人教版数学九年级上册月考模拟试卷01（含答案）

这是一份人教版数学九年级上册月考模拟试卷01（含答案），共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

人教版数学九年级上册月考模拟试卷
一、选择题
1．不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的6个球，其中2个黑球、4个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（　　）
A．摸出的是3个白球 B．摸出的是3个黑球
C．摸出的是2个白球、1个黑球 D．摸出的是2个黑球、1个白球
2．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A=80°，则∠BCD的度数是（　　）

A．60° B．80° C．90° D．100°
3．半径为3，圆心角为120°的扇形的面积是（　　）
A．3π B．6π C．9π D．12π
4．用反证法证明命题：在一个三角形中，至少有一个内角不大于60°．证明的第一步是（　　）
A．假设三个内角都不大于60°
B．假设三个内角都大于60°
C．假设三个内角至多有一个大于60°
D．假设三个内角至多有两个大于60°
5．如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（　　）

A．△ACD的重心 B．△ABC的外心 C．△ACD的内心 D．△ABC的垂心
6．己知正六边形的边长为4，则它的内切圆的半径为（　　）
A．1 B． C．2 D．2
7．一天晚上，婷婷帮助妈妈清洗3个只有颜色不同的有盖茶杯，突然停电了，婷婷只好把杯盖和杯身随机地搭配在一起，则颜色搭配正确的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为3，∠B=135°，则的长（　　）

A． B．π C．2π D．
9．如图，从一块直径是6m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，圆锥的高是（　　）m．

A． B．4 C． D．2
10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为直径，AD平分∠BAC交⊙O于D，点P为△ABC的内心，PD=5，AB=8．下列结论：
①∠BAD=45°；②PD=PB；③PD=BC；④S△APC=6．
其中正确结论的个数是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
11．如图，AB是⊙O的直径，∠ABC=70°，则∠D的度数为　　．

12．为了估计鱼塘中鱼的条数，养鱼者首先从鱼塘中打捞40条鱼做上标记，然后放归鱼塘．经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中，再打捞200条鱼，发现其中带标记的鱼有5条，则鱼塘中估计有　　条鱼．
13．如图，AB是⊙O 的直径，C是⊙O 上一点，且AC=，∠CAB=30°．图中阴影部分的面积是　　．

14．如图，半径为4的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b，然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线b重合为止，则圆心O运动路径的长度等于　　．

15．如图，在半⊙O中，∠BOD=60°，DA⊥OB，EB是切线，OE交弧BD于点M，点C在BE上，∠BOE=∠MCE=45°，连接CM．若BC=1，则AB=　　．

16．已知a、b是方程x2﹣3x+m﹣1=0（m≠1）的两根，在直角坐标系下有A（a，0）、B（0，b），以AB为直径作⊙M，则⊙M的半径的最小值为　　．
三、解答题
17．某校为了了解九年级学生“一分钟内跳绳次数”的情况，随机选取了3名女生和2名男生，从这5名学生中选取2名同时跳绳，求恰好选中一男一女的概率．





18．工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示．
（1）用尺规作图确定这个圆孔的圆心位置；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求这个小圆孔的宽口AB的长度．



19．某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：
（1）计算并完成表格：（精确到0.01）
转动转盘的次数n
100
150
200
500
800
1000
落在“铅笔”的次数m
79
121
162
392
653
794
落在“铅笔”的频率



0.78
0.82
0.79
（2）请估计，当n很大时，频率将会接近　　． （精确到0.1）
（3）假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是　　． （精确到0.1）
（4）在该转盘中，表示“铅笔”区域的扇形的圆心角约是多少（精确到1°）







20．正方形ABCD内接于⊙O，如图所示，在劣弧上取一点E，连接DE、BE，过点D作DF∥BE交⊙O于点F，连接BF、AF，且AF与DE相交于点G，求证：
（1）四边形EBFD是矩形；
（2）DG=BE．







