2021届高考数学二轮复习常考题型大通关（新高考）填空题：立体几何

2021届高考数学二轮复习常考题型大通关（新高考）

填空题：立体几何

1.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的体积为________.

2.在底面为直角梯形的四棱锥中，侧棱底面，，，，，则点到平面的距离是__________________.

3.已知两条不同的直线，两个不重合的平面，给出下列命题：

①；

②；

③；

④；

⑤.

其中正确命题的序号是________________.

4.学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型.如图，该模型为长方体，挖去四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，分别为所在棱的中点，.打印所用原料密度为.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_________________.

5.已知直四棱柱的棱长均为2，.以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为________________.

6.如图，在矩形中，为的中点，将沿直线翻折至的位置，得到如图所示的几何体，为的中点，则在翻折过程中，下列说法中正确的是_______________.(只填序号)

①存在某个位置，使得；

②在翻折过程中，的长是定值；

③若，则；

④若，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积是.

7.在长方体中，，点为的中点，点为体对角线上的动点，点为底面上的动点(点可以重合)，则的最小值为_______.

8.在三棱锥中，平面，若三棱锥的外接球的表面积为，则_____________，点到平面的距离为_______________.

9.已知圆锥的顶点为，母线所成角的余弦值为.与圆锥底面所成角为45°.若的面积为，则该圆锥的侧面积为______________.

10.如图，正方体的一个截面经过顶点及棱上一点(不含端点)，且将正方体分成前、后体积之比为的两部分，则的值为________________.

答案以及解析

1.答案：

解析：如图，设球心为，半径为，则在中，，解得，则球的体积.

2.答案：

解析：分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图，

则，

.

设为平面的法向量，

则即

取，则.

又，

点到平面的距离为.

3.答案：①④⑤

解析：命题①，显然正确；命题②，可能异面，故②为假命题；命题③，可能，故③为假命题；命题④，显然正确；命题⑤，由，得，又，所以，故⑤为真命题.综上，正确命题的序号为①④⑤.

4.答案：118.8

解析：由题易得长方体的体积为，四边形为平行四边形，易知四边形的面积为矩形面积的一半，即，所以，所以该模型的体积为，所以制作该模型所需原料的质量为.

5.答案：

解析：如图，连接，易知为正三角形，所以.分别取的中点，连接，则易得，且.由题意知分别是与球面的交点.在侧面内任取一点，使，连接，则，连接，易得，故可知以为圆心，为半径的圆弧为球面与侧面的交线.由知，所以的长为.

6.答案：②④

解析：对于①，如图1，取的中点，连接，连接交于，连接，则，

若，则，易得，又三线共面共点，

显然不可能，故①错误.

对于②，如图1，可得(定值)，(定值)，(定值)，由余弦定理可得，所以是定值，故②正确.

对于③，如图2，取的中点，连接，若，则易得平面，可得，从而，显然不成立，故③不正确.

对于④，当平面平面时，三棱锥的体积最大，易得的中点就是三棱锥的外接球的球心，外接球的半径为1，故外接球的表面积是.故④正确.故答案为②④.

7.答案：

解析：如图1，显然当是在底面的射影时，才可能最小，将平面沿翻折，使其与平面共面，如图2所示，此时易得，显然当三点共线时，取得最小值，.

8.答案：12；

解析：取的中点，连接，则.设的外心为，外接圆半径为，则点在线段上，且，故，解得.设三棱锥外接球的半径为，易知，所以由外接球的表面积为得，得.连接，则.过作于点，易证平面.在中，由等面积法得，所以点到平面的距离为.

9.答案：

解析：如图所示，设在底面的射影为，连接.的面积为，.与底面所成的角为45°，底面周长圆锥的侧面积为.

10.答案：

解析：连接，设截面与棱的交点为点，连接，如图所示.

设正方体的棱长为，则.

因为平面平面，平面平面，平面平面，所以.

在正方体中，，所以，则，则的面积为，由题意可知，三棱台的体积为，整理得，

又，所以，因此.