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考点05 方程（组）与不等式（组）-2022年中考数学高频考点专题突破 （全国通用）（原卷版）
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这是一份考点05 方程（组）与不等式（组）-2022年中考数学高频考点专题突破 （全国通用）（原卷版），共21页。
基础知识点：
知识点1-1方程和方程的解的概念
1)等式的性质
eq \\ac(○,1)等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式．
eq \\ac(○,2)等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数，所得的结果仍是等式．
2)方程:含有未知数的等式叫做方程．
3)方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解；求方程的解的过程叫做解方程．
知识点1-2一元一次方程及其解法
1)一元一次方程:只含有一个未知数，并且未知数的次数为1，这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为．注意：x前面的系数不为0．
2)一元一次方程的解:使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
3)一元一次方程的求解步骤
注：解方程时移项容易忘记改变符号而出错，要注意解方程的依据是等式的性质，在等式两边同时加上或减去一个代数式时，等式仍然成立，这也是“移项”的依据．移项本质上就是在方程两边同时减去这一项，此时该项在方程一边是0，而另一边是它改变符号后的项，所以移项必须变号．
知识点1-3 二元一次方程（组）及解的概念
1)二元一次方程:含有2个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．
2)二元一次方程的解:使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解．
3)二元一次方程组:由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为．
4)解二元一次方程组的基本思想
解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程．
5)二元一次方程组的解法
（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．
（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．
知识点1-4不等式的概念、性质及解集表示
1)不等式:一般地，用符号“<”（或“≤”）、“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式．能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．
2)不等式的基本性质
注：不等式的性质是解不等式的重要依据，在解不等式时，应注意：在不等式的两边同时乘以（或除以）一个负数时，不等号的方向一定要改变．
3)不等式的解集及表示方法
eq \\ac(○,1)不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解是一个范围，这个范围就是不等式的解集．
eq \\ac(○,2)不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式有无限个解．
知识点1-5一元一次不等式及其解法
1）一元一次不等式:不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫一元一次不等式．
2）解一元一次不等式的一般步骤:解一元一次不等式的一般步骤为：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1（注意不等号方向是否改变）．
知识点1-6一元一次不等式组及其解法
1)一元一次不等式组：一般地，同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一元一次不等式组．
2)一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集，求不等式组解集的过程，叫做解不等式组．
3)一元一次不等式组的解法：先分别求出每个不等式的解集，再利用数轴求出这些一元一次不等式的的解集的公共部分即可，如果没有公共部分，则该不等式组无解．
4)几种常见的不等式组的解集:设，，是常数，关于的不等式组的解集的四种情况如下表所示（等号取不到时在数轴上用空心圆点表示）：
注：一元一次不等式（组）的解法及其解集表示的考查形式如下：
（1）一元一次不等式（组）的解法及其解集在数轴上的表示；
（2）利用一次函数图象解一元一次不等式；
（3）求一元一次不等式组的最小整数解；
（4）求一元一次不等式组的所有整数解的和．
题型1 解一元一次方程
解题技巧：解含有括号的一元一次方程时，一般方法是由内到外逐层去括号，但有时这样做不一定能简化运算。因此，应根据方程的结构特点，灵活运用恰当的去括号的方法，以达到计算简便准确的目的。
对于多重括号，即可以按由内向外的顺序去括号，也可以按由外向内的顺序去括号。有时，依据题目的数字特点，采取由外向内的顺序依次去括号，会使方程的变形更为简洁。
同时，当括号前面的系数较大时，且各项有相同的因式时，也可以整体上把握，逆用分配律，可使方程求解过程更为简单。
1．（2020·湖南株洲·中考真题）关于x的方程的解为________．
2．（2020·浙江衢州·中考真题）一元一次方程2x+1=3的解是x=_____．
3．（2020·贵州铜仁·中考真题）方程2x+10＝0的解是_____．
4．（2019·山东济南·中考真题）代数式与代数式的和为4，则_____．
5．（2020·四川凉山·中考真题）解方程：
6．（2020·浙江杭州·中考真题）以下是圆圆解方程＝1的解答过程．
解：去分母，得3（x+1）﹣2（x﹣3）＝1．
去括号，得3x+1﹣2x+3＝1．
移项，合并同类项，得x＝﹣3．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
题型2 一元一次方程的运用
1．（2020·湖北孝感·中考真题）有一列数，按一定的规律排列成，，3，，27，－81，…．若其中某三个相邻数的和是，则这三个数中第一个数是______．
