人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用精练

空间向量综合问题练习

1. 如图，在正方体中，E，F分别是，的中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为     
    

A.  B.  

C.  D.

2. 如图，在正方体中，上底面中心为O，则异面直线AO与所成角的余弦值为______
   
   
   
   
   
    

3. 如图，在棱长为3的正方体中，．
   
   求两条异面直线与所成角的余弦值；
   求直线与平面所成角的正弦值．
   
   
   
   
    
4. 如图，长方体中，，，E为棱的中点．
    

Ⅰ求证：

Ⅱ求直线BE与平面所成角的大小；

Ⅲ求平面和平面所成锐二面角的大小．






 

5. 如图，在正四棱柱中，，，点M是BC的中点．
    

求异面直线与DM所成角的余弦值

求直线与平面所成角的正弦值

求平面与平面ABCD所成角的正弦值．






 

6. 在直三棱柱中，底面是直角三角形，，D为侧棱的中点．
   求异面直线，所成角的余弦值；
   求二面角的平面角的余弦值．
   
   
   
   
    

7. 已知正方形ABCD的边长为1，将正方形ABCD沿对角线BD折起，使，得到三棱锥，如图所示．

若点M是棱AB的中点，求证：平面ACD；

求证：平面BCD；

求二面角的余弦值．






 

8. 如图，平面ABCD，矩形ABCD的边长，，E为BC的中点．
   证明：；
   已知，求A到平面PED的距离．
   
   
   
    

9. 在直四棱柱中，，，，，．
   
   
   证明：；  
   
   求直线与平面所成角的正弦值．
   
   
   
   
   
   
    
10. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，点E为棱PC的中点．
    

证明：；

求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；

若F为棱PC上一点，满足，求二面角的余弦值．






 

空间向量综合问题练习

一、选择题（本大题共1小题，共5.0分）

11. 如图，在正方体中，E，F分别是，的中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为     
     

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】【分析】
本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题．
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，由此利用向量法能求出异面直线AE与BF所成角的余弦值．
【解答】
解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为2，E，F分别是，的中点，

0，，1，，2，，2，，
1，，0，，
设异面直线AE与BF所成角的平面角为，
则．
异面直线AE与BF所成角的余弦值为．
故选D．
 

二、填空题（本大题共1小题，共5.0分）

12. 如图，在正方体中，上底面中心为O，则异面直线AO与所成角的余弦值为______
    
    
    
    
    
     

【答案】

【解析】【分析】
本题考查用空间向量求直线间的夹角、距离，解答本题，关键是掌握住向量法求夹角的公式，向量在几何中的应用是高中数学引入向量的一大亮点，它大大降低了立体几何解题的思维难度，应好好总结此类题做题的规律．
建立空间坐标系，求出两异面直线的方向向量，利用数量积公式求出两向量夹角余弦的绝对值，即所求的异面直线AO与所成角的余弦值
【解答】
解：建立如图的坐标系，以DA所在直线为横轴，DC所在直线为纵轴，所在直线为竖轴．
设正方体棱长为2，

则0，，1，，2，，
1，，2，，
则异面直线AO与所成角的余弦值为：
，
故答案为．
 

三、解答题（本大题共8小题，共96.0分）

13. 如图，在棱长为3的正方体中，．
    
    求两条异面直线与所成角的余弦值；
    求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】解：以D为原点，建立空间直角坐标系如图所示：

则0，，3，，0，，0，
3，，0，
则两条异面直线与所成角的余弦值为
3，，，0，
设平面的一个法向量为y，
由得
令，则2，
则直线与平面所成角的正弦值为
．

【解析】本题考查的知识点是用空间向量求直线与平面的夹角，异面直线及其所成的角，直线与平面所成的角，用空间向量求直线间的夹角、距离，其中构造空间直角坐标系，将线线夹角及线面夹角问题，转化为向量夹角问题是解答本题的关键．
以以D为原点，建立空间直角坐标系，则我们易求出已知中，各点的坐标，进而求出向量，的坐标．代入向量夹角公式，结合异面直线夹角公式，即可得到答案．
设出平面的一个法向量为，根据法向量与平面内任一向量垂直，
数量积为0，构造方程组，求出平面的法向量为的坐标，代入线面夹角向量公式，即可求出答案．
 

