、连续n个数的立方和、连续n个数的平方和、阶乘等。
（1）数字规律
1．（2020·湖北咸宁·中考真题）按一定规律排列的一列数：3，，，，，，，，…，若a，b，c表示这列数中的连续三个数，猜想a，b，c满足的关系式是__________．
【答案】bc=a
【分析】根据题目中的数字，可以发现相邻的数字之间的关系，从而可以得到a，b，c之间满足的关系式．
【解析】解：∵一列数：3，，，，，，，，…，
可发现：第n个数等于前面两个数的商，∵a，b，c表示这列数中的连续三个数，∴bc=a，故答案为：bc=a．
【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，求出a，b，c之间的关系式．
2．（2020·四川中考真题）将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）…，我们称“4”是第2组第1个数字，“16”是第4组第2个数字，若2020是第m组第n个数字，则m+n＝_____．
【答案】65
【分析】根据题目中数字的特点，可知每组的个数依次增大，每组中的数字都是连续的偶数，然后即可求出2020是多少组第多少个数，从而可以得到m、n的值，然后即可得到m+n的值．
【解析】∵将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）…，
∴第m组有m个连续的偶数，∵2020＝2×1010，∴2020是第1010个偶数，
∵1+2+3+…+44＝＝990，1+2+3+…+45＝＝1035，
∴2020是第45组第1010－990＝20个数，∴m＝45，n＝20，∴m+n＝65．故答案为：65．
【点睛】本题考查探索规律，认真观察所给数据总结出规律是解题的关键．
3．（2020·云南昆明·中考真题）观察下列一组数：﹣，，﹣，，﹣，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是_____．
【答案】
【分析】观察已知一组数，发现规律进而可得这一组数的第n个数．
【解析】观察下列一组数：﹣＝﹣，＝，﹣＝﹣＝，﹣＝﹣，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是：（﹣1）n ，故答案为：．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．
4．（2019·湖南常德·中考真题）观察下列等式： 根据其中的规律可得的结果的个位数字是（ ）
A．0 B．1 C．7 D．8
【答案】A
【分析】首先得出尾数变化规律，进而得出的结果的个位数字．
【解析】∵
∴个位数4个数一循环，∴， ∴，
∴的结果的个位数字是：0．故选A．
【点睛】此题主要考查了尾数特征，正确得出尾数变化规律是解题关键．
5．（四川巴中·中考真题）a是不为1的数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数为；的差倒数是；已知，是的差倒数，是的差倒数．是差倒数，…依此类推，则= ．
【答案】．
【解析】，是的差倒数，即==，是的差倒数，即==3，是差倒数，即==，…依此类推，∵2015÷3=671…2，∴==．故答案为．
考点：1．规律型：数字的变化类；2．倒数；3．规律型．
6．（2020·湖北中考真题）根据图中数字的规律，若第n个图中出现数字396，则（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
【答案】B
【分析】观察上三角形，下左三角形，下中三角形，下右三角形各自的规律，让其等于396，解得为正整数即成立，否则舍去．
【解析】根据图形规律可得：
上三角形的数据的规律为：，若，解得不为正整数，舍去；
下左三角形的数据的规律为：，若，解得不为正整数，舍去；
下中三角形的数据的规律为：，若，解得不为正整数，舍去；
下右三角形的数据的规律为：，若，解得，或，舍去。故选：B．
【点睛】本题考查了有关数字的规律，能准确观察到相关规律是解题的关键．
7．（2020·山东泰安·中考真题）右表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，……，第个数记为，则_________．
【答案】20110
【分析】根据所给数据可得到关系式，代入即可求值．
【解析】由已知数据1，3，6，10，15，……，可得，
∴，，∴．故答案为20110．
【点睛】本题主要考查了数字规律题的知识点，找出关系式是解题的关键．
8．（2020·湖南娄底·中考真题）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（ ）
A．135 B．153 C．170 D．189
【答案】C
【分析】由观察发现每个正方形内有：可求解，从而得到，再利用之间的关系求解即可．
【解析】解：由观察分析：每个正方形内有：
由观察发现： 又每个正方形内有：
故选C．
【点睛】本题考查的是数字类的规律题，掌握由观察，发现，总结，再利用规律是解题的关键．
（2）代数式规律
1．（2020·云南中考真题）按一定规律排列的单项式：，，，，，，…，第个单项式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先分析前面所给出的单项式，从三方面（符号、系数的绝对值、指数）总结规律，发现规律进行概括即可得到答案．
【解析】解： ，，，，，，…，
可记为： 第项为： 故选A．
【点睛】本题考查了单项式的知识，分别找出单项式的系数和次数的规律是解决此类问题的关键．
2．（2020·青海中考真题）观察下列各式的规律：①；②；③．请按以上规律写出第4个算式________．用含有字母的式子表示第n个算式为________．
【答案】
【分析】（1）按照前三个算式的规律书写即可；（2）观察发现，算式序号与比序号大2的数的积减去比序号大1的数的平方，等于-1，根据此规律写出即可；
【解析】（1），②，③，
④；故答案为．
（2）第n个式子为：．故答案为．
【点睛】本题主要考查了规律性数字变化类知识点，准确分析是做题的关键．
3．（2018·山东滨州·中考真题）观察下列各式：
，，，……请利用你所发现的规律，
计算+++…+，其结果为_______．
【答案】
分析：直接根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案．
【解析】由题意可得：+++…+
=+1++1++…+1+=9+（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=9+=9．
故答案为9．
点睛：此题主要考查了数字变化规律，正确将原式变形是解题关键．
4．（2019·西藏中考真题）观察下列式子
第个式子：
第个式子：
第个式子：……
请写出第个式子：_____．
【答案】．
【分析】由题意可知：①等号左边是两个连续偶数的积（其中第二个因数比第一个因数大）与的和；右边是比左边第二个因数小的数的平方；②第个式子的第一个因数是，第个式子的第一个因数是，第个式子的第一个因数是，以此类推，得出第个式子的第一个因数是，从而能写出第个式子．
【解析】第个式子：，即，
第个式子：，即，
第个式子：，即，……
第个等式为：．故答案为．
【点睛】此题主要考查了规律型：数字的变化类，根据已知得出等式左边第一个因数的规律是解题关键．
5（2020·贵州铜仁·中考真题）观察下列等式：
2+22=23﹣2；
2+22+23=24﹣2；
2+22+23+24=25﹣2；
2+22+23+24+25=26﹣2；
…
已知按一定规律排列的一组数：220，221，222，223，224，…，238，239，240，若220=m，则220+221+222+223+224+…+238+239+240=_____(结果用含m的代数式表示)．
【答案】．
【分析】由题意可得220+221+222+223+224+…+238+239+240=220(1+2+22+…+219+220)=220(1+221﹣2)=220(220×2﹣1)，再将220=m代入即可求解．
【解析】∵220=m，
∴220+221+222+223+224+…+238+239+240=220(1+2+22+…+219+220)=220(1+221﹣2)=m(2m﹣1)．
故答案为：m(2m﹣1)．
【点睛】本题考查了规律型问题：数字变化，列代数式等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
6．（山西中考真题）一组按规律排列的式子：则第n个式子是 .
【答案】（n为正整数）
【解析】寻找规律：已知式子可写成：，分母为奇数，可写成2n-1，分子中字母a的指数为偶数2n．∴第n个式子是（n为正整数）．
7．（2019·山东枣庄·中考真题）观察下列各式：，
，，
请利用你发现的规律，计算：
，其结果为____．
【答案】．
【分析】根据题意找出规律，根据二次根式的性质计算即可．
【解析】
，故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简、数字的变化规律，掌握二次根式的性质是解题 的关键．
题型4、幂的运算
解题技巧：根据运算规则，先将不同底数转化为相同底数，然后再根据题意进行相应计算；利用幂的相关法则，转化为指数之间的关系。
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
1．（2020·江苏镇江·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A．a3+a3＝a6 B．（a3）2＝a6 C．a6÷a2＝a3 D．（ab）3＝ab3
【答案】B
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方的计算法则进行计算即可．
【解析】解：，因此选项不正确；，因此选项正确；
，因此选项不正确；，因此选项不正确；故选：B．
【点睛】本题考查合并同类项、同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方的计算方法，掌握相关运算方法是解题的关键．
2．（2020·江苏盐城·中考真题）下列运算正确的是：（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据整式的加减与幂的运算法则即可判断．
【解析】A.，故错误； B. ，故错误；
C.，正确； D. ，故错误；故选C．
【点睛】此题主要考查整式与幂的运算，解题的关键是熟知其运算法则．
3．（2020·江苏徐州·）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由合并同类项、同底数幂除法，完全平方公式、积的乘方，分别进行判断，即可得到答案．
【解析】解：A、，故A错误；B、，故B错误；
C、，故C错误；D、，故D正确；故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂除法，积的乘方，完全平方公式，合并同类项，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
4．（2020·山东济南·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣2a3）2＝4a6 B．a2•a3＝a6 C．3a+a2＝3a3 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
【答案】A
【分析】根据各个选项中的运算，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【解析】解：∵（﹣2a3）2＝4a6，故选项A正确；∵a2•a3＝a5，故选项B错误；
∵3a+a2不能合并，故选项C错误；∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故选项D错误；故选：A．
【点睛】本题考查的是积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，完全平方公式，掌握以上知识是解题的关键．
5．（2020·四川中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（3a）3 ＝9a3 C．3a﹣2a＝1 D．（﹣2a2）3＝﹣8a6
【答案】D
【分析】利用同底数幂的乘法法则、积的乘方运算法则、合并同类项法则分别进行计算即可．
【解析】A、a2•a3=a5，故原计算错误；B、(3a)3 =27a3，故原计算错误；
C、3a﹣2a=a，故原计算错误；D、(﹣2a2)3=﹣8a6，故原计算正确；故选：D．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法、积的乘方运算、合并同类项、幂的乘方运算，关键是掌握各计算法则．
6．（2020·广西中考真题）下列计算正确的是（ ）
A．x•x＝2x B．x+x＝2x C．（x3）3＝x6 D．（2x）2＝2x2
【答案】B
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，幂的乘方运算法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可.
【解析】解：A．x•x＝x2，故本选项不合题意；B．x+x＝2x，故本选项符合题意；
C．（x3）3＝x9，故本选项不合题意；D．（2x）2＝4x2，故本选项不合题意.故选：B.
【点睛】此题考查整式的计算法则：同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，幂的乘方运算法则以及积的乘方运算法则，掌握各计算公式是解题的关键.
