人教版数学九年级上册月考模拟试卷十五（含答案）

这是一份人教版数学九年级上册月考模拟试卷十五（含答案），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，解答题二等内容，欢迎下载使用。

人教版数学九年级上册月考模拟试卷
一、选择题
1．在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．已知抛物线y=ax2+bx+c的开口向上，顶点坐标为（3，﹣2），那么该抛物线有（　　）
A．最小值﹣2 B．最大值﹣2 C．最小值3 D．最大值3
3．在二次函数y=﹣x2+2x+1的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（　　）
A．x＜1 B．x＞1 C．x＜﹣1 D．x＞﹣1
4．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x=1，点B坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论：
①2a+b=0；②4a﹣2b+c＜0；③ac＞0；④当y＜0时，x＜﹣1或x＞2．
其中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，AB是⊙O的弦，点C在圆上，已知∠OBA=40°，则∠C=（　　）

A．40° B．50° C．60° D．80°


6．如图，已知∠BOA=30°，M为OB边上一点，以M为圆心、2cm为半径作⊙M．点M在射线OB上运动，当OM=5cm时，⊙M与直线OA的位置关系是（　　）

A．相切 B．相离 C．相交 D．不能确定
7．如图，C是⊙O外一点，CA，CB分别与⊙O相切于点A，B，P是上一点，若∠C=x°，则∠APB的度数是（　　）

A．x° B．（90﹣）° C．（90﹣x）° D．°
8．已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（　　）
A．3 B．9 C．18 D．36
9．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，将△ABC绕边AC所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是（　　）
A．25π B．65π C．90π D．130π
10．在一幅长80厘米，宽50厘米的矩形风景画的四周镶一条金色的纸边，制成一幅矩形挂图，如图，如果要使整个挂图的面积是5400平方厘米，设金色纸边的宽为x厘米，那么满足的方程是（　　）

A．x2+130x﹣1400=0 B．x2+65x﹣350=0
C．x2﹣130x﹣1400=0 D．x2﹣65x﹣350=0
二、填空题
11．方程x（2x+3）=0的根是　　．
12．将二次函数y=x2﹣4x+5化成y=（x﹣h）2+k的形式，则y=　　．
13．已知二次函数y=x2﹣6x+m的最小值是﹣3，那么m的值是　　．
14．已知二次函数当x=2时y有最大值是1，且过点（3，0），则其解析式为　　．
15．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，点E在DC的延长线上．若∠A=50°，则∠BCE=　　．

16．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为　　．

17．如图，已知矩形纸片ABCD，AD=2，，以A为圆心，AD长为半径画弧交BC于点E，将扇形AED剪下围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为　　．

18．如图，点I为△ABC的内心，点O为△ABC的外心，若∠BIC=140°，则∠BOC=　　°．

三、解答题
19．求二次函数y=x2﹣2x﹣1的顶点坐标及它与x轴的交点坐标．




20．如图是某风景区的一个圆拱形门，路面AB宽为2米，净高5米，求圆拱形门所在圆的半径是多少米？




21．如图，已知在△ABC中，∠A=90°．
（1）请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切；（保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）若∠B=60°，AB=6，则⊙P的面积为　　．

　


22．已知抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示．
（1）求b、c的值；
（2）写出当y＜0时，x的取值范围．




23．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）．△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．
（1）画出旋转后的图形；
（2）点A1的坐标为　　；
（3）在旋转过程中，点B经过的路径为弧BB1，求弧BB1的长为多少．


24．如图所示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC，过点D作DE⊥AC于E．
（1）求证：AB=AC；
（2）求证：DE为⊙O的切线．

　








25．农民张大伯为了致富奔小康，大力发展家庭养殖业．他准备用40m长的木栏围一个矩形的羊圈，为了节约材料同时要使矩形的面积最大，他利用了自家房屋一面长25m的墙，设计了如图一个矩形的羊圈．
（1）请你求出张大伯矩形羊圈的面积；
（2）请你判断他的设计方案是否合理？如果合理，直接答合理；如果不合理又该如何设计并说明理由．






