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重难点6-1 数列通项公式求法6大题型-高考数学专练（新高考专用）
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重难点6-1 数列通项公式求法6大题型
数列的通项公式求法是高考数学的必考考点，通常在选择题、填空题与解答题第一问中考查。难度中等，但有时在同一个题目中会涉及到多种方法综合性较强。
一、利用与的关系求通项公式
1、利用求通项时，要注意检验时的情况。
已知求的三个步骤：
（1）先利用求出.
（2）用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式．
（3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，
如果符合，则可以把数列的通项公式合写；
如果不符合，则应该分与两段来写．
2、已知数列的前n项和的相关条件求数列通项公式的基本思路是两个：
（1） 将和转化为项,即利用将和转化为项.
（2）可将条件看作是数列的递推公式，先求出，然后题目即转化为已知数列的前n项和，求数列通项公式．
二、累加法求通项
1、适用于：…………这是广义的等差数列
2、若
则；……，，
两边分别相加得：
三、累乘法求通项
1、适用于：…………这是广义的等比数列
2、若，
则，，……，，，
两边分别相乘得：
四、构造法求通项
对于不满足，，形式的数列常采用构造法，对所给的递推公式进行变形构造等差数列或等比数列进行求解，常用方法如下：
1、形如型
①若时，数列为等差数列；
②若时，数列为等比数列；
③若，时，数列为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求。
（1）待定系数法：设，得，
与题设比较系数得：，所以
所以有：
因此数列构成以为首项，以为公比的等比数列。
（2）逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系中把换成
有，两式相减有：，从而化为公比为的等比数列，进而求得通项公式，
再利用累加法即可求得通项公式。我们可以看到此方法比较复杂。
2、形如：（其中是常数，且）
①若时，即：累加即可。
②若时，即：求通项方法有以下三种方法：
（1）两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列，即：，
令，则，然后累加法求通项。
（2）两边除以.目的是把所求数列构造成等比数列，即：，
令，则可化为，然后待定系数法求通项即可。
（3）待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列
设，通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项。
注意：应用待定系数法时，要求，否则待定系数法会失效。
3、形如（其中，是常数，且）
（1）逐项相减法（阶差法）
（2）待定系数法 通过配凑可转化为
解题基本步骤：
①确定
②设等比数列，公比为
③列出关系式，即
④比较系数求，
⑤解得数列的通项公式，并得出数列的通项公式。
【题型1 公式法求通项】
【例1】（2023春·江苏南京·高三校联考阶段练习）已知数列是等差数列，且，将去掉一项后，剩下三项依次为等比数列的前三项，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）南宋数学家杨辉在《解析九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项之差成等差数列．现有一高阶等差数列，其前7项分别为1，2，4，7，11，16，22，则该数列的第100项为（ ）
A．4 923 B．4 933 C．4 941 D．4 951
【变式1-2】（2023春·河南洛阳·高三栾川县第一高级中学校考开学考试）在正项数列中，，前项和满足，则（ ）
A．72 B．80 C．90 D．82
【变式1-3】（2023春·湖北·高三统考阶段练习）图是第七届国际数学教育大会的会徽图案，会徽的主体图案是由如图所示的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图中的直角三角形继续作下去，记，，，的长度构成的数列为，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式1-4】（2023·河南安阳·安阳一中校联考模拟预测）在数列中，且，（ ）
A．0 B．1300 C．2600 D．2650
【变式1-5】（2023·全国·高三专题练习）已知是首项为2，公比为的等比数列，且的前项和为，若也为等比数列，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-6】（2023·河南平顶山·叶县高级中学校联考模拟预测）若是等比数列，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【题型2 Sn与an关系求通项】
【例2】（2023·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测）已知数列的前项和为，，点在曲线上，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）数列的前项和为，则数列的前项和为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考二模）数列的前n项和为，对一切正整数n，点在函数的图象上，（且），则数列的前n项和为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2023·北京东城·统考一模）已知数列各项均为正数，，为其前n项和.若是公差为的等差数列，则______，______.
【变式2-4】（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且是和的等差中项.用表示不超过的最大整数，设，则数列的通项公式是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-4】（2023·陕西商洛·统考一模）设数列的前n项和为，且，，则的最小值是___________.
