高中物理人教版 (2019)选择性必修 第一册第二章 机械振动3 简谐运动的回复力和能量学案设计

3．简谐运动的回复力和能量

学习目标：1.[物理观念]理解回复力的概念、简谐运动的能量．　2.[科学思维]会用动力学方法，分析简谐运动的变化规律．　3.[科学探究]能定性地说明弹簧振子系统的机械能守恒．

☆ 阅读本节教材，回答第41页“问题”并梳理必要知识点．

教材第41页问题提示：小球受到的力与小球偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置．

一、简谐运动的回复力

1．回复力

(1)定义：振动质点受到的总能使其回到平衡位置的力．

(2)方向：指向平衡位置．

(3)表达式：F＝－kx.

2．简谐运动的动力学特征

如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动．

说明：(3)式中k是比例系数，并非弹簧的劲度系数(水平弹簧振子中的k才为弹簧的劲度系数)，其值由振动系统决定，与振幅无关．

二、简谐运动的能量

1．振动系统(弹簧振子)的状态与能量的对应关系

弹簧振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程．

(1)在最大位移处，势能最大，动能为零．

(2)在平衡位置处，动能最大，势能最小．

2．简谐运动的能量特点：在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型．

1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)简谐运动是一种理想化的振动． (√)

(2)水平弹簧振子运动到平衡位置时，回复力为零，因此能量一定为零．

  (×)

(3)弹簧振子位移最大时，势能也最大． (√)

(4)回复力的方向总是与位移的方向相反． (√)

2．(多选)弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动，在振子向平衡位置运动的过程中(　　)

A．振子所受的回复力逐渐增大

B．振子的位移逐渐减小

C．振子的速度逐渐减小

D．振子的加速度逐渐减小

BD　[该题考查的是回复力、加速度、速度随位移的变化关系，应根据牛顿第二定律进行分析．当振子向平衡位置运动时，位移逐渐减小，而回复力与位移大小成正比，故回复力也减小．由牛顿第二定律a＝得加速度也减小．振子向着平衡位置运动时，回复力与速度方向一致，即加速度与速度方向一致，故振子的速度逐渐增大．故正确答案为B、D.]

3.(多选)把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它围绕平衡位置O在A、B间振动，如图所示，下列结论正确的是(　　)

A．小球在O位置时，动能最大，加速度最小

B．小球在A、B位置时，动能最小，加速度最大

C．小球从A经O到B的过程中，回复力一直做正功

D．小球从B到O的过程中，振子振动的能量不断增加

AB　[小球在平衡位置O时，弹簧处于原长，弹性势能为零，动能最大，位移为零，加速度为零，A项正确；在最大位移A、B处，动能为零，加速度最大，B项正确；由A→O，回复力做正功，由O→B，回复力做负功，C项错误；由B→O，动能增加，弹性势能减少，总能量不变，D项错误．]

1．回复力的性质

回复力是根据力的效果命名的，它可以是一个力，也可以是多个力的合力，还可以由某个力的分力提供．如图甲所示，水平方向的弹簧振子，弹力充当回复力；如图乙所示，竖直方向的弹簧振子，弹力和重力的合力充当回复力；如图丙所示，m随M一起振动，m的回复力是静摩擦力．

甲　　　　乙　　　　丙

2．简谐运动的回复力的特点

(1)由F＝－kx知，简谐运动的回复力大小与振子的位移大小成正比，回复力的方向与位移的方向相反，即回复力的方向总是指向平衡位置．

(2)公式F＝－kx中的k指的是回复力与位移的比例系数，而不一定是弹簧的劲度系数，系数k由振动系统自身决定．

(3)根据牛顿第二定律得，a＝＝－x，表明弹簧振子做简谐运动时振子的加速度大小也与位移大小成正比，加速度方向与位移方向相反．

名师点睛：因x＝Asin(ωt＋φ)，故回复力F＝－kx＝－kAsin(ωt＋φ)，可见回复力随时间按正弦规律变化．

【例1】　一质量为m的小球，通过一根轻质弹簧悬挂在天花板上，如图所示．

(1)小球在振动过程中的回复力实际上是________；

(2)该小球的振动是否为简谐运动？

[解析]　(1)此振动过程的回复力实际上是弹簧的弹力与重力的合力．

(2)设振子的平衡位置为O，向下方向为正方向，此时弹簧已经有了一个伸长量h，设弹簧的劲度系数为k，由平衡条件得kh＝mg①

当振子向下偏离平衡位置的距离为x时，回复力即合外力为F回＝mg－k(x＋h)②

将①代入②式得：F回＝－kx，可见小球所受合外力与它的位移的关系符合简谐运动的受力特点，该振动系统的振动是简谐运动．

[答案]　(1)弹力和重力的合力　(2)是简谐运动

判断是否为简谐运动的方法

(1)以平衡位置为原点，沿运动方向建立直线坐标系．

(2)在振动过程中任选一个位置(平衡位置除外)，对振动物体进行受力分析．

(3)将力在振动方向上分解，求出振动方向上的合力．

(4)判定振动方向上合外力(或加速度)与位移关系是否符合F＝－kx(或a＝－x)，若符合，则为简谐运动，否则不是简谐运动．

1．(多选)如图所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B两点之间做往复运动，下列说法正确的是(　　)