26．如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CD与⊙O相切于点E，AD⊥CD于点D．
（1）求证：AE平分∠DAC；
（2）若AB=3，∠ABE=60°．
①求AD的长；
②求出图中阴影部分的面积．







27．如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．
（1）求弦AB的长；
（2）判断∠ACB是否为定值？若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由；
（3）记△ABC的面积为S，若=4，求△ABC的周长．

　
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】结合选项根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．
故选B．
　
2．已知抛物线y=ax2+bx+c的开口向上，顶点坐标为（3，﹣2），那么该抛物线有（　　）
A．最小值﹣2 B．最大值﹣2 C．最小值3 D．最大值3
【考点】二次函数的最值．
【分析】根据抛物线的开口向上，顶点坐标为（3，﹣2），可直接做出判断．
【解答】解：由抛物线y=ax2+bx+c的开口向上，顶点坐标为（3，﹣2），
可知该抛物线有最小值﹣2，
故选：A．
　
3．在二次函数y=﹣x2+2x+1的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（　　）
A．x＜1 B．x＞1 C．x＜﹣1 D．x＞﹣1
【考点】二次函数的性质．
【分析】抛物线y=﹣x2+2x+1中的对称轴是直线x=1，开口向下，x＜1时，y随x的增大而增大．
【解答】解：∵a=﹣1＜0，
∴二次函数图象开口向下，
又对称轴是直线x=1，
∴当x＜1时，函数图象在对称轴的左边，y随x的增大增大．
故选A．
　
4．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x=1，点B坐标为（﹣1，0）．则下面的四个结论：
①2a+b=0；②4a﹣2b+c＜0；③ac＞0；④当y＜0时，x＜﹣1或x＞2．
其中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】根据对称轴为x=1可判断出2a+b=0正确，当x=﹣2时，4a﹣2b+c＜0，根据开口方向，以及与y轴交点可得ac＜0，再求出A点坐标，可得当y＜0时，x＜﹣1或x＞3．
【解答】解：∵对称轴为x=1，
∴x=﹣=1，
∴﹣b=2a，
∴①2a+b=0，故此选项正确；
∵点B坐标为（﹣1，0），
∴当x=﹣2时，4a﹣2b+c＜0，故此选项正确；
∵图象开口向下，∴a＜0，
∵图象与y轴交于正半轴上，
∴c＞0，
∴ac＜0，故ac＞0错误；
∵对称轴为x=1，点B坐标为（﹣1，0），
∴A点坐标为：（3，0），
∴当y＜0时，x＜﹣1或x＞3．，
故④错误；
故选：B．
　
5．如图，AB是⊙O的弦，点C在圆上，已知∠OBA=40°，则∠C=（　　）

A．40° B．50° C．60° D．80°
【考点】圆周角定理．
【分析】首先根据等边对等角即可求得∠OAB的度数，然后根据三角形的内角和定理求得∠AOB的度数，再根据圆周角定理即可求解．
【解答】解：∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=40°，
∴∠AOB=180°﹣40°﹣40°=100°．
∴∠C=∠AOB=×100°=50°．
故选B．
　
6．如图，已知∠BOA=30°，M为OB边上一点，以M为圆心、2cm为半径作⊙M．点M在射线OB上运动，当OM=5cm时，⊙M与直线OA的位置关系是（　　）

A．相切 B．相离 C．相交 D．不能确定
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】作MH⊥OA于H，如图，根据含30度的直角三角形三边的关系得到MH=OM=，则MH大于⊙M的半径，然后根据直线与圆的位置关系的判定方法求解．
【解答】解：作MH⊥OA于H，如图，
在Rt△OMH中，∵∠HOM=30°，
∴MH=OM=，
∵⊙M的半径为2，
∴MH＞2，
∴⊙M与直线OA的位置关系是相离．
故选B．

