华师大版九年级下册27.2 与圆有关的位置关系综合与测试达标测试

27.2与圆有关的位置关系同步练习华师大版初中数学九年级下册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，PA、PB是切线，A、B为切点，点C在上，且，则等于

A.
B.
C.
D.

2. 如图，菱形OABC的顶点A，B，C在上，过点B作的切线交OA的延长线于点若的半径为1，则BD的长为

A. 1
B. 2
C.
D.

3. 如图，的直径，BC切于点B，OC平行于弦AD，，则AD的长为

A.
B.
C.
D.

4. 如图，点I和O分别是的内心和外心，若，则的度数为     

A.
B.
C.
D.

5. 如图，已知上三点A，B，C，半径，，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为

A. 2
B.
C.
D.

6. 如图，BM与相切于点B，若，则的度数为     

A.
B.
C.
D.

7. 如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE、DE，分别交BD、AC于点P、Q，过点P作交CB的延长线于F，下列结论：
   ，
   ，
   ，
   若四边形OPEQ的面积为4，则该正方形ABCD的面积为36，
   ．
   其中正确的结论有

A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个

8. 等边三角形ABC内接于，P是劣弧上一点不与A，B重合，将绕C点顺时针旋转，得，AB交PC于点则下列结论错误的是

A.
B.
C. 四边形ABCD有可能成为平行四边形
D. 的面积有最大值
 

9. 下列说法正确的是

A. 平分弦的直径垂直于弦
B. 圆的内接四边形的对角相等
C. 三点确定一个圆
D. 三角形的任意两边垂直平分线的交点是三角形的外心

10. 选择已知O为内心，C O的延长线交的外接圆于D点，若，则

A.
B.
C.
D.

11. 如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在的外部，下列叙述不正确的是   

A. O是的外心，O不是的外心
B. O是的外心，O不是的外心
C. O是的外心，O不是的外心
D. O是的外心，O不是的外心
 

12. 如图，内接于，，点E，F在BC上不与B、C重合，点D在弧BC上，是正三角形，设，，已知y与x的函数图象如图所示，则的边长是

A. 2 B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 如图，已知AB是的直径，BC与相切于点B，连接AC，若，则______．
    
     

14. 如图，已知上三点A，B，C，半径，，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为______．
    
     

15. 点O是的外心，若，则的度数为          ．
16. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连结则线段OQ的最大值是_____。
    
     

17. 直角三角形的两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为______．

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）

18. 如图，AB为的直径，C为BA延长线上一点，CD是的切线，D为切点，于点E，交CD于点F．
    求证：；
    若，，求EF的长．

19. 如图，点D是以AB为直径的上一点，过点B作的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F．
    求证：DF是的切线；
    若，，求AD的长．
     

20. 如图，在中，，点D为AC上一点，以CD为直径的交AB于点E，连接CE，且CE平分．
    求证：AE是的切线；
    连接DE，若，求．
    
    
    
    
    
    
     
21. 在矩形ABCD中，，，以点A为圆心AB为半径作圆，则B，C，D三点分别与有怎样的位置关系？AC的中点M与又有怎样的位置关系？
    
    
    
    
    
    
     
22. 已知：如图，在中，，与AB相切于点求证：小明同学的证明过程如下框：

小明的证法是否正确？若正确，请在框内打“”；若错误，请写出你的证明过程．






 

23. 如图，在中，，D为AB的中点，以CD为直径的分别交AC，BC于点E，F两点，过点F作于点G．
    
    试判断FG与的位置关系，并说明理由．
    若，，求FG的长．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了多边形的内角和定理，切线的性质，圆周角定理的应用，关键是求出的度数．
根据圆周角定理构造它所对的弧所对的圆心角，即连接OA，OB，求得，再根据切线的性质以及四边形的内角和定理即可求解．
【解答】
解：连接OA，OB，

，PB是的切线，
，，
，
，
．
故选：B．  

2.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查了切线的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练切线的性质定理是解题的关键．连接OB，根据菱形的性质得到，求得，根据切线的性质得到，即可得到结论．
【解答】
解：连接OB，
四边形OABC是菱形，
，
，
，
，
是的切线，
，
，
，
故选D．  