2．（2019·四川南充·中考真题）关于的一元一次方程的解为，则的值为（ ）
A．9B．8C．5D．4
3．（江苏宿迁·中考真题）小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是： ，怎么呢？小明想了一想，便翻看书后答案，此方程的解是，很快补好了这个常数，并迅速地完成了作业，同学们，你们能补出这个常数吗？它应是( )
A．1B．2C．3D．4
4．（2020·西藏中考真题）观察下列两行数：
1，3，5，7，9，11，13，15，17，…
1，4，7，10，13，16，19，22，25，…
探究发现：第1个相同的数是1，第2个相同的数是7，…，若第n个相同的数是103，则n等于（ ）
A．18B．19C．20D．21
5．（2020·广西玉林·中考真题）观察下列按一定规律排列的n个数：2，4，6，8，10,12，…；若最后三个数之和是3000，则n等于（ ）
A．499B．500C．501D．1002
6．（湖北随州·中考真题）我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例：
例：将化为分数形式
由于=0.777…，设x=0.777…①
则10x=7.777…②
②﹣①得9x=7，解得x=，于是得=．
同理可得=，=1+=1+，
根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示）
（基础训练）
（1）= ，= ；
（2）将化为分数形式，写出推导过程；
（能力提升）
（3）= ，= ；
（注：=0.315315…，=2.01818…）
（探索发现）
（4）①试比较与1的大小： 1（填“＞”、“＜”或“=”）
②若已知=，则= ．
（注：=0.285714285714…）
题型3 方程（组）中的新定义运算
解题技巧：根据新定义理解题意，灵活使用已有知识解决即可
1．（2020·湖北恩施·中考真题）在实数范围内定义运算“☆”：，例如：．如果，则的值是（ ）．
A．B．1C．0D．2
2．（2020·江苏盐城·中考真题）把这个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛書”（图），是世界上最早的“幻方”．图是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中的值为：（ ）
A．B．C．D．
3．（2020·湖北随州·中考真题）幻方是相当古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方---九宫图．将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15，则的值为______．
4．（2020·宁夏中考真题）在综合与实践活动中，活动小组的同学看到网上购鞋的鞋号（为正整数）与脚长（毫米）的对应关系如表1：
为了方便对问题的研究，活动小组将表1中的数据进行了编号，并对脚长的数据定义为如表2：
定义：对于任意正整数m、n，其中．若，则．
如：表示，即．
（1）通过观察表2，猜想出与序号n之间的关系式，与序号n之间的关系式；
（2）用含的代数式表示；计算鞋号为42的鞋适合的脚长范围；
（3）若脚长为271毫米，那么应购鞋的鞋号为多大？
5．（2019·河北中考真题）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．
示例：即4+3＝7。则（1）用含x的式子表示m＝_____；（2）当y＝﹣2时，n的值为_____．
6．（2020·湖北中考真题）对于实数，定义运算．若，则_____．
7．（湖南常德·中考真题）阅读理解：，，，是实数，我们把符号称为阶行列式，并且规定：，例如：.二元一次方程组的解可以利用阶行列式表示为：；其中，，.问题：对于用上面的方法解二元一次方程组时，下面说法错误的是（ ）
A． B．C．D．方程组的解为
题型4 解二元一次方程组
解题技巧：代入消元法和加减消元法是2种基础的消元法，各有优劣：
1）当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数时（或易于转化为该形式时），用代入消元法。
例： x=2y+3x+3y=8
2）当方程组中，某一个未知数在两个方程中的系数相同或互为相反数时（或成倍数时），用加减消元法。
例： 2x+3y=72x+5y=9
3）无上述两种特征，依据个人喜好定方法。
例： 3x+2y=74x-4y=-4 2x-3y=3x+4y=-4
注意：当二元一次方程系数比较复杂时，应先化简（去分母、去括号、移项、合并同类项等）。通常要把每个方程整理成含有未知数的项在方程的左边，常数项在方程的右边的形式，再利用消元法解方程。
1．（2020·湖南永州·中考真题）方程组的解是_________．
2．（2020·北京中考真题）方程组的解为________．
3．（2020·江苏连云港·中考真题）解方程组．
4．（2020·四川乐山·）解二元一次方程组：
5．（2020·天津中考真题）方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
6．（2020·浙江嘉兴·中考真题）用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是（ ）
A．①×2﹣②B．②×（﹣3）﹣①C．①×（﹣2）+②D．①﹣②×3
题型5 整体构造法求代数式的值
解题技巧： 某些代数式无需把每个未知数都求出来，而是通过观察各方程的系数关系，利用整体构造法直接求出代数式的值。
1．（2020·甘肃天水·中考真题）已知，，则的值为_________．
2．（2020·辽宁朝阳·中考真题）已知关于x、y的方程的解满足，则a的值为______．
3．（2020·贵州毕节·中考真题）一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点分别是，，则______．
4．（2019·四川眉山·中考真题）已知关于x，y的方程组的解满足x+y＝5，则k的值为_____．
5．（2019·湖北鄂州·中考真题）若关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是____．
6．（2019·江苏南通·中考真题）已知a、b满足方程组，则a+b的值为( )
A．2B．4C．—2D．—4
题型6方程组的解的运用
解题技巧：寻找二元一次方程，重点是观察并发现解中x，y之间的特征。
1．（2020·广东中考真题）已知关于，的方程组与的解相同．
（1）求，的值；（2）若一个三角形的一条边的长为，另外两条边的长是关于的方程的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．
