选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.4 空间向量的应用练习题

空间向量:直线与直线与直线所成角问题

一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）

1. 如图，正方体中，AB的中点的中点N，则异面直线与CN所成的角是______

2. 如图，在正方体中，M、N分别是CD、的中点，则异面直线与DN所成角的大小是______

3. 在长方体中，，则异面直线AC与所成角的余弦值是
4. 如图，在棱长均相等的正三棱柱中，异面直线与的夹角为
    

5. 矩形ABCD中，，将与沿AC所在的直线进行随意翻折，在翻折过程中直线AD与直线BC成的角范围包含初始状态为

6. 在我国古代数学名著九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，平面BCD，且，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为

7. 在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，若分别是棱上的点，且，则异面直线与AF所成角的余弦值为

8. 如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，则直线与直线夹角的余弦值为

9. 如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，则异面直线和所成的角的余弦值大小为______

10. 如图，已知正四棱锥中，，高，点M是侧棱PC的中点，则异面直线BM与AC所成角的余弦值为______ ．
    
    
     

11. 如图，已知分别是正方形ABCD的边AB、CD的中点，现将正方形沿EF折成的二面角，则异面角直线AE与BF所成角的余弦值是______ ．

12. 在长方体中，如果对角线与过点A的相邻三个面所成的角分别是，那么 ______ ．
13. 如图，在正方体，若E是AD的中点，则异面直线与所成角等于______
    
    
    
     

三、解答题（本大题共2小题，共24.0分）

14. 理科如图，在正方体是AC的中点，E是线段上一点，且．
    若，求异面直线DE与所成角的余弦值；
    若二面角为，求的值．
    
    
    
     

15. 
    正方体中，M、N分别为棱和的中点求：
    异面直线AB与所成的角的正切值；
    异面直线CM与所成角的余弦值．

空间向量:直线与直线与直线所成角问题

一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）

16. 如图，正方体中，AB的中点的中点N，则异面直线与CN所成的角是

A.
B.
C.
D.

 

【答案】D

【解析】解：由题意，在右面补一个正方体，如图：
的中点M，取的中点P，连接CP，
可得：，
是异面直线与CN所成的角的平面角．
连接NP，
设正方体的边长为a．
可得：．
．
的三条边满足：．
．
即异面直线与CN所成的角是．
故选：D．
利用补形法，在右面补一个正方体，平移相交，构造三角形根据余弦定理求解即可．
本题考查两条异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
 

17. 如图，在正方体中，M、N分别是CD、的中点，则异面直线与DN所成角的大小是

A.
B.
C.
D.
 

【答案】D

【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体中棱长为2，
则，
，
，
设异面直线与DN所成角为，
则．
异面直线与DN所成角的大小为．
故选：D．
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与DN所成角的大小．
本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查正方体的结构特征，异面直线所成角等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
 

18. 在长方体中，，则异面直线AC与所成角的余弦值是

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】解：几何法
在长方体中，
连结，交于点O，取中点E，连结，
是矩形，
是BD中点，，
是异面直线AC与所成角或所成角的补角，
又，
．
异面直线AC与所成角的余弦值是．
故选：A．
向量法
在长方体中，
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
，
，
设异面直线AC与所成角为，
则．
异面直线AC与所成角的余弦值是．
故选：A．
几何法：
连结，交于点O，取中点E，连结，则是异面直线AC与所成角或所成角的补角，由此利用余弦定理能求出异面直线AC与所成角的余弦值．
向量法：
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC与所成角的余弦值．
本题考查两条异面直线所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
 

19. 如图，在棱长均相等的正三棱柱中，异面直线与的夹角为
     

A.
B.
C.
D.
 

【答案】B

【解析】解：在棱长均相等的正三棱柱中，
，
是异面直线与的夹角，
在棱长均相等的正三棱柱中，
，且，
．
异面直线与的夹角为．
故选：B．
由，知是异面直线与的夹角，由此能求出结果．
本题考查异面直线所成角的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，考查运用意识，是基础题．
 

20. 矩形ABCD中，，将与沿AC所在的直线进行随意翻折，在翻折过程中直线AD与直线BC成的角范围包含初始状态为

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】解：由题意，初始状态，直线AD与直线BC成的角为0，
时，，
平面，
直线AD与直线BC成的角为，
在翻折过程中直线AD与直线BC成的角范围包含初始状态为
故选：C．
求出两个特殊位置，直线AD与直线BC成的角，即可得出结论．
本题考查两直线所成的角的范围的求法，考查学生的计算求解能力、推理论证能力、空间思维能力，考查数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想，是中档题．
 

21. 在我国古代数学名著九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，平面BCD，且，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】解：如图所示，分别取的中点，则，
为异面直线AC与BD所成角．
设，则，
，
异面直线AC与BD所成角的余弦值为，
故选：A．
如图所示，分别取的中点，则为异面直线AC与BD所成角．
本题考查异面直线AC与BD所成角，考查学生的计算能力，正确作出异面直线AC与BD所成角是关键．
 