21．在3×3的方格纸中，点A、B、C、D、E、F分别位于如图所示的小正方形的顶点上．
（1）从A、D、E、F四个点中任意取一点，以所取的这一点及点B、C为顶点画三角形，则所画三角形是等腰三角形的概率是　　；
（2）从A、D、E、F四个点中先后任意取两个不同的点，以所取的这两点及点B、C为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率是　　（用树状图或列表法求解）．






22．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠ACB=60°．
（1）求∠P的度数；
（2）若⊙O的半径长为2cm，求图中阴影部分的面积．






23．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），点P在直线y=x上，⊙P的半径为3，设P（x，y）．
（1）求⊙P与直线x=2相切时点P的坐标；
（2）动点C在直线y=x上，若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是　　．









24．已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF，
（1）如图1，若AB为直径，要使得EF是⊙O的切线，还需要添加的条件是（只须写出两种不同情况）①　　或②　　．
（2）如图2，若AB为非直径的弦，∠CAE=∠B，试说明EF是⊙O的切线．





25．如图，在平面直角坐标系中，O是原点，以点M（2，2）为圆心，4为半径作圆，交x轴于A，B两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点N在⊙M上．
（1）点A坐标　　，点B坐标　　；
（2）求抛物线的解析式；
（3）点P（m，n）在直线y=﹣x+上方的抛物线上，且∠APB＞60°，求m的取值范围；
（4）在该抛物线上是否存在一点D，使线段ON与MD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

　
参考答案
一、选择题（每题3分，共30分）
1．不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的6个球，其中2个黑球、4个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（　　）
A．摸出的是3个白球 B．摸出的是3个黑球
C．摸出的是2个白球、1个黑球 D．摸出的是2个黑球、1个白球
【考点】随机事件．
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可．
【解答】解：摸出的是3个白球是随机事件；
摸出的是3个黑球是不可能事件；
摸出的是2个白球、1个黑球是随机事件；
摸出的是2个黑球、1个白球是随机事件，
故选：B．
　
2．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A=80°，则∠BCD的度数是（　　）

A．60° B．80° C．90° D．100°
【考点】圆内接四边形的性质．
【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠DCB=180°，代入求出即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠DCB=180°，
∵∠A=80°，
∴∠DCB=100°，
故选D．
　
3．半径为3，圆心角为120°的扇形的面积是（　　）
A．3π B．6π C．9π D．12π
【考点】扇形面积的计算．
【分析】把已知数据代入S=，计算即可．
【解答】解：半径为3，圆心角为120°的扇形的面积是： =3π，
故选：A．
　
4．用反证法证明命题：在一个三角形中，至少有一个内角不大于60°．证明的第一步是（　　）
A．假设三个内角都不大于60°
B．假设三个内角都大于60°
C．假设三个内角至多有一个大于60°
D．假设三个内角至多有两个大于60°
【考点】反证法．
【分析】熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接得出答案即可．
【解答】解：∵用反证法证明在一个三角形中，至少有一个内角不大于60°，
∴第一步应假设结论不成立，
即假设三个内角都大于60°．
故选：B．
　
5．如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（　　）

A．△ACD的重心 B．△ABC的外心 C．△ACD的内心 D．△ABC的垂心
【考点】三角形的五心．
【分析】设每一个小方格的边长为1，连接OA、OB、OC、OD，利用勾股定理可求得OA=OB=OC=，OD=2，可知O点在AB、AC、BC的垂直平分线上，可知O为△ABC的外心，可求得答案．
【解答】解：
如图，连接OA、OB、OC、OD，
设每一个小方格的边长为1，
由勾股定理可求得OA=OB=OC=，OD=2，
∴O点在AB、AC、BC的垂直平分线上，
∴点O为△ABC的外心，
∵OA=OC≠OD，
∴点O即不是△ACD的重心，也不是△ACD的内心，
故选B．

　
6．己知正六边形的边长为4，则它的内切圆的半径为（　　）
A．1 B． C．2 D．2
【考点】正多边形和圆；三角形的内切圆与内心．
【分析】根据题意画出图形，利用正六边形中的等边三角形的性质求解即可．
【解答】解：如图，连接OA、OB，OG；
∵六边形ABCDEF是边长为4的正六边形，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB=4，
∴OG=OA•sin60°=4×=2，
∴边长为4的正六边形的内切圆的半径为：2．
故选：D．

