人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用课后测评

空间向量：空间中点面距离问题

一、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

1. 在空间直角坐标中，点到平面xOz的距离是
2. 如图所示，正方体的棱长为是平面的中心，则O到平面的距离是
    

3. 正三棱柱中，D是AB的中点，CD等于，则顶点到平面的距离为_______

4. 如图，在长方体中，，则点C到平面的距离等于
   
   
    

5. 如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，侧棱底面ABCD，且，则点B到平面SCD的距离为

6. 中，，它所在平面外一点P到三个顶点的距离是14，那么点P到平面ABC的距离是：______．
   
   
    

7. 在棱长为a的正方体中，点A到平面的距离为______ ．
8. 如图，在三棱锥中，平面为PC上的动点，当 时，的值为______ ．
   
   
   
   
    

9. 如图，在正四棱柱中，，点M为的中点，则点到平面BDM的距离为______ ．
   
   
   
   
    

10. 如图，在直三棱柱中，则点B到平面的距离为______ ．
    
    
    
     

三、解答题（本大题共3小题，共36.0分）

11. 如图，正三棱柱的所有棱长均为分别是和AB的中点．
    证明：平面；
    求点到平面的距离．
    
    
    
    
     

12. 在三棱锥中，．
    证明：
    求点A到平面SCB的距离．
    
    
    
    
     

13. 如图，已知正三棱柱的各棱长均为是BC的中点，点F在侧棱上，且
    Ⅰ求证：；
    Ⅱ求点C到平面AEF的距离．
    
    
     

空间向量：空间中点面距离问题

一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）

14. 在空间直角坐标中，点到平面xOz的距离是

A. 1 B. 2 C. 3 D.

【答案】B

【解析】解：点，
点到平面xOz的距离是2，
故选B．
利用坐标的定义，即可求点到平面xOz的距离．
本题是基础题，考查空间距离的求法，考查计算能力，比较基础．
 

15. 如图所示，正方体的棱长为是平面的中心，则O到平面的距离是
     

A.
B.
C.
D.

 

【答案】B

【解析】解：过O作的平行线，交于E，
则O到平面的距离即为E到平面的距离．
作于F，可得平面，
从而．
故选B．
过O作的平行线，交于E，则O到平面的距离即为E到平面的距离作于F，可得平面，进而根据，求得EF．
本题主要考查了点到面的距离计算解题的关键是找到点到面的垂线，即点到面的距离．
 

16. 正三棱柱中，D是AB的中点，CD等于，则顶点到平面的距离为

A.
B. 1
C.
D.
 

【答案】B

【解析】解：由题意，D是AB的中点，CD等于，
，
平面，
平面，
顶点到平面的距离为1
故选B．
证明平面，即可求出顶点到平面的距离．
本题考查了求空间距离的方法，证明是平面关键．
 

17. 如图，在长方体中，，则点C到平面的距离等于
    
    
     

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】解：如图，连结交点为O，连结，作于E，
在长方体中，，
是等腰三角形，，
，
，
长方体的底面是正方形，，易知平面，
则，点C到平面的距离等于CE，
，
故选：C．
利用几何体作出点C到平面的距离的线段，然后求解即可．
本题考查点到平面的距离的求法，作出所求距离的相等是解题的关键，考查空间想象能力以及计算能力．
 

18. 如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，侧棱底面ABCD，且，则点B到平面SCD的距离为

A.
B.
C.
D.
 

【答案】D

【解析】解：底面ABCD是直角梯形，
，
侧棱底面ABCD，且，
，
，
设点B到平面SCD的距离为h，则
，
，
．
点B到平面SCD的距离为．
故答案为：．
设点B到平面SCD的距离为h，利用，即可求得结论．
本题考查点、线、面间的距离计算，考查体积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．
 

二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

19. 中，，它所在平面外一点P到三个顶点的距离是14，那么点P到平面ABC的距离是：______．
    
    
     