3.【答案】B
 

【解析】

【分析】本题综合考查切线、平行线、圆周角的性质，锐角三角函数的定义等知识点的运用．此题是一个综合题，难度中等．
首先由切线的性质得出，根据锐角三角函数的定义求出的值；连接BD，由直径所对的圆周角是直角，得出，又由平行线的性质知，则，在直角中，由余弦的定义求出AD的长．
【解答】解：连接BD，
是直径，
，
，
，
，
切于点B，
，
，
．
又，，
．
故选：B．  

4.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查了三角形的内接圆与内心，三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是正确利用表示的度数．
根据圆周角定义，以及内心的定义，可以利用表示出和，即可得到两个角的关系，即可解答．
【解答】
解：点O是的外心，
，
，
点I是的内心，
，，

，

，
，
，
．
故选D．  

5.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了切线的性质和圆周角定理、解直角三角形等知识点，能熟记切线的性质是解此题的关键，注意：圆的切线垂直于过切点的半径．
连接OA，根据圆周角定理求出，根据切线的性质求出，解直角三角形求出AP即可．
【解答】
解：连接OA，

，
，
是的切线，
，
，
，
故选：B．  

6.【答案】A
 

【解析】

【分析】
连接OA、OB，由切线的性质知，从而得，由内角和定理知，根据圆周角定理可得答案．
本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
【解答】
解：如图，连接OA、OB，

是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
故选：A．  

7.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
正确．证明，再利用三角形的外角的性质即可解决问题．
正确．利用四点共圆证明即可．
正确．设，求出AE，OA即可解决问题．
错误，通过计算正方形ABCD的面积为48．
正确．利用相似三角形的性质证明即可．
【解答】
解：如图，连接OE．
四边形ABCD是正方形，
，，
，
，
，
，，
，故正确，
连接AF．
，
，
，P，B，F四点共圆，
，
，
，故正确，
设，则，，
，即，故正确，
根据对称性可知，≌，
，
，，
，，
，∽，
，，
，
，故错误，
，，
∽，
，
，
，故正确，
故选：B．  

8.【答案】C
 

【解析】解：将绕C点顺时针旋转，
，，，，
，，
，A，D在一条直线上，
是等边三角形，
，
，故选项A不符合题意；
，
，
∽，

，故选项B不符合题意；
当四边形ABCD成为平行四边形时，
，
，
，
，
是等边三角形，此时P与A点重合，
是劣弧上一点不与A、B重合，
四边形ABCD不可能成为平行四边形，故选项C符合题意；
是劣弧上一点不与A、B重合，将绕C点顺时针旋转，
根据得出旋转后的三角形是等边三角形，当边长越大，则三角形面积越大，
故当P为劣弧的中点时，PC最大，此时三角形面积最大，
的面积有最大值，故选项D不符合题意．
故选：C．
分别根据等边三角形的判定与性质以及平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质分别判断的即可．
此题主要考查了相似三角形的判定与性质和平行四边形的性质以及等边三角形的判定与性质等知识，根据旋转的性质得出对应边与对应角之间的关系是解题关键．
 

9.【答案】D
 

【解析】解：A、若两条弦为两条不垂直的直径也互相平分，
故本选项不符合题意；
B、在四边形ABCD中，，，，，
它的对角互补，
四边形ABCD是圆内接四边形，
但它的对角不相等，
故本选项不符合题意；
C、不在同一直线上的三点确定一个圆，
故本选项不符合题意；
D、三角形任意两边的垂直平分线的交点是三角形的外心，
故本选项符合题意；
故选：D．
利用利用垂径定理可判断A，由反证法可判断B，由确定圆的条件可判断C，根据三角形的外接圆与外心的定义可判断D．
本题考查了三角形的外接圆与外心、垂径定理、圆内接四边形的性质、确定圆的条件，熟练掌握三角形的外心、垂径定理、确定圆的条件是解决问题的关键．
 

10.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查了三角形的内心，三角形的内角和定理，圆周角定理等知识点选根据三角形的内心得出，，然后根据三角形的内角和定理求出，再求得，得出，最后根据圆周角定理得到的度数．
【解答】
解：如图

已知O为内心，
，，
，
，
，
，
又和是同弧所对的圆周角，
，
故选D．  

11.【答案】D
 

【解析】 如图，连接OB、OD、OA，

为锐角三角形ABC的外心，
，
四边形OCDE为正方形，
，
．
，即O是的外心，
，即O不是的外心，
，即O不是的外心，
，即O是的外心，
，即O是的外心，
，即O不是的外心，
，即O不是的外心．
故选 D．
 