2．（2020·浙江绍兴·中考真题）若关于x，y的二元一次方程组的解为，则多项式A可以是_____（写出一个即可）．
3．（2020·黑龙江穆棱·朝鲜族学校中考真题）若是二元一次方程组的解，则x＋2y的算术平方根为（ ）
A．3B．3，－3C．D．，－
4．（2019·江苏常州·中考真题）若，是关于、的二元一次方程的解，则_____．
5．（2019·辽宁朝阳·中考真题）关于x，y的二元一次方程组的解是，则的值为（ ）
A．4B．2C．1D．0
6．（2019·四川巴中·中考真题）已知关于x、y的二元一次方程组的解是，则的值是（ ）
A．1B．2C．﹣1D．0
题型7 不等式的基本性质
解题技巧：不等式的性质，需要和等式的性质一起理解。，基本类似。有2个地方需要着重注意： = 1 \* GB3 ①若不等式两边同时乘或除负数，则不等号需要变号； = 2 \* GB3 ②不等号两边同乘0，不等式不再成立；同除0，无意义。
1．（2020·江苏宿迁·中考真题）若a＞b，则下列等式一定成立的是（ ）
A．a＞b+2B．a+1＞b+1C．﹣a＞﹣bD．|a|＞|b|
2．（2020·江苏常州·中考真题）如果，那么下列不等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2020·贵州贵阳·中考真题）已知，下列式子不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2020·浙江杭州·中考真题）若a＞b，则（ ）
A．a﹣1≥bB．b+1≥aC．a+1＞b﹣1D．a﹣1＞b+1
5．（2019·四川广安·中考真题）若，下列不等式不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2019·江苏南京·中考真题）实数a、b、c满足a＞b且ac＜bc，它们在数轴上的对应点的位置可以是（ ）
A．B．C．D．
题型8 解一元一次不等式（组）
解题技巧：一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似，主要步骤有：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1。这些步骤中，不等式乘除负数时需要变号，这是唯一一点与解一元一次方程不同地方，其余地方完全相同。还需要注意的点： = 1 \* GB3 ①移项要变号； = 2 \* GB3 ②去分母需要所有项都乘最小公倍数； = 3 \* GB3 ③去括号，若括号前有系数，括号中每一项都要乘系数；若括号前时负号，括号中每一项都要变号。
首先分别求多个不等式的解集；然后将各个不等式的解集表示在数轴上；最后读取数轴上重叠部分，作为不等式组的最终解集。
1．（2020·辽宁大连·中考真题）不等式的解集是______．
2．（2020·吉林中考真题）不等式的解集为_______．
3．（2020·贵州毕节·中考真题）不等式的解集是_______．
4．（2020·江苏淮安·中考真题）解不等式．
解：去分母，得．
……
（1）请完成上述解不等式的余下步骤：
（2）解题回顾：本题“去分母”这一步的变形依据是 （填“A”或“B”）
A．不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
B．不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
5．（2020·广东中考真题）不等式组的解集为（ ）
A．无解B．C．D．
6．（2020·湖北黄石·中考真题）不等式组的解集是（ ）
A．B．C．D．
7．（2020·山西中考真题）不等式组的解集是（ ）
A．B．C．D．
8．（2020·江苏宿迁·中考真题）不等式组的解集是_____．
题型9 一元一次不等式（组）的整数解问题
解题技巧：先求出不等式的解集，再根据解集确定整数解
1．（2020·山东枣庄·中考真题）解不等式组，并求它的所有整数解的和．
2．（2020·辽宁铁岭·中考真题）不等式组的整数解的个数是（ ）
A．2B． 3C．4D．5
3．（2020·四川眉山·中考真题）不等式组的整数解有（ ）
A．个B．个C．个D．个
4．（2020·青海中考真题）分解因式：________；不等式组的整数解为________．
5．（2020·山东聊城·中考真题）解不等式组，并写出它的所有整数解．
6．（2019·山东济南·中考真题）解不等式组，并写出它的所有整数解．
7．（2019·山东德州·中考真题）不等式组的所有非负整数解的和是（ ）
A．B．C．D．
题型10 利用数轴表示一元一次不等式（组）的解
解题技巧：先求出不等式的解集，再根利用数轴表示即可
1．（2020·山东日照·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·浙江嘉兴·中考真题）不等式3（1﹣x）＞2﹣4x的解在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·辽宁盘锦·中考真题）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2020·云南昆明·中考真题）不等式组，的解集在以下数轴表示中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2020·四川雅安·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2020·吉林长春·中考真题）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C．D．
题型11不等式组中的含参问题
解题技巧：（数形结合的思想）不等式组的解集通常是一个取值范围，可以在利用数轴进行表示。利用数形结合思想分析解集，能够更清晰表达解集之间的关系。最终结果能否取到等号，需要注重注意分析。
常见问题：有解、无解和几个整数解、已知解集求参数等
1．（2020·山东潍坊·中考真题）若关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2020·四川广元·中考真题）关于x的不等式的整数解只有4个，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2020·甘肃天水·中考真题）若关于的不等式只有2个正整数解，则的取值范围为( )
A．B．C．D．
4．（2020·四川遂宁·中考真题）若关于x的不等式组有且只有三个整数解，则m的取值范围是______．
5．（2020·黑龙江鸡西·中考真题）若关于的一元一次不等式组有个整数解，则的取值范围是______．