【答案】7

【解析】解析：记P在平面ABC上的射影为
，即O是的外心，只需求出的外接圆的半径，
记为R，在中由余弦定理知：
，在由正弦定理知：，得：．
故答案为：7．
作出P到平面ABC的高，判断垂足是外心，然后解三角形ABC的外接圆半径，最后求得P到平面ABC的距离．
本题考查棱锥的结构特征，考查正弦定理、余弦定理，是中档题．
 

20. 在棱长为a的正方体中，点A到平面的距离为______ ．

【答案】

【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量，
则，
取，得，
点A到平面的距离．
故答案为：．
解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点A到平面的距离．
本题考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
 

21. 如图，在三棱锥中，平面为PC上的动点，当 时，的值为______ ．
    
    
    
    
     

【答案】

【解析】解：取特殊值，设，
以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，过B作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
则，
设，
则，即，
，
，
，
，
解得．
当时，的值为．
故答案为：．
取特殊值，设，以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，过B作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当时，的值为．
本题考查线段的比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
 

22. 如图，在正四棱柱中，，点M为的中点，则点到平面BDM的距离为______ ．
    
    
    
    
     

【答案】

【解析】解：由题意，点到平面BDM的距离等于点到平面BDM的距离，设为h．
中，，
由，可得，
．
故答案为：
点到平面BDM的距离等于点到平面BDM的距离，由，可得结论．
本题考查点面距离的计算，考查学生的计算能力，正确求体积是关键．
 

23. 如图，在直三棱柱中，则点B到平面的距离为______ ．
    
    
    
     

【答案】

【解析】解：直三棱柱中，，
，
中，，
设点B到平面的距离为h．
由等体积可得，
解得．
故答案为：．
可采用等积法，只要求出三角形的面积，则B到面的距离即可求得．
本题考查了利用等体积法求空间距离的方法，一般是构造三棱锥，通过变换顶点的方法来解．
 

三、解答题（本大题共3小题，共36.0分）

24. 如图，正三棱柱的所有棱长均为分别是和AB的中点．
    证明：平面；
    求点到平面的距离．
    
    
    
    
     

【答案】证明：以E为原点，EB为x轴，EC为y轴，
过E作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
则，
，
，
，
，
平面．
解：，
平面，
平面的法向量，
点到平面的距离．

【解析】以E为原点，EB为x轴，EC为y轴，过E作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面．
求出，平面的法向量，利用向量法能求出点到平面的距离．
本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
 

25. 在三棱锥中，．
    证明：
    求点A到平面SCB的距离．
    
    
    
    
     

【答案】证明：在三棱锥中，，
，
，在中，分
分
解：
，且，
平面分
在中，，
中，，
分
分
由知是直角三角形，得分
设点A到平面SCB的距离为d，
由等体积法知，解的，
点A到平面SCB的距离分

【解析】由已知条件求出，由此利用勾股定理能证明．
由已知条件推导出平面，由此利用等体积法能求出点A到平面SCB的距离．
本题考查异面直线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意等积法的合理运用．
 

26. 如图，已知正三棱柱的各棱长均为是BC的中点，点F在侧棱上，且
    Ⅰ求证：；
    Ⅱ求点C到平面AEF的距离．
    
    
     

【答案】解：过E作于N，连结EF．
连结NF、，由直棱柱的性质知，
底面侧面，所以侧面，
所以，
在中，，
又，
，
又，故平面NEF，
所以 ；
设点C到平面AEF的距离为d，
则，
即，
所以．

【解析】过E作于N，连结EF、NF、，通过直棱柱的性质及相似三角形的性质、线面垂直的判定定理即得结论；
设点C到平面AEF的距离为d，利用计算即可．
本题考查线面垂直的判定，线线垂直的判定，考查棱锥的体积公式，从不同角度利用棱锥的体积公式是解决本题的关键，属于中档题．