人教版新课标A必修33.3.2均匀随机数的产生精品教案设计

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Qeq \(\s\up7(情景引入),\s\d5(ing jing yin ru ))
如图，在长为4、宽为2的矩形中有一个以矩形的长为直径的半圆，试用随机模拟法近似计算半圆面积，并估计π值．
Xeq \(\s\up7(新知导学),\s\d5(in zhi da xue ))
1．均匀随机数的定义
如果试验的结果是区间[a，b]内的任何一个实数，而且出现任何一个实数是__等可能的__，则称这些实数为均匀随机数．
2．均匀随机数的特征
(1)随机数是在__一定范围__内产生的．
(2)在这个范围内的每一个数被取到的可能性__相等__．
3．均匀随机数的产生
(1)计算器产生区间[0，1]上的均匀随机数的函数是__RAND__．
(2)Excel软件产生区间[0，1]上的均匀随机数的函数为“__rand(__)__”．
(3)产生方法：①由几何概型产生；②由转盘产生；③由__计算器__或__计算机__产生．
4．用模拟方法近似计算某事件概率的方法
(1)试验模拟法：
做两个转盘模型，进行模拟试验，并统计试验效果，进行近似计算．
(2)计算机模拟法：
用Excel软件产生[0，1]上的均匀随机数进行模拟，注意操作步骤．
Yeq \(\s\up7(预习自测),\s\d5(u xi zi ce ))
1．下列关于随机数的说法：
①计算器只能产生(0，1)之间的随机数；
②计算器能产生指定两个整数值之间的均匀随机数；
③计算器只能产生均匀随机数；
④我们通过命令rand( )*(b－a)＋a来得到两个整数值之间的随机数．
其中正确的是__④__．
[解析]
2．下列说法中，与均匀随机数特点不符的是( D )
A．它是[0，1]内的任何一个实数
B．它是一个随机数
C．出现的每一个实数是等可能的
D．是随机数的平均数
[解析] 均匀随机数的均匀是“等可能”的意思，并不是“随机数的平均数”．
3．将[0，1]内的均匀随机数转化为[－2，6]内的均匀随机数，需实施的变换为( C )
A．a＝a1*8B．a＝a1*8＋2
C．a＝a1*8－2D．a＝a1*6
[解析] 将0～1之间的随机数转化为a～b之间的随机数需进行的变化为a＝a1*(b－a)＋a．
4．用计算器产生一个区间[10，20]内的随机数a(a∈R)，则这个实数a<14的概率为( A )
A．eq \f(2,5) B．eq \f(3,5)
C．eq \f(1,5) D．eq \f(1,2)
[解析] 因为区间[10，20]内有无数个实数，且取任一实数概率是相等的，符合几何概型的条件．又a<14，从而区间长度为4，故所求的概率为eq \f(4,10)＝eq \f(2,5)．
Heq \(\s\up7(互动探究解疑 ),\s\d5(u dng tan jiu jie yi ))
命题方向1 ⇨用随机模拟方法估计长度型几何概型的概率
典例1 取一根长度为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，用随机模拟的方法计算剪得两段的长都不小于1 m的概率．
[分析] 在任意位置剪断绳子，则剪断位置到某一端点的距离取遍[0，3]内的任意数，并且取到每一个实数都是等可能的．因此在任意位置剪断绳子的所有结果(基本事件)对应[0，3]上的均匀随机数，其中取得的[1，2]内的随机数就表示剪断位置与端点距离在[1，2]内，也就是剪得两段的长都不小于1 m．这样取得的[1，2]内的随机数个数与[0，3]内的随机数个数之比就是事件发生的频率．
[解析] 解法一：设“剪得两段长都不小于1 m”为事件A．
(1)利用计算器或计算机产生一组[0，1]的均匀随机数a1＝RAND．
(2)经过伸缩变换，a＝3a1．
(3)统计出[1，2]内随机数的个数N1和[0，3]内随机数的个数N．
(4)计算频率fn(A)＝eq \f(N1,N)即为概率P(A)的近似值．
解法二：做一个带有指针的圆盘，把圆周三等分，标上刻度[0，3](这里3和0重合)．转动圆盘记下指针指在[1，2](表示剪断绳子位置在[1，2]范围内)的次数N1及试验总次数N，则fn(A)＝eq \f(N1,N)即为概率P(A)的近似值．