7．（2020·甘肃兰州·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用同底数幂的乘除法法则以及积的乘方运算法则分别化简得出答案．
【解析】解：A、2a·3a=6a2，故此选项错误；B、，故此选项错误；
C、，故此选项错误；D、，故此选项正确；故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法法则以及积的乘方运算法则，正确掌握相关运算法则是解题的关键．
8．（2020·河南中考真题）电子文件的大小常用等作为单位，其中，某视频文件的大小约为等于( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意及幂的运算法则即可求解．
【解析】依题意得=；故选A．
【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知同底数幂的运算法则．
题型5、利用同类项求参数
【解题技巧】（1）若告知某两个单项式为同类项，则这两个单项式的对应字母的次数相同；（2）若告知某个整式经过一系列变化后，结果为某个单项式，则该整式中与该单项式不是同类项的系数必为0.
1．（2020·湖北荆州·）若单项式与是同类项，则的值是_______________．
【答案】2
【分析】先根据同类项的定义求出m与n的值，再代入计算算术平方根即可得．
【解析】由同类项的定义得：解得则故答案为：2．
【点睛】本题考查了同类项的定义、算术平方根，熟记同类项的定义是解题关键．
2．（2020·江苏苏州·中考真题）若单项式与单项式是同类项，则___________．
【答案】4
【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式是同类项.可列式子m-1=2,n+1=2,分别求出m,n的值，再代入求解即可.
【解析】解：∵单项式与单项式是同类项，∴m-1=2,n+1=2,
解得：m=3,n=1.∴m+n=3+1=4.故答案为：4.
【点睛】本题考查了同类项的概念，正确理解同类项的定义是解题的关键.
3．（2019·四川绵阳·中考真题）单项式与是同类项，则______．
【答案】1
【分析】先根据同类项的定义列出方程，再结合二次根式的性质求出，的值，然后代入代数式计算即可．
【解析】解：由题意知，即，
∴，，，则，故答案为：1．
【点睛】此题考查了同类项的定义和二次根式的性质，属于基础题，解答本题的关键是掌握同类项的定义，难度一般．
4．（2020·广东中考真题）若与是同类项，则___________．
【答案】3
【分析】本题考查同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，根据同类项的定义中相同字母的指数也相同，可求得m和n的值，根据合并同类项法则合并同类项即可．
【解析】解：由同类项的定义可知，m=2，n=1，∴m+n=3故答案为3．
【点睛】本题考查了同类项，解决本题的关键是判断两个项是不是同类项，只要两看，即一看所含有的字母是否相同，二看相同字母的指数是否相同．
5．（2019·山东滨州·中考真题）若与的和是单项式，则的平方根为（ ）．
A．4 B．8 C．±4 D．±8
【答案】D
【分析】根据单项式的定义可得和是同类项，因此可得参数m、n,代入计算即可.
【解析】解：由与的和是单项式，得．
，64的平方根为．故选D．
【点睛】本题主要考查单项式的定义，关键在于识别同类项，根据同类项计算参数.
6．（2019·湖南株洲·中考真题）下列各式中，与是同类项的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，进行判断即可．
【解析】解：A.与不是同类项，故本选项错误；B.3x3y2与不是同类项，故本选项错误；
C.与是同类项，故本选项正确；D.与不是同类项，故本选项错误；故选：C．
【点睛】本题考查了同类项的知识，解答本题的关键是理解同类项的定义．
7．（2018·广西河池·中考真题）下列单项式中，与3a2b为同类项的是（ ）
A． B． C．3ab D．3
【答案】A
【分析】单项式3a2b含有字母a、b，且次数分别为2、1，根据同类项的定义进行判断．
【解析】解：∵3a2b含有字母a、b，且次数分别为2、1，∴与3a2b是同类项的是﹣a2b．故选：A．
【点睛】本题考查了同类项的定义，解题的关键是熟知同类项的定义．
8．（2020·贵州黔南·中考真题）若与的和仍是一个单项式，则______．
【答案】9．
【分析】根据合并同类项法则可知这两个单项式是同类项，再根据同类项的字母和字母上的指数也要对应相等即可求出答案．
【解析】由题意可知： 与是同类项，
解之得： 故 故答案为
【点睛】本题主要考查了合同同类项，明确同类项的定义是解题关键．
题型6、平方差公式应用
【解题技巧】能够运用平方差公式进行多项式乘法运算的必须是两个二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．反之能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式且符号相反．
1．（2020·湖南郴州·中考真题）如图，将边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积得到空白部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可．
【解析】第一个图形空白部分的面积是x2-1，第二个图形的面积是（x+1）（x-1）．
则x2-1=（x+1）（x-1）．故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，正确用两种方法表示空白部分的面积是解决问题的关键．
2．（2020·江苏淮安·中考真题）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数中为“幸福数”的是（ ）
A．205 B．250 C．502 D．520
【答案】D
【分析】设两个连续奇数中的一个奇数为，则另一个奇数为，先得出由这两个奇数得到的“幸福数”为，再看四个选项中，能够整除4的即为答案．
【解析】设两个连续奇数中的一个奇数为，则另一个奇数为
由这两个奇数得到的“幸福数”为
观察四个选项可知，只有选项D中的520能够整除4；即故选：D．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，理解“幸福数”的定义，正确列出“幸福数”的代数式是解题关键．
3．（2020·河北中考真题）若，则（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】B
【分析】利用平方差公式变形即可求解．
【解析】原等式变形得：
．故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，灵活运用平方差公式是解题的关键．
4．（2019·湖南湘潭·中考真题）若，，则_____．
【答案】15
【分析】先根据平方差公式分解因式，再代入求出即可．
【解析】解：∵，，∴故答案为15
【点睛】本题考查了平方差公式，能够正确分解因式是解此题的关键．
5．（2019·贵州贵阳·中考真题）选择计算（﹣4xy2+3x2y）（4xy2+3x2y）的最佳方法是（ ）
A．运用多项式乘多项式法则 B．运用平方差公式
C．运用单项式乘多项式法则 D．运用完全平方公式
【答案】B
【分析】直接利用平方差公式计算得出答案．
【解析】选择计算（﹣4xy2+3x2y）（4xy2+3x2y）的最佳方法是：运用平方差公式．故选：B．
【点睛】此题主要考查了多项式乘法，正确应用公式是解题关键．
6．（2020·黑龙江龙凤·初三模拟）=_______．
【答案】
【分析】先运用平方差公式对各括号内因式分解，然后寻找规律解答即可．
【解析】解：
=
===
【点睛】本题考查了实数的运算以及运用平方差公式因式分解，因式分解后观察发现数字间的规律是解答本题的关键．
7．（2020·浙江衢州·中考真题）定义a※b=a（b+1），例如2※3=2×（3+1）=2×4=8．则（x﹣1）※x的结果为_____．
【答案】x2﹣1
【分析】根据规定的运算，直接代值后再根据平方差公式计算即可．
【解析】解：根据题意得：（x﹣1）※x=（x﹣1）（x+1）=x2﹣1．故答案为：x2﹣1．
【点睛】本题考查了平方差公式，实数的运算，理解题目中的运算方法是解题关键．
8．（浙江义乌·中考真题）如图1，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形．
（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1和S2；
（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式．
【答案】解：（1）.
（2）.
【解析】解：（1）∵大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， ∴．
S2=（2a+2b）（a-b）=（a+b）（a-b）；
（2）根据题意得： （a+b）（a-b）= ．
题型7、完全平方公式应用
【解题技巧】能运用完全平方公式进行多项式乘法运算的，必须是两个数（或差）的平方和的形式，反之能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．
1．（2020·宁夏中考真题）2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为____．
【答案】27
【分析】根据题意得出a2+b2=15，（b-a）2=3，图2中大正方形的面积为：（a+b）2，然后利用完全平方公式的变形求出（a+b）2即可．
【解析】解：由题意可得在图1中：a2+b2=15，（b-a）2=3，图2中大正方形的面积为：（a+b）2，
∵（b-a）2=3a2-2ab+b2=3，∴15-2ab=32ab=12，
∴（a+b）2=a2+2ab+b2=15+12=27，故答案为：27．
【点睛】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟知完全平方式的形式是解题关键．
2．（2020·河北沙河·初三零模）已知a+1＝20002+20022，计算＝_____．
【答案】4002
【分析】先根据已知确定的值，再代入中，根据完全平方公式将被开方数变形，最后根据算术平方根的定义即可求解．
【解析】解：∵∴
∴
故答案为：
【点睛】在求代数式值时，对已知条件或所求代数式进行适当变形，可以使一些问题简化，并得以解决．
3．（2020·四川眉山·中考真题）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据，变形可得：，因此可求出，，把和代入即可求解．
【解析】∵∴
即，∴求得：，
∴把和代入得：故选：A
【点睛】本题主要考查了完全平方公式因式分解，熟记完全平方公式，通过移项对已知条件进行配方是解题的关键．
4．（2019·四川资阳·中考真题）4张长为a、宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为．若，则a、b满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先用a、b的代数式分别表示，，再根据，得，整理，得，所以．
【解析】解：，
，
∵，∴，整理，得，
∴，∴．故选：D．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练运用完全平方公式是解题的关键．
5．（2020·山东枣庄中考真题）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可得，正方形的边长为，故正方形的面积为。
又∵原矩形的面积为，∴中间空的部分的面积=。故选C。
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握公式的变式是解题关键.
6．（2019·四川新都·中考模拟）已知（2019﹣a）2+（a﹣2017）2＝7，则代数式（2019﹣a）（a﹣2017）的值是_____．
【答案】
【分析】根据完全平方公式的变式：ab= 利用整体代入的思想求解即可.
【解析】解：∵（2019﹣a）2+（a﹣2017）2＝7，
∴（2019﹣a）（a﹣2017）＝{[（2019﹣a）+（a﹣2017）]2﹣[（2019﹣a）2+（a﹣2017）2]}＝，
故答案为：.
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握公式的变式是解题关键.
7．（2018·贵州安顺·中考真题）若是关于的完全平方式，则__________．
【答案】7或-1
【分析】直接利用完全平方公式的定义得出2（m-3）=±8，进而求出答案．
【解析】∵x2+2（m-3）x+16是关于x的完全平方式，∴2（m-3）=±8，
解得：m=-1或7，故答案为-1或7．
点睛：此题主要考查了完全平方公式，正确掌握完全平方公式的基本形式是解题关键．
8．（2020·内蒙古包头·初三二模）若m﹣＝3，则m2+＝_____．
【答案】11
【分析】根据完全平方公式，把已知式子变形，然后整体代入求值计算即可得出答案．
【解析】解：∵＝m2﹣2+＝9，∴m2+＝11，故答案为11．
【点睛】此题主要考查完全平方公式的应用，解题的关键是熟知完全平方公式的变形.