【题型3 累加法求通项】
【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则的通项为( )
A． B．
C． D．
【变式3-1】（2023·新疆阿克苏·校考一模）南宋数学家杨辉在《解析九章算法》中提出了垛积问题，涉及逐项差数之差或者高次差成等差数列的高阶等差数列.现有一个高阶等差数列的前6项分别为，则该数列的第18项为（ ）
A．172 B．183 C．191 D．211
【变式3-2】（2022秋·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考期中）已知数列满足，为其前n项和，则不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2023春·河北·高三统考阶段练习）（多选）数列满足是的前项和，则下列说法正确的是（ ）
A．是等差数列
B．
C．是数列的最大项
D．对于两个正整数的最大值为10
【题型4 累乘法求通项】
【例4】（2023秋·河南三门峡·高三统考期末）设数列中，若等比数列满足，且，则______.
【变式4-1】（2023秋·辽宁葫芦岛·高三葫芦岛第一高级中学校考期末）在数列中，，，则数列的通项公式为______.
【变式4-2】（2023·江西南昌·统考一模）已知正项数列满足a1=1，a2=2，a4=64，且．
（1）求k的值；
（2）求数列的通项公式．
【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为.求数列的通项公式；
【变式4-4】（2023·全国·高三专题练习）在数列中，，其前项和满足求数列的通项公式；
【题型5 构造法求通项】
【例5】（2022春·河南·高三校联考阶段练习）已知数列满足关系：，当时，，则（ ）
A．31 B．15 C． D．
【变式5-1】（2022秋·河北保定·高三河北省唐县第一中学校考期中）若，，则________；
【变式5-2】（2023·全国·高三专题练习）若是数列的前n项和，已知，,且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则=（ ）
A．80 B．100 C．120 D．143
【变式5-4】（2023·全国·高三专题练习）若数列和满足，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-5】（2023·河南安阳·安阳一中校联考模拟预测）已知数列有递推关系
（1）记若数列的递推式形如且，也即分子中不再含有常数项，求实数的值；
（2）求的通项公式.
【题型6 倒数法求通项】
【例6】（2023·全国·高三专题练习）已知数列的首项，且各项满足公式，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2023秋·贵州贵阳·高三统考期末）已知数列满足，若，则__________．
【变式6-2】（2023·高三课时练习）在数列中，已知，，则的通项公式为______．
【变式6-3】（2023春·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）已知数列中，，，则数列的前10项和（ ）
A． B． C． D．2
（建议用时：60分钟）
1．（2022秋·宁夏·高三六盘山高级中学校考期末）已知为数列的前项和，，，则（ ）
A．1011 B．2022 C．3033 D．4044
2．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《解析九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列.以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为：2，3，6，11，则该数列的第15项为（ ）
A．196 B．197 C．198 D．199
3．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知是数列的前n项和，且对任意的正整数n，都满足：，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·河北·高三统考阶段练习）已知数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·广东梅州·统考一模）某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列重新编辑，编辑新序列为，它的第项为，若序列的所有项都是2，且，，则（ ）
A． B． C．. D．
6．（2023秋·四川成都·高三石室中学校考阶段练习）已知数列中，，若，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·山东日照·统考一模）已知数列的前项和为，且满足，，设，若存在正整数，使得，，成等差数列，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2023春·河南郑州·高三安阳一中校联考阶段练习）已知正项数列 中，，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·河南郑州·统考二模）已知正项数列的前n项和为，且，，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·山东潍坊·校考一模）已知是数列的前项和，且，（），则下列结论正确的是（ ）
A．数列为等比数列 B．数列为等比数列
C． D．
11．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知数列满足,,则（ ）
A． B． C．数列为递增数列 D．数列为递减数列
12．（2023·江苏宿迁·江苏省沭阳高级中学校考模拟预测）（多选）设是数列的前n项和，且，，则（ ）
A． B．数列是公差为的等差数列
C．数列的前5项和最大 D．
13．（2022秋·湖南岳阳·高三校考阶段练习）（多选）设首项为1的数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（ ）
A．数列为等比数列 B．数列的通项公式为
C．数列为等比数列 D．数列的前n项和为
14．（2022·辽宁沈阳·沈阳二十中校考一模）（多选）设正数列的前n项和为，满足，则下列说法不正确的是（ ）
A． B． C． D．
15．（2023·高三课时练习）已知数列满足，，且，则的最大值为______．
16．（2023·高三课时练习）在数列中，若，，，则数列的通项公式为______．
17．（2023春·河南安阳·高三安阳一中校联考阶段练习）已知数列满足， ，则______.
18．（2023·全国·深圳中学校联考模拟预测）已知数列的前n项和，则数列的通项公式为__________．
19．（2023·山东青岛·统考一模）已知等差数列的前n项和为，公差，，，成等差数列，，，成等比数列．
（1）求；
（2）记数列的前n项和为，，证明数列为等比数列，并求的通项公式．
20．（2023·辽宁朝阳·校联考一模）已知数列的前项和为，数列满足，且
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的通项公式；
（3）对于，试比较与的大小.