　
7．如图，C是⊙O外一点，CA，CB分别与⊙O相切于点A，B，P是上一点，若∠C=x°，则∠APB的度数是（　　）

A．x° B．（90﹣）° C．（90﹣x）° D．°
【考点】切线的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质．
【分析】连接OA、OB，由CA，CB分别与⊙O相切于点A，B，根据切线的性质得到OA⊥CA，OB⊥CB，得到∠AOB=180°﹣∠C=180°﹣x°，再根据圆周角定理得到∠P=∠AOB，即可得到答案．
【解答】解：连接OA、OB，如图，
∵CA，CB分别与⊙O相切于点A，B，
∴OA⊥CA，OB⊥CB，即∠OAC=∠OBC=90°，
∴∠AOB=180°﹣∠C=180°﹣x°，
∴∠P=∠AOB=（90﹣x）°．
故选B．

　
8．已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（　　）
A．3 B．9 C．18 D．36
【考点】正多边形和圆．
【分析】解题的关键要记住正六边形的特点，它被半径分成六个全等的等边三角形．
【解答】解：连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，
等边三角形的边长是2，高为3，
因而等边三角形的面积是3，
∴正六边形的面积=18，
故选C．
　
9．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，将△ABC绕边AC所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是（　　）
A．25π B．65π C．90π D．130π
【考点】圆锥的计算；勾股定理．
【分析】运用公式s=πlr（其中勾股定理求解得到母线长l为13）求解．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，
∴AB==13，
∴母线长l=13，半径r为5，
∴圆锥的侧面积是s=πlr=13×5×π=65π．
故选B．
　
10．在一幅长80厘米，宽50厘米的矩形风景画的四周镶一条金色的纸边，制成一幅矩形挂图，如图，如果要使整个挂图的面积是5400平方厘米，设金色纸边的宽为x厘米，那么满足的方程是（　　）

A．x2+130x﹣1400=0 B．x2+65x﹣350=0
C．x2﹣130x﹣1400=0 D．x2﹣65x﹣350=0
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】根据矩形的面积=长×宽，我们可得出本题的等量关系应该是：
（风景画的长+2个纸边的宽度）×（风景画的宽+2个纸边的宽度）=整个挂图的面积，由此可得出方程．
【解答】解：依题意，设金色纸边的宽为xcm，则
（80+2x）（50+2x）=5400，
整理得出：x2+65x﹣350=0．
故选：B．
　
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．方程x（2x+3）=0的根是　x1=0，x2=﹣　．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】利用因式分解法解方程．
【解答】解：x=0或2x+3=0，
所以x1=0，x2=﹣．
故答案为x1=0，x2=﹣．
　
12．将二次函数y=x2﹣4x+5化成y=（x﹣h）2+k的形式，则y=　（x﹣2）2+1　．
【考点】二次函数的三种形式．
【分析】将二次函数y=x2﹣4x+5的右边配方即可化成y=（x﹣h）2+k的形式．
【解答】解：y=x2﹣4x+5，
y=x2﹣4x+4﹣4+5，
y=x2﹣4x+4+1，
y=（x﹣2）2+1．
故答案为：y=（x﹣2）2+1．
　
13．已知二次函数y=x2﹣6x+m的最小值是﹣3，那么m的值是　6　．
【考点】二次函数的最值．
【分析】将二次函数化为顶点式，即可建立关于m的等式，解方程求出m的值即可．
【解答】解：原式可化为：y=（x﹣3）2﹣9+m，
∵函数的最小值是﹣3，
∴﹣9+m=﹣3，
m=6．
故答案为：6
　
14．已知二次函数当x=2时y有最大值是1，且过点（3，0），则其解析式为　y=﹣（x﹣2）2+1　．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的最值．
【分析】设这个函数解析式为y=a（x﹣2）2+1，把点（3，0）代入解析式求出a即可．
【解答】解：设这个函数解析式为y=a（x﹣2）2+1，
把点（3，0）代入，得0=a（3﹣2）2+1，解得a=﹣1，
所以这个函数解析式是y=﹣（x﹣2）2+1．
故答案为y=﹣（x﹣2）2+1．
　
15．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，点E在DC的延长线上．若∠A=50°，则∠BCE=　50°　．

【考点】圆内接四边形的性质．
【分析】根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角求解．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCE=∠A=50°．
故答案为50°．
　
16．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为　2　．