9．（2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程，就可以利用该思维方式，设，将原方程转化为：这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x，这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题．已知实数x，y满足，求的值．
【答案】6或26
【分析】通过“换元”的思路，可以将所要求的方程组中的元素进行换元，两个式子中都有和，因此可以令，列出方程组，从而求出a，b的值，再求出的值.
【解析】解：令，则原方程组可化为：
，整理得：，
②-①得：，解得：，代入②可得：b=4，
∴方程组的解为：或，，
当a=5时，=6，当a=-5时，=26，因此的值为6或26.
【点睛】此题主要考查了高次方程的解法以及完全平方公式的运用，利用换元的思想，将高次方程转化为二元一次方程组是解题关键．
题型8、整式混合运算
【解题技巧】（1）p（a+b+c）=pa+pb+pc；（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn
（2）；（pa+pb+pc）÷p=a+b=c
注：多项式的乘法要注意多项式中每一项不要漏乘，还要注意运算符号，遵循去括号的法则。
1．（2018·河北中考真题）嘉淇准备完成题目：化简：，发现系数“”印刷不清楚．（1）他把“”猜成3，请你化简：（3x2+6x+8）–（6x+5x2+2）；（2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数．”通过计算说明原题中“”是几？
【答案】（1）–2x2+6；（2）5.
【分析】（1）原式去括号、合并同类项即可得；（2）设“”是a，将a看做常数，去括号、合并同类项后根据结果为常数知二次项系数为0，据此得出a的值．
【解析】（1）（3x2+6x+8）﹣（6x+5x2+2）=3x2+6x+8﹣6x﹣5x2﹣2=﹣2x2+6；
（2）设“”是a，则原式=（ax2+6x+8）﹣（6x+5x2+2）=ax2+6x+8﹣6x﹣5x2﹣2=（a﹣5）x2+6，
∵标准答案的结果是常数，∴a﹣5=0，解得：a=5．
【点睛】本题主要考查整式的加减，解题的关键是掌握去括号、合并同类项法则．
2．（2020·江苏南通·）计算：（2m+3n）2﹣（2m+n）（2m﹣n）；
【答案】12mn+10n2；
【分析】根据完全平方公式，平方差公式进行计算即可；
【解析】解：（1）原式＝4m2+12mn+9n2﹣（4m2﹣n2）＝4m2+12mn+9n2﹣4m2+n2＝12mn+10n2；
【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟知完全平方公式，平方差公式，通分，约分，因式分解计算是解题的关键．
3．（2020·湖北荆门·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】；．
【分析】利用完全平方公式将原式化简，然后再代入计算即可．
【解析】解：原式
当时，
原式 。
【点睛】本题考查的是整式的混合运算，完全平方公式的应用和二次根式的运算，掌握相关的性质和运算法则是解题的关键．
4．（2020·吉林长春·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，9
【分析】根据整式的混合运算顺序进行化简，再代入值求解即可．
【解析】解：原式，当时，原式．
【点睛】本题考查了整式的混合运算-化简求值，解决本题的关键是先进行整式的化简，再代入值求解．
5．（2020·黑龙江大庆·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，5．
【分析】先根据整式的乘法、完全平方公式去括号，再计算整式的加减法，然后将x的值代入求值即可．
【解析】原式
将代入得：原式．
【点睛】本题考查了整式的乘法与加减法、完全平方公式、实数的混合运算，熟记各运算法则是解题关键．
6．（2020·湖北随州）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，．
【分析】先根据整式的乘法法则化简整式，再将字母的值代入结果计算求值即可．
【解析】
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算----化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．
7．（2019·浙江宁波·中考真题）先化简，再求值：，其中.
【答案】
【分析】根据平方差公式、单项式乘多项式的法则把原式化简，代入计算即可．
【解析】（x-2）（x+2）-x（x-1）=x2-4-x2+x=x-4，当x=3时，原式=x-4=-1．
【点睛】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
8．（2019·湖北宜昌·中考真题）化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式运算法则化简得出答案．
【解析】原式．故选C．
【点睛】此题主要考查了完全平方公式以及单项式乘以多项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
题型9、因式分解
【解题技巧】因式分解的一般步骤：(1)如果多项式各项有公因式，应先提取公因式；(2)如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法来分解因式，看是否符合平方差公式还是完全平方公式，有时需考虑用十字交乘法；(3)检查因式分解是否彻底，必须分解到每一个因式不能再分解为止．
1．（2020·湖南益阳·中考真题）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用提公因式法分解因式和平方差公式以及完全平方公式进行分解即可得到答案．
【解析】A、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；C、，故此选项正确；
D、，故此选项错误．故选：C．
【点睛】此题主要考查了公式法和提公因式法分解因式，关键是注意口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
2．（2020·河北中考真题）对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解 B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解
【答案】C
【分析】根据因式分解的定义进行判断即可；
【解析】①左边多项式，右边整式乘积形式，属于因式分解；②左边整式乘积，右边多项式，属于整式乘法；故答案选C．
【点睛】本题主要考查了因式分解的定义理解，准确理解因式分解的定义是解题的关键．
3．（2020·四川中考真题）把ax2﹣4a分解因式的结果是_____．
【答案】a（x+2）（x﹣2）
【分析】先提出公因式a，再利用平方差公式因式分解．
【解析】解：ax2﹣4a=a（x2﹣4）=a（x+2）（x﹣2）．故答案为：a（x+2）（x﹣2）．
【点睛】本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解，解决本题的关键是熟记提公因式法和公式法．
4．（2020·江苏无锡·中考真题）因式分解：__________．
【答案】
【分析】先提取公因式a，再利用公式法继续分解．
【解析】解：，故答案为：．
【点睛】本题考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确应用公式是解题的关键．在分解因式时，要注意分解彻底．
5．（2020·辽宁丹东·中考真题）因式分解：_________．
【答案】
【分析】先提公因式，然后利用平方差公式进行因式分解，即可得到答案．
【解析】解：；故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法．
6．（2020·吉林宽城·中考模拟）分解因式（xy﹣1）2﹣（x+y﹣2xy）（2﹣x﹣y）=_____．
【答案】（y﹣1）2（x﹣1）2．
【解析】解：令x+y=a，xy=b，
则（xy﹣1）2﹣（x+y﹣2xy）（2﹣x﹣y）=（b﹣1）2﹣（a﹣2b）（2﹣a）=b2﹣2b+1+a2﹣2a﹣2ab+4b
=（a2﹣2ab+b2）+2b﹣2a+1=（b﹣a）2+2（b﹣a）+1=（b﹣a+1）2；
即原式=（xy﹣x﹣y+1）2=[x（y﹣1）﹣（y﹣1）]2=[（y﹣1）（x﹣1）]2=（y﹣1）2（x﹣1）2．
故答案为（y﹣1）2（x﹣1）2．
点睛：因式分解的方法：（1）提取公因式法.ma+mb+mc=m(a+b+c).（2）公式法:完全平方公式，平方差公式.（3）十字相乘法.因式分解的时候，要注意整体换元法的灵活应用，训练将一个式子看做一个整体,利用上述方法因式分解的能力.
7．（2019·黑龙江中考真题）分解因式：_________．
【答案】
【分析】先分组，再利用提公因式法分解因式即可．
【解析】解：故答案为：（ab-1）（a+b）
【点睛】本题主要考查了分组分解法和提取公因式法分解因式，熟练应用提公因式法是解题关键．
8．（广西百色·中考真题）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法.
（1）二次项系数；
（2）常数项验算：“交叉相乘之和”；
（3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果，等于一次项系数-1，即，则.像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法.仿照以上方法，分解因式： ．
【答案】（x+3）（3x﹣4）．
【解析】3x2+5x﹣12=（x+3）（3x﹣4）．
考点：因式分解﹣十字相乘法．
题型10、因式分解的运用
【解题技巧】因式分解知识方法应用与人们日常生活紧密联系，解决应用型问题，常用提公因式法、运用公式法等，并且我们要注意需符合实际要求。
1.（2020·四川内江·中考真题）我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：（m，n是正整数，且），在x的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称是x的最佳分解．并规定：．
例如：18可以分解成，或，因为，所以是18的最佳分解，所以．
（1）填空：；；
（2）一个两位正整数t（，，a，b为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求的最大值；
（3）填空：①；②；
③；④．
【答案】（1）；1；（2）t为39，28，17；的最大值；（3）
【分析】（1）6＝1×6＝2×3，由已知可求＝；9=1×9=3×3，由已知可求=1；
（2）由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为：10b＋a−10a−b＝9（b−a）＝54，得到b−a＝6，可求t的值，故可得到的最大值；（3）根据的定义即可依次求解．
【解析】（1）6＝1×6＝2×3，∵6−1＞3−2，∴＝；9=1×9=3×3，
∵9−1＞3−3，∴=1，故答案为：；1；
（2）由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为：10b＋a−10a−b＝9（b−a）＝54，∴b−a＝6，
∵1≤a≤b≤9，∴b＝9，a＝3或b＝8，a＝2或b＝7，a＝1，∴t为39，28，17；
∵39＝1×39＝3×13，∴＝；28＝1×28＝2×14＝4×7，∴＝；
17＝1×17，∴；∴的最大值．
（3）①∵=20×21∴；
②=28×30∴；
③∵=56×30∴；
④∵=56×60∴，故答案为：．
【点睛】本题考查因式分解的应用；理解题意，从题目中获取信息，列出正确的代数式，再由数的特点求解是解题的关键．
2．（2020·重庆中考模拟）材料一：一个正整数x能写成x=a2﹣b2（a，b均为正整数，且a≠b），则称x为“雪松数”，a，b为x的一个平方差分解，在x的所有平方差分解中，若a2+b2最大，则称a，b为x的最佳平方差分解，此时F（x）=a2+b2．
例如：24=72﹣52，24为雪松数，7和5为24的一个平方差分解，32=92﹣72，32=62﹣22，因为92+72＞62+22，所以9和7为32的最佳平方差分解，F（32）=92+72
材料二：若一个四位正整数，它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，但四个数字不全相同，则称这个四位数为“南麓数”．例如4334，5665均为“南麓数”．
根据材料回答：（1）请直接写出两个雪松数，并分别写出它们的一对平方差分解；（2）试证明10不是雪松数；（3）若一个数t既是“雪松数”又是“南麓数”，并且另一个“南麓数”的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数恰好是t的一个平方差分解，请求出所有满足条件的数t中F（t）的最大值．
【答案】（1）112=112﹣32，40=72﹣32；（2）见解析；（3）12020．
【分析】（1）根据雪松数的特征即可得到结论；（2）根据题意即可得到结论；
（3）设t=（a，b均为正整数，且0＜a≠b≤9），另一个“南麓数”为t′=（m，n均为正整数，且0＜n＜m≤9），根据“南麓数”的特征即可得到结论．
【解析】解：（1）112=112﹣32，40=72﹣32；
（2）若10是“雪松数”，则可设a2﹣b2=10（a，b均为正整数，且a≠b），则（a+b）（a﹣b）=10．
又∵10=2×5=10×1．∵a，b均为正整数，∴a+b＞a﹣b，
∴，或，解得：或，
与a，b均为正整数矛盾，故10不是雪松数；
（3）设t=（a，b均为正整数，且0＜a≠b≤9），
另一个“南麓数”为t′=（m，n均为正整数，
且0＜n＜m≤9），则t=（10m+n）2﹣（10n+m）2=99（m2﹣n2）=99（m+n）（m﹣n），
∴99（m+n）（m﹣n）=1000a+100b+10b+a=1001a+110b，
整理得，（m+n）（m﹣n）=10a+b+．
∵a，b，m，n均为正整数，∴a+b=9，经探究，符合题意，
∴t的值分别为：2772，5445，t′的值分别为：8668，8338，
由材料一可知，F（t）的最大值为：862+682=12020．
【点睛】本题主要考查分解因式的应用，实数的运算，理解新定义，并将其转化为实数的运算是解题的关键．
3．（2020·树德中学都江堰外国语实验学校初二期中）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：(x＋y)2＋2(x＋y)＋1.