『规律总结』 用随机模拟方法估计长度型几何概型的概率的步骤：(1)利用计算器或计算机产生一组[0，1]上的均匀随机数a1＝RAND；
(2)经过伸缩变换y＝(b－a)x＋a，得到一组[a，b]上的均匀随机数；
(3)统计出试验总次数N和满足所求概率事件的随机数个数N1；
(4)计算频率fn(A)＝eq \f(N1,N)，即为所求概率的近似值．
〔跟踪练习1〕
取一根长度为5 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，用均匀随机模拟方法估计剪得两段的长都不小于2 m的概率有多大？
[解析] 设剪得两段的长都不小于2 m为事件A．
解法一：①利用计算器或计算机产生n个0～1之间的均匀随机数，x＝RAND．
②作伸缩变换：y＝x*(5－0)，转化为[0，5]上的均匀随机数．
③统计出[2，3]内均匀随机数的个数m．
④则概率P(A)的近似值为eq \f(m,n)．
解法二：①做一个带有指针的转盘，把圆周五等分，标上刻度[0，5](这里5和0重合)．
②固定指针转动转盘或固定转盘旋转指针，记下指针在[2，3]内(表示剪断绳子位置在[2，3]范围内)的次数m及试验总次数n．
③则概率P(A)的近似值为eq \f(m,n)．
命题方向2 ⇨用随机模拟方法估计面积型几何概型的概率
典例2 解放军某部进行特种兵跳伞演习，如图所示，在长为16 m，宽为14 m的矩形内有大、中、小三个同心圆，其半径分别为1 m，2 m，5 m．若着陆点在圆环B内，则跳伞成绩为合格；若着陆点在环状的阴影部分，则跳伞成绩为良好；若跳伞者的着陆点在小圆A内，则跳伞成绩为优秀；否则为不合格．若一位特种兵随意跳下，假设他的着陆点在矩形内，利用随机模拟的方法求他的成绩为良好的概率．
[分析] 本题为面积型几何概型，所求的概率为面积之比，若用随机模拟的方法求其概率则要转化为求点数之比，要表示平面图形内的点必须有两个坐标，故需产生两组随机数来表示点的坐标以确定点的位置．
[解析] 设事件A表示“该特种兵跳伞的成绩为良好”．
(1)利用计算器或计算机产生两组[0，1]上的均匀随机数，a1＝RAND， b1＝RAND．
(2)经过伸缩和平移变换，a＝16a1－8，6＝14b1－7，得到[－8，8]与[－7，7]上的均匀随机数．
(3)统计满足－8(4)计算频率fn(A)＝eq \f(N1,N)即为所求概率的近似值．
『规律总结』 用随机模拟方法估计长度型与面积型几何概型的概率的区别与联系：
(1)联系：二者模拟试验的方法和步骤基本相同，都需产生随机数；
(2)区别：长度型几何概型只要产生一组均匀随机数即可，所求事件的概率为表示事件的长度之比，对面积型几何概型问题，一般需要确定点的位置，而一组随机数是不能在平面上确定点的位置的，故需要利用两组均匀随机数分别表示点的两个坐标，从而确定点的位置，所求事件的概率为点的个数比．
〔跟踪练习2〕
在本例中，如何利用随机模拟的方法求该特种兵的成绩为不合格的概率．
[解析] 设事件A表示“该特种兵跳伞的成绩不合格”．
(1)利用计算器或计算机产生两组[0，1]上的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND．
(2)经过伸缩和平移变换，a＝16a1－8，b＝14b1－7，得到[－8，8]与[－7，7]上的均匀随机数．
(3)统计满足－825的点(a，b)的个数N1．
(4)计算频率fn(A)＝eq \f(N1,N)即为所求概率的近似值．
Yeq \(\s\up7(易混易错警示),\s\d5(i hun yi cu jing shi ))
典例3 用计算器或计算机产生20个[0，1]之间的随机数x，但是基本事件都在区间[－1，3]上，则需要经过的线性变换是( )
A．y＝3x－1 B．y＝3x＋1
C．y＝4x＋1 D．y＝4x－1
[错解] C 因为随机数x∈[0，1]而基本事件都在[－1，3]上，其长度为4．
由平移变换得y＝4x＋1，故选C．
[辨析] 错误的根本原因是没有求出函数的定义域．实际上本题函数的定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数．正确解答过程如下：