A．弹簧振子在运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用

B．弹簧振子在运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力作用

C．弹簧振子由A向O运动的过程中，回复力逐渐增大

D．弹簧振子由O向B运动的过程中，回复力的方向指向平衡位置

AD　[回复力是根据力的效果命名的，不是做简谐运动的物体受到的具体的力，它是由物体受到的具体的力提供的，在此情境中弹簧振子受重力、支持力和弹簧弹力的作用，故A正确，B错误；回复力与位移的大小成正比，弹簧振子由A向O运动的过程中位移在减小，则在此过程中回复力逐渐减小，故C错误；回复力的方向总是指向平衡位置，故D正确．]

教材第42页“做一做”答案

1．简谐运动的能量

做简谐运动的物体在振动中经过某一位置时所具有的势能和动能之和，称为简谐运动的能量．

2．对简谐运动的能量的理解注意以下几点

3.决定能量大小的因素

振动系统的机械能跟振幅有关，对一个给定的振动系统，振幅越大，振动越强，振动的机械能越大；振幅越小，振动越弱，振动的机械能越小．

名师点睛：(1)在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周期性变化．(2)振子运动经过平衡位置两侧的对称点时，具有相等的动能和相等的势能．

【例2】　如图所示，一轻弹簧一端固定，另一端连接一物块构成弹簧振子，该物块是由a、b两个小物块粘在一起组成的．物块在光滑水平面上左右振动，振幅为A0，周期为T0.当物块向右通过平衡位置时，a、b之间的粘胶脱开；以后小物块a振动的振幅和周期分别为A和T，则A________A0(选填“＞”“＜”或“＝”)，T________T0(选填“＞”“＜”或“＝”)．

思路点拨：解答本题注意以下两点：

(1)系统的机械能与振幅有关，机械能越大，振幅越大．

(2)弹簧振子运动的周期含义．

[解析]　弹簧振子通过平衡位置时弹性势能为零，动能最大．向右通过平衡位置，a由于受到弹簧弹力做减速运动，b做匀速运动，两者分离．物块a与弹簧组成的系统的机械能小于原来系统的机械能，所以物块a振动的振幅减小，A＜A0.由于振子质量减小，物块a的加速度的大小增大，所以周期减小，T＜T0.

[答案]　＜　＜

简谐运动的能量

同一简谐运动中的能量只由振幅决定，即振幅不变时系统能量不变，当位移最大时系统的能量体现为势能，动能为零，当处于平衡位置时势能最小，动能最大，这两点是解决此类问题的突破口．

训练角度1　简谐运动的运动学、动力学特征

2．如图所示，一弹簧振子在一条直线上做简谐运动，第一次先后经过M、N两点时速度v(v≠0)相同．那么，下列说法正确的是(　　)

A．振子在M、N两点所受弹簧弹力相同

B．振子在M、N两点对平衡位置的位移相同

C．振子在M、N两点加速度大小相等

D．从M点到N点，振子先做匀加速运动，后做匀减速运动

C　[由题意和简谐运动的对称性特点知：M、N两点关于平衡位置O对称．因位移、速度、加速度和力都是矢量，它们要相同，必须大小相等、方向相同．M、N两点关于O点对称，振子所受弹力应大小相等，方向相反，振子位移也是大小相等，方向相反，由此可知，A、B选项错误；振子在M、N两点的加速度虽然方向相反，但大小相等，故C选项正确；振子由M到O速度越来越大，但加速度越来越小，振子做加速运动，但不是匀加速运动，振子由O到N速度越来越小，但加速度越来越大，振子做减速运动，但不是匀减速运动，故D选项错误．]

训练角度2　简谐运动的能量

3．(多选)如图所示，轻质弹簧下面挂一个质量为m的物体，物体在竖直方向做振幅为A的简谐运动，当物体振动到最高点时，弹簧正好为原长．在物体做简谐运动的过程中，弹簧一直处于弹性限度内，重力加速度为g，则在物体振动过程中(　　)

A．物体在最低点时的弹力大小为2mg

B．弹簧的弹性势能和物体的动能总和不变

C．弹簧的最大弹性势能等于2mgA

D．物体的最大动能等于mgA

AC　[由下表分析可知，选项A、C正确．

]