解：将“x＋y”看成整体，令x＋y＝A，则原式＝A2＋2A＋1＝(A＋1)2.
再将“A”还原，得原式＝(x＋y＋1)2.
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
(1)因式分解：1＋2(x－y)＋(x－y)2＝_______________；(2)因式分解：(a＋b)(a＋b－4)＋4；
(3)求证：若n为正整数，则式子(n＋1)(n＋2)(n2＋3n)＋1的值一定是某一个整数的平方．
【答案】(1)(x－y＋1)2；（2）见解析；（3）见解析.
分析：（1）把（x-y）看作一个整体，直接利用完全平方公式因式分解即可；(2)令A=a+b,带入后因式分解即可将原式因式分解；(3)将原式转化为(n²+3n) [(n+1)（n+2）]+1,进一步整理为(n²+3n+1) ²,根据n为正整数，从而说明原式是整数的平方.
【解析】 (1).1+2(x-y)+(x+y) ²=（x﹣y+1）2；
（2）令A=a+b，则原式变为A（A﹣4）+4=A2﹣4A+4=（A﹣2）2，故（a+b）（a+b﹣4）+4=（a+b﹣2）2；
（3）（n+1）（n+2）（n2+3n）+1=（n2+3n）[（n+1）（n+2）]+1
=（n2+3n）（n2+3n+2）+1=（n2+3n）2+2（n2+3n）+1=（n2+3n+1）2，
∵n为正整数，∴n2+3n+1也为正整数，∴代数式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方．
点睛;本题考查了因式分解的应用，解题的关键是认真审题你，理解题意，掌握整体思想解决问题.
4．（2019·深圳市明德外语实验学校初二期中）阅读下列材料：
1637 年笛卡儿(R．Descartes，1596 − 1650)在其《几何学》中，首次应用待定系数法将 4 次方程分解为两个 2 次方程求解，并最早给出因式分解定理．
他认为，若一个高于二次的关于 x 的多项式能被 () 整除，则其一定可以分解为 () 与另外一个整式的乘积，而且令这个多项式的值为 0 时， x = a 是关于 x 的这个方程的一个根．
例如：多项式 可以分解为 () 与另外一个整式 M 的乘积，即
令时，可知 x =1 为该方程的一个根．
关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下： 分解因式：
观察知，显然 x=1 时，原式 = 0 ，因此原式可分解为 () 与另一个整式的积．
令：，则=，因等式两边 x 同次幂的系数相等，则有：，得，从而
此时，不难发现 x= 1 是方程 的一个根．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
（1）若 是多项式 的因式，求 a 的值并将多项式分解因式；
（2）若多项式 含有因式及 ，求a+ b 的值．
【答案】（1）；（2）a+ b=
【分析】（1）已知多项式的因式，将多项式分解为该因式与另外一个整式乘积的形式，将这个新构造的式子中的系数与原式中的系数进行对照，列方程即可得到答案（2）已知多项式中含有因式，根据材料中的内容可知因式的解为零，所以解得未知数的值，再利用未知数的值带入原式即可求解到参数的值，将结果相加即可求得答案
【解析】（1）令：，
因等式两边 x 同次幂的系数相等，则有：，解得：，
从而=x3+1=（x+1）(x2-x+1)；
（2）设（其中M为二次整式），
由材料可知：x+1=0或x-2=0；所以：x=-1，x=2是方程的解，
所以，解得a=8，b=-39，∴a＋b=8+(-39) =-31．
【点睛】本题考查的是因式分解的应用，理解因式分解定理的推演过程是解答此题的关键．
5．（2020·江苏南通第一初中初二期末）阅读下列材料，然后解答问题：
问题：分解因式：.
解答：把带入多项式，发现此多项式的值为0，由此确定多项式中有因式，于是可设，分别求出，的值.再代入，就容易分解多项式，这种分解因式的方法叫做“试根法”.
（1）求上述式子中，的值；（2）请你用“试根法”分解因式：.
【答案】（1），；（2）
【分析】（1）先找出一个x的值，进而找出一个因式，再将多项式设成分解因式的形式，即可得出结论；
（2）先找出x=-1时，得出多项式的值，进而找出一个因式，再将多项式设成分解因式的形式，即得出结论．
【解析】（1）把带入多项式，发现此多项式的值为0，
∴多项式中有因式，
于是可设，得出：，
∴，，∴，，
（2）把代入，多项式的值为0，∴多项式中有因式，
于是可设，
∴，，∴，，
∴
【点睛】此题是分解因式，主要考查试根法分解因式的理解和掌握，解本题的关键是理解试根法分解因式．
6．（2020·浙江西湖·初一期末）已知2n＋212＋1（n＜0）是一个有理数的平方，则n的值为（ ）
A．﹣16 B．﹣14 C．﹣12 D．﹣10
【答案】B
【分析】分多项式的三项分别是乘积二倍项时，利用完全平方公式分别求出n的值，然后选择答案即可．
【解析】解：2n是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝212＋2•26＋1＝（26＋1）2，此时n＝6＋1＝7，
212是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝2n＋2•211＋1＝（211＋1）2，此时n＝2×11＝22，
1是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝（26）2＋2•26•2﹣7＋（2﹣7）2＝（26＋2﹣7）2，此时n＝﹣14，
综上所述，n可以取到的数是7、22、﹣14．故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方式，难点在于要分情况讨论，熟记完全平方公式结构是解题的关键．
7．（重庆市兼善中学中考模拟）在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解法”产生的密码方便记忆，如：对于多项式，因式分解的结果是，若取， 时，则各个因式的值为， ， ，于是就可以把“”作为一个六位数的密码．对于多项式，取， 时，用上述方法产生的密码不可能是（ ）
A．201030 B．201010 C．301020 D．203010
【答案】B
【解析】解：x3-xy2=x（x2-y2）=x（x+y）（x-y），当x=20，y=10时，x=20，x+y=30，x-y=10，
组成密码的数字应包括20，30，10，所以组成的密码不可能是201010．故选B．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，平方差方式，难点在于要分情况讨论，熟记平方差公式结构是解题的关键．
8．（2019·湖南常德·中考真题）若，则的值为_____．
【答案】4
【分析】把所求多项式进行变形，代入已知条件，即可得出答案．
【解析】∵，
∴；故答案为：4．
【点睛】本题考查了因式分解的应用；把所求多项式进行灵活变形是解题的关键．
考点2. 整式与因式分解
知识框架：
基础知识点：
知识点1-1整式的相关概念
1)代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。
2)单项式：用数或字母的乘积表示的式子叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如，这种表示就是错误的，应写成；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如是6次单项式。
3)多项式：几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。
4）单项式与多项式统称整式。
知识点1-2幂运算
1）同底数幂的乘法：am·an=am+n。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
2）幂的乘方：(am)n=amn。幂的乘方，底数不变，指数相乘。
3）积的乘方：(ab)n=anbn。积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
4）同底数幂的除法：am÷an=am-n。同底数幂相除，底数不变，指数相减。
注：任何不等于0的数的0次幂都等于1。
知识点1-3整式加减
1)同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
2)合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。
合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变。
3)整式的加减：几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项。
去括号（添括号）法则：同号得正，异号得负。即括号外的因数的符号决定了括号内的符号是否改变：
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。
知识点1-4整式乘除
1）单项式与单项式的乘法：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
2）单项式与多项式的乘法：p(a+b+c)=pa+pb+pc。单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
3）多项式与多项式的乘法：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
4）平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式叫做平方差公式。
5）完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍。这两个公式叫做完全平方公式。
6）单项式与单项式的除法：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
7）多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
注：以上公式及法则在分式和二次根式的运算中同样适用。
知识点1-5 因式分解
1）定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
2）因式分解的常用方法：
①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；
②公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。
③分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)
④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)
3）因式分解的一般步骤：
（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。
（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式
（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
重难点题型：
题型1、代数式求值
【解题技巧】求代数式的值分为三种：
（1）直接代入求值：往往先化简再求值.
（2）间接代入求值：根据已知条件，先求出未知数的值，再代入求值；
（3）整体代入求值：当未知数的值不易直接求解时，通常用整体代入法。
1．（2020·山东潍坊·中考真题）若，则的值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】把所求代数式变形为，然后把条件整体代入求值即可．
【解析】∵，∴==4×1-3=1．故选：D．
【点睛】此题主要考查了代数式求值以及“整体代入”思想，解题的关键是把代数式变形为．
2．（2020·四川成都·中考真题）已知，则代数式的值为_________．
【答案】49
【分析】先将条件的式子转换成a+3b=7，再平方即可求出代数式的值．
【解析】解：∵，∴，∴，故答案为：49．
【点睛】本题考查完全平方公式的简单应用，关键在于通过已知条件进行转换．
3．（2020·湖南岳阳·中考真题）已知，则代数式的值为___________．
【答案】4
【分析】先根据整式的乘法去括号化简代数式，再将已知式子的值代入求值即可．
【解析】 将代入得：原式 故答案为：4．
【点睛】本题考查了代数式的化简求值，利用整式的乘法对代数式进行化简是解题关键．
4．（2020·山东临沂·中考真题）若，则________．
【答案】-1
【分析】将原式变形为，再将代入求值即可.