1．（2020·山东德州·中考真题）若关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2020·黑龙江鹤岗·中考真题）若关于的一元一次不等式组的解是，则的取值范围是_______．
3．（2020·四川内江·中考真题）若数a使关于x的分式方程的解为非负数，且使关于y的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数a的积为_____________
4．（2019·云南中考真题）若关于x的不等式组的解集为x＞a，则a的取值范围是( )
A．a＜2B．a≤2C．a＞2D．a≥2
5．（2019·内蒙古·中考真题）已知不等式组的解集为，则的取值范围是_____．
1．（2019·湖南永州·中考真题）若关于x的不等式组有解，则在其解集中，整数的个数不可能是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（2019·广西百色·中考模拟）若不等式组有解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2019·重庆）使得关于x的不等式组有解，且使分式方程有非负整数解的所有的m的和是（ ）
A．﹣1B．2C．﹣7D．0
4．（2018·江苏高淳·中考模拟）若不等式组有解，则k的取值范围是（ ）
A．k＜2B．k≥2C．k＜1D．1≤k＜2
1．（2020·山东滨州·中考真题）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为________．
2．（2019·山东聊城·中考真题）若不等式组无解，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（广西贵港·中考真题）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（ ）
A．a≤﹣3B．a＜﹣3C．a＞3D．a≥3
4．（湖北恩施·中考真题）关于的不等式组无解，那么的取值范围为( )
A．B．C．D．
1．（2020·河南中考真题）已知关于的不等式组，其中在数轴上的对应点如图所示，则这个不等式组的解集为__________．
2．（2020·四川绵阳·中考真题）若不等式＞﹣x﹣的解都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，则实数m的取值范围是_______．
3．（2019·黑龙江中考真题）已知x=4是不等式ax-3a-1＜0的解，x=2不是不等式ax-3a-1＜0的解，则实数a的取值范围是____．
4．（2019·辽宁丹东·中考真题）关于x的不等式组的解集是2＜x＜4，则a的值为_____．
题型12 不等式（组）中的新定义问题
1．（2020·湖南张家界·中考真题）阅读下面的材料：对于实数，我们定义符号的意义为：当时，；当时，，如：．根据上面的材料回答下列问题：（1）______；（2）当时，求x的取值范围．
2．（2019·四川凉山·中考真题）根据有理数乘法（除法）法则可知：①若（或），则或；②若（或），则或．
根据上述知识，求不等式的解集:
解：原不等式可化为：（1）或（2）．
由（1）得，，由（2）得，，∴原不等式的解集为：或
请你运用所学知识，结合上述材料解答下列问题：
（1）不等式的解集为 ．（2）求不等式的解集（要求写出解答过程）
3．（2019·江苏扬州·中考真题）已知n正整数，若一个三角形的三边长分别是n+2、n+8、3n，则满足条件的n的值有( )
A．4个B．5个C．6个D．7个
4．（2019·贵州黔东南·中考真题）某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：
对于三个实，数，，，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数，例如=4，，．请结合上述材料，解决下列问题：
（1）①_____，②_____；
（2）若，则的取值范围为_____；
（3）若，求的值；（4）如果，求的值．
5．（2019·山东济南·中考真题）定义：[x]表示不大于x的最大整数，例如：[2.3]＝2，[1]＝1．有以下结论：
①[﹣1.2]＝﹣2；②[a﹣1]＝[a]﹣1；③[2a]＜[2a]+1；④存在唯一非零实数a，使得a2＝2[a]．
其中正确的是_____．（写出所有正确结论的序号）
6．（2019·山东德州·中考真题）已知：表示不超过的最大整数．例：，．现定义：，例：，则______．
7．（2019·湖北荆州·中考真题）对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则．如，．若，则实数的取值范围是__________．
8．（2019·北京中考真题）小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：
①将诗词分成4组，第i组有首，i =1，2，3，4；
②对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第（）天背诵第二遍，第（）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，1，2，3，4；
③每天最多背诵14首，最少背诵4首．解答下列问题：（1）填入补全上表；（2）若，，，则的所有可能取值为______；（3）7天后，小云背诵的诗词最多为______首．
变形名称
具体做法
去分母
在方程两边都乘以各分母的最小公倍数
去括号
先去小括号，再去中括号，最后去大括号
移项
把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边
合并同类项
把方程化成的形式
系数化成1
在方程两边都除以未知数的系数，得到方程的解为
理论依据
式子表示
性质1
不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变
若，则
性质2
不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
若，，则或
性质3
不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
若，，则或
不等式组
（其中）
数轴表示
解集
口诀
同大取大
同小取小
大小、小大中间找
无解
大大、小小取不了
鞋号（正整数）
22
23
24
25
26
27
……
脚长（毫米）
……
序号n
1
2
3
4
5
6
……
鞋号
22
23
24
25
26
27
……
脚长
……
脚长
160
165
170
175
180