22. 在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，若分别是棱上的点，且，则异面直线与AF所成角的余弦值为

A.
B.
C.
D.

 

【答案】D

【解析】解：以AB中点为原点建立如图所示空间直角坐标系，

，且，
，
．
则．
异面直线与AF所成角的余弦值为．
故选：D．
由题意建立空间直角坐标系，利用空间向量求得与所成角的余弦值，即可得到异面直线与AF所成角的余弦值．
本题考查异面直线所成角，训练了利用空间向量求异面直线所成角，是中档题．
 

23. 如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，则直线与直线夹角的余弦值为

A.
B.
C.
D.
 

【答案】A

【解析】解：设，根据条件可求以下几点坐标：
；
；
．
直线与直线夹角的余弦值为．
故选：A．
设，由条件及建立的空间直角坐标系，可求出点几点的坐标，从而得到向量的坐标，由向量夹角余弦的坐标公式即可求出，从而便得出直线与直线夹角的余弦值．
考查利用空间向量解决异面直线所成角问题的方法，能求空间点的坐标，由点的坐标求向量的坐标，向量夹角余弦的坐标公式，清楚两异面直线的方向向量的夹角和这两异面直线所成角的关系．
 

24. 如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，则异面直线和所成的角的余弦值大小为

A.
B.
C.
D.

 

【答案】A

【解析】解：以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，以AC为y轴，以为z轴，建立空间直角坐标系，
设正三棱柱的各条棱长为2，
则，
，
设异面直线和所成的角的余弦值为，
则．
异面直线和所成的角的余弦值大小为．
故选：A．
以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，以AC为y轴，以为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线和所成的角的余弦值大小．
本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
 

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

25. 如图，已知正四棱锥中，，高，点M是侧棱PC的中点，则异面直线BM与AC所成角的余弦值为______ ．
    
    
     

【答案】

【解析】解：如图，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
，
，
，
设异面直线BM与AC所成角为，
则．
异面直线BM与AC所成角的余弦值为．
故答案为：．
以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BM与AC所成角的余弦值．
本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．
 

26. 如图，已知分别是正方形ABCD的边AB、CD的中点，现将正方形沿EF折成的二面角，则异面角直线AE与BF所成角的余弦值是______ ．

【答案】

【解析】解：如图，连接，
即为异面直线FB与AE所成角
设正方形ABCD的边长为2，
则在中，
，
．
故答案为：．
连接BD，由，知即为异面直线FB与AE所成角，由此能求出异面角直线AE与BF所成角的余弦值．
本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
 

27. 在长方体中，如果对角线与过点A的相邻三个面所成的角分别是，那么 ______ ．

【答案】2

【解析】解：在长方体中，面，
与面所成的角为，
同理与面所成的角为，
与面AC所成的角为，
，





．
故答案为：2．
由已知得，由此能求出的值．
本题考查线面角的余弦值的平方和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意长方体的性质的合理运用．
 

28. 如图，在正方体，若E是AD的中点，则异面直线与所成角等于______
    
    
    
    
     

【答案】

【解析】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，
则，
，
设异面直线与所成角为，
则，
．
异面直线与所成角等于．
故答案为：．
以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角．
本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
 

三、解答题（本大题共2小题，共24.0分）

29. 理科如图，在正方体是AC的中点，E是线段上一点，且．
    若，求异面直线DE与所成角的余弦值；
    若二面角为，求的值．
    
    
    
     

【答案】解：设正方体的棱长为1，
分别以DA、DC、为轴，建立空间直角坐标系，
则，
，
设，
，
解得，
，
，
，
异面直线DE与所成角的余弦值为．
设平面的法向量为，
，
则，取，得，
由，得，
设平面CDE的法向量，
则，取，得，
二面角为，
，
解得．

【解析】设正方体的棱长为1，分别以DA、DC、为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线DE与所成角的余弦值．
求出平面的法向量和平面CDE的法向量，利用向量法能求出结果．
本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
 

30. 正方体中，M、N分别为棱和的中点求：
    异面直线AB与所成的角的正切值；
    异面直线CM与所成角的余弦值．

【答案】解：Ⅰ正方体中，M、N分别为棱和的中点．
，
异面直线CM与所成角为，
设正方体中棱长为2，则，
，
异面直线AB与所成的角的正切值为．
Ⅱ不妨设正方体棱长为2，取的中点E，连结BE，
由题意知与BE相交于O点，
四边形是平行四边形，
是异面直线CM与所成角，
，
，
异面直线CM与所成角的余弦值为．

【解析】Ⅰ由，得异面直线CM与所成角为，由此能求出异面直线AB与所成的角的正切值．
Ⅱ推导出四边形是平行四边形，从而，进而是异面直线CM与所成角，由此能求出异面直线CM与所成角的余弦值．
本题考查异面直线所成角的正切值和余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力、数据处理能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合，考查创新意识、应用意识，是中档题．