【解析】解：=
将代入，原式===1-2=-1故答案为：-1.
【点睛】本题考查了代数式求值，其中解题的关键是利用平方差公式将原式变形为.
5．（四川内江·中考真题）若实数x满足，则= ．
【答案】﹣2020．
【解析】∵，∴，=====4﹣2024=﹣2020，
故答案为：﹣2020．
考点：因式分解的应用；降次法；整体思想．
6．（2020·江苏连云港·中考真题）按照如图所示的计算程序，若，则输出的结果是________．
【答案】-26
【分析】首先把x=2代入计算出结果，判断是否小于0，若小于0，直到输出的结果是多少，否则将计算结果再次代入计算，直到小于0为止．
【解析】解：当x=2时，，故执行“否”，返回重新计算，
当x=6时，，执行“是”，输出结果：-26．故答案为：-26．
【点睛】此题主要考查了代数式求值，以及有理数的混合运算，要熟练掌握．解题关键是理解计算流程．
7．（2019·黑龙江中考真题）已知：ab=1，b=2a-1，求代数式的值．
【答案】-1.
【分析】根据ab=1，b=2a-1，可以求得b-2a的值，从而可以求得所求式子的值．
【解析】∵ab=1，b=2a-1，∴b-2a=-1，∴
【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
8．（2020·江苏徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数与的图像交于点，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】把P(，)代入两解析式得出和的值，整体代入即可求解C
【解析】∵函数与的图像交于点P(，)，
∴，，即，，∴．故选：C．
【点睛】本题考查了代数式的求值以及反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标同时满足两个函数的解析式．
题型2、探索规律（代数类）
【解题技巧】此类题型分两部分找规律：
①符号规律：通常是正负间或出现的规律，常表示为或或；
②数字规律：数字规律需要视题目而确定；
字母规律：通常字母规律是呈指数变换，长表示为：等形式；
算式规律这一类没有固定的套路，主要依靠学生对已知算式的观察、总结、逻辑推理，发现期中的规律。
常考的背景有：杨辉三角、等差数列、连续n个数的立方和、连续n个数的平方和、阶乘等。
（1）数字规律
1．（2020·湖北咸宁·中考真题）按一定规律排列的一列数：3，，，，，，，，…，若a，b，c表示这列数中的连续三个数，猜想a，b，c满足的关系式是__________．
【答案】bc=a
【分析】根据题目中的数字，可以发现相邻的数字之间的关系，从而可以得到a，b，c之间满足的关系式．
【解析】解：∵一列数：3，，，，，，，，…，
可发现：第n个数等于前面两个数的商，∵a，b，c表示这列数中的连续三个数，∴bc=a，故答案为：bc=a．
【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，求出a，b，c之间的关系式．
2．（2020·四川中考真题）将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）…，我们称“4”是第2组第1个数字，“16”是第4组第2个数字，若2020是第m组第n个数字，则m+n＝_____．
【答案】65
【分析】根据题目中数字的特点，可知每组的个数依次增大，每组中的数字都是连续的偶数，然后即可求出2020是多少组第多少个数，从而可以得到m、n的值，然后即可得到m+n的值．
【解析】∵将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）…，
∴第m组有m个连续的偶数，∵2020＝2×1010，∴2020是第1010个偶数，
∵1+2+3+…+44＝＝990，1+2+3+…+45＝＝1035，
∴2020是第45组第1010－990＝20个数，∴m＝45，n＝20，∴m+n＝65．故答案为：65．
【点睛】本题考查探索规律，认真观察所给数据总结出规律是解题的关键．
3．（2020·云南昆明·中考真题）观察下列一组数：﹣，，﹣，，﹣，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是_____．
【答案】
【分析】观察已知一组数，发现规律进而可得这一组数的第n个数．
【解析】观察下列一组数：﹣＝﹣，＝，﹣＝﹣＝，﹣＝﹣，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是：（﹣1）n ，故答案为：．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．
4．（2019·湖南常德·中考真题）观察下列等式： 根据其中的规律可得的结果的个位数字是（ ）
A．0 B．1 C．7 D．8
【答案】A
【分析】首先得出尾数变化规律，进而得出的结果的个位数字．
【解析】∵
∴个位数4个数一循环，∴， ∴，
∴的结果的个位数字是：0．故选A．
【点睛】此题主要考查了尾数特征，正确得出尾数变化规律是解题关键．
5．（四川巴中·中考真题）a是不为1的数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数为；的差倒数是；已知，是的差倒数，是的差倒数．是差倒数，…依此类推，则= ．
【答案】．
【解析】，是的差倒数，即==，是的差倒数，即==3，是差倒数，即==，…依此类推，∵2015÷3=671…2，∴==．故答案为．
考点：1．规律型：数字的变化类；2．倒数；3．规律型．
6．（2020·湖北中考真题）根据图中数字的规律，若第n个图中出现数字396，则（ ）
A．17 B．18 C．19 D．20
【答案】B
【分析】观察上三角形，下左三角形，下中三角形，下右三角形各自的规律，让其等于396，解得为正整数即成立，否则舍去．
【解析】根据图形规律可得：
上三角形的数据的规律为：，若，解得不为正整数，舍去；
下左三角形的数据的规律为：，若，解得不为正整数，舍去；
下中三角形的数据的规律为：，若，解得不为正整数，舍去；
下右三角形的数据的规律为：，若，解得，或，舍去。故选：B．
【点睛】本题考查了有关数字的规律，能准确观察到相关规律是解题的关键．
7．（2020·山东泰安·中考真题）右表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，……，第个数记为，则_________．
【答案】20110
【分析】根据所给数据可得到关系式，代入即可求值．
【解析】由已知数据1，3，6，10，15，……，可得，
∴，，∴．故答案为20110．
【点睛】本题主要考查了数字规律题的知识点，找出关系式是解题的关键．
8．（2020·湖南娄底·中考真题）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（ ）
A．135 B．153 C．170 D．189
【答案】C
【分析】由观察发现每个正方形内有：可求解，从而得到，再利用之间的关系求解即可．
【解析】解：由观察分析：每个正方形内有：
由观察发现： 又每个正方形内有：
故选C．
【点睛】本题考查的是数字类的规律题，掌握由观察，发现，总结，再利用规律是解题的关键．
（2）代数式规律
1．（2020·云南中考真题）按一定规律排列的单项式：，，，，，，…，第个单项式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先分析前面所给出的单项式，从三方面（符号、系数的绝对值、指数）总结规律，发现规律进行概括即可得到答案．
【解析】解： ，，，，，，…，
可记为： 第项为： 故选A．
【点睛】本题考查了单项式的知识，分别找出单项式的系数和次数的规律是解决此类问题的关键．
2．（2020·青海中考真题）观察下列各式的规律：①；②；③．请按以上规律写出第4个算式________．用含有字母的式子表示第n个算式为________．
【答案】
【分析】（1）按照前三个算式的规律书写即可；（2）观察发现，算式序号与比序号大2的数的积减去比序号大1的数的平方，等于-1，根据此规律写出即可；
【解析】（1），②，③，
④；故答案为．
（2）第n个式子为：．故答案为．
【点睛】本题主要考查了规律性数字变化类知识点，准确分析是做题的关键．
3．（2018·山东滨州·中考真题）观察下列各式：
，，，……请利用你所发现的规律，
计算+++…+，其结果为_______．
【答案】
分析：直接根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案．
【解析】由题意可得：+++…+
=+1++1++…+1+=9+（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=9+=9．
故答案为9．
点睛：此题主要考查了数字变化规律，正确将原式变形是解题关键．
4．（2019·西藏中考真题）观察下列式子
第个式子：
第个式子：
第个式子：……
请写出第个式子：_____．
【答案】．
【分析】由题意可知：①等号左边是两个连续偶数的积（其中第二个因数比第一个因数大）与的和；右边是比左边第二个因数小的数的平方；②第个式子的第一个因数是，第个式子的第一个因数是，第个式子的第一个因数是，以此类推，得出第个式子的第一个因数是，从而能写出第个式子．
【解析】第个式子：，即，
第个式子：，即，
第个式子：，即，……
第个等式为：．故答案为．
【点睛】此题主要考查了规律型：数字的变化类，根据已知得出等式左边第一个因数的规律是解题关键．
5（2020·贵州铜仁·中考真题）观察下列等式：
2+22=23﹣2；
2+22+23=24﹣2；
2+22+23+24=25﹣2；
2+22+23+24+25=26﹣2；
…
已知按一定规律排列的一组数：220，221，222，223，224，…，238，239，240，若220=m，则220+221+222+223+224+…+238+239+240=_____(结果用含m的代数式表示)．
【答案】．
【分析】由题意可得220+221+222+223+224+…+238+239+240=220(1+2+22+…+219+220)=220(1+221﹣2)=220(220×2﹣1)，再将220=m代入即可求解．
【解析】∵220=m，
∴220+221+222+223+224+…+238+239+240=220(1+2+22+…+219+220)=220(1+221﹣2)=m(2m﹣1)．
故答案为：m(2m﹣1)．
【点睛】本题考查了规律型问题：数字变化，列代数式等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
6．（山西中考真题）一组按规律排列的式子：则第n个式子是 .