12.【答案】D
 

【解析】解：设，
与x的函数图象经过，
，
，
当时，，
即在红色图形所示位置时，
，连接交BC于点M，

，
，
当时，为弧BC的中点，
，，
设，则，
，
，
在中，，
，
，
，
，
解得或，
当时，，
当时，舍去，
的边长是．
故选：D．
首先根据y与x的函数图象经过，可得，当时，，即在红色图形所示位置时，，连接交BC于点M，设，则，，然后根据勾股定理可得a的值，进而可得结论．
本题考查了三角形外接圆与外心，圆周角定理，等边三角形的性质，反比例函数，勾股定理，解决本题的关键是掌握圆周角定理．
 

13.【答案】
 

【解析】解：是的直径，BC与相切于点B，
，
，
，
设，，
，
，
，
故答案为：．
根据切线的性质得到，设，，根据勾股定理得到，于是得到结论．
本题考查了切线的性质，解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：连接OA，
，
，
过点A作的切线交OC的延长线于点P，
，
，
，
故答案为：．
连接OA，根据圆周角定理求出，根据切线的性质求出，解直角三角形求出AP即可．
本题考查了切线的性质和圆周角定理、解直角三角形等知识点，能熟记切线的性质是解此题的关键，注意：圆的切线垂直于过切点的半径．
 

15.【答案】或
 

【解析】略
 

16.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系，也考查了三角形中位线。
连接BP，如图，先解方程得，，再判断OQ为的中位线得到，利用点与圆的位置关系，BP过圆心C时，PB最大，如图，点P运动到位置时，BP最大，然后计算出即可得到线段OQ的最大值。
【解答】
解：连接BP，如图，

当时，
，
解得，，
则，，
是线段PA的中点，
为的中位线，

当BP最大时，OQ最大，
而BP过圆心C时，PB最大，如图，点P运动到位置时，BP最大，
，

线段OQ的最大值是，
故答案为。  

17.【答案】2
 

【解析】解：直角三角形的斜边，
所以它的内切圆半径．
故答案为2．
先利用勾股定理计算出斜边的长，然后利用直角三角形的内切圆的半径为其中a、b为直角边，c为斜边求解．
本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角；直角三角形的内切圆的半径为其中a、b为直角边，c为斜边．
 

18.【答案】解：连接OD，

为的直径，
，
，
，
，
，
是的切线，D为切点，
，
，
，
，
，
；
，，
是的中位线，
，，
，
设，，
，
，
，
∽，
，
，
，
．
 

【解析】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
连接OD，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质得到，根据切线的性质得到，等量代换即可得到结论；
根据三角形中位线定理得到，设，，证明∽，根据相似三角形的性质即可得到结论．
 

19.【答案】解：如图，连接OD，BD，
为的直径，
，
在中，，
，
，
是的切线，
，
，
又，
，
为的切线；
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
 

【解析】连接OD，由AB为的直径得，根据知、由知，根据BC是的切线得，即，得证；
根据直角三角形的性质得到，，求得，得到，根据三角形的内角和得到，求得，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

20.【答案】证明：连接OE，如图1所示：
平分，
，
又，
，
，
，
，
又，
，
即，
为的半径，
是的切线；
解：连接DE，如图2所示：
是的直径，
，
，
又，
∽，
，
，，
，
，
，
．
 

【解析】连接OE，证明，得，即可得出结论；
连接DE，先证明∽，得出，易证，由角平分线定义得，由此可得的值，即可得出结果．
本题考查了平行线的判定与性质、角平分线定义、切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识；结合题意灵活运用知识点是解题关键．
 

21.【答案】解：如图，

观察图象可知，点B在上，点C，点D在外．
四边形ABCD是矩形，
，
，，
，
，
点M在上．
 

【解析】根据点与圆的位置关系一一判断即可．
本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：证法错误；
证明：连结OC，
与AB相切于点C，
，
，
．
 

【解析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
连结OC，根据切线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
 

23.【答案】解：与相切，
理由：如图，连接OF，

，D为AB的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
与相切；
连接DF，

，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
即，
．
 

【解析】本题考查了切线的判定，平行线的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．
如图，连接OF，根据直角三角形的性质得到，得到，根据等腰三角形的性质得到，得到，推出，于是得到结论；
连接DF，根据勾股定理得到，根据圆周角定理得到，根据三角函数的定义即可得到结论．