185
……
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
第7天
第1组
第2组
第3组
第4组
基础知识点：
知识点1-1方程和方程的解的概念
1)等式的性质
eq \\ac(○,1)等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式．
eq \\ac(○,2)等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数，所得的结果仍是等式．
2)方程:含有未知数的等式叫做方程．
3)方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解；求方程的解的过程叫做解方程．
知识点1-2一元一次方程及其解法
1)一元一次方程:只含有一个未知数，并且未知数的次数为1，这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为．注意：x前面的系数不为0．
2)一元一次方程的解:使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
3)一元一次方程的求解步骤
注：解方程时移项容易忘记改变符号而出错，要注意解方程的依据是等式的性质，在等式两边同时加上或减去一个代数式时，等式仍然成立，这也是“移项”的依据．移项本质上就是在方程两边同时减去这一项，此时该项在方程一边是0，而另一边是它改变符号后的项，所以移项必须变号．
知识点1-3 二元一次方程（组）及解的概念
1)二元一次方程:含有2个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．
2)二元一次方程的解:使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解．
3)二元一次方程组:由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为．
4)解二元一次方程组的基本思想
解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程．
5)二元一次方程组的解法
（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．
（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．
知识点1-4不等式的概念、性质及解集表示
1)不等式:一般地，用符号“<”（或“≤”）、“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式．能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．
2)不等式的基本性质
注：不等式的性质是解不等式的重要依据，在解不等式时，应注意：在不等式的两边同时乘以（或除以）一个负数时，不等号的方向一定要改变．
3)不等式的解集及表示方法
eq \\ac(○,1)不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解是一个范围，这个范围就是不等式的解集．
eq \\ac(○,2)不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式有无限个解．
知识点1-5一元一次不等式及其解法
1）一元一次不等式:不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫一元一次不等式．
2）解一元一次不等式的一般步骤:解一元一次不等式的一般步骤为：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1（注意不等号方向是否改变）．
知识点1-6一元一次不等式组及其解法
1)一元一次不等式组：一般地，同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一元一次不等式组．
2)一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集，求不等式组解集的过程，叫做解不等式组．
3)一元一次不等式组的解法：先分别求出每个不等式的解集，再利用数轴求出这些一元一次不等式的的解集的公共部分即可，如果没有公共部分，则该不等式组无解．
4)几种常见的不等式组的解集:设，，是常数，关于的不等式组的解集的四种情况如下表所示（等号取不到时在数轴上用空心圆点表示）：
注：一元一次不等式（组）的解法及其解集表示的考查形式如下：
（1）一元一次不等式（组）的解法及其解集在数轴上的表示；
（2）利用一次函数图象解一元一次不等式；
（3）求一元一次不等式组的最小整数解；
（4）求一元一次不等式组的所有整数解的和．
题型1 解一元一次方程
解题技巧：解含有括号的一元一次方程时，一般方法是由内到外逐层去括号，但有时这样做不一定能简化运算。因此，应根据方程的结构特点，灵活运用恰当的去括号的方法，以达到计算简便准确的目的。
对于多重括号，即可以按由内向外的顺序去括号，也可以按由外向内的顺序去括号。有时，依据题目的数字特点，采取由外向内的顺序依次去括号，会使方程的变形更为简洁。
同时，当括号前面的系数较大时，且各项有相同的因式时，也可以整体上把握，逆用分配律，可使方程求解过程更为简单。
1．（2020·湖南株洲·中考真题）关于x的方程的解为________．
2．（2020·浙江衢州·中考真题）一元一次方程2x+1=3的解是x=_____．
3．（2020·贵州铜仁·中考真题）方程2x+10＝0的解是_____．
4．（2019·山东济南·中考真题）代数式与代数式的和为4，则_____．
5．（2020·四川凉山·中考真题）解方程：
6．（2020·浙江杭州·中考真题）以下是圆圆解方程＝1的解答过程．
解：去分母，得3（x+1）﹣2（x﹣3）＝1．
去括号，得3x+1﹣2x+3＝1．
移项，合并同类项，得x＝﹣3．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
题型2 一元一次方程的运用
1．（2020·湖北孝感·中考真题）有一列数，按一定的规律排列成，，3，，27，－81，…．若其中某三个相邻数的和是，则这三个数中第一个数是______．
2．（2019·四川南充·中考真题）关于的一元一次方程的解为，则的值为（ ）
A．9B．8C．5D．4
3．（江苏宿迁·中考真题）小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是： ，怎么呢？小明想了一想，便翻看书后答案，此方程的解是，很快补好了这个常数，并迅速地完成了作业，同学们，你们能补出这个常数吗？它应是( )
