高中数学第二章 数列综合与测试同步达标检测题

专题强化练2　数列通项公式的求法

一、选择题

1.(★★☆)数列,,2,,…的通项公式是an=(　　)　　　 　　　　　 　　　　　

A. B.

C. D.

2.(2018福建三明高三质量检测,★★☆)若Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=2an-2,则S8=(　　)

A.255 B.256 C.510 D.511

3.(★★☆)在数列{an}中,已知a1=2,an=(n≥2),则an=(　　)

A. B. C. D.

4.(★★☆)已知数列{an}中,前n项和为Sn,且Sn=·an,则的最大值为(　　)

A.-3 B.-1 C.3 D.1

5.(★★★)已知数列{an}满足a1=2,an+1=,则数列{an}的通项公式为an=(　　)

A.2n-1 B.2n-1 C. D.n2

二、填空题

6.(2020黑龙江东南联合体高一期末,★★☆)设Sn为数列{an}的前n项和,若Sn=则数列{an}的通项公式为　　　　　. 

7.(★★☆)在数列{an}中,a1=1,an=an-1(n≥2),则数列{an}的通项公式是　　　　.

8.(★★☆)数列{an}满足an+1=3an+1,且a1=1,则数列{an}的通项公式an=　　　　.

三、解答题

9.(★★☆)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=,an=-2SnSn-1(n≥2),求数列{an}的通项公式.

10.(★★☆)(1)已知数列{an}中,an+1=,a1=2,求{an}的通项公式;

(2)已知数列{an}满足an+1=3an+2×3n+1,a1=3,求数列{an}的通项公式.

11.(2020湖北荆州中学、宜昌一中高二期末联考,★★★)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-,bn=an-.

(1)证明数列{bn}为等比数列,并求出数列{an}的通项公式;

(2)是否存在实数λ,对任意m,n∈N*,不等式Sm>恒成立?若存在,求出λ的取值范围;若不存在,请说明理由.

答案全解全析

专题强化练2　数列通项公式的求法

一、选择题

1.B　统一数列各项表达式,可化为,,,,…,

所以数列的通项公式为an=,故选B.

2.C　由题意知,当n=1时,a1=2a1-2,即a1=2;

当n≥2时,Sn=2an-2,Sn-1=2an-1-2,

两式作差,可得an=2an-2an-1,即an=2an-1,

所以数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列,

所以其前8项和S8==29-2=512-2=510.故选C.

3.B　将等式an=两边取倒数得=+,即-=(n≥2),所以是公差为的等差数列,又=,所以根据等差数列的通项公式,可得=+(n-1)×=,即an=,故选B.

4.C　由Sn=an得,当n≥2时,Sn-1=an-1,

两式作差,可得an=Sn-Sn-1=an-·an-1,整理得==1+,

由此可得,当n=2时,取得最大值,其最大值为3.

5.C　在等式an+1=两边取常用对数,得lg an+1=2lg an,即=2,

所以数列{lg an}是以lg 2为首项,2为公比的等比数列,

所以lg an=2n-1×lg 2=lg ,所以an=,故选C.

二、填空题

6.答案　an=

解析　由题意知,当n=1时,a1=S1=8;当n≥2,n∈N*时,an=Sn-Sn-1=4n-4n-1=3×4n-1,经检验,n=1时不符合上式,所以an=

7.答案　an=

解析　∵an=an-1(n≥2),∴an-1=·an-2,……,a2=a1,以上n-1个式子左右分别相乘,得an=a1···…·==(n≥2).当n=1时,a1=1也适合上式,∴an=.

8.答案　(3n-1)

解析　由题意an+1=3an+1可得an+1+=3,所以是以a1+=为首项,3为公比的等比数列,所以an+=×3n-1,即an=(3n-1).

三、解答题

9.解析　∵an=-2SnSn-1(n≥2),

又an=Sn-Sn-1,

∴Sn-Sn-1=-2SnSn-1,∴-=2(n≥2),又==2,

∴是以2为首项,2为公差的等差数列.

∴=2+(n-1)×2=2n,∴Sn=.

∴当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=-,

又a1=,不符合上式,∴数列{an}的通项公式为an=

10.解析　(1)由an+1=得=,即=+.设bn=,

则bn+1=bn+,∴bn=bn-1+(n≥2),∴bn-bn-1=,bn-1-bn-2=,bn-2-bn-3=,……,b3-b2=,b2-b1=,

∴bn=++…++=,

∴an=.

(2)an+1=3an+2×3n+1两边同时除以3n+1,得=++,

则-=+,

故=++-+…++=+++…++=++++…++1,

因此=++1=+-,

则an=×n×3n+×3n-=×3n-.

11.解析　(1)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an--,即an=2an-1-,

所以===2.

所以数列{bn}是公比为2的等比数列.

当n=1时,S1=2a1-,所以a1=,b1=a1-=3,所以bn=3·2n-1=an-,所以an=+3·2n-1.

(2)假设存在实数λ,对任意m,n∈N*,Sm>恒成立.

由(1)得bn=3·2n-1>0,所以不等式Sm>恒成立等价于Sm·bn>λ恒成立,等价于(Sm·bn)min>λ.

Sm=3·+3(20+21+…+2m-1)

=3·+3·=3·2m-.

因为函数Sm=3·2m-为单调增函数,所以(Sm)min=S1=.因为函数bn=3·2n-1为增函数,所以(bn)min=b1=3.

所以λ<(Sm·bn)min=.