数学必修43.3 三角函数的积化和差与和差化积巩固练习

这是一份数学必修43.3 三角函数的积化和差与和差化积巩固练习，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．sin75°－sin15°的值为( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(2),2)
C．eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(1,2)
[答案] B
[解析] sin75°－sin15°＝2cseq \f(75°＋15°,2)sineq \f(75°－15°,2)＝2×eq \f(\r(2),2)×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(2),2).故选B．
2．已知cs(α＋β)cs(α－β)＝eq \f(1,3)，则cs2α－sin2β的值为( )
A．－eq \f(2,3) B．－eq \f(1,3)
C．eq \f(1,3) D．eq \f(2,3)
[答案] C
[解析] 由已知得cs2αcs2β－sin2αsin2β＝eq \f(1,3)，
∴cs2α(1－sin2β)－sin2αsin2β＝eq \f(1,3)，
即cs2α－sin2β＝eq \f(1,3).
3．化简eq \f(csα－cs3α,sin3α－sinα)的结果为( )
A．tanα B．tan2α
C．ctα D．ct2α
[答案] B
[解析] 原式＝eq \f(－2sin2αsin－α,2cs2αsinα)
＝eq \f(2sin2αsinα,2cs2αsinα)
＝tan2α.
4．函数f(x)＝2sineq \f(x,2)sin(eq \f(π,3)－eq \f(x,2))的最大值是( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(3,2)
C．－eq \f(1,2) D．－eq \f(2,3)
[答案] A
[解析] f(x)＝2sineq \f(x,2)sin(eq \f(π,3)－eq \f(x,2))
＝－[cs(eq \f(x,2)＋eq \f(π,3)－eq \f(x,2))－cs(eq \f(x,2)－eq \f(π,3)＋eq \f(x,2))]
＝－cseq \f(π,3)＋cs(x－eq \f(π,3))
＝cs(x－eq \f(π,3))－eq \f(1,2).
f(x)max＝1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2).
5．有下列关系式：①sin5θ＋sin3θ＝2sin8θcs2θ；②cs3θ－cs5θ＝－2sin4θsinθ；③sin3θ－sin5θ＝－eq \f(1,2)cs4θcsθ；④sin5θ＋cs3θ＝2sin4θcsθ.其中正确等式的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] A
[解析] ①②③④均不正确，故选A．
6．已知cs2α－cs2β＝m，那么sin(α＋β)sin(α－β)等于( )
A．－m B．m
C．－eq \f(m,2) D．eq \f(m,2)
[答案] A
[解析] sin(α＋β)sin(α－β)＝(sinαcsβ＋csαsinβ)(sinαcsβ－csαsinβ)
＝sin2αcs2β－cs2αsin2β
＝(1－cs2α)cs2β－cs2α(1－cs2β)
＝cs2β－cs2αcs2β－cs2α＋cs2αcs2β
＝cs2β－cs2α＝－m.
二、填空题
7．求值：eq \f(sin10°＋cs70°,sin80°＋cs20°)＝________.
[答案] 2－eq \r(3)
[解析] eq \f(sin10°＋cs70°,sin80°＋cs20°)＝eq \f(cs80°＋cs70°,sin80°＋sin70°)＝eq \f(2cs75°cs5°,2sin75°cs5°)
＝eq \f(1,tan75°)＝eq \f(1,tan30°＋45°)
＝eq \f(1－tan30°tan45°,tan30°＋tan45°)
＝eq \f(1－\f(\r(3),3)×1,\f(\r(3),3)＋1)＝2－eq \r(3).
8．cs40°＋cs60°＋cs80°＋cs160°＝________.
[答案] eq \f(1,2)
[解析] 原式＝cs40°＋cs80°＋cs60°－cs20°
＝2cs60°·cs(－20°)＋cs60°－cs20°
＝cs60°＝eq \f(1,2).
三、解答题
9．求证：sin(α＋β)csα－eq \f(1,2)[sin(2α＋β)－sinβ]＝sinβ.
[解析] 解法一：左边＝sin(α＋β)csα－eq \f(1,2)[sin〔(α＋β)＋α〕－sinβ]
＝sin(α＋β)csα－eq \f(1,2)[sin(α＋β)csα＋cs(α＋β)sinα]＋eq \f(1,2)sinβ＝eq \f(1,2)[sin(α＋β)csα－cs(α＋β)sinα]＋eq \f(1,2)sinβ
＝eq \f(1,2)sin[(α＋β)－α]＋eq \f(1,2)sinβ＝sinβ＝右边．
解法二：左边
＝sin(α＋β)csα－eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2cs\f(2α＋β＋β,2)sin\f(2α＋β－β,2)))
＝sin(α＋β)csα－cs(α＋β)sinα
＝sin[(α＋β)－α]＝sinβ＝右边．
一、选择题
1．已知sin(α－β)·csα－cs(α－β)·sinα＝m，且β为第三象限角，则csβ等于( )
A．eq \r(1－m2) B．－eq \r(1－m2)
C．eq \r(1＋m2) D．－eq \r(m2－1)
[答案] B
[解析] sin(α－β)csα－cs(α－β)sinα＝sin(－β)＝－sinβ，
∴sinβ＝－m.又β为第三象限角，
∴csβ＝－eq \r(1－m2).