[正解] D 因为随机数x∈[0，1]，而基本事件都在区间[－1，3]上，其区间长度为4，所以把x变成4x，因为区间左端值为－1，所以4x再变为4x－1，故变换公式为y＝4x－1，故选D．
Xeq \(\s\up7(学科核心素养),\s\d5(ue ke he xin su yang)) 估计不规则图形的面积
利用随机模拟法和几何概型的概率公式可以估计不规则图形的面积．
典例4 利用随机模拟方法计算图中阴影部分(曲线y＝2x与x轴、x＝±1围成的部分)的面积．
[分析] 在坐标系中画出正方形，用随机模拟方法可以求出阴影部分与正方形的面积之比，从而求得阴影部分面积的近似值．
[解析] 步骤：(1)利用计算机产生两组[0，1]内的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND．
(2)进行平移和伸缩变换，a＝2(a1－0.5)，b＝2b1，得到一组[－1，1]内的均匀随机数和一组[0，2]内的均匀随机数．
(3)统计试验总数N和落在阴影内的点数N1[满足条件b<2a的点(a，b)的个数]．
(4)计算频率eq \f(N1,N)，即为点落在阴影部分的概率的近似值．
(5)用几何概率公式求得点落在阴影部分的概率为P＝eq \f(S,4)，则eq \f(N1,N)＝eq \f(S,4)．
故S＝eq \f(4N1,N)，即阴影部分面积的近似值为eq \f(4N1,N)．
『规律总结』 用随机模拟法近似计算不规则图形的面积方法揭秘：
(1)用随机模拟试验估计不规则图形的面积的基本思想是，构造一个包含这个图形的规则图形作为参照，通过计算机产生某区间内的均匀随机数，再利用两个图形的面积之比近似等于分别落在这两个图形区域内的均匀随机点的个数之比来解决．
(2)解决此类问题的关键是利用随机模拟法和几何概型的概率公式分别求出几何概率，然后通过解方程求得相应部分面积的近似值．
(3)对于较复杂的问题通常需要设计一个图形，使其面积与某个常数有关，进而就可以设计一个概率模型，然后设计适当的试验并通过这个试验结果来确定所求面积的近似值．
Keq \(\s\up7(课堂达标验收),\s\d5(e tang da bia yan shu))
1．关于随机模拟方法，下列说法正确的是( D )
A．比扔豆子试验更精确
B．所获得的结果比较精确
C．可以用来求平面图形面积的精确值
D．是用计算器或计算机模拟实际的实验操作
2．将区间[0，1]内的均匀随机数x1转化为区间[－2，2]内的均匀随机数x，需要实施的变换为( D )
A．x＝x1×2 B．x＝x1×4
C．x＝x1×2＋2D．x＝x1×4－2
[解析] 因为x1∈[0，1]，
所以0≤4x1≤4，－2≤4x1－2≤2，
所以x＝x1×4－2满足题意．
3．设x1是[0，1]内的均匀随机数，x2是[－2，1]内的均匀随机数，则x1与x2的关系是__x2＝3x1－2__．
[解析] ∵[－2，1]的区间长度是[0，1]的区间长度的3倍，因此设x2＝3x1＋b(b是常数)，取两个区间中点的对应值，当x1＝eq \f(1,2)时，x2＝－eq \f(1,2)，∴－eq \f(1,2)＝3×eq \f(1,2)＋b，解得b＝－2，因此x1，x2的关系是x2＝3x1－2．
4．在一个盒中装有10支圆珠笔，其中7支一级品，3支二级品，任取1支，求取得一级品的概率．
[解析] 一级品和二级品的数量不相等，所以抽取时得到一级品还是二级品的可能性不同，但是每支笔被取到的可能性相等，我们可以用1～10内的整数随机数x表示抽取圆珠笔．用1～7内的整数随机数x表示一级品，用8～10内的整数随机数x表示二级品．
设事件A＝“取得一级品”
(1)用计算器的随机函数RANDI(1，10)或计算机的随机函数RANDBETWEEN(1，10)产生1到10之间的整数随机数，分别用1，2，3，4，5，6，7表示取得一级品，用8，9，10表示取得二级品；
(2)统计试验总次数N及其中出现1～7之间的数的次数N1；
(3)计算频率fn(A)＝N1/N即为事件A的概率的近似值．题号
判断
原因分析
①
×
计算器可以产生[0，1]上的均匀随机数和[a，b]上的整数值随机数等
②
×
计算器不可以产生[a，b]上的均匀随机数，只能通过线性变换得到
③
×
计算器可以产生整数值随机数
④
√
显然正确