2021年浙江省宁波市北仑区初中学业水平考试数学试题（一模）(word版含答案）

这是一份2021年浙江省宁波市北仑区初中学业水平考试数学试题（一模）(word版含答案），共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年浙江省宁波市北仑区初中学业水平考试数学试题（一模）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．比0大的数是（ ）
A．-1 B．- C．0 D．1
2．台湾岛是我国最大的岛屿，总面积为35882.6258平方公里，用科学记数法应表示为（保留三个有效数字）（ ）
A．方公里 B．平方公里
C．平方公里 D．平方公里
3．如图是由八个相同小正方体组合而成的几何体，则其左视图是（ ）．

A． B． C． D．
4．点关于y轴的对称点是（ ）
A． B． C． D．
5．小茜课间活动中，上午大课间活动时可以先从跳绳、乒乓球、健美操中随机选择一项运动，下午课外活动再从篮球、武术、太极拳中随机选择一项运动．则小茜上、下午都选中球类运动的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．双十一来临前，某商场将一件衬衫的价格以一个给定的百分比提升，双十一那天商场又按照新的价格以相同的百分比降低了这件衬衫的价格，最终，衬衫的价格为原价的84%，则这个给定的百分比为（ ）
A．16% B．36% C．40% D．50%
7．如图，在矩形中，，，点E是的中点，连接，将沿直线折叠，使点D落在点F处，则线段的长度是（ ）．

A． B． C．1 D．
8．已知一个二次函数图象经过，，，四点，若，则，，，的最值情况是（ ）
A．最小，最大 B．最小，最大
C．最小，最大 D．无法确定
9．如图，点A在半径为6的内，，P为上一动点，当取最大值时，等于（ ）

A．3 B． C． D．
10．如图1，矩形的一条边长为x，周长的一半为y，定义（x，y）为这个矩形的坐标．如图2，在平面直角坐标系中，直线x=1，y=3将第一象限划分成4个区域，已知矩形1的坐标的对应点A落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中，则下面叙述中正确的是（ ）

A．点A的横坐标有可能大于3
B．矩形1是正方形时，点A位于区域②
C．当点A沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小
D．当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等

二、填空题
11．若分式的值等于1，则x＝_____．
12．把多项式3mx﹣6my分解因式的结果是_____．
13．已知a、b为两个连续的整数，且a＜＜b，则a+b＝_____．
14．如图，曲线和是两个半圆，，大半圆半径为2，则阴影部分的面积是______．

15．如图，，，，动点从点出发，以每秒个单位长的速度向右移动，且经过点的直线也随之移动，设移动时间为秒．若与线段有公共点，则的取值范围为________．

16．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A、B、C三点的坐标为（，0）、（3，0）、（0，5），点D在第一象限，且∠ADB=60°，则线段CD的长的最小值为__．

三、解答题
17．先化简，再求值：，其中x是从1，2，3中选取的一个合适的数．
18．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”．如图1中四边形就是一个“格点四边形”．

（1）求图中四边形的面积等于________；
（2）在图2中，作出绕点B顺时针旋转90°后的；
（3）在图3中，画个格点，使的面积等于四边形的面积且为轴对称图形．
19．为了掌握八年级数学考试卷的命题质量与难度系数，命题组教师赴外地选取一个水平相当的八年级班级进行预测，将考试成绩分布情况进行处理分析，制成如图表（成绩得分均为整数）：

根据图表中提供的信息解答下列问题：
组别
成绩分组
频数
A
47.5～59.5
2
B
59.5～71.5
4
C
71.5～83.5
a
D
83.5～95.5
10
E
95.5～107.5
b
F
107.5～120
6
（1）频数分布表中的a＝　 　，b＝　 　；扇形统计图中的m＝　 　，n＝　 　；
（2）已知全区八年级共有200个班（平均每班40人），用这份试卷检测，108分及以上为优秀，预计优秀的人数约为　 　人，72分及以上为及格，预计及格的人数约为　 　人；
（3）补充完整频数分布直方图．
20．某校计划购进A，B两种树木共100棵进行校园绿化，经市场调查：购买A种树木2棵，B种树木5棵，共需600元；购买A种树木3棵，B种树木1棵，共需380元．
（1）求A，B两种树木每棵各多少元？
（2）因布局需要，购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍，实际付款总金额按市场价九折优惠，请设计一种购买树木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用是多少？
21．如图，中，，以为直径作半圆交于点，点为的中点，连结.
（1）求证：是半圆的切线；
（2）若，，求的长.

