人教版新课标A必修5第二章 数列综合与测试综合训练题

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(满分:150分;时间:120分钟)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.已知数列{an}是等差数列,a1=2,其公差d≠0.若a5是a3和a8的等比中项,则S18=(　　)　　　 　　　　　 　　　　　

A.398 B.388 C.189 D.199

2.在等差数列{an}中,a3+a5=12-a7,则a1+a9=(　　)

A.8 B.12 C.16 D.20

3.已知两个等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为An和Bn,且=,则使得为整数的正整数n的个数是(　　)

A.2 B.3 C.5 D.4

4.正项数列{an}满足=+4(n∈N*),且a1=1,则a7的值为(　　)

A.4 B.5 C.6 D.7

5.若等比数列{an}的前n项和Sn=2 010n+t(t为常数),则a1的值为(　　)

A.2 008 B.2 009

C.2 010 D.2 011

6.在数列{an}中,a1=-2,an+1=1-,则a2 016的值为(　　)

A.-2 B.

C. D.

7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a5=5,S8=36,则数列的前n项和为(　　)

A. B.

C. D.

8.已知Sn是等比数列{an}的前n项和,若存在m∈N*,满足=9,=,则数列{an}的公比为(　　)

A.-2 B.2 C.-3 D.3

9.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=8,a4=2,且满足an+2=2an+1-an(n∈N*),若S5=λa10,则λ的值为(　　)

A.- B.-3 C.- D.-2

10.设Sn为数列{an}的前n项和,已知a1=,=+2n,则S100=(　　)

A.2- B.2-

C.2- D.2-

11.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对边的长,A=,b,a,c成等差数列,且·=9,则a=(　　)

A.2 B.3

C.2 D.3

12.把数列{2n+1}依次按第一个括号一个数,第二个括号两个数,第三个括号三个数,第四个括号四个数,第五个括号一个数……如此循环下去,即(3),(5,7),(9,11,13),(15,17,19,21),(23),(25,27),(29,31,33),(35,37,39,41),(43),…,则第104个括号内各数之和为(　　)

A.2 036 B.2 048

C.2 060 D.2 072

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)

13.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a3+a15=a6+7,则S23=　　　　.

14.等比数列{an}满足an>0,n∈N*,且a3·a2n-3=22n(n≥2),则当n≥1时,log2a1+log2a2+…+log2a2n-1=　　　　.

15.已知在数列{an}中,a1=1且=an+1,若bn=anan+1,则数列{bn}的前100项和为　　　　.

16.“垛积术”(隙积术)是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创,南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法,有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等.某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”:自上而下,第一层1件,以后每一层比上一层多1件,最后一层是n件.已知第一层货物的单价是1万元,从第二层起,货物的单价是上一层货物单价的.若这堆货物总价是万元,则n的值为　　　　.

三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)已知等差数列{an}的公差d<0,a1=20,且a7是a3与a9的等比中项.

(1)求{an}的通项公式;

(2)求{an}的前n项和Sn的最大值及对应的n的值.

18.(本小题满分12分)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,且2a2=S2+,a3=2.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若bn=log2an+3,数列的前n项和为Tn,求满足Tn>的正整数n的最小值.

19.(本小题满分12分)设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2,数列{bn}满足bn=an+1-2an.

(1)证明数列{bn}是等比数列;

(2)求数列{an}的通项公式.

20.(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n,{bn}是等差数列,且an=bn+bn+1.

(1)求数列{bn}的通项公式;

(2)令cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.

21.(本小题满分12分)甲、乙两超市同时开业,第一年的全年销售额均为a万元.由于经营方式不同,甲超市前n年的总销售额为万元,乙超市第n年的销售额比前一年销售额多a万元.

(1)求甲、乙两超市第n年销售额的表达式;

(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%,则该超市将被另一超市收购,判断哪一超市有可能被收购?如果有这种情况,将会出现在第几年?

22.(本小题满分12分)已知数列{an}满足an+1-2an+2=0,且a1=8.

(1)证明:数列{an-2}为等比数列;

(2)设bn=,记数列{bn}的前n项和为Tn,若对任意的n∈N*,m≥Tn恒成立,求m的取值范围.

答案全解全析

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一、选择题

1.C　由题意可得=a3·a8,∴(a1+4d)2=(a1+2d)·(a1+7d),代入数据,可得(2+4d)2=(2+2d)·(2+7d),解得d=1或d=0(舍),∴S18=18a1+d=189.故选C.