1．(多选)关于做简谐运动物体的平衡位置，下列叙述正确的是(　　)

A．是回复力为零的位置

B．是回复力产生的加速度改变方向的位置

C．是速度为零的位置

D．是回复力产生的加速度为零的位置

ABD　[平衡位置处，x＝0，则回复力F＝0，回复力产生的加速度为零，且此处速度最大，势能最小，A、D正确，C错误；在平衡位置两边位移方向相反，回复力方向相反，对应加速度方向相反，B正确．]

2．(多选)关于简谐运动，以下说法正确的是(　　)

A．回复力可能是物体受到的合外力

B．回复力是根据力的作用效果命名的

C．振动中位移的方向是不变的

D．物体振动到平衡位置时所受合外力一定等于零

AB　[回复力可以是某个力，可以是某个力的分力，也可以是几个力的合力，A正确；回复力可以由重力、弹力、摩擦力等各种不同性质的力提供，其效果是使物体回到平衡位置，B正确；位移是从平衡位置指向物体所在位置，其方向是变化的，做简谐运动的物体振幅是不变的，C错误；物体振动到平衡位置时，所受回复力为零，但合外力不一定为零，D错误．]

3．(多选)如图所示是某一质点做简谐运动的图像，下列说法正确的是 (　　)

A．在第1 s内，质点速度逐渐增大

B．在第2 s内，质点速度逐渐增大

C．在第3 s内，动能转化为势能

D．在第4 s内，动能转化为势能

BC　[质点在第1 s内，由平衡位置向正向最大位移处运动，做减速运动，所以选项A错误；在第2 s内，质点由正向最大位移处向平衡位置运动，做加速运动，所以选项B正确；在第3 s内，质点由平衡位置向负向最大位移处运动，动能转化为势能，所以选项C正确；在第4 s内，质点由负向最大位移处向平衡位置运动，加速度减小，速度增大，势能转化为动能，所以选项D错误．]

4.如图所示，将弹簧振子从平衡位置拉下一段距离Δx，释放后振子在A、B间振动，且AB＝20 cm，振子由A到B的时间为0.1 s．若使振子在AB＝10 cm间振动，则振子由A到B的时间为________．

[解析]　由于周期不变，仍为0.2 s，A到B仍用时0.1 s.

[答案]　0.1 s

5．[思维拓展]

如图所示，把一个有孔的小球A装在轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定，小球穿在沿x轴的水平光滑杆上，且能够在杆上自由滑动．把小球沿x轴拉开一段距离，小球将做振幅为R的振动，O为振动的平衡位置．另一小球B在竖直平面内以O′为圆心，在电动机的带动下，沿顺时针方向做半径为R的匀速圆周运动．O与O′在同一竖直线上．用竖直向下的平行光照射小球B，适当调整B的转速，可以观察到，小球B在x轴方向上的“影子”和小球A在任何瞬间都重合．已知弹簧劲度系数为k，小球A的质量为m，弹簧的弹性势能表达式为Ep＝kx2，其中k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的形变量．

问题：(1)请结合以上实验证明：小球A振动的周期T＝2π.

(2)简谐运动的一种定义：如果质点的位移x与时间t的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像(x­t图像)是一条正弦曲线，这样的振动叫作简谐运动．请根据这个定义并结合以上实验证明：小球A在弹簧作用下的振动是简谐运动，并写出用已知量表示的位移x与时间t关系的表达式．

[解析]　(1)以小球A为研究对象，设它经过平衡位置O时的速度为v，当它从O运动到最大位移处，根据机械能守恒定律，有mv2＝kR2，由此得v＝R

由题中实验可知，小球B在x轴方向上的“影子”的速度时刻与小球A的速度相等，小球A经过O点的速度v与小球B经过最低点的速度相等，即小球B做匀速圆周运动的线速度也为v.小球A振动的周期与小球B做匀速圆周运动的周期相等．

根据匀速圆周运动的周期公式，小球B的运动周期为T＝

则小球B的运动周期为T＝2π

所以小球A的振动周期也为T＝2π.

(2)设小球B做匀速圆周运动的角速度为ω，小球A从O向右运动、小球B从最高点向右运动开始计时，经过时间t，小球B与O′的连线与竖直方向夹角为φ，如图，此时小球B在x轴方向上的位移为x＝Rsin φ＝Rsin ωt

又ω＝

将T值代入可得x＝Rsin(·t)

由题中实验可知小球B在x轴方向上的“影子”和小球A在任何瞬间都重合，即小球A的位移规律也为x＝Rsin(·t)，其中R、k、m为常量

所以小球A的运动是简谐运动．

[答案]　(1)见解析　(2)见解析　x＝Rsin(·t)