14. 如图，长方体中，，，E为棱的中点．
     

Ⅰ求证：

Ⅱ求直线BE与平面所成角的大小；

Ⅲ求平面和平面所成锐二面角的大小．

【答案】解：Ⅰ依题意，以A为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，                  
则， 
从而
；
Ⅱ设直线BE与平面所成角为，因为，
又在长方体中，
是平面的法向量， ，
                         
，
直线BE与平面所成角的为；
Ⅲ设平面的法向量为，则，且，
又，
  ，
令  ，
，
， ，
，
平面和平面所成的锐二面角．

【解析】本题主要考查了直线与直线垂直的证明，直线与平面所成角的求法，二面角的求法，考查了学生对空间坐标系及空间向量的理解能力和运用能力，本题属于中档题．
Ⅰ先以A为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，求出向量即证明即可；
Ⅱ先设直线BE与平面所成角为，根据及长方体中，，得到是平面的法向量，计算， 进而得到，即可得到直线BE与平面所成角；
Ⅲ求出平面的法向量， ，最后得到，即可得到平面和平面所成的锐二面角的大小．
 

15. 如图，在正四棱柱中，，，点M是BC的中点．
     

求异面直线与DM所成角的余弦值

求直线与平面所成角的正弦值

求平面与平面ABCD所成角的正弦值．

【答案】解：在正四棱柱中，以点D为原点，DA、DC、分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
因为，，所以，
则．
由题意得，
则，
异面直线与DM所成角的余弦值为；
由题意知，设平面的法向量为，
则，解得，
，
直线与平面所成角的正弦值为；
在正四棱柱中，，
平面ABCD的法向量为，
，
平面与平面ABCD所成角的余弦值为，
则，
平面与平面ABCD所成角的正弦值为．

【解析】本题主要考查了利用空间向量求线线、线面、面面的夹角，是中档题．
在正四棱柱中，以点D为原点，DA、DC、分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则．
由以及即可求得；
先求出平面的法向量，再利用夹角公式求解即可；
先求出平面ABCD的法向量以及平面与平面ABCD所成角的余弦值，在用求解即可．
 

16. 在直三棱柱中，底面是直角三角形，，D为侧棱的中点．
    求异面直线，所成角的余弦值；
    求二面角的平面角的余弦值．
    
    
    
    
     

【答案】解：由已知得CA，CB，两两垂直，
如图所示，以C为原点，CA，CB，为坐标轴，建立空间直角坐标系，

则0，，0，，2，，0，，
2，，0，．
所以0，，，
所以
，
即异面直线与所成角的余弦值为
因为2，，0，，0，，
所以，，
所以为平面的一个法向量．         
因为，0，，
设平面的一个法向量为，y，．
由，得
令，则，，2，．
所以，．
由图可知二面角的平面角是锐角，
所以二面角的余弦值为．

【解析】本题主要考查利用空间向量解决几何体中的夹角问题，包括两条异面直线的夹角和两个平面的夹角，本题解题的关键是建立坐标系，属于中档题．
以C为原点，CA，CB，为坐标轴，建立空间直角坐标系，写出要用的点的坐标，写出两个向量的方向向量，根据两个向量所成的角得到两条异面直线所成的角．
先求两个平面的法向量，在第一问的基础上，有一个平面的法向量是已知的，只要写出向量的表示形式就可以，另一个平面的向量需要求出，根据两个法向量所成的角得到结果．
 