A．1B．2C．3D．4
4．（2020·西藏中考真题）观察下列两行数：
1，3，5，7，9，11，13，15，17，…
1，4，7，10，13，16，19，22，25，…
探究发现：第1个相同的数是1，第2个相同的数是7，…，若第n个相同的数是103，则n等于（ ）
A．18B．19C．20D．21
5．（2020·广西玉林·中考真题）观察下列按一定规律排列的n个数：2，4，6，8，10,12，…；若最后三个数之和是3000，则n等于（ ）
A．499B．500C．501D．1002
6．（湖北随州·中考真题）我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例：
例：将化为分数形式
由于=0.777…，设x=0.777…①
则10x=7.777…②
②﹣①得9x=7，解得x=，于是得=．
同理可得=，=1+=1+，
根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示）
（基础训练）
（1）= ，= ；
（2）将化为分数形式，写出推导过程；
（能力提升）
（3）= ，= ；
（注：=0.315315…，=2.01818…）
（探索发现）
（4）①试比较与1的大小： 1（填“＞”、“＜”或“=”）
②若已知=，则= ．
（注：=0.285714285714…）
题型3 方程（组）中的新定义运算
解题技巧：根据新定义理解题意，灵活使用已有知识解决即可
1．（2020·湖北恩施·中考真题）在实数范围内定义运算“☆”：，例如：．如果，则的值是（ ）．
A．B．1C．0D．2
2．（2020·江苏盐城·中考真题）把这个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛書”（图），是世界上最早的“幻方”．图是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中的值为：（ ）
A．B．C．D．
3．（2020·湖北随州·中考真题）幻方是相当古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方---九宫图．将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15，则的值为______．
4．（2020·宁夏中考真题）在综合与实践活动中，活动小组的同学看到网上购鞋的鞋号（为正整数）与脚长（毫米）的对应关系如表1：
为了方便对问题的研究，活动小组将表1中的数据进行了编号，并对脚长的数据定义为如表2：
定义：对于任意正整数m、n，其中．若，则．
如：表示，即．
（1）通过观察表2，猜想出与序号n之间的关系式，与序号n之间的关系式；
（2）用含的代数式表示；计算鞋号为42的鞋适合的脚长范围；
（3）若脚长为271毫米，那么应购鞋的鞋号为多大？
5．（2019·河北中考真题）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．
示例：即4+3＝7。则（1）用含x的式子表示m＝_____；（2）当y＝﹣2时，n的值为_____．
6．（2020·湖北中考真题）对于实数，定义运算．若，则_____．
7．（湖南常德·中考真题）阅读理解：，，，是实数，我们把符号称为阶行列式，并且规定：，例如：.二元一次方程组的解可以利用阶行列式表示为：；其中，，.问题：对于用上面的方法解二元一次方程组时，下面说法错误的是（ ）
A． B．C．D．方程组的解为
题型4 解二元一次方程组
解题技巧：代入消元法和加减消元法是2种基础的消元法，各有优劣：
1）当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数时（或易于转化为该形式时），用代入消元法。
例： x=2y+3x+3y=8
2）当方程组中，某一个未知数在两个方程中的系数相同或互为相反数时（或成倍数时），用加减消元法。
例： 2x+3y=72x+5y=9
3）无上述两种特征，依据个人喜好定方法。
例： 3x+2y=74x-4y=-4 2x-3y=3x+4y=-4
注意：当二元一次方程系数比较复杂时，应先化简（去分母、去括号、移项、合并同类项等）。通常要把每个方程整理成含有未知数的项在方程的左边，常数项在方程的右边的形式，再利用消元法解方程。
1．（2020·湖南永州·中考真题）方程组的解是_________．
2．（2020·北京中考真题）方程组的解为________．
3．（2020·江苏连云港·中考真题）解方程组．
4．（2020·四川乐山·）解二元一次方程组：
5．（2020·天津中考真题）方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
6．（2020·浙江嘉兴·中考真题）用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是（ ）
A．①×2﹣②B．②×（﹣3）﹣①C．①×（﹣2）+②D．①﹣②×3
题型5 整体构造法求代数式的值
解题技巧： 某些代数式无需把每个未知数都求出来，而是通过观察各方程的系数关系，利用整体构造法直接求出代数式的值。
1．（2020·甘肃天水·中考真题）已知，，则的值为_________．
2．（2020·辽宁朝阳·中考真题）已知关于x、y的方程的解满足，则a的值为______．
3．（2020·贵州毕节·中考真题）一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点分别是，，则______．
4．（2019·四川眉山·中考真题）已知关于x，y的方程组的解满足x+y＝5，则k的值为_____．
5．（2019·湖北鄂州·中考真题）若关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是____．
6．（2019·江苏南通·中考真题）已知a、b满足方程组，则a+b的值为( )
A．2B．4C．—2D．—4
题型6方程组的解的运用
解题技巧：寻找二元一次方程，重点是观察并发现解中x，y之间的特征。
1．（2020·广东中考真题）已知关于，的方程组与的解相同．
（1）求，的值；（2）若一个三角形的一条边的长为，另外两条边的长是关于的方程的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．
2．（2020·浙江绍兴·中考真题）若关于x，y的二元一次方程组的解为，则多项式A可以是_____（写出一个即可）．
3．（2020·黑龙江穆棱·朝鲜族学校中考真题）若是二元一次方程组的解，则x＋2y的算术平方根为（ ）