　
7．一天晚上，婷婷帮助妈妈清洗3个只有颜色不同的有盖茶杯，突然停电了，婷婷只好把杯盖和杯身随机地搭配在一起，则颜色搭配正确的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】画树状图为（用A、B、C表示茶盖，a、b、c表示茶杯）展示所有9种等可能的结果数，再找出颜色搭配正确的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：（用A、B、C表示茶盖，a、b、c表示茶杯）

共有9种等可能的结果数，其中颜色搭配正确的结果数为3，
所以颜色搭配正确的概率==．
故选C．
　
8．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为3，∠B=135°，则的长（　　）

A． B．π C．2π D．
【考点】弧长的计算．
【分析】连接OA、OC，根据圆内接四边形的性质求出∠D，根据圆周角定理求出∠AOC的度数，根据弧长公式：l=计算即可．
【解答】解：连接OA、OC，
∵∠B=135°，
∴∠D=180°﹣∠B=45°，
∴∠AOC=90°，
则的长为： =π，
故选：A．

　
9．如图，从一块直径是6m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，圆锥的高是（　　）m．

A． B．4 C． D．2
【考点】圆锥的计算．
【分析】根据弧长公式求出的长，求出圆锥的底面半径，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：∵∠BAC=90°，BC=6，
∴AB=AC=3，
∴的长为： =π，
圆锥的底面半径为：，
由勾股定理得，圆锥的高==，
故选：A．
　
10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为直径，AD平分∠BAC交⊙O于D，点P为△ABC的内心，PD=5，AB=8．下列结论：
①∠BAD=45°；②PD=PB；③PD=BC；④S△APC=6．
其中正确结论的个数是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】三角形的内切圆与内心；圆周角定理．
【分析】连结PC、DC、BD，作PF⊥BC于F，PE⊥AC于E，PH⊥AB于H，根据内心的性质得∠ACP=∠BCP，根据圆周角定理由BC为直径得到∠BAC=90°，而AD平分∠BAC，则∠BAD=∠CAD=∠BAC=45°，推出①成立，再次根据圆周角定理得到∠DBC=∠BCD=45°，于是可判断△BDC为等腰直角三角形，则BC=DC，然后利用三角形外角性质证明∠DPC=∠DCP得到DC=DP，推出②不成立，所以有BC=DP，推出③成立，由DP=5得到BC=10，根据勾股定理计算出AC=6，根据切线长定理可计算出△ABC的内切圆半径为r=2，由此即可求出△APC的面积，即可判断④成立．
【解答】证明：连结PC、DC、BD，作MF⊥BC于F，PE⊥AC于E，PH⊥AB于H，如图，

∵点P为△ABC的内心，
∴PC平分∠ACB，
∴∠ACP=∠BCP，
∵BC为直径，
∴∠BAC=90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=45°，故①正确，
∴∠DBC=∠BCD=45°，
∴△BDC为等腰直角三角形，
∴BC=DC，
又∵∠DPC=∠PAC+∠ACP=45°+∠ACP，
而∠DCP=∠BCD+∠BCP，
∴∠DPC=∠DCP，
∴DC=DP=BD，
假设②正确，则△PDB是等边三角形，
∴∠ADB=60°=∠ACB，显然不可能，
故②错误．
∴BC=DP，即PD=BC，故③正确，
∵DP=5，
∴BC=DP=10，
而AB=8，
∴AC==6，
设△ABC的内切圆半径为r，
∵点P为△ABC的内心，
∴PH=PE=PF=r，
∴四边形AHME为正方形，
∴AH=AE=r，则CE=CF=6﹣r，BH=BF=8﹣r，
而BF+FC=BC，
∴8﹣r+6﹣r=10，解得r=2，
∴S△APC=•AC•PE=×6×2=6，故④正确，
故正确的有①③④，
故选B．
　
二、填空题（每题3分，共18分）
11．如图，AB是⊙O的直径，∠ABC=70°，则∠D的度数为　20°　．