22．为加强对市内道路交通安全的监督，王警官利用无人机进行检测．某高架路有一段限速每小时千米的道路（如图所示），当无人机在限速道路的正上方处时，测得限速道路的起点的俯角是，无人机继续向右水平飞行米到达处，此时又测得起点的俯角是，同时测得限速道路终点的俯角是（注：即四边形是梯形）．
（1）求限速道路的长（精确到米）；
（2）如果李师傅在道路上行驶的时间是分秒，请判断他是否超速？并说明理由．（参考数据：，，，）

23．定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图，抛物线C1与抛物线C2组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1与抛物线C2与x轴有相同的交点M，N（点M在点N的左侧），与y轴的交点分别为A，B且点A的坐标为（0，﹣3），抛物线C2的解析式为y＝mx2+4mx﹣12m，（m＞0）．

（1）请你根据“月牙线”的定义，设计一个开口向下．“月牙线”，直接写出两条抛物线的解析式；
（2）求M，N两点的坐标；
（3）在第三象限内的抛物线C1上是否存在一点P，使得△PAM的面积最大？若存在，求出△PAM的面积的最大值；若不存在，说明理由．
24．如图1，已知中，，，点D、E在边上，，过点A作的垂线交的延长线于点M，连结．

（1）求证：；
（2）当，时，求的长；
（3）如图2，过点M作射线的垂线，垂足为点F，设，，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．


参考答案
1．D
【详解】
试题分析：比0的大的数一定是正数， 4个选项中只有D选项大于0．
故选D．
考点：有理数大小比较．
2．B
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．数据从左边第一个非零数字起的数字都为有效数字，先用科学记数法表示该数，再保留三个有效数字即可．
【详解】
解：35882.6258=，
故选：B．
【点睛】
此题考查科学记数法和有效数字定义，注意n的值的确定方法，当原数大于10时，n等于原数的整数数位减1，按此方法即可正确求解．
3．C
【分析】
根据左视图的定义去判断即可
【详解】
解：∵的左视图为：

故选C．
【点睛】
本题考查了几何体的左视图，熟练掌握左视图的定义是解题的关键．
4．C
【分析】
关于y轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，据此解答．
【详解】
解：点关于y轴的对称点是，
故选：C．
【点睛】
此题考查关于y轴对称的点的坐标特征：关于y轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相等．
5．A
【分析】
画出树状图，由所有可能出现的结果和小茜上、下午都选中球类运动的情况，利用概率公式计算即可得出答案.
【详解】
画树状图为：

∵共有9种可能出现的情况，小茜上、下午都选中球类运动的情况有1种，
∴小茜上、下午都选中球类运动的概率是.
故选A.
【点睛】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数，概率=所求情况数与总情况数之比．熟练掌握概率公式是解题关键.
6．C
【分析】
把衬衫的价格看作1，设给定的百分比为x，则提升后的价格为1+x，双十一的价格为(1+x)(1-x)，由题意可得方程，解方程即可得给定的百分比．
【详解】
把衬衫的价格看作1，设给定的百分比为x，则由题意得方程：(1+x)(1-x)=84%
解得：x=0.4或x=-0.4（舍去）
∴x=0.4
即提升的百分比为40%
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，关键两个：一是设衬衫的价格为1，二是找到等量关系．
7．A
【分析】
根据折叠的性质，得∠DEC=∠FEC，ED=EF=AE=1，计算EC=3，过点E作EG⊥AF，垂足为G，根据等腰三角形的性质，可证∠GEC=90°，从而证明∠GEF=∠FCE，得证△GEF∽△FCE，计算即可．
【详解】
∵矩形中，，，点E是的中点，连接，将沿直线折叠，使点D落在点F处，
∴∠DEC=∠FEC，ED=EF=AE=1，
∴EC==3，
过点E作EG⊥AF，垂足为G，
∵EA=EF，