【答案】（n为正整数）
【解析】寻找规律：已知式子可写成：，分母为奇数，可写成2n-1，分子中字母a的指数为偶数2n．∴第n个式子是（n为正整数）．
7．（2019·山东枣庄·中考真题）观察下列各式：，
，，
请利用你发现的规律，计算：
，其结果为____．
【答案】．
【分析】根据题意找出规律，根据二次根式的性质计算即可．
【解析】
，故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简、数字的变化规律，掌握二次根式的性质是解题 的关键．
题型4、幂的运算
解题技巧：根据运算规则，先将不同底数转化为相同底数，然后再根据题意进行相应计算；利用幂的相关法则，转化为指数之间的关系。
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
1．（2020·江苏镇江·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A．a3+a3＝a6 B．（a3）2＝a6 C．a6÷a2＝a3 D．（ab）3＝ab3
【答案】B
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方的计算法则进行计算即可．
【解析】解：，因此选项不正确；，因此选项正确；
，因此选项不正确；，因此选项不正确；故选：B．
【点睛】本题考查合并同类项、同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方的计算方法，掌握相关运算方法是解题的关键．
2．（2020·江苏盐城·中考真题）下列运算正确的是：（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据整式的加减与幂的运算法则即可判断．
【解析】A.，故错误； B. ，故错误；
C.，正确； D. ，故错误；故选C．
【点睛】此题主要考查整式与幂的运算，解题的关键是熟知其运算法则．
3．（2020·江苏徐州·）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由合并同类项、同底数幂除法，完全平方公式、积的乘方，分别进行判断，即可得到答案．
【解析】解：A、，故A错误；B、，故B错误；
C、，故C错误；D、，故D正确；故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂除法，积的乘方，完全平方公式，合并同类项，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
4．（2020·山东济南·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣2a3）2＝4a6 B．a2•a3＝a6 C．3a+a2＝3a3 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
【答案】A
【分析】根据各个选项中的运算，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【解析】解：∵（﹣2a3）2＝4a6，故选项A正确；∵a2•a3＝a5，故选项B错误；
∵3a+a2不能合并，故选项C错误；∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故选项D错误；故选：A．
【点睛】本题考查的是积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，完全平方公式，掌握以上知识是解题的关键．
5．（2020·四川中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（3a）3 ＝9a3 C．3a﹣2a＝1 D．（﹣2a2）3＝﹣8a6
【答案】D
【分析】利用同底数幂的乘法法则、积的乘方运算法则、合并同类项法则分别进行计算即可．
【解析】A、a2•a3=a5，故原计算错误；B、(3a)3 =27a3，故原计算错误；
C、3a﹣2a=a，故原计算错误；D、(﹣2a2)3=﹣8a6，故原计算正确；故选：D．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法、积的乘方运算、合并同类项、幂的乘方运算，关键是掌握各计算法则．
6．（2020·广西中考真题）下列计算正确的是（ ）
A．x•x＝2x B．x+x＝2x C．（x3）3＝x6 D．（2x）2＝2x2
【答案】B
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，幂的乘方运算法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可.
【解析】解：A．x•x＝x2，故本选项不合题意；B．x+x＝2x，故本选项符合题意；
C．（x3）3＝x9，故本选项不合题意；D．（2x）2＝4x2，故本选项不合题意.故选：B.
【点睛】此题考查整式的计算法则：同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，幂的乘方运算法则以及积的乘方运算法则，掌握各计算公式是解题的关键.
7．（2020·甘肃兰州·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用同底数幂的乘除法法则以及积的乘方运算法则分别化简得出答案．
【解析】解：A、2a·3a=6a2，故此选项错误；B、，故此选项错误；
C、，故此选项错误；D、，故此选项正确；故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法法则以及积的乘方运算法则，正确掌握相关运算法则是解题的关键．
8．（2020·河南中考真题）电子文件的大小常用等作为单位，其中，某视频文件的大小约为等于( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意及幂的运算法则即可求解．
【解析】依题意得=；故选A．
【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知同底数幂的运算法则．
题型5、利用同类项求参数
【解题技巧】（1）若告知某两个单项式为同类项，则这两个单项式的对应字母的次数相同；（2）若告知某个整式经过一系列变化后，结果为某个单项式，则该整式中与该单项式不是同类项的系数必为0.
1．（2020·湖北荆州·）若单项式与是同类项，则的值是_______________．
【答案】2
【分析】先根据同类项的定义求出m与n的值，再代入计算算术平方根即可得．
【解析】由同类项的定义得：解得则故答案为：2．
【点睛】本题考查了同类项的定义、算术平方根，熟记同类项的定义是解题关键．
2．（2020·江苏苏州·中考真题）若单项式与单项式是同类项，则___________．
【答案】4
【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式是同类项.可列式子m-1=2,n+1=2,分别求出m,n的值，再代入求解即可.
【解析】解：∵单项式与单项式是同类项，∴m-1=2,n+1=2,
解得：m=3,n=1.∴m+n=3+1=4.故答案为：4.
【点睛】本题考查了同类项的概念，正确理解同类项的定义是解题的关键.
3．（2019·四川绵阳·中考真题）单项式与是同类项，则______．
【答案】1
【分析】先根据同类项的定义列出方程，再结合二次根式的性质求出，的值，然后代入代数式计算即可．
【解析】解：由题意知，即，
∴，，，则，故答案为：1．
【点睛】此题考查了同类项的定义和二次根式的性质，属于基础题，解答本题的关键是掌握同类项的定义，难度一般．
4．（2020·广东中考真题）若与是同类项，则___________．
【答案】3
【分析】本题考查同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，根据同类项的定义中相同字母的指数也相同，可求得m和n的值，根据合并同类项法则合并同类项即可．
【解析】解：由同类项的定义可知，m=2，n=1，∴m+n=3故答案为3．
【点睛】本题考查了同类项，解决本题的关键是判断两个项是不是同类项，只要两看，即一看所含有的字母是否相同，二看相同字母的指数是否相同．
5．（2019·山东滨州·中考真题）若与的和是单项式，则的平方根为（ ）．
A．4 B．8 C．±4 D．±8
【答案】D
【分析】根据单项式的定义可得和是同类项，因此可得参数m、n,代入计算即可.
【解析】解：由与的和是单项式，得．
，64的平方根为．故选D．
【点睛】本题主要考查单项式的定义，关键在于识别同类项，根据同类项计算参数.
6．（2019·湖南株洲·中考真题）下列各式中，与是同类项的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，进行判断即可．
【解析】解：A.与不是同类项，故本选项错误；B.3x3y2与不是同类项，故本选项错误；
C.与是同类项，故本选项正确；D.与不是同类项，故本选项错误；故选：C．
【点睛】本题考查了同类项的知识，解答本题的关键是理解同类项的定义．
7．（2018·广西河池·中考真题）下列单项式中，与3a2b为同类项的是（ ）
A． B． C．3ab D．3
【答案】A
【分析】单项式3a2b含有字母a、b，且次数分别为2、1，根据同类项的定义进行判断．
【解析】解：∵3a2b含有字母a、b，且次数分别为2、1，∴与3a2b是同类项的是﹣a2b．故选：A．
【点睛】本题考查了同类项的定义，解题的关键是熟知同类项的定义．
8．（2020·贵州黔南·中考真题）若与的和仍是一个单项式，则______．
【答案】9．
【分析】根据合并同类项法则可知这两个单项式是同类项，再根据同类项的字母和字母上的指数也要对应相等即可求出答案．
【解析】由题意可知： 与是同类项，
解之得： 故 故答案为
【点睛】本题主要考查了合同同类项，明确同类项的定义是解题关键．
题型6、平方差公式应用
【解题技巧】能够运用平方差公式进行多项式乘法运算的必须是两个二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．反之能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式且符号相反．
1．（2020·湖南郴州·中考真题）如图，将边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积得到空白部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可．
【解析】第一个图形空白部分的面积是x2-1，第二个图形的面积是（x+1）（x-1）．
则x2-1=（x+1）（x-1）．故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，正确用两种方法表示空白部分的面积是解决问题的关键．
2．（2020·江苏淮安·中考真题）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数中为“幸福数”的是（ ）
A．205 B．250 C．502 D．520
【答案】D
【分析】设两个连续奇数中的一个奇数为，则另一个奇数为，先得出由这两个奇数得到的“幸福数”为，再看四个选项中，能够整除4的即为答案．
【解析】设两个连续奇数中的一个奇数为，则另一个奇数为
由这两个奇数得到的“幸福数”为
观察四个选项可知，只有选项D中的520能够整除4；即故选：D．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，理解“幸福数”的定义，正确列出“幸福数”的代数式是解题关键．
3．（2020·河北中考真题）若，则（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】B
【分析】利用平方差公式变形即可求解．
【解析】原等式变形得：
．故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，灵活运用平方差公式是解题的关键．
4．（2019·湖南湘潭·中考真题）若，，则_____．
【答案】15
【分析】先根据平方差公式分解因式，再代入求出即可．
【解析】解：∵，，∴故答案为15
【点睛】本题考查了平方差公式，能够正确分解因式是解此题的关键．
5．（2019·贵州贵阳·中考真题）选择计算（﹣4xy2+3x2y）（4xy2+3x2y）的最佳方法是（ ）
A．运用多项式乘多项式法则 B．运用平方差公式
C．运用单项式乘多项式法则 D．运用完全平方公式
【答案】B
【分析】直接利用平方差公式计算得出答案．
【解析】选择计算（﹣4xy2+3x2y）（4xy2+3x2y）的最佳方法是：运用平方差公式．故选：B．
【点睛】此题主要考查了多项式乘法，正确应用公式是解题关键．
6．（2020·黑龙江龙凤·初三模拟）=_______．
【答案】
【分析】先运用平方差公式对各括号内因式分解，然后寻找规律解答即可．
【解析】解：
=
===
【点睛】本题考查了实数的运算以及运用平方差公式因式分解，因式分解后观察发现数字间的规律是解答本题的关键．
7．（2020·浙江衢州·中考真题）定义a※b=a（b+1），例如2※3=2×（3+1）=2×4=8．则（x﹣1）※x的结果为_____．
【答案】x2﹣1
【分析】根据规定的运算，直接代值后再根据平方差公式计算即可．
【解析】解：根据题意得：（x﹣1）※x=（x﹣1）（x+1）=x2﹣1．故答案为：x2﹣1．
【点睛】本题考查了平方差公式，实数的运算，理解题目中的运算方法是解题关键．
8．（浙江义乌·中考真题）如图1，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形．
（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1和S2；
（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式．
【答案】解：（1）.
（2）.