【考点】切线长定理．
【分析】由于AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC=AP，BP=BD，求出BP的长即可求出BD的长．
【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC=AP，
∵BP、BD为⊙O的切线，
∴BP=BD，
∴BD=PB=AB﹣AP=5﹣3=2．
故答案为：2．
　
17．如图，已知矩形纸片ABCD，AD=2，，以A为圆心，AD长为半径画弧交BC于点E，将扇形AED剪下围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为　　．

【考点】圆锥的计算．
【分析】易得∠BAE的余弦值，也就求得了∠BAE的度数，进而可求得∠DAE的度数，利用弧长公式可求得圆锥的侧面展开图的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．
【解答】解：cos∠BAE=，
∴∠BAE=30°，
∴∠DAE=60°，
∴圆锥的侧面展开图的弧长为： =π，
∴圆锥的底面半径为π÷2π=．
　
18．如图，点I为△ABC的内心，点O为△ABC的外心，若∠BIC=140°，则∠BOC=　160　°．

【考点】三角形的内切圆与内心；三角形的外接圆与外心．
【分析】因为点I为△ABC的内心，推出∠IAB+∠IBA=（∠ABC+∠ACB）=180°﹣140°=40°，推出∠ABC+∠ACB=80°，推出∠A=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=100°，
作△ABC的外接圆如图，在⊙O上取一点D，连接BD、CD．因为∠D=180°﹣∠A=80°，根据∠BOC=2∠D即可解决问题．
【解答】解：∵点I为△ABC的内心，
∴∠IAB+∠IBA=（∠ABC+∠ACB）=180°﹣140°=40°，
∴∠ABC+∠ACB=80°，
∴∠A=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=100°
∵点O为△ABC的外心，作△ABC的外接圆如图，在⊙O上取一点D，连接BD、CD．
∴∠D=180°﹣∠A=80°，
∴∠BOC=2∠D=160°．
故答案为160．

　
三、解答题一（本大题有3个小题，每小题均6分，共18分）
19．求二次函数y=x2﹣2x﹣1的顶点坐标及它与x轴的交点坐标．
【考点】二次函数的性质；抛物线与x轴的交点．
【分析】本题已知二次函数的一般式，求顶点，可以通过配方法把解析式写成顶点式，求它与x轴的交点坐标，可以设y=0，求方程x2﹣2x﹣1=0的解．
【解答】解：∵y=x2﹣2x﹣1
=x2﹣2x+1﹣2
=（x﹣1）2﹣2
∴二次函数的顶点坐标是（1，﹣2）
设y=0，则x2﹣2x﹣1=0
∴（x﹣1）2﹣2=0
（x﹣1）2=2，x﹣1=±
∴x1=1+，x2=1﹣．
二次函数与x轴的交点坐标为（1+，0）（1﹣，0）．
　
20．如图是某风景区的一个圆拱形门，路面AB宽为2米，净高5米，求圆拱形门所在圆的半径是多少米？

【考点】垂径定理的应用．
【分析】连接OA，由垂径定理易得出AD的长度，在Rt△OAD中，可用半径表示出OD的长，根据勾股定理即可求出半径的长度．
【解答】解：连接OA；
Rt△OAD中，AD=AB=1米；
设⊙O的半径为R，则OA=OC=R，OD=5﹣R；
由勾股定理，得：OA2=AD2+OD2，即：
R2=（5﹣R）2+12，解得R=2.6（米）；
答：圆柱形门所在圆的半径是2.6米．
　
21．如图，已知在△ABC中，∠A=90°．
（1）请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切；（保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）若∠B=60°，AB=6，则⊙P的面积为　12π　．

【考点】作图—复杂作图；切线的判定．
【分析】（1）作角B的平分线，与AC的交点就是圆心P，此时⊙P与AB，BC两边都相切；
如图，作BC的垂线PD，证明PD和半径相等即可，根据角平分线的性质可得：PA=PD．
（2）根据角平分线得∠PBA=30°，根据30°角的正切求圆P的半径AP的长，代入面积公式可以求⊙P的面积．
【解答】解：（1）作法：①作∠ABC的平分线BP，交AC于P，
②以P为圆心，以PA为半径作圆，
则⊙P就是符合条件的圆；
证明：过P作PD⊥BC于D，
∵∠BAC=90°，
∴⊙P与AB相切，
∵BP平分∠ABC，
∴AP=PD
∵⊙P的半径是PA，
∴PD也是⊙P的半径，即⊙P与BC也相切；
（2）∵∠ABC=60°，BP平分∠ABC，
∴∠ABP=30°，
∴tan30°=，
∴PA=AB•tan30°=6×=2，
∴⊙P的面积=π×（2）2=12π，
故答案为：12π．