∴∠AEG=∠FEG，AG=FG，
∴2∠FEC+2∠FEG=180°，
∴∠FEC+∠FEG=90°，
即∠GEC=90°，
∵∠FEC+∠FCE=90°，
∴∠FCE=∠FEG，
∴△GEF∽△FCE，
∴EF：EC=GF：EF，
∴
解得GF=
∴AF=．
故选A．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形的相似，勾股定理，熟练运用折叠的性质，证明三角形的相似是解题的关键．
8．B
【分析】
根据已知条件确定抛物线的开口方向及对称轴的位置，利用抛物线的轴对称性确定答案即可．
【详解】
二次函数图象经过P1(-4，y1)，P2(-1，y2)，P3(1，y3)，P4(4，y4)四点，且y3 抛物线开口向上，对称轴在0和1之间，
∴P1(-4，y1)离对称轴的距离最大，P3(1，y3)离对称轴的距离最小，
∴y3最小，y1最大，
故答案选：B．
【点睛】
此题考查二次函数的增减性，抛物线上点的坐标特点，抛物线最值的确定，抛物线的轴对称的性质，综合掌握抛物线的各知识点是解题的关键．
9．B
【分析】
当PA⊥OA时，PA取最小值，∠OPA取得最大值，然后再直角三角形OPA中利用勾股定理求PA的值即可．
【详解】
解：在△OPA中，当∠OPA取最大值时，OA⊥PA，
∴PA取最小值，
∵OA、OP是定值，
∴PA⊥OA时，PA取最小值，
在Rt△OPA中，OA＝，OP＝6，
∴AP＝＝=．
故选：B．
【点睛】
本题考查了解直角三角形．解此题的关键是找出″PA⊥OA时，∠OPA取最大值″这一隐含条件．
10．D
【分析】
A、根据反比例函数k一定，并根据图形得：当x=1时，y＜3，得k=xy＜3，因为y是矩形周长的一半，即y＞x，可判断点A的横坐标不可能大于3；
B、根据正方形边长相等得：y=2x，得点A是直线y=2x与双曲线的交点，画图，如图2，交点A在区域③，可作判断；
C、先表示矩形面积S=x（y-x）=xy-x2=k-x2，当点A沿双曲线向上移动时，x的值会越来越小，矩形1的面积会越来越大，可作判断；
D、当点A位于区域①，得x＜1，另一边为：y-x＞2，矩形2的坐标的对应点落在区域④中得：x＞1，y＞3，即另一边y-x＞0，可作判断．
【详解】
如图，设点A（x，y），

A、设反比例函数解析式为：y=（k≠0），
由图形可知：当x=1时，y＜3，
∴k=xy＜3，
∵y＞x，
∴x＜3，即点A的横坐标不可能大于3，
故选项A不正确；
B、当矩形1为正方形时，边长为x，y=2x，
则点A是直线y=2x与双曲线的交点，如图2，交点A在区域③，
故选项B不正确；
C、当一边为x，则另一边为y-x，S=x（y-x）=xy-x2=k-x2，
∵当点A沿双曲线向上移动时，x的值会越来越小，
∴矩形1的面积会越来越大，
故选项C不正确；
D、当点A位于区域①时，
∵点A（x，y），
∴x＜1，y＞3，即另一边为：y-x＞2，
矩形2落在区域④中，x＞1，y＞3，即另一边y-x＞0，
∴当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等；
故选项④正确；
故选D．
【点睛】
本题考查了函数图象和新定义，有难度，理解x和y的意义是关键，并注意数形结合的思想解决问题．
11．0
【分析】
根据分式的值，可得分式方程，根据解分式方程，可得答案．
【详解】
解：由分式的值等于1，得
＝1，
解得x＝0，
经检验x＝0是分式方程的解．
故答案为：0．
【点睛】
本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解决本题的关键．
12．3m（x﹣2y）
【分析】
直接提取公因式，进而分解因式即可.
【详解】
.
故答案为.
【点睛】
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键.
13．9
【分析】
首先根据的值确定a、b的值，然后可得a+b的值．
【详解】
∵＜，
∴4＜＜5，
∵a＜＜b，
∴a＝4，b＝5，
∴a+b＝9，
故答案为：9．
【点睛】
本题主要考查了估算无理数的大小，关键是正确确定a、b的值．
14．
【分析】
连接OM、ON，则OM⊥ON，阴影部分面积为扇形MON的面积+半圆MON的面积-三角形MON的面积．
【详解】
如图，连接OM、ON，则OM⊥ON

∵MN是半圆MON的直径
∴OM⊥ON，且OM=ON=2
∴,
∵，
∴
故答案为：．
【点睛】
本题考查了组合图形的面积计算，涉及到扇形面积、三角形面积的计算，关键是把不规则图形面积计算通过割补的方法转化为规则的已学过的图形面积的计算．
15．
【分析】
分别求出直线l经过点B、点M时的t值，即可得到t的取值范围．
【详解】
当直线y=−x+b过点B(3,0)时，
0=−3+b，
解得：b=3，
0=−(1+t)+3，
解得t=2．
当直线y=−x+b过点M(4,3)时，
3=−4+b，
解得：b=7，
0=−(1+t)+7，
解得t=6
故若l与线段BM有公共点，t的取值范围是：2⩽t⩽6，
故答案为：2⩽t⩽6．
【点睛】
本题考查了一次函数的性质，一次函数图象与几何变换，是一次函数的综合性题目．
16．2-2
【详解】
如图，设圆心为P，连结PA、PB、PC，PE⊥AB于E，