2.A　由题意,数列{an}为等差数列,结合等差数列的性质得,a3+a5+a7=3a5=12,则a5=4,所以a1+a9=2a5=8.故选A.

3.C　设数列{an}的首项为a1,数列{bn}的首项为b1.∵数列{an}和{bn}均为等差数列,且其前n项和An和Bn满足=,

∴======7+=7+.

经验证知,当n=1,2,3,5,11时,为整数.故选C.

4.B　∵=+4(n∈N*),∴-=4,又a1=1,∴=1.

∴数列{}是首项为1,公差为4的等差数列,∴=1+4(n-1)=4n-3.

∴=4×7-3=25,又a7>0,∴a7=5.

5.B　解法一:∵等比数列{an}的前n项和Sn=2 010n+t,

∴a1=S1=2 010+t,a2=S2-S1=2 0102+t-2 010-t=2 009×2 010,a3=S3-S2=2 0103+t-2 0102-t=2 009×2 0102.由等比数列的性质得a1a3=,

∴(2 010+t)×2 009×2 0102=(2 009×2 010)2,解得t=-1,

∴a1=2 010+t=2 009.

解法二:设等比数列{an}的公比为q,由等比数列的前n项和公式可得,Sn==-·qn,又已知Sn=2 010n+t,所以可得t=-1,所以a1=2 010+t=2 009.

6.B　由an+1=1-,得an+2=1-=1-=,所以an+3=1-=1-=an.

所以数列{an}是以3为周期的周期数列.

所以a2 016=a3==.故选B.

7.B　设等差数列{an}的首项为a1,公差为d.

∵a5=5,S8=36,

∴解得

∴an=n,∴==-,

∴数列的前n项和为+++…+=1-=.故选B.

8.B　设数列{an}的公比为q.若q=1,则=2,与题中条件矛盾,故q≠1.∵=qm+1=9,∴qm=8.又==qm=,

∴=8,∴m=3,∴q3=8,即q=2.

9.D　由an+2=2an+1-an(n∈N*)得an+2-an+1=an+1-an,

∴数列{an}为等差数列,设其公差为d,

∵a1=8,a4=2,∴3d=2-8=-6,∴d=-2,

∴a10=a1+9d=8-18=-10,S5=5a1+d=40-20=20,

∴λ===-2.

10.D　根据题意,由=+2n,得-=2n,则当n≥2时,-=2n-1,-=2n-2,……,-=21,

将各式左右分别相加,得-=21+22+…+2n-1=2n-2,又a1=,

所以an=n·,

因此S100=1×+2×+…+100×①,

由①×,得S100=1×+2×+…+99×+100×②,

①-②,得S100=+++…+-100×,

所以S100=2--100·=2-.故选D.

11.B　由题知A=,b,a,c成等差数列,则2a=b+c,由·=9得cbcos A=9,所以bc=18,

结合余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得a2=(b+c)2-3bc,

因为b+c=2a,所以3a2=3bc,即a2=bc,解得a=3(负值舍去),故选B.

12.D　观察发现,每4个括号是一个循环,一个循环里有10个数,104个括号有26个循环,共260个数,则第104个括号内有4个数,且这4个数为数列{2n+1}的第257项,第258项,第259项,第260项,分别为2×257+1,2×258+1,2×259+1,2×260+1,即515,517,519,521,其和为2 072.

二、填空题

13.答案　161

解析　由等差数列的性质可得a3+a15=a6+a12=a6+7,所以a12=7,由等差数列的前n项和公式得S23===23a12=161.

14.答案　2n2-n

解析　由等比数列的性质,得a3·a2n-3==22n,又an>0,∴an=2n.

∴log2a1+log2a2+…+log2a2n-1=log2(a1·a2·…·a2n-1)=log2[(a1a2n-1)·(a2)·…·(an-1an+1)an]=log22n(2n-1)=n(2n-1)=2n2-n.

15.答案　

解析　由=an+1得-=1,

∴数列是首项为=1,公差为1的等差数列.

∴=1+(n-1)×1=n,∴an=,

∴bn==-.

设{bn}的前n项和为Sn,则S100=1-+-+-+…+-=.

16.答案　10

解析　设茭草垛自上而下堆放的货物件数构成等差数列{an},则an=n,货物单价构成等比数列{bn},则bn=,所以每一层货物的总价为anbn=n·万元,

所以这堆货物的总价为(a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn)万元.

设Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn,

则Sn=1×1+2×+3×+…+(n-1)×+n×,

两边同乘,得Sn=1×+2×+3×+…+(n-1)×+n×,

两式相减得Sn=1++++…+-n×=10-(10+n)×,

所以Sn=100-10×(10+n)×.

由100-10×(10+n)×=100-200×,得10×(10+n)=200,解得n=10.

三、解答题

17.解析　(1)因为a7是a3与a9的等比中项,所以=a3a9,即(a1+6d)2=(a1+2d)·(a1+8d),

整理得2a1d+20d2=0,因为d<0,a1=20,所以d=-2.故an=-2n+22.

(2)解法一:因为d=-2,a1=20,所以Sn=na1+d=-n2+21n=-+.

所以当n=10或n=11时,Sn取得最大值,且最大值为110.

解法二:由(1)知an=-2n+22,所以由an≥0,可得n≤11.

所以当n=10或n=11时,Sn取得最大值,且最大值为11×20+×(-2)=110.

18.解析　(1)∵2a2=S2+,∴2a2=a1+a2+,即a2=a1+.

设等比数列{an}的公比为q.

∵a3=2,∴=+,化简得q2-4q+4=0,解得q=2,

∴an=a3·qn-3=2·2n-3=2n-2.

(2)由(1)知,bn=log2an+3=log22n-2+3=n-2+3=n+1,

∴==-,

∴Tn=++…+=-+-+…+-=-=.

令Tn>,得>,解得n>4,

∴满足Tn>的正整数n的最小值是5.

19.解析　(1)证明:由a1=1及Sn+1=4an+2,知a1+a2=4a1+2,∴a2=3a1+2=5,∴b1=a2-2a1=3.

由Sn+1=4an+2①,可知当n≥2时,Sn=4an-1+2②,

①-②得,an+1=4an-4an-1,即an+1-2an=2(an-2an-1),

又∵bn=an+1-2an,∴bn=2bn-1,∴{bn}是首项为3,公比为2的等比数列.

(2)由(1)可得bn=an+1-2an=3·2n-1,

∴-=,又=,

∴数列是首项为,公差为的等比数列.

∴=+(n-1)=n-,

∴an=(3n-1)·2n-2.

20.解析　(1)由题意知,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=6n+5;

当n=1时,a1=S1=11,经检验符合上式,所以an=6n+5.

设等差数列{bn}的首项为b1,公差为d.

由得

解得所以bn=3n+1.

(2)由(1)知,cn==3(n+1)·2n+1.

又Tn=c1+c2+…+cn,

所以Tn=3×[2×22+3×23+…+(n+1)×2n+1]①,

2Tn=3×[2×23+3×24+…+(n+1)×2n+2]②,

①-②,得-Tn=3×[2×22+23+24+…+2n+1-(n+1)×2n+2]=-3n·2n+2,

所以Tn=3n·2n+2.

21.解析　(1)设甲、乙两个超市第n年全年的销售额分别为an,bn万元,甲超市前n年的总销售额为Sn万元,则Sn=万元.

当n=1时,a1=a;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=·[n2-n+2-(n-1)2+(n-1)-2]=(n-1)a.

经检验,a1=a不适合上式,

故an=

又b1=a,n≥2时,bn-bn-1=a,

所以bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1)=a+a+a+…+a=·a=·a.显然b1=a也适合上式,所以bn=·a(n∈N*).

(2)当n=2时,a2=a,b2=a,有a2>b2;当n=3时,a3=2a,b3=a,有a3>b3;当n≥4时,an≥3a,bn<3a,故乙超市有可能被甲超市收购.

当n≥4时,令an>bn,则(n-1)a>a,

即n-1>6-4·,

所以n>7-4·,即n+4·>7,所以n≥7.

即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半,乙超市将被甲超市收购.

22.解析　(1)证明:因为an+1-2an+2=0,所以an+1=2an-2,

所以an+1-2=2(an-2),即=2(n∈N*).又a1=8,所以a1-2=6,

所以数列{an-2}是以6为首项,2为公比的等比数列.

(2)由(1)知an-2=6×2n-1,即an=3×2n+2.

所以bn=

=

=(-1)n.

当n为偶数时,

Tn=++…++

=-+=-+,是递减的,此时当n=2时,Tn取最大值-,则m≥-;

当n为奇数时,

Tn=++…+++

=--=--,是递增的,此时Tn<-,则m≥-.

综上,m的取值范围是.