【考点】圆周角定理．
【分析】由AB是⊙O的直径，可得∠ACB=90°，然后由圆周角定理，可求得∠D的度数．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=70°，
∴∠A=90°﹣∠ABC=20°，
∴∠D=∠A=20°．
故答案为：20°．
　
12．为了估计鱼塘中鱼的条数，养鱼者首先从鱼塘中打捞40条鱼做上标记，然后放归鱼塘．经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中，再打捞200条鱼，发现其中带标记的鱼有5条，则鱼塘中估计有　1600　条鱼．
【考点】用样本估计总体．
【分析】先打捞200条鱼，发现其中带标记的鱼有5条，求出有标记的鱼占的百分比，再根据共有40条鱼做上标记，即可得出答案．
【解答】解：∵打捞200条鱼，发现其中带标记的鱼有5条，
∴有标记的鱼占×100%=2.5%，
∵共有40条鱼做上标记，
∴鱼塘中估计有40÷2.5%=1600（条）．
故答案为：1600．
　
13．如图，AB是⊙O 的直径，C是⊙O 上一点，且AC=，∠CAB=30°．图中阴影部分的面积是　+　．

【考点】扇形面积的计算．
【分析】首先作OD⊥AC于D，连接OC，根据垂径定理和三角函数求得OD即半径OA的长，然后明确阴影部分的面积=S△OAC+S扇形OBC，然后依面积公式计算即可．
【解答】解：如图，作OD⊥AC于D，连接OC，

∴AD=AC=，∠BOC=2∠CAB=60°，
∴AO==1，OD=ADtan∠CAB=
则阴影部分面积=S△OAC+S扇形BOC=××+=+，
故答案为： +．
　
14．如图，半径为4的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b，然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线b重合为止，则圆心O运动路径的长度等于　4π　．

【考点】轨迹．
【分析】根据题意得出球在无滑动旋转中通过的路程为圆弧，根据弧长公式求出弧长即可．
【解答】解：由图形可知，圆心先向前走OO1的长度，从O到O1的运动轨迹是一条直线，长度为圆的周长，
然后沿着弧O1O2旋转圆的周长，
则圆心O运动路径的长度为：×2π×4+×2π×4=4π，
故答案为：4π．

　
15．如图，在半⊙O中，∠BOD=60°，DA⊥OB，EB是切线，OE交弧BD于点M，点C在BE上，∠BOE=∠MCE=45°，连接CM．若BC=1，则AB=　（+1）　．

【考点】切线的性质；勾股定理；垂径定理．
【分析】连接BM，如图，根据切线的性质得∠OBE=90°，再判断△CME为等腰直角三角形，则CE=CM=，所以BE=+1，于是得到OD=OB=BE=+1，然后在Rt△OAD中利用含30度的直角三角形三边的关系得到OA=OD=（+1），最后计算OB﹣OA即可．
【解答】解：连接BM，如图，
∵EB为切线，
∴OB⊥BE，
∴∠OBE=90°，
∵∠BOE=45°，
∴∠E=45°，
∴△CME为等腰直角三角形，
∴CE=CM=，
∴BE=+1，
∴OB=BE=+1，
∴OD=+1，
在Rt△OAD中，∵∠AOD=60°，
∴OA=OD=（+1）
∴AB=OB﹣OA=+1﹣（+1）=（+1）．
故答案为（+1）．

　
16．已知a、b是方程x2﹣3x+m﹣1=0（m≠1）的两根，在直角坐标系下有A（a，0）、B（0，b），以AB为直径作⊙M，则⊙M的半径的最小值为　　．
【考点】根与系数的关系；坐标与图形性质；勾股定理．
【分析】根据根与系数的关系可得a+b=3，由勾股定理可得出AB=，根据完全平方公式可得出AB=≥（a+b），代入a+b的值即可得出AB的最小值，再结合半径与直径的关系即可得出结论．
【解答】解：∵a、b是方程x2﹣3x+m﹣1=0（m≠1）的两根，
∴a+b=3．
∵A（a，0）、B（0，b），
∴AB=．
∵（a+b）2=a2+b2﹣2ab≥0，
∴≥（a+b），当a=b时，取等号．
∴⊙M的半径的最小值为AB=．
故答案为：．
　
三、解答题
17．某校为了了解九年级学生“一分钟内跳绳次数”的情况，随机选取了3名女生和2名男生，从这5名学生中选取2名同时跳绳，求恰好选中一男一女的概率．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与刚好抽到一男一女的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图如下：