∵A（，0）、B（3，0），
∴E（2，0）
又∠ADB=60°，
∴∠APB=120°，
∴PE=1，PA=2PE=2，
∴P（2，1），
∵C（0，5），
∴PC==2，
又∵PD=PA=2，
∴只有点D在线段PC上时，CD最短（点D在别的位置时构成△CDP）
∴CD最小值为：2-2；
故答案为2-2．
17．；-2
【分析】
先计算括号内的异分母分式减法，再计算乘法，最后将可选取的x值代入计算即可．
【详解】
解：原式，
当时，原式．
【点睛】
此题考查分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则及确定字母的可取数值是解题的关键．
18．（1）7.5；（2）见解析；（3）见解析
【分析】
（1）利用割补法即可求解；
（2）根据旋转的定义结合格点的特点即可作图；
（3）先根据为的面积为，得到BD边上的高为3，再根据勾股定理求出BE=5，得到为等腰三角形即可求解．
【详解】
解：（1）如图，四边形的面积为，

故答案为：7.5；
（2）如图，即为求作的三角形；

（3）如图，为的面积为，
∴的面积等于四边形的面积，
根据勾股定理得,
∴DB=EB，
∴为等腰三角形，
∴为轴对称图形，
∴为求作的三角形．

【点睛】
本题考查了网格中旋转作图，勾股定理，等腰三角形的对称性等知识，综合性较强，理解相关知识并与网格问题相联系是解题关键．
19．（1）8、10、10、25；（2）1200人、6800人；（3）补图见详解.
【分析】
（1）根据第一组的频数和频率结合频率=，可求出总数，继而可分别得出a、b、m、n的值；
（2）先计算全区总人数，再用总人数乘以优秀，及格所占百分比，即可解决问题；
（3）根据（1）中a、b的值即可补全图形．
【详解】
（1）∵被调查的总人数为2÷5%=40人，
∴a=40×20%=8，
b=40﹣（2+4+8+10+6）=10，
B组所占百分比为4÷40=10%，∴m=10，
E组占百分比为10÷40=25%，∴n=25，
故答案为a=8，b=10，m=10，n=25；
（2）∵全区八年级学生总人数为200×40=8000人，
∴预计优秀的人数约为8000×15%=1200人，预计及格的人数约为8000×（20%+25%+25%+15%）=6800人，
故答案为1200人、6800人；
（3）补全频数分布直方图如下：

【点睛】
本题考查频数分布直方图， 频数分布表，扇形图等知识，难度不大，解答本题的关键是掌握频率=，结合扇形图和频数分布表提供的公共信息进行计算．
20．（1）A种树每棵100元，B种树每棵80元；（2）当购买A种树木75棵，B种树木25棵时，所需费用最少，最少为8550元
【分析】
（1）设A种树每棵x元，B种树每棵y元，根据题意列方程组解答即可；
（2）设购买A种树木为a棵，则购买B种树木为棵，根据题意列不等式求出，再设实际付款总金额是y元，得到，依据一次函数的增减性解答即可．
【详解】
解：（1）设A种树每棵x元，B种树每棵y元，依题意得：
，解得：．
答：A种树每棵100元，B种树每棵80元；
（2）设购买A种树木为a棵，则购买B种树木为棵，依题意得：
，解得．
设实际付款总金额是y元，则
，
即．
，y随a的增大而增大，
当时，y最小．
即当时，（元）．
答：当购买A种树木75棵，B种树木25棵时，所需费用最少，最少为8550元．
【点睛】
此题考查方程组的实际应用，一次函数的实际应用，正确理解题意，列出方程组、不等式及函数关系式是解题的关键．
21．（1）见解析；（2）6.
【分析】
（1）连接OD，OE，BD，证△OBE≌△ODE（SSS），得∠ODE=∠ABC=90°；（2）证△DEC为等边三角形，得DC=DE=2.
【详解】
（1）证明：连接OD，OE，BD，

∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB=∠BDC=90°，
在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，
∴DE=BE，
在△OBE和△ODE中，
，
∴△OBE≌△ODE（SSS），
∴∠ODE=∠ABC=90°，
则DE为圆O的切线；
（2）在Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴BC= AC，
∵BC=2DE=4，
∴AC=8，
又∵∠C=60°，DE=CE，
∴△DEC为等边三角形，即DC=DE=2，
则AD=AC-DC=6．
【点睛】
考核知识点：切线的判定和性质.
22．（1）限速道路的长约为1514米；（2）李师傅超速了，理由见解析．
【分析】
（1）如图（见解析），先根据矩形的判定与性质可得米，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得，设，在中，利用直角三角形的性质可得，从而可得，然后在中，解直角三角形可得x的值，最后根据线段的和差即可得；
（2）根据“速度路程时间”求出李师傅行驶的速度，由此即可得出答案．
【详解】
（1）如图，由题意得：，米，