A．3B．3，－3C．D．，－
4．（2019·江苏常州·中考真题）若，是关于、的二元一次方程的解，则_____．
5．（2019·辽宁朝阳·中考真题）关于x，y的二元一次方程组的解是，则的值为（ ）
A．4B．2C．1D．0
6．（2019·四川巴中·中考真题）已知关于x、y的二元一次方程组的解是，则的值是（ ）
A．1B．2C．﹣1D．0
题型7 不等式的基本性质
解题技巧：不等式的性质，需要和等式的性质一起理解。，基本类似。有2个地方需要着重注意： = 1 \* GB3 ①若不等式两边同时乘或除负数，则不等号需要变号； = 2 \* GB3 ②不等号两边同乘0，不等式不再成立；同除0，无意义。
1．（2020·江苏宿迁·中考真题）若a＞b，则下列等式一定成立的是（ ）
A．a＞b+2B．a+1＞b+1C．﹣a＞﹣bD．|a|＞|b|
2．（2020·江苏常州·中考真题）如果，那么下列不等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2020·贵州贵阳·中考真题）已知，下列式子不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2020·浙江杭州·中考真题）若a＞b，则（ ）
A．a﹣1≥bB．b+1≥aC．a+1＞b﹣1D．a﹣1＞b+1
5．（2019·四川广安·中考真题）若，下列不等式不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2019·江苏南京·中考真题）实数a、b、c满足a＞b且ac＜bc，它们在数轴上的对应点的位置可以是（ ）
A．B．C．D．
题型8 解一元一次不等式（组）
解题技巧：一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似，主要步骤有：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1。这些步骤中，不等式乘除负数时需要变号，这是唯一一点与解一元一次方程不同地方，其余地方完全相同。还需要注意的点： = 1 \* GB3 ①移项要变号； = 2 \* GB3 ②去分母需要所有项都乘最小公倍数； = 3 \* GB3 ③去括号，若括号前有系数，括号中每一项都要乘系数；若括号前时负号，括号中每一项都要变号。
首先分别求多个不等式的解集；然后将各个不等式的解集表示在数轴上；最后读取数轴上重叠部分，作为不等式组的最终解集。
1．（2020·辽宁大连·中考真题）不等式的解集是______．
2．（2020·吉林中考真题）不等式的解集为_______．
3．（2020·贵州毕节·中考真题）不等式的解集是_______．
4．（2020·江苏淮安·中考真题）解不等式．
解：去分母，得．
……
（1）请完成上述解不等式的余下步骤：
（2）解题回顾：本题“去分母”这一步的变形依据是 （填“A”或“B”）
A．不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
B．不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
5．（2020·广东中考真题）不等式组的解集为（ ）
A．无解B．C．D．
6．（2020·湖北黄石·中考真题）不等式组的解集是（ ）
A．B．C．D．
7．（2020·山西中考真题）不等式组的解集是（ ）
A．B．C．D．
8．（2020·江苏宿迁·中考真题）不等式组的解集是_____．
题型9 一元一次不等式（组）的整数解问题
解题技巧：先求出不等式的解集，再根据解集确定整数解
1．（2020·山东枣庄·中考真题）解不等式组，并求它的所有整数解的和．
2．（2020·辽宁铁岭·中考真题）不等式组的整数解的个数是（ ）
A．2B． 3C．4D．5
3．（2020·四川眉山·中考真题）不等式组的整数解有（ ）
A．个B．个C．个D．个
4．（2020·青海中考真题）分解因式：________；不等式组的整数解为________．
5．（2020·山东聊城·中考真题）解不等式组，并写出它的所有整数解．
6．（2019·山东济南·中考真题）解不等式组，并写出它的所有整数解．
7．（2019·山东德州·中考真题）不等式组的所有非负整数解的和是（ ）
A．B．C．D．
题型10 利用数轴表示一元一次不等式（组）的解
解题技巧：先求出不等式的解集，再根利用数轴表示即可
1．（2020·山东日照·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·浙江嘉兴·中考真题）不等式3（1﹣x）＞2﹣4x的解在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·辽宁盘锦·中考真题）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2020·云南昆明·中考真题）不等式组，的解集在以下数轴表示中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2020·四川雅安·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2020·吉林长春·中考真题）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C．D．
题型11不等式组中的含参问题
解题技巧：（数形结合的思想）不等式组的解集通常是一个取值范围，可以在利用数轴进行表示。利用数形结合思想分析解集，能够更清晰表达解集之间的关系。最终结果能否取到等号，需要注重注意分析。
常见问题：有解、无解和几个整数解、已知解集求参数等
1．（2020·山东潍坊·中考真题）若关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2020·四川广元·中考真题）关于x的不等式的整数解只有4个，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2020·甘肃天水·中考真题）若关于的不等式只有2个正整数解，则的取值范围为( )
A．B．C．D．
4．（2020·四川遂宁·中考真题）若关于x的不等式组有且只有三个整数解，则m的取值范围是______．
5．（2020·黑龙江鸡西·中考真题）若关于的一元一次不等式组有个整数解，则的取值范围是______．
1．（2020·山东德州·中考真题）若关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2020·黑龙江鹤岗·中考真题）若关于的一元一次不等式组的解是，则的取值范围是_______．