重难点6-1 数列通项公式求法6大题型
数列的通项公式求法是高考数学的必考考点，通常在选择题、填空题与解答题第一问中考查。难度中等，但有时在同一个题目中会涉及到多种方法综合性较强。
一、利用与的关系求通项公式
1、利用求通项时，要注意检验时的情况。
已知求的三个步骤：
（1）先利用求出.
（2）用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式．
（3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，
如果符合，则可以把数列的通项公式合写；
如果不符合，则应该分与两段来写．
2、已知数列的前n项和的相关条件求数列通项公式的基本思路是两个：
（1） 将和转化为项,即利用将和转化为项.
（2）可将条件看作是数列的递推公式，先求出，然后题目即转化为已知数列的前n项和，求数列通项公式．
二、累加法求通项
1、适用于：…………这是广义的等差数列
2、若
则；……，，
两边分别相加得：
三、累乘法求通项
1、适用于：…………这是广义的等比数列
2、若，
则，，……，，，
两边分别相乘得：
四、构造法求通项
对于不满足，，形式的数列常采用构造法，对所给的递推公式进行变形构造等差数列或等比数列进行求解，常用方法如下：
1、形如型
①若时，数列为等差数列；
②若时，数列为等比数列；
③若，时，数列为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求。
（1）待定系数法：设，得，
与题设比较系数得：，所以
所以有：
因此数列构成以为首项，以为公比的等比数列。
（2）逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系中把换成
有，两式相减有：，从而化为公比为的等比数列，进而求得通项公式，
再利用累加法即可求得通项公式。我们可以看到此方法比较复杂。
2、形如：（其中是常数，且）
①若时，即：累加即可。
②若时，即：求通项方法有以下三种方法：
（1）两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列，即：，
令，则，然后累加法求通项。
（2）两边除以.目的是把所求数列构造成等比数列，即：，
令，则可化为，然后待定系数法求通项即可。
（3）待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列
设，通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项。
注意：应用待定系数法时，要求，否则待定系数法会失效。
3、形如（其中，是常数，且）
（1）逐项相减法（阶差法）
（2）待定系数法 通过配凑可转化为
解题基本步骤：
①确定
②设等比数列，公比为
③列出关系式，即
④比较系数求，
⑤解得数列的通项公式，并得出数列的通项公式。
【题型1 公式法求通项】
【例1】（2023春·江苏南京·高三校联考阶段练习）已知数列是等差数列，且，将去掉一项后，剩下三项依次为等比数列的前三项，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）南宋数学家杨辉在《解析九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项之差成等差数列．现有一高阶等差数列，其前7项分别为1，2，4，7，11，16，22，则该数列的第100项为（ ）
A．4 923 B．4 933 C．4 941 D．4 951
【变式1-2】（2023春·河南洛阳·高三栾川县第一高级中学校考开学考试）在正项数列中，，前项和满足，则（ ）
A．72 B．80 C．90 D．82
【变式1-3】（2023春·湖北·高三统考阶段练习）图是第七届国际数学教育大会的会徽图案，会徽的主体图案是由如图所示的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图中的直角三角形继续作下去，记，，，的长度构成的数列为，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式1-4】（2023·河南安阳·安阳一中校联考模拟预测）在数列中，且，（ ）
A．0 B．1300 C．2600 D．2650
【变式1-5】（2023·全国·高三专题练习）已知是首项为2，公比为的等比数列，且的前项和为，若也为等比数列，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-6】（2023·河南平顶山·叶县高级中学校联考模拟预测）若是等比数列，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【题型2 Sn与an关系求通项】
【例2】（2023·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测）已知数列的前项和为，，点在曲线上，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）数列的前项和为，则数列的前项和为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考二模）数列的前n项和为，对一切正整数n，点在函数的图象上，（且），则数列的前n项和为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（2023·北京东城·统考一模）已知数列各项均为正数，，为其前n项和.若是公差为的等差数列，则______，______.
【变式2-4】（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且是和的等差中项.用表示不超过的最大整数，设，则数列的通项公式是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-4】（2023·陕西商洛·统考一模）设数列的前n项和为，且，，则的最小值是___________.
【题型3 累加法求通项】
【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则的通项为( )
A． B．
C． D．
【变式3-1】（2023·新疆阿克苏·校考一模）南宋数学家杨辉在《解析九章算法》中提出了垛积问题，涉及逐项差数之差或者高次差成等差数列的高阶等差数列.现有一个高阶等差数列的前6项分别为，则该数列的第18项为（ ）
A．172 B．183 C．191 D．211
【变式3-2】（2022秋·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考期中）已知数列满足，为其前n项和，则不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2023春·河北·高三统考阶段练习）（多选）数列满足是的前项和，则下列说法正确的是（ ）
A．是等差数列
B．
C．是数列的最大项
D．对于两个正整数的最大值为10
【题型4 累乘法求通项】
【例4】（2023秋·河南三门峡·高三统考期末）设数列中，若等比数列满足，且，则______.