【解析】解：（1）∵大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， ∴．
S2=（2a+2b）（a-b）=（a+b）（a-b）；
（2）根据题意得： （a+b）（a-b）= ．
题型7、完全平方公式应用
【解题技巧】能运用完全平方公式进行多项式乘法运算的，必须是两个数（或差）的平方和的形式，反之能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．
1．（2020·宁夏中考真题）2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为____．
【答案】27
【分析】根据题意得出a2+b2=15，（b-a）2=3，图2中大正方形的面积为：（a+b）2，然后利用完全平方公式的变形求出（a+b）2即可．
【解析】解：由题意可得在图1中：a2+b2=15，（b-a）2=3，图2中大正方形的面积为：（a+b）2，
∵（b-a）2=3a2-2ab+b2=3，∴15-2ab=32ab=12，
∴（a+b）2=a2+2ab+b2=15+12=27，故答案为：27．
【点睛】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟知完全平方式的形式是解题关键．
2．（2020·河北沙河·初三零模）已知a+1＝20002+20022，计算＝_____．
【答案】4002
【分析】先根据已知确定的值，再代入中，根据完全平方公式将被开方数变形，最后根据算术平方根的定义即可求解．
【解析】解：∵∴
∴
故答案为：
【点睛】在求代数式值时，对已知条件或所求代数式进行适当变形，可以使一些问题简化，并得以解决．
3．（2020·四川眉山·中考真题）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据，变形可得：，因此可求出，，把和代入即可求解．
【解析】∵∴
即，∴求得：，
∴把和代入得：故选：A
【点睛】本题主要考查了完全平方公式因式分解，熟记完全平方公式，通过移项对已知条件进行配方是解题的关键．
4．（2019·四川资阳·中考真题）4张长为a、宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为．若，则a、b满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先用a、b的代数式分别表示，，再根据，得，整理，得，所以．
【解析】解：，
，
∵，∴，整理，得，
∴，∴．故选：D．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练运用完全平方公式是解题的关键．
5．（2020·山东枣庄中考真题）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可得，正方形的边长为，故正方形的面积为。
又∵原矩形的面积为，∴中间空的部分的面积=。故选C。
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握公式的变式是解题关键.
6．（2019·四川新都·中考模拟）已知（2019﹣a）2+（a﹣2017）2＝7，则代数式（2019﹣a）（a﹣2017）的值是_____．
【答案】
【分析】根据完全平方公式的变式：ab= 利用整体代入的思想求解即可.
【解析】解：∵（2019﹣a）2+（a﹣2017）2＝7，
∴（2019﹣a）（a﹣2017）＝{[（2019﹣a）+（a﹣2017）]2﹣[（2019﹣a）2+（a﹣2017）2]}＝，
故答案为：.
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握公式的变式是解题关键.
7．（2018·贵州安顺·中考真题）若是关于的完全平方式，则__________．
【答案】7或-1
【分析】直接利用完全平方公式的定义得出2（m-3）=±8，进而求出答案．
【解析】∵x2+2（m-3）x+16是关于x的完全平方式，∴2（m-3）=±8，
解得：m=-1或7，故答案为-1或7．
点睛：此题主要考查了完全平方公式，正确掌握完全平方公式的基本形式是解题关键．
8．（2020·内蒙古包头·初三二模）若m﹣＝3，则m2+＝_____．
【答案】11
【分析】根据完全平方公式，把已知式子变形，然后整体代入求值计算即可得出答案．
【解析】解：∵＝m2﹣2+＝9，∴m2+＝11，故答案为11．
【点睛】此题主要考查完全平方公式的应用，解题的关键是熟知完全平方公式的变形.
9．（2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程，就可以利用该思维方式，设，将原方程转化为：这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x，这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题．已知实数x，y满足，求的值．
【答案】6或26
【分析】通过“换元”的思路，可以将所要求的方程组中的元素进行换元，两个式子中都有和，因此可以令，列出方程组，从而求出a，b的值，再求出的值.
【解析】解：令，则原方程组可化为：
，整理得：，
②-①得：，解得：，代入②可得：b=4，
∴方程组的解为：或，，
当a=5时，=6，当a=-5时，=26，因此的值为6或26.
【点睛】此题主要考查了高次方程的解法以及完全平方公式的运用，利用换元的思想，将高次方程转化为二元一次方程组是解题关键．
题型8、整式混合运算
【解题技巧】（1）p（a+b+c）=pa+pb+pc；（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn
（2）；（pa+pb+pc）÷p=a+b=c
注：多项式的乘法要注意多项式中每一项不要漏乘，还要注意运算符号，遵循去括号的法则。
1．（2018·河北中考真题）嘉淇准备完成题目：化简：，发现系数“”印刷不清楚．（1）他把“”猜成3，请你化简：（3x2+6x+8）–（6x+5x2+2）；（2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数．”通过计算说明原题中“”是几？
【答案】（1）–2x2+6；（2）5.
【分析】（1）原式去括号、合并同类项即可得；（2）设“”是a，将a看做常数，去括号、合并同类项后根据结果为常数知二次项系数为0，据此得出a的值．
【解析】（1）（3x2+6x+8）﹣（6x+5x2+2）=3x2+6x+8﹣6x﹣5x2﹣2=﹣2x2+6；
（2）设“”是a，则原式=（ax2+6x+8）﹣（6x+5x2+2）=ax2+6x+8﹣6x﹣5x2﹣2=（a﹣5）x2+6，
∵标准答案的结果是常数，∴a﹣5=0，解得：a=5．
【点睛】本题主要考查整式的加减，解题的关键是掌握去括号、合并同类项法则．
2．（2020·江苏南通·）计算：（2m+3n）2﹣（2m+n）（2m﹣n）；
【答案】12mn+10n2；
【分析】根据完全平方公式，平方差公式进行计算即可；
【解析】解：（1）原式＝4m2+12mn+9n2﹣（4m2﹣n2）＝4m2+12mn+9n2﹣4m2+n2＝12mn+10n2；
【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟知完全平方公式，平方差公式，通分，约分，因式分解计算是解题的关键．
3．（2020·湖北荆门·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】；．
【分析】利用完全平方公式将原式化简，然后再代入计算即可．
【解析】解：原式
当时，
原式 。
【点睛】本题考查的是整式的混合运算，完全平方公式的应用和二次根式的运算，掌握相关的性质和运算法则是解题的关键．
4．（2020·吉林长春·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，9
【分析】根据整式的混合运算顺序进行化简，再代入值求解即可．
【解析】解：原式，当时，原式．
【点睛】本题考查了整式的混合运算-化简求值，解决本题的关键是先进行整式的化简，再代入值求解．
5．（2020·黑龙江大庆·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，5．
【分析】先根据整式的乘法、完全平方公式去括号，再计算整式的加减法，然后将x的值代入求值即可．
【解析】原式
将代入得：原式．
【点睛】本题考查了整式的乘法与加减法、完全平方公式、实数的混合运算，熟记各运算法则是解题关键．
6．（2020·湖北随州）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，．
【分析】先根据整式的乘法法则化简整式，再将字母的值代入结果计算求值即可．
【解析】
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算----化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．
7．（2019·浙江宁波·中考真题）先化简，再求值：，其中.
【答案】
【分析】根据平方差公式、单项式乘多项式的法则把原式化简，代入计算即可．
【解析】（x-2）（x+2）-x（x-1）=x2-4-x2+x=x-4，当x=3时，原式=x-4=-1．
【点睛】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
8．（2019·湖北宜昌·中考真题）化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式运算法则化简得出答案．
【解析】原式．故选C．
【点睛】此题主要考查了完全平方公式以及单项式乘以多项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
题型9、因式分解
【解题技巧】因式分解的一般步骤：(1)如果多项式各项有公因式，应先提取公因式；(2)如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法来分解因式，看是否符合平方差公式还是完全平方公式，有时需考虑用十字交乘法；(3)检查因式分解是否彻底，必须分解到每一个因式不能再分解为止．
1．（2020·湖南益阳·中考真题）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用提公因式法分解因式和平方差公式以及完全平方公式进行分解即可得到答案．
【解析】A、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；C、，故此选项正确；
D、，故此选项错误．故选：C．
【点睛】此题主要考查了公式法和提公因式法分解因式，关键是注意口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
2．（2020·河北中考真题）对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解 B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解
【答案】C
【分析】根据因式分解的定义进行判断即可；
【解析】①左边多项式，右边整式乘积形式，属于因式分解；②左边整式乘积，右边多项式，属于整式乘法；故答案选C．
【点睛】本题主要考查了因式分解的定义理解，准确理解因式分解的定义是解题的关键．
3．（2020·四川中考真题）把ax2﹣4a分解因式的结果是_____．
【答案】a（x+2）（x﹣2）
【分析】先提出公因式a，再利用平方差公式因式分解．
【解析】解：ax2﹣4a=a（x2﹣4）=a（x+2）（x﹣2）．故答案为：a（x+2）（x﹣2）．
【点睛】本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解，解决本题的关键是熟记提公因式法和公式法．
4．（2020·江苏无锡·中考真题）因式分解：__________．
【答案】
【分析】先提取公因式a，再利用公式法继续分解．
【解析】解：，故答案为：．
【点睛】本题考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确应用公式是解题的关键．在分解因式时，要注意分解彻底．
5．（2020·辽宁丹东·中考真题）因式分解：_________．
【答案】
【分析】先提公因式，然后利用平方差公式进行因式分解，即可得到答案．
【解析】解：；故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法．
6．（2020·吉林宽城·中考模拟）分解因式（xy﹣1）2﹣（x+y﹣2xy）（2﹣x﹣y）=_____．
【答案】（y﹣1）2（x﹣1）2．
【解析】解：令x+y=a，xy=b，
则（xy﹣1）2﹣（x+y﹣2xy）（2﹣x﹣y）=（b﹣1）2﹣（a﹣2b）（2﹣a）=b2﹣2b+1+a2﹣2a﹣2ab+4b
=（a2﹣2ab+b2）+2b﹣2a+1=（b﹣a）2+2（b﹣a）+1=（b﹣a+1）2；
即原式=（xy﹣x﹣y+1）2=[x（y﹣1）﹣（y﹣1）]2=[（y﹣1）（x﹣1）]2=（y﹣1）2（x﹣1）2．
故答案为（y﹣1）2（x﹣1）2．
点睛：因式分解的方法：（1）提取公因式法.ma+mb+mc=m(a+b+c).（2）公式法:完全平方公式，平方差公式.（3）十字相乘法.因式分解的时候，要注意整体换元法的灵活应用，训练将一个式子看做一个整体,利用上述方法因式分解的能力.
7．（2019·黑龙江中考真题）分解因式：_________．
【答案】
【分析】先分组，再利用提公因式法分解因式即可．
【解析】解：故答案为：（ab-1）（a+b）
【点睛】本题主要考查了分组分解法和提取公因式法分解因式，熟练应用提公因式法是解题关键．
8．（广西百色·中考真题）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法.