由树状图可知共有20种等可能性结果，其中抽到一男一女的情况有12种，
所以抽到一男一女的概率为P（一男一女）==，
　
18．工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示．
（1）用尺规作图确定这个圆孔的圆心位置；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求这个小圆孔的宽口AB的长度．

【考点】作图—应用与设计作图；垂径定理．
【分析】（1）如图，在⊙O上取一点C，连接AC，作线段AC、AB的垂直平分线，它们的交点即为圆心O
（2）在Rt△OAG中，利用勾股定理即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，在⊙O上取一点C，连接AC，作线段AC、AB的垂直平分线，它们的交点即为圆心O．

（2）作OG⊥AB于G，则AG=GB，
∵OA=5，OG=8=5=3，
在Rt△AOG中，AG===4，
∴AB=2AG=8．
　
19．某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：
（1）计算并完成表格：（精确到0.01）
转动转盘的次数n
100
150
200
500
800
1000
落在“铅笔”的次数m
79
121
162
392
653
794
落在“铅笔”的频率



0.78
0.82
0.79
（2）请估计，当n很大时，频率将会接近　0.8　． （精确到0.1）
（3）假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是　0.8　． （精确到0.1）
（4）在该转盘中，表示“铅笔”区域的扇形的圆心角约是多少（精确到1°）

【考点】利用频率估计概率；扇形统计图．
【分析】（1）根据频率的算法，频率=，可得各个频率；填空即可；
（2）根据频率的定义，可得当n很大时，频率将会接近其概率；
（3）根据概率的求法计算即可；
（4）根据扇形图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比计算即可．
【解答】解：（1）
转动转盘的次数n
100
150
200
500
800
1000
落在“铅笔”的次数m
79
121
162
392
653
794
落在“铅笔”的频率
0.8
0.8
0.8
0.78
0.82
0.79
（2）当n很大时，频率将会接近（79+121+162+392+653+794）÷=0.8，
故答案为：0.8；
（3）获得铅笔的概率约是0.8，
故答案为：0.8；
（4）扇形的圆心角约是0.8×360°=288度．
　
20．正方形ABCD内接于⊙O，如图所示，在劣弧上取一点E，连接DE、BE，过点D作DF∥BE交⊙O于点F，连接BF、AF，且AF与DE相交于点G，求证：
（1）四边形EBFD是矩形；
（2）DG=BE．

【考点】正方形的性质；矩形的判定；圆周角定理．
【分析】（1）直接利用正方形的性质、圆周角定理结合平行线的性质得出∠BED=∠BAD=90°，∠BFD=∠BCD=90°，∠EDF=90°，进而得出答案；
（2）直接利用正方形的性质的度数是90°，进而得出BE=DF，则BE=DG．
【解答】证明：（1）∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴∠BED=∠BAD=90°，∠BFD=∠BCD=90°，
又∵DF∥BE，
∴∠EDF+∠BED=180°，
∴∠EDF=90°，
∴四边形EBFD是矩形；

（2））∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴的度数是90°，
∴∠AFD=45°，
又∵∠GDF=90°，
∴∠DGF=∠DFG=45°，
∴DG=DF，
又∵在矩形EBFD中，BE=DF，
∴BE=DG．

　
21．在3×3的方格纸中，点A、B、C、D、E、F分别位于如图所示的小正方形的顶点上．
（1）从A、D、E、F四个点中任意取一点，以所取的这一点及点B、C为顶点画三角形，则所画三角形是等腰三角形的概率是　　；
（2）从A、D、E、F四个点中先后任意取两个不同的点，以所取的这两点及点B、C为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率是　　（用树状图或列表法求解）．