【变式4-1】（2023秋·辽宁葫芦岛·高三葫芦岛第一高级中学校考期末）在数列中，，，则数列的通项公式为______.
【变式4-2】（2023·江西南昌·统考一模）已知正项数列满足a1=1，a2=2，a4=64，且．
（1）求k的值；
（2）求数列的通项公式．
【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为.求数列的通项公式；
【变式4-4】（2023·全国·高三专题练习）在数列中，，其前项和满足求数列的通项公式；
【题型5 构造法求通项】
【例5】（2022春·河南·高三校联考阶段练习）已知数列满足关系：，当时，，则（ ）
A．31 B．15 C． D．
【变式5-1】（2022秋·河北保定·高三河北省唐县第一中学校考期中）若，，则________；
【变式5-2】（2023·全国·高三专题练习）若是数列的前n项和，已知，,且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则=（ ）
A．80 B．100 C．120 D．143
【变式5-4】（2023·全国·高三专题练习）若数列和满足，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-5】（2023·河南安阳·安阳一中校联考模拟预测）已知数列有递推关系
（1）记若数列的递推式形如且，也即分子中不再含有常数项，求实数的值；
（2）求的通项公式.
【题型6 倒数法求通项】
【例6】（2023·全国·高三专题练习）已知数列的首项，且各项满足公式，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2023秋·贵州贵阳·高三统考期末）已知数列满足，若，则__________．
【变式6-2】（2023·高三课时练习）在数列中，已知，，则的通项公式为______．
【变式6-3】（2023春·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）已知数列中，，，则数列的前10项和（ ）
A． B． C． D．2
（建议用时：60分钟）
1．（2022秋·宁夏·高三六盘山高级中学校考期末）已知为数列的前项和，，，则（ ）
A．1011 B．2022 C．3033 D．4044
2．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《解析九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列.以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为：2，3，6，11，则该数列的第15项为（ ）
A．196 B．197 C．198 D．199
3．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知是数列的前n项和，且对任意的正整数n，都满足：，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·河北·高三统考阶段练习）已知数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·广东梅州·统考一模）某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列重新编辑，编辑新序列为，它的第项为，若序列的所有项都是2，且，，则（ ）
A． B． C．. D．
6．（2023秋·四川成都·高三石室中学校考阶段练习）已知数列中，，若，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·山东日照·统考一模）已知数列的前项和为，且满足，，设，若存在正整数，使得，，成等差数列，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2023春·河南郑州·高三安阳一中校联考阶段练习）已知正项数列 中，，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·河南郑州·统考二模）已知正项数列的前n项和为，且，，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·山东潍坊·校考一模）已知是数列的前项和，且，（），则下列结论正确的是（ ）
A．数列为等比数列 B．数列为等比数列
C． D．
11．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知数列满足,,则（ ）
A． B． C．数列为递增数列 D．数列为递减数列
12．（2023·江苏宿迁·江苏省沭阳高级中学校考模拟预测）（多选）设是数列的前n项和，且，，则（ ）
A． B．数列是公差为的等差数列
C．数列的前5项和最大 D．
13．（2022秋·湖南岳阳·高三校考阶段练习）（多选）设首项为1的数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（ ）
A．数列为等比数列 B．数列的通项公式为
C．数列为等比数列 D．数列的前n项和为
14．（2022·辽宁沈阳·沈阳二十中校考一模）（多选）设正数列的前n项和为，满足，则下列说法不正确的是（ ）
A． B． C． D．
15．（2023·高三课时练习）已知数列满足，，且，则的最大值为______．
16．（2023·高三课时练习）在数列中，若，，，则数列的通项公式为______．
17．（2023春·河南安阳·高三安阳一中校联考阶段练习）已知数列满足， ，则______.
18．（2023·全国·深圳中学校联考模拟预测）已知数列的前n项和，则数列的通项公式为__________．
19．（2023·山东青岛·统考一模）已知等差数列的前n项和为，公差，，，成等差数列，，，成等比数列．
（1）求；
（2）记数列的前n项和为，，证明数列为等比数列，并求的通项公式．
20．（2023·辽宁朝阳·校联考一模）已知数列的前项和为，数列满足，且
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的通项公式；
（3）对于，试比较与的大小.
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