　
四、解答题二（本大题有3个小题，每小题均8分，共24分）
22．已知抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示．
（1）求b、c的值；
（2）写出当y＜0时，x的取值范围．

【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】（1）待定系数法求解可得；
（2）求出y=0时x的值，结合函数图象可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，将（1，0）、（0，3）代入，得：
，
解得：；

（2）由（1）知抛物线解析式为y=﹣x2﹣2x+3，
令y=0得：﹣x2﹣2x+3=0，
解得：x=1或x=﹣3，
∴当x＜﹣3或x＞1时，y＜0．
　
23．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）．△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．
（1）画出旋转后的图形；
（2）点A1的坐标为　（﹣2，3）　；
（3）在旋转过程中，点B经过的路径为弧BB1，求弧BB1的长为多少．

【考点】作图-旋转变换．
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点A1、B1，然后描点即可得到△A1OB1；
（2）利用画图写出点A1的坐标；
（3）利用弧长公式求解．
【解答】解：（1）如图，△A1OB1为所作；

（2）点A1的坐标为（﹣2，3）；
（3）OB==，
所以弧BB1的长==π．
故答案为（﹣2，3）．
　
24．如图所示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC，过点D作DE⊥AC于E．
（1）求证：AB=AC；
（2）求证：DE为⊙O的切线．

【考点】切线的判定；等腰三角形的性质；圆周角定理．
【分析】（1）连接AD，根据中垂线定理不难求得AB=AC；
（2）要证DE为⊙O的切线，只要证明∠ODE=90°即可．
【解答】证明：（1）连接AD；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
又∵DC=BD，
∴AD是BC的中垂线．
∴AB=AC．

（2）连接OD；
∵OA=OB，CD=BD，
∴OD∥AC．
∴∠0DE=∠CED．
又∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°．
∴∠ODE=90°，即OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线．

　
三、解答题三（本大题有3个小题，每小题均9分，共27分）
25．农民张大伯为了致富奔小康，大力发展家庭养殖业．他准备用40m长的木栏围一个矩形的羊圈，为了节约材料同时要使矩形的面积最大，他利用了自家房屋一面长25m的墙，设计了如图一个矩形的羊圈．
（1）请你求出张大伯矩形羊圈的面积；
（2）请你判断他的设计方案是否合理？如果合理，直接答合理；如果不合理又该如何设计并说明理由．

【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）木栏只有三面，总长为40，其中长为25，则宽为，易求面积；
（2）设长为x，表示出宽和面积，运用函数的性质求出面积最大时的长和宽，然后回答问题．
【解答】解：（1）40﹣25=15故矩形的宽为
∴sABCD=×25=187.5

（2）设利用xm的墙作为矩形羊圈的长，则宽为，
设矩形的面积为ym2
则y=x•=﹣x2+20x=﹣（x﹣20）2+200，
∵a=﹣＜0，
故当x=20时，y的最大值为200，
∵200＞187.5，
故张大伯设计不合理，应设计为长20m，宽10m利用20m墙的矩形羊圈．
　
26．如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CD与⊙O相切于点E，AD⊥CD于点D．
（1）求证：AE平分∠DAC；
（2）若AB=3，∠ABE=60°．
①求AD的长；
②求出图中阴影部分的面积．