【考点】列表法与树状图法；等腰三角形的判定；平行四边形的判定．
【分析】（1）根据从A、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，只有选取D点时，所画三角形是等腰三角形，即可得出答案；
（2）利用树状图得出从A、D、E、F四个点中先后任意取两个不同的点，一共有12种可能，进而得出以点A、E、B、C为顶点及以D、F、B、C为顶点所画的四边形是平行四边形，即可求出概率．
【解答】解：（1）根据从A、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，只有选取D点时，所画三角形是等腰三角形，
故P（所画三角形是等腰三角形）=；

（2）用“树状图”或利用表格列出所有可能的结果：

∵以点A、E、B、C为顶点及以D、F、B、C为顶点所画的四边形是平行四边形，
∴所画的四边形是平行四边形的概率P==．
故答案为：（1），（2）．
　
22．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠ACB=60°．
（1）求∠P的度数；
（2）若⊙O的半径长为2cm，求图中阴影部分的面积．

【考点】切线的性质；扇形面积的计算．
【分析】（1）先证明∠P=180°﹣∠AOB，根据∠AOB=2∠ACB求出∠AOB即可解决问题．
（2）连接OP，如图，根据切线的性质和切线长定理得到∠PAO=∠PBO=90°，∠APO=30°，则根据四边形内角和得到∠AOB=180°﹣∠APB=120°，再在Rt△PAO中利用含30度的直角三角形三边的关系得到AP=OA=2，则S△PAO=2，然后根据扇形面积公式，利用阴影部分的面积=S四边形AOBP﹣S扇形AOB进行计算．
【解答】解：（1）连接OA、OB，
∵PA、PB是⊙O切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∵∠P+∠PAO+∠AOB+∠PBO=360°，
∴∠P=180°﹣∠AOB，
∵∠ACB=60°，
∴∠AOB=2∠ACB=120°，
∴∠P=180°﹣120°=60°，

（2）如图，连接OP，
∵PA，PB是⊙O的两条切线，
∴OA⊥AP，OB⊥PB，OP平分∠APB，
∴∠PAO=∠PBO=90°，∠APO=×60°=30°，
∴∠AOB=180°﹣∠APB=180°﹣60°=120°，
在Rt△PAO中，∵OA=2，∠APO=30°，
∴AP=OA=2，
∴S△PAO=×2×2=2，
∴阴影部分的面积=S四边形AOBP﹣S扇形AOB=2×2﹣=4﹣π．

　
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），点P在直线y=x上，⊙P的半径为3，设P（x，y）．
（1）求⊙P与直线x=2相切时点P的坐标；
（2）动点C在直线y=x上，若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是　3　．

【考点】切线的性质；一次函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的判定；直线与圆的位置关系．
【分析】（1）先根据直线和圆的位置关系和已知求出P的横坐标，即可得出答案；
（2）分为三种情况，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）∵⊙P的半径为3，⊙P与直线x=2相切，
∴点P到直线x=2的距离是3，
即P的横坐标为2+3=5或2﹣3=﹣1，
∵P在直线y=x上，
∴P点的坐标为（5，5）或（﹣1，﹣1）；

（2）分为三种情况：①BP=AP，此时P在AB的垂直平分线上，
∵A（0，2），B（0，6），
∴AB=4，P点的纵坐标为4，
∵P在直线y=x上，
∴此时P的坐标为（4，4）；
②AB=AP=4，
∵A（0，2），P（x，y），x=y，
∴（x﹣0）2+（x﹣2）2=42，
∴x=1±，
此时P的坐标为（1+，1+）或（1﹣，1﹣）；
③AB=BP，
∵B（0，6），P（x，y），x=y，
∴∴（x﹣0）2+（x﹣6）2=42，
此方程无解，
即不存在AB=BP；
所以符合的有3个，
故答案为：3．
　
24．已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF，
（1）如图1，若AB为直径，要使得EF是⊙O的切线，还需要添加的条件是（只须写出两种不同情况）①　EF⊥AB　或②　∠EAC=∠B　．
（2）如图2，若AB为非直径的弦，∠CAE=∠B，试说明EF是⊙O的切线．