3．（2020·四川内江·中考真题）若数a使关于x的分式方程的解为非负数，且使关于y的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数a的积为_____________
4．（2019·云南中考真题）若关于x的不等式组的解集为x＞a，则a的取值范围是( )
A．a＜2B．a≤2C．a＞2D．a≥2
5．（2019·内蒙古·中考真题）已知不等式组的解集为，则的取值范围是_____．
1．（2019·湖南永州·中考真题）若关于x的不等式组有解，则在其解集中，整数的个数不可能是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（2019·广西百色·中考模拟）若不等式组有解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2019·重庆）使得关于x的不等式组有解，且使分式方程有非负整数解的所有的m的和是（ ）
A．﹣1B．2C．﹣7D．0
4．（2018·江苏高淳·中考模拟）若不等式组有解，则k的取值范围是（ ）
A．k＜2B．k≥2C．k＜1D．1≤k＜2
1．（2020·山东滨州·中考真题）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围为________．
2．（2019·山东聊城·中考真题）若不等式组无解，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（广西贵港·中考真题）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（ ）
A．a≤﹣3B．a＜﹣3C．a＞3D．a≥3
4．（湖北恩施·中考真题）关于的不等式组无解，那么的取值范围为( )
A．B．C．D．
1．（2020·河南中考真题）已知关于的不等式组，其中在数轴上的对应点如图所示，则这个不等式组的解集为__________．
2．（2020·四川绵阳·中考真题）若不等式＞﹣x﹣的解都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，则实数m的取值范围是_______．
3．（2019·黑龙江中考真题）已知x=4是不等式ax-3a-1＜0的解，x=2不是不等式ax-3a-1＜0的解，则实数a的取值范围是____．
4．（2019·辽宁丹东·中考真题）关于x的不等式组的解集是2＜x＜4，则a的值为_____．
题型12 不等式（组）中的新定义问题
1．（2020·湖南张家界·中考真题）阅读下面的材料：对于实数，我们定义符号的意义为：当时，；当时，，如：．根据上面的材料回答下列问题：（1）______；（2）当时，求x的取值范围．
2．（2019·四川凉山·中考真题）根据有理数乘法（除法）法则可知：①若（或），则或；②若（或），则或．
根据上述知识，求不等式的解集:
解：原不等式可化为：（1）或（2）．
由（1）得，，由（2）得，，∴原不等式的解集为：或
请你运用所学知识，结合上述材料解答下列问题：
（1）不等式的解集为 ．（2）求不等式的解集（要求写出解答过程）
3．（2019·江苏扬州·中考真题）已知n正整数，若一个三角形的三边长分别是n+2、n+8、3n，则满足条件的n的值有( )
A．4个B．5个C．6个D．7个
4．（2019·贵州黔东南·中考真题）某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：
对于三个实，数，，，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数，例如=4，，．请结合上述材料，解决下列问题：
（1）①_____，②_____；
（2）若，则的取值范围为_____；
（3）若，求的值；（4）如果，求的值．
5．（2019·山东济南·中考真题）定义：[x]表示不大于x的最大整数，例如：[2.3]＝2，[1]＝1．有以下结论：
①[﹣1.2]＝﹣2；②[a﹣1]＝[a]﹣1；③[2a]＜[2a]+1；④存在唯一非零实数a，使得a2＝2[a]．
其中正确的是_____．（写出所有正确结论的序号）
6．（2019·山东德州·中考真题）已知：表示不超过的最大整数．例：，．现定义：，例：，则______．
7．（2019·湖北荆州·中考真题）对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则．如，．若，则实数的取值范围是__________．
8．（2019·北京中考真题）小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：
①将诗词分成4组，第i组有首，i =1，2，3，4；
②对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第（）天背诵第二遍，第（）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，1，2，3，4；
③每天最多背诵14首，最少背诵4首．解答下列问题：（1）填入补全上表；（2）若，，，则的所有可能取值为______；（3）7天后，小云背诵的诗词最多为______首．
变形名称
具体做法
去分母
在方程两边都乘以各分母的最小公倍数
去括号
先去小括号，再去中括号，最后去大括号
移项
把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边
合并同类项
把方程化成的形式
系数化成1
在方程两边都除以未知数的系数，得到方程的解为
理论依据
式子表示
性质1
不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变
若，则
性质2
不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
若，，则或
性质3
不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
若，，则或
不等式组
（其中）
数轴表示
解集
口诀
同大取大
同小取小
大小、小大中间找
无解
大大、小小取不了
鞋号（正整数）
22
23
24
25
26
27
……
脚长（毫米）
……
序号n
1
2
3
4
5
6
……
鞋号
22
23
24
25
26
27
……
脚长
……
脚长
160
165
170
175
180
185
……
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
第7天
第1组
第2组
第3组
第4组
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