【考点】切线的性质；扇形面积的计算．
【分析】（1）连接OE，由切线的性质可知，OE⊥CD，再根据AD⊥CD可知AD∥OE，故∠DAE=∠AEO，再由OA=OE可知∠EAO=∠AEO，故∠DAE=∠EAO，故可得出结论；
（2）①先根据∠ABE=60°求出∠EAO的度数，进而得出∠DAE的度数，再根据锐角三角函数的定义求出AE及BE的长，在Rt△ADE中利用锐角三角函数的定义即可得出AD的长；
②由三角形内角和定理求出∠AOE的度数，再根据OA=OB可知S△AOE=S△BOE=S△ABE求出△AOE的面积，由S阴影=S扇形AOE﹣S△AOE即可得出结论．
【解答】解：（1）连接OE．
∵CD是⊙O的切线，
∴OE⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴AD∥OE，
∴∠DAE=∠AEO，
∵OA=OE，
∴∠EAO=∠AEO，
∴∠DAE=∠EAO，
∴AE平分∠DAC；

（2）①∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵∠ABE=60°，
∴∠EAO=30°，
∴∠DAE=∠EAO=30°，
∵AB=3，
∴AE=AB•cos30°=3×=，BE=AB=，
在Rt△ADE中，
∵∠DAE=30°，AE=，
∴AD=AE•cos30°=×=；
②∵∠EAO=∠AEO=30°，
∴∠AOE=180°﹣∠EAO﹣∠AEO=180°﹣30°﹣30°=120°，
∵OA=OB，
∴S△AOE=S△BOE=S△ABE，
∴S阴影=S扇形OAE﹣S△AOE=S扇形OAE﹣S△ABE═﹣×××=﹣=．

　
27．如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．
（1）求弦AB的长；
（2）判断∠ACB是否为定值？若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由；
（3）记△ABC的面积为S，若=4，求△ABC的周长．

【考点】三角形的内切圆与内心；三角形的面积；勾股定理；垂径定理；切线长定理．
【分析】（1）连接OA，OP与AB的交点为F，则△OAF为直角三角形，且OA=1，OF=，借助勾股定理可求得AF的长；
（2）要判断∠ACB是否为定值，只需判定∠CAB+∠ABC的值是否是定值，由于⊙D是△ABC的内切圆，所以AD和BD分别为∠CAB和∠ABC的角平分线，因此只要∠DAE+∠DBA是定值，那么CAB+∠ABC就是定值，而∠DAE+∠DBA等于弧AB所对的圆周角，这个值等于∠AOB值的一半；
（3）由题可知S=S△ABD+S△ACD+S△BCD=DE（AB+AC+BC），又因为=4，所以AB+AC+BC=8DE，由于DH=DG=DE，所以在Rt△CDH中，CH=DH=DE，同理可得CG=DE，又由于AG=AE，BE=BH，所以AB+AC+BC=CG+CH+AG+AB+BH=2DE+2，可得8DE=2DE+2，解得：DE=，代入AB+AC+BC=8DE，即可求得周长为．
【解答】解：（1）连接OA，取OP与AB的交点为F，则有OA=1．
∵弦AB垂直平分线段OP，
∴OF=OP=，AF=BF，
在Rt△OAF中，
∵AF===，
∴AB=2AF=．

（2）∠ACB是定值．
理由：连接AD、BD，
由（1），OF=，AF=，
∴tan∠AOP==，
∴∠AOP=60°，
∴∠AOB=120°，
∵点D为△ABC的内心，
∴∠CAB=2∠DAE，∠CBA=2∠DBA，
∵∠DAE+∠DBA=∠AOD+∠DOB=∠AOB=60°，
∴∠CAB+∠CBA=120°，
∴∠ACB=60°．

（3）记△ABC的周长为l，取AC，BC与⊙D的切点分别为G，H，连接OD．
连接DG，DC，DH，则有DG=DH=DE，DG⊥AC，DH⊥BC，
∴S=S△ABD+S△ACD+S△BCD
=AB•DE+BC•DH+AC•DG=（AB+BC+AC）•DE=l•DE，
∵=4，
∴=4，
∴l=8DE，
∵CG，CH是⊙D的切线，
∴∠GCD=∠ACB=30°，
∴在Rt△CGD中，CG===DE，
∴CH=CG=DE，
又由切线长定理可知AG=AE，BH=BE，
∴AG+BH=AE+BE=AB，
∴l=AB+BC+AC=AB+AG+BH+CG+CH=2（AB+CG）=2+2DE=8DE，
解得DE=，
∴△ABC的周长为．

　

2017年2月15日