【考点】切线的判定．
【分析】（1）添加条件EF⊥AB，根据切线的判定推出即可；添加条件∠EAC=∠B，根据直径推出∠CAB+∠B=90°，推出∠EAC+∠CAB=90°，根据切线判定推出即可；
（2）作直径AM，连接CM，推出∠M=∠B=∠EAC，求出∠EAC+∠CAM=90°，根据切线的判定推出即可．
【解答】（1）解：添加的条件是①EF⊥AB，
理由是∵EF⊥AB，OA是半径，
∴EF是⊙O的切线；
②∠EAC=∠B，
理由是：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∴∠B+∠CAB=90°，
∵∠EAC=∠B，
∴∠EAC+∠CAB=90°，
∴EF⊥AB，
∵OA是半径，
∴EF是⊙O的切线；

（2）解：

作直径AM，连接CM，
即∠B=∠M（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），
∵∠EAC=∠B，
∴∠EAC=∠M，
∵AM是⊙O的直径，
∴∠ACM=90°，
∴∠CAM+∠M=90°，
∴∠EAC+∠CAM=90°，
∴EF⊥AM，
∵OA是半径，
∴EF是⊙O的切线．
　
25．如图，在平面直角坐标系中，O是原点，以点M（2，2）为圆心，4为半径作圆，交x轴于A，B两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点N在⊙M上．
（1）点A坐标　（2﹣2，0）　，点B坐标　（2+2，0）　；
（2）求抛物线的解析式；
（3）点P（m，n）在直线y=﹣x+上方的抛物线上，且∠APB＞60°，求m的取值范围；
（4）在该抛物线上是否存在一点D，使线段ON与MD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）过点C作DC⊥AB，垂足为D．由垂径定理可知：AD=DB，然后由勾股定理可求得AD的长，从而得到点A和点B的坐标；
（2）由图形的对称性可知P在CD上，从而可求得点P的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+6，将点B的坐标代入可得到a的值，从而可得到抛物线的解析式；
（3）如图2中，设直线y=﹣x+与抛物线的交点为E、F，由∠AMB=120°，可知点P在直线y=﹣x+上方（包括E、F两点，除点N），都是满足条件∠APB＞60°（∠ANB=AMB=60°），利用方程组求出点E、F两点坐标即可解决问题．
（4）取OP的中点E，连接CE，并延长CE到D使ED=CE．首先由线段的中点坐标公式求得点D的坐标，然后判断点D是否在抛物线上即可．
【解答】解：如图1所示：过点M作MD⊥AB，垂足为D．

∵MD⊥AB，
∴AD=DB．
∵在Rt△ADC中，AC=4，CD=2，
∴AD==2．
∴DB=2．
∴A（2﹣2，0）、B（2+2，0）．
故答案为（2﹣2，0），（2+2，0）．

（2）如图1所示：
∵点A与点B关于MD对称，
∴MD为抛物线的对称．
∴顶点N在MD上．
∵MD=2，MN=4，
∴ND=6．
∴N（2，6）．
设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+6．
∵将点B的坐标代入得：12a+6=0，解得：a=﹣，
∴抛物线的解析式y=﹣（x﹣2）2+6，即y=﹣x2+2x+4．

（3）如图2中，设直线y=﹣x+与抛物线的交点为E、F．

在Rt△AMD中，∵AM=2DM，
∴∠MAD=30°，
∴∠AMD=∠BMD=60°，
∴∠AMB=120°，
∴点P在直线y=﹣x+上方（包括E、F两点，除点N），都是满足条件∠APB＞60°（∠ANB=AMB=60°），
由解得或，
∴F（1，），E（5，），
∴m的取值范围：1≤m≤5且m≠2．

（4）存在．
理由：如图3所示：取ON的中点E，连接ME，并延长ME到D使ED=ME．

设点D的坐标为（x，y）．
∵ON与MD相互平分，
∴=， =，
∴x=0，y=4，
∵将x=0代入抛物线的解析式得y=4，
∴点D在抛物线上．
∴当点D的坐标为（0，2）时，OP与CD相互平分．
　

2017年3月1日