17. 已知正方形ABCD的边长为1，将正方形ABCD沿对角线BD折起，使，得到三棱锥，如图所示．

若点M是棱AB的中点，求证：平面ACD；

求证：平面BCD；

求二面角的余弦值．

【答案】解：Ⅰ证明：在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，
为BD的中点，
又M为AB的中点，
．
又平面ACD，平面ACD，
平面ACD；
Ⅱ证明：在中，
，，
，
．
又、BD是正方形ABCD的对角线，
，
又，，
平面BCD；
Ⅲ由Ⅱ知平面BCD，
则OC，OA，OD两两互相垂直，
如图，以O为原点，建立空间直角坐标系．
则，
是平面BCD的一个法向量．
，，
设平面ABC的法向量，
则，．
即，
所以，且，令，
则，，
解得．

从而，
二面角的余弦值为．
 

【解析】本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，其中Ⅰ的关键是证得，Ⅱ的关键是证得，，Ⅲ的关键是分别求出平面ABC和平面BCD的法向量．
Ⅰ由已知中正方形ABCD的边长为1，，M为AB的中点，根据三角形中位线定理，可得，结合线面平行的判定定理，可得平面ACD；
Ⅱ解，可得，由正方形的性质可得，根据线面垂直的判定定理，可得平面
Ⅲ由Ⅱ知平面BCD，则OC，OA，OD两两互相垂直，以O为原点，建立空间直角坐标系，分别求出平面ABC和平面BCD的法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角的余弦值．
 

18. 如图，平面ABCD，矩形ABCD的边长，，E为BC的中点．
    证明：；
    已知，求A到平面PED的距离．
    
    
    
     

【答案】证明：连接AE，
在矩形ABCD中，，，E为BC的中点，
，与为等腰直角三角形，
，，即，
平面ABCD，平面ABCD，
，又，
平面PAE，平面PAE，
．
解：，，，
，
又，
设A到平面PED的距离为h，则，
，
，解得．

【解析】连结AE，证明，结合得出平面PAE，故DE；
利用，列方程求出A到平面PED的距离．
本题考查了线面垂直的判定，点到平面的距离计算，棱锥的体积计算，属于中档题．
 

19. 在直四棱柱中，，，，，．
    
    
    证明：；  
    
    求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】证明：以方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．

A0，，C，1，0，B1，0，3，D0，3，0，C1，1，，D3，，

，

，

D；
解：设平面ACD的法向量为，

即，

，

设直线BC与平面ACD所成角为，
，，

直线BC与平面ACD所成角的正弦值为．

【解析】本题考查利用向量法证明直线与直线的垂直，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．

1以方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．求出相关点的坐标；通过计算，即可证得结论；

求出平面ACD的法向量，设直线BC与平面ACD所成角为，求出，利用向量的数量积求解直线BC与平面ACD所成角的正弦值．

20. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，点E为棱PC的中点．
    

证明：；

求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；

若F为棱PC上一点，满足，求二面角的余弦值．

【答案】解：依题意，以点A为原点，AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图，

可得0，，2，，2，，0，．

由E为棱PC的中点，得1，．

1，，0，，

故，所以．

2，，0，．
设y，为平面PBD的一个法向量，
则即
不妨令，可得1，．
于是有，
所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为．
2，，，2，，0，．
由点F在棱PC上，设，，
故．
由，得，
因此，，解得，
即．
设y，为平面FAB的一个法向量，
则，即
不妨令，可得．
取平面ABP的法向量1，，
则．
易知，二面角是锐角，
所以其余弦值为．

【解析】本题考查利用空间向量解决判定空间直线的垂直，求线面，面面角的问题和立体几何中的探索性问题，是中档题．
以点A为原点，AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积为零证明

求得平面PBD的一个法向量，进而计算直线BE的方向向量与平面PBD的法向量所成角的余弦的绝对值，即得线面所成角的正弦值；

由点F在棱PC上，设，，求得BF的方向向量的坐标，由，利用空间向量的数量积为零求得的值，得到向量的坐标，进而求得平面FAB的一个法向量，求得平面ABP和平面FAB的法向量的夹角的余弦的绝对值，由图观察得出二面角是锐角，进而求出二面角的余弦值．