2021届高考数学二轮复习常考题型大通关（新高考）选择题：立体几何

2021届高考数学二轮复习常考题型大通关（新高考）

选择题：立体几何

1.已知圆锥的底面半径为2，高为，则该圆锥内切球的表面积为(   )

A. B. C. D.

2.某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合)，若其中一个截面圆的周长为，则该球的半径是(   )

A.2 B.4 C. D.

3.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中提到了一种名为“刍甍”的五面体(如图)：底面为矩形，棱.若此几何体中，和都是边长为2的等边三角形，则此几何体的表面积为(   )

A. B. C. D.

4.已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上.若球的表面积为，则到平面的距离为(   )

A. B. C.1 D.

5.已知是两条异面直线，是一个平面，直线与都垂直，则下列说法正确的是(   )

A.若，则  B.若，则

C.存在，使得 D.存在，使得

6.在三棱柱中，平面，则异面直线与所成角的余弦值为(   )

A. B. C. D.

7.在四面体中，两两垂直，设，则点到平面的距离为(   )

A. B. C. D.

8.已知表示两条不同的直线，表示平面，下列说法正确的是(   )

A.若，则 B.若，则

C.若，则 D.若，则

9.在长方体中，，异面直线与所成角的余弦值为，则(   )

A.1 B.2 C. D.

10.已知四棱锥的体积是，底面是正方形，是等边三角形，平面平面，则四棱锥的外接球的体积为(   )

A. B. C. D.

11.如图，点是正方体的棱的中点，点分别在线段(不包含端点)上运动，则(   )

A.在点的运动过程中，存在

B.在点的运动过程中，不存在

C.四面体的体积为定值

D.四面体的体积不为定值

12.已知四点均在球的球面上，是边长为6的等边三角形，点在平面上的射影为的中心，为线段的中点，若，则球的表面积为(   )

A. B. C. D.

13.如图，在正方体中，是棱上的动点.下列说法正确的是(   )

A.对任意动点，在平面内不存在与平面平行的直线

B.对任意动点，在平面内存在与平面垂直的直线

C.点从运动到的过程中，与平面所成的角逐渐变大

D.点从运动到的过程中，点到平面的距离逐渐变小

14.如图，点分别是棱长为2的正方体中棱的中点，动点在正方形(包括边界)内运动，若平面，则的取值范围是(   )

A. B. C. D.

15.将边长为1的正方形沿翻折，使得二面角的平面角的大小为，若点分别是线段和上的动点，则的取值范围为(   )

A. B. C. D.

答案以及解析

1.答案：D

解析：设该圆锥的内切球的半径为，依题意可得圆锥的母线长为，由过球心的截面三角形的面积，解得，所以圆锥的内切球的表面积为，选D.

2.答案：B

解析：设截面圆半径为，则有，所以.由题意知，球的球心为正方体的中心，设球的半径为，则，所以，故选B.

3.答案：B

解析：过作平面，垂足为，取的中点，连接，过作，垂足为，连接.

和都是边长为2的等边三角形，.，，又所求几何体的表面积.

4.答案：C

解析：由等边三角形的面积为，得，得，则的外接圆半径.设球的半径为，则由球的表面积为，得，得，则球心到平面的距离，故选C.

5.答案：C

解析：由是两条异面直线，直线与都垂直，知：

在A中，若，则与平面相交、平行或，故A错误；

在B中，若，则与平面平行或或，故B错误；

在C中，易得存在，使得，故C正确；

在D中，若存在，使得，则，与已知是两条异面直线矛盾，故D错误.故选C.

6.答案：D

解析：平面，又，又平面该三棱柱可以补形成长方体，连接，则是与所成的角或其补角.令，则，在中，，由余弦定理得，故选D.

7.答案：B

解析：根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系，则.

过点作平面，交平面于点，则的长即为点到平面的距离.

为的外心.

易知为正三角形，为的重心，

可得点的坐标为.

.

点到平面的距离为.

8.答案：B

解析：若，则相交或平行或异面，故A错；若，由线面垂直的性质定理可知，故B正确；若，则或，故C错；若，则或或与相交，故D错.选B.

9.答案：B

解析：如图，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设的长为，易知，则.异面直线与所成角的余弦值为，又.故选B.

10.答案：A

解析：由已知可得，则，设球心为到平面的距离为，球的半径为，则由，得，解得，所以，，选A.

11.答案：C

解析：取的中点，连接，则，又，所以，又与是异面直线，故不存在，A选项不正确；连接交于点，连接，则，连接，易得平面，所以，当时，，又，所以平面，所以，故B选项不正确；因为平面，所以点到平面的距离为定值，所以四面体的体积为定值，故C选项正确；同理可得，四面体的体积为定值，故D选项不正确.故选C.

12.答案：C

解析：如图，设的中心为，连接并延长，交于，则为的中点，连接.由题知平面，得.又，故平面，又为正三棱锥，故两两垂直，故三棱锥可看作以为棱的正方体的一部分，两者有共同的外接球，正方体外接球的直径为，所以球的表面积为，故选C.

13.答案：C

解析：因为在平面内，且平行平面，故A错误；连接，平面即平面，又平面与平面相交(不垂直)，所以在平面内不存在与平面垂直的直线，故B错误；点到平面的距离不变，点从运动到的过程中，逐渐变小，故与平面所成的角逐渐变大，故C正确；平面即平面，点到平面的距离为定值，故D错误.故选C.

14.答案：B

解析：如图所示，分别取的中点，连接，因为为所在棱的中点，所以，又平面平面，所以平面，易知，又平面平面，所以平面，又，所以平面平面，因为是侧面内一点，且平面，则必在线段上.在中，，同理，在中，，所以为等腰三角形，当在中点处时，，此时最短，位于处时最长，，所以线段的取值范围为，故选B.

15.答案：B

解析：连接，设交于点，由题意知，所以，作，则为的中点，作，则平面，所以.如图，建立平面直角坐标系，则，设，则，因为，所以，故选B.