过点C作于点M，过点D作于点N，
则四边形CDNM是矩形，
米，
，
，，，
是等腰直角三角形，，
设米，
在中，米，米，
米，
在中，，即，
解得（米），
则（米），
答：限速道路的长约为1514米；
（2）因为分秒等于小时，1514米等于千米，
所以李师傅在道路上行驶速度为（千米/小时），
因为，
所以李师傅超速了．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键．
23．（1）抛物线y＝﹣x2+2x+3与抛物线y＝﹣x2+x+1所围成的封闭曲线即为开口向下的“月牙线”；（2）M（﹣6，0），N（2，0）；（3）存在，点P的坐标为（﹣3，﹣）时，△PAM的面积有最大值，最大值为．
【分析】
（1）根据定义，只要写出的两个抛物线与x轴有着相同的交点，且a的值为负即可；
（2）在解析式y=mx2+4mx-12m中，令y=0解方程即可求出M，N的横坐标，由此可写出M,N两点的坐标；
（3）先根据“月牙线”的定义，设出抛物线C1的一般式，将A点代入即可求得抛物线C1的解析式，再用含t的代数式表示P点坐标，根据S△PAM=S△PMO+S△PAO-S△AOM即可表示△PAM的面积.可根据二次函数的性质求出面积的最大值以及此时P点坐标.
【详解】
（1）如图1，

抛物线y＝﹣x2+2x+3与抛物线y＝﹣x2+x+1所围成的封闭曲线即为开口向下的“月牙线”（此题答案不唯一）；
（2）在抛物线C2的解析式y＝mx2+4mx﹣12m中，
当y＝0时，mx2+4mx﹣12m＝0，
∵m≠0，
∴x2+4x﹣12＝0，
解得，x1＝﹣6，x2＝2，
∵点M在点N的左边，
∴M（﹣6，0），N（2，0）；
（3）存在，理由如下：
如图2，连接AM，PO，PM，PA，

∵抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同，
∴可设抛物线C1的解析式y＝nx2+4nx﹣12n（n＞0），
∵抛物线C1与y轴的交点为A（0，﹣3），
∴﹣12n＝﹣3，
∴n＝，
∴抛物线C1的解析式为y＝x2+x﹣3，
∴可设点P的坐标为（t，t2+t﹣3），
∴S△PAM＝S△PMO+S△PAO﹣S△AOM
＝×6×（﹣t2﹣t+3）+×3×（﹣t）﹣×6×3
＝﹣t2﹣t，
＝﹣（t+3）2+，
∵﹣＜0，﹣6＜t＜0，
∴根据二次函数的图象和性质知，当t＝﹣3时，即点P的坐标为（﹣3，﹣）时，△PAM的面积有最大值，最大值为．
【点睛】
本题考查用待定系数法求二次函数解析式，二次函数与图形问题，二次函数图象及性质，二次函数与坐标轴的交点.（1）中理解“月牙线”的定义是解题关键；（2）二次函数，当时，得到一元二次方程. 一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标；（3）能利用割补法表示△PAM的面积是解题关键.
24．（1）证明见解析；（2）；（3）．
【分析】
(1)证明两个角相等证明，列比例式可得结论；
(2) 如图2，过D作于N，根据是等腰直角三角形，得，由平行线分线段成比例定理得，计算DN和CN的长，利用勾股定理计算CD和BD的长，根据(1)中相似三角形，列比例式得：，设，，代入比例式可得结论；
(3) 如图3，作辅助线构建全等三角形，证明，得，证明，得，证明，列比例式得，根据三角函数的定义和等量代换可得比例式，并根据D，E是AB上一点，，可知当点E与A重合时，BD最大为，可得的取值范围．
【详解】
（1）证明：如图1，

，，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图2，过D作于N，

，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，，，
，
，
由勾股定理得：，
由（1）知：，
，
设，，
，
，
；
（3）解：如图3，过点C作，交的延长线于点P，

，，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，即，
，，
是等腰直角三角形，
，

，
在中，，
，
，E是上一点，，
当点E与A重合时，最大为，
，
，
．
【点睛】
本题是相似三角形的综合题，考查了全等和相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角函数的定义等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．