（1）二次项系数；
（2）常数项验算：“交叉相乘之和”；
（3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果，等于一次项系数-1，即，则.像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法.仿照以上方法，分解因式： ．
【答案】（x+3）（3x﹣4）．
【解析】3x2+5x﹣12=（x+3）（3x﹣4）．
考点：因式分解﹣十字相乘法．
题型10、因式分解的运用
【解题技巧】因式分解知识方法应用与人们日常生活紧密联系，解决应用型问题，常用提公因式法、运用公式法等，并且我们要注意需符合实际要求。
1.（2020·四川内江·中考真题）我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：（m，n是正整数，且），在x的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称是x的最佳分解．并规定：．
例如：18可以分解成，或，因为，所以是18的最佳分解，所以．
（1）填空：；；
（2）一个两位正整数t（，，a，b为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求的最大值；
（3）填空：①；②；
③；④．
【答案】（1）；1；（2）t为39，28，17；的最大值；（3）
【分析】（1）6＝1×6＝2×3，由已知可求＝；9=1×9=3×3，由已知可求=1；
（2）由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为：10b＋a−10a−b＝9（b−a）＝54，得到b−a＝6，可求t的值，故可得到的最大值；（3）根据的定义即可依次求解．
【解析】（1）6＝1×6＝2×3，∵6−1＞3−2，∴＝；9=1×9=3×3，
∵9−1＞3−3，∴=1，故答案为：；1；
（2）由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为：10b＋a−10a−b＝9（b−a）＝54，∴b−a＝6，
∵1≤a≤b≤9，∴b＝9，a＝3或b＝8，a＝2或b＝7，a＝1，∴t为39，28，17；
∵39＝1×39＝3×13，∴＝；28＝1×28＝2×14＝4×7，∴＝；
17＝1×17，∴；∴的最大值．
（3）①∵=20×21∴；
②=28×30∴；
③∵=56×30∴；
④∵=56×60∴，故答案为：．
【点睛】本题考查因式分解的应用；理解题意，从题目中获取信息，列出正确的代数式，再由数的特点求解是解题的关键．
2．（2020·重庆中考模拟）材料一：一个正整数x能写成x=a2﹣b2（a，b均为正整数，且a≠b），则称x为“雪松数”，a，b为x的一个平方差分解，在x的所有平方差分解中，若a2+b2最大，则称a，b为x的最佳平方差分解，此时F（x）=a2+b2．
例如：24=72﹣52，24为雪松数，7和5为24的一个平方差分解，32=92﹣72，32=62﹣22，因为92+72＞62+22，所以9和7为32的最佳平方差分解，F（32）=92+72
材料二：若一个四位正整数，它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，但四个数字不全相同，则称这个四位数为“南麓数”．例如4334，5665均为“南麓数”．
根据材料回答：（1）请直接写出两个雪松数，并分别写出它们的一对平方差分解；（2）试证明10不是雪松数；（3）若一个数t既是“雪松数”又是“南麓数”，并且另一个“南麓数”的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数恰好是t的一个平方差分解，请求出所有满足条件的数t中F（t）的最大值．
【答案】（1）112=112﹣32，40=72﹣32；（2）见解析；（3）12020．
【分析】（1）根据雪松数的特征即可得到结论；（2）根据题意即可得到结论；
（3）设t=（a，b均为正整数，且0＜a≠b≤9），另一个“南麓数”为t′=（m，n均为正整数，且0＜n＜m≤9），根据“南麓数”的特征即可得到结论．
【解析】解：（1）112=112﹣32，40=72﹣32；
（2）若10是“雪松数”，则可设a2﹣b2=10（a，b均为正整数，且a≠b），则（a+b）（a﹣b）=10．
又∵10=2×5=10×1．∵a，b均为正整数，∴a+b＞a﹣b，
∴，或，解得：或，
与a，b均为正整数矛盾，故10不是雪松数；
（3）设t=（a，b均为正整数，且0＜a≠b≤9），
另一个“南麓数”为t′=（m，n均为正整数，
且0＜n＜m≤9），则t=（10m+n）2﹣（10n+m）2=99（m2﹣n2）=99（m+n）（m﹣n），
∴99（m+n）（m﹣n）=1000a+100b+10b+a=1001a+110b，
整理得，（m+n）（m﹣n）=10a+b+．
∵a，b，m，n均为正整数，∴a+b=9，经探究，符合题意，
∴t的值分别为：2772，5445，t′的值分别为：8668，8338，
由材料一可知，F（t）的最大值为：862+682=12020．
【点睛】本题主要考查分解因式的应用，实数的运算，理解新定义，并将其转化为实数的运算是解题的关键．
3．（2020·树德中学都江堰外国语实验学校初二期中）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：(x＋y)2＋2(x＋y)＋1.
解：将“x＋y”看成整体，令x＋y＝A，则原式＝A2＋2A＋1＝(A＋1)2.
再将“A”还原，得原式＝(x＋y＋1)2.
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
(1)因式分解：1＋2(x－y)＋(x－y)2＝_______________；(2)因式分解：(a＋b)(a＋b－4)＋4；
(3)求证：若n为正整数，则式子(n＋1)(n＋2)(n2＋3n)＋1的值一定是某一个整数的平方．
【答案】(1)(x－y＋1)2；（2）见解析；（3）见解析.
分析：（1）把（x-y）看作一个整体，直接利用完全平方公式因式分解即可；(2)令A=a+b,带入后因式分解即可将原式因式分解；(3)将原式转化为(n²+3n) [(n+1)（n+2）]+1,进一步整理为(n²+3n+1) ²,根据n为正整数，从而说明原式是整数的平方.
【解析】 (1).1+2(x-y)+(x+y) ²=（x﹣y+1）2；
（2）令A=a+b，则原式变为A（A﹣4）+4=A2﹣4A+4=（A﹣2）2，故（a+b）（a+b﹣4）+4=（a+b﹣2）2；
（3）（n+1）（n+2）（n2+3n）+1=（n2+3n）[（n+1）（n+2）]+1
=（n2+3n）（n2+3n+2）+1=（n2+3n）2+2（n2+3n）+1=（n2+3n+1）2，
∵n为正整数，∴n2+3n+1也为正整数，∴代数式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方．
点睛;本题考查了因式分解的应用，解题的关键是认真审题你，理解题意，掌握整体思想解决问题.
4．（2019·深圳市明德外语实验学校初二期中）阅读下列材料：
1637 年笛卡儿(R．Descartes，1596 − 1650)在其《几何学》中，首次应用待定系数法将 4 次方程分解为两个 2 次方程求解，并最早给出因式分解定理．
他认为，若一个高于二次的关于 x 的多项式能被 () 整除，则其一定可以分解为 () 与另外一个整式的乘积，而且令这个多项式的值为 0 时， x = a 是关于 x 的这个方程的一个根．
例如：多项式 可以分解为 () 与另外一个整式 M 的乘积，即
令时，可知 x =1 为该方程的一个根．
关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下： 分解因式：
观察知，显然 x=1 时，原式 = 0 ，因此原式可分解为 () 与另一个整式的积．
令：，则=，因等式两边 x 同次幂的系数相等，则有：，得，从而
此时，不难发现 x= 1 是方程 的一个根．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
（1）若 是多项式 的因式，求 a 的值并将多项式分解因式；
（2）若多项式 含有因式及 ，求a+ b 的值．
【答案】（1）；（2）a+ b=
【分析】（1）已知多项式的因式，将多项式分解为该因式与另外一个整式乘积的形式，将这个新构造的式子中的系数与原式中的系数进行对照，列方程即可得到答案（2）已知多项式中含有因式，根据材料中的内容可知因式的解为零，所以解得未知数的值，再利用未知数的值带入原式即可求解到参数的值，将结果相加即可求得答案
【解析】（1）令：，
因等式两边 x 同次幂的系数相等，则有：，解得：，
从而=x3+1=（x+1）(x2-x+1)；
（2）设（其中M为二次整式），
由材料可知：x+1=0或x-2=0；所以：x=-1，x=2是方程的解，
所以，解得a=8，b=-39，∴a＋b=8+(-39) =-31．
【点睛】本题考查的是因式分解的应用，理解因式分解定理的推演过程是解答此题的关键．
5．（2020·江苏南通第一初中初二期末）阅读下列材料，然后解答问题：
问题：分解因式：.
解答：把带入多项式，发现此多项式的值为0，由此确定多项式中有因式，于是可设，分别求出，的值.再代入，就容易分解多项式，这种分解因式的方法叫做“试根法”.
（1）求上述式子中，的值；（2）请你用“试根法”分解因式：.
【答案】（1），；（2）
【分析】（1）先找出一个x的值，进而找出一个因式，再将多项式设成分解因式的形式，即可得出结论；
（2）先找出x=-1时，得出多项式的值，进而找出一个因式，再将多项式设成分解因式的形式，即得出结论．
【解析】（1）把带入多项式，发现此多项式的值为0，
∴多项式中有因式，
于是可设，得出：，
∴，，∴，，
（2）把代入，多项式的值为0，∴多项式中有因式，
于是可设，
∴，，∴，，
∴
【点睛】此题是分解因式，主要考查试根法分解因式的理解和掌握，解本题的关键是理解试根法分解因式．
6．（2020·浙江西湖·初一期末）已知2n＋212＋1（n＜0）是一个有理数的平方，则n的值为（ ）
A．﹣16 B．﹣14 C．﹣12 D．﹣10
【答案】B
【分析】分多项式的三项分别是乘积二倍项时，利用完全平方公式分别求出n的值，然后选择答案即可．
【解析】解：2n是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝212＋2•26＋1＝（26＋1）2，此时n＝6＋1＝7，
212是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝2n＋2•211＋1＝（211＋1）2，此时n＝2×11＝22，
1是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝（26）2＋2•26•2﹣7＋（2﹣7）2＝（26＋2﹣7）2，此时n＝﹣14，
综上所述，n可以取到的数是7、22、﹣14．故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方式，难点在于要分情况讨论，熟记完全平方公式结构是解题的关键．
7．（重庆市兼善中学中考模拟）在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解法”产生的密码方便记忆，如：对于多项式，因式分解的结果是，若取， 时，则各个因式的值为， ， ，于是就可以把“”作为一个六位数的密码．对于多项式，取， 时，用上述方法产生的密码不可能是（ ）
A．201030 B．201010 C．301020 D．203010
【答案】B
【解析】解：x3-xy2=x（x2-y2）=x（x+y）（x-y），当x=20，y=10时，x=20，x+y=30，x-y=10，
组成密码的数字应包括20，30，10，所以组成的密码不可能是201010．故选B．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，平方差方式，难点在于要分情况讨论，熟记平方差公式结构是解题的关键．
8．（2019·湖南常德·中考真题）若，则的值为_____．
【答案】4
【分析】把所求多项式进行变形，代入已知条件，即可得出答案．
【解析】∵，
∴；故答案为：4．
【点睛】本题考查了因式分解的应用；把所求多项式进行灵活变形是解题的关键．
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