2．若sinα＋sinβ＝eq \f(\r(3),3)(csβ－csα)且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则α－β等于( )
A．－eq \f(2π,3) B．－eq \f(π,3)
C．eq \f(π,3) D．eq \f(2π,3)
[答案] D
[解析] ∵α、β∈(0，π)，∴sinα＋sinβ>0.
∴csβ－csα>0，
∴csβ>csα，又在(0，π)上，y＝csx是减函数．
∴β<α∴0<α－β<π，由原式可知：
2sineq \f(α＋β,2)·cseq \f(α－β,2)＝eq \f(\r(3),3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2sin\f(α＋β,2)·sin\f(β－α,2)))，
∴taneq \f(α－β,2)＝eq \r(3)∴eq \f(α－β,2)＝eq \f(π,3)∴α－β＝eq \f(2π,3).
3．在△ABC中，若B＝30°，则csAsinC的取值范围是( )
A．[－1,1] B．[－eq \f(1,2)，eq \f(1,2)]
C．[－eq \f(1,4)，eq \f(3,4)] D．[－eq \f(3,4)，eq \f(1,4)]
[答案] C
[解析] csAsinC＝eq \f(1,2)[sin(A＋C)－sin(A－C)]
＝eq \f(1,4)－eq \f(1,2)sin(A－C)，∵－1≤sin(A－C)≤1，
∴csAsinC∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，\f(3,4))).
4．tan70°cs10°(eq \r(3)tan20°－1)等于( )
A．1 B．－1
C．eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2)
[答案] B
[解析] 原式＝ct20°cs10°(eq \r(3)tan20°－1)
＝ct20°cs10°eq \f(\r(3)sin20°－cs20°,cs20°)
＝ct20°cs10°eq \f(2sin20°－30°,cs20°)
＝－eq \f(2sin10°cs10°ct20°,cs20°)＝－1.
二、填空题
5．sin220°＋cs280°＋eq \r(3)sin20°·cs80°＝________.
[答案] eq \f(1,4)
[解析] 原式＝eq \f(1－cs40°,2)＋eq \f(1＋cs160°,2)＋eq \f(\r(3),2)sin100°－eq \f(\r(3),2)sin60°
＝eq \f(1,4)－eq \f(1,2)cs40°－eq \f(1,2)cs20°＋eq \f(\r(3),2)sin100°
＝eq \f(1,4)－eq \f(1,2)×2cs30°cs10°＋eq \f(\r(3),2)cs10°
＝eq \f(1,4)－eq \f(\r(3),2)cs10°＋eq \f(\r(3),2)cs10°＝eq \f(1,4).
6．计算eq \f(1,tan10°)－4cs10°＝________.
[答案] eq \r(3)
[解析] eq \f(1,tan10°)－4cs10°＝eq \f(cs10°－2sin20°,sin10°)
＝eq \f(cs10°－2sin30°－10°,sin10°)
＝eq \f(2cs30°sin10°,sin10°)＝eq \r(3).
三、解答题
7．求函数y＝sin4x＋2eq \r(3)sinxcsx－cs4x的最小正周期和最小值；并写出该函数在[0，π]上的递增区间．
[解析] y＝sin4x＋2eq \r(3)sinxcsx－cs4x
＝(sin2x＋cs2x)(sin2x－cs2x)＋eq \r(3)sin2x
＝eq \r(3)sin2x－cs2x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6))).
故该函数的最小正周期是π；最小值是－2.
递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，π)).
8．在△ABC中，求证：
(1)sin2A＋sin2B－sin2C＝2sinAsinBcsC；
(2)sinA＋sinB－sinC＝4sineq \f(A,2)sineq \f(B,2)cseq \f(C,2).
[解析] (1)左边＝sin2A＋eq \f(1－cs2B,2)－eq \f(1－cs2C,2)
＝sin2A＋eq \f(1,2)(cs2C－cs2B)
＝sin2(B＋C)＋sin(B＋C)sin(B－C)
＝sin(B＋C)[sin(B＋C)＋sin(B－C)]
＝sin(B＋C)2sinBcsC＝2sinAsinBcsC＝右边，
∴等式成立．
(2)左边＝sin(B＋C)＋2sineq \f(B－C,2)cseq \f(B＋C,2)
＝2sineq \f(B＋C,2)cseq \f(B＋C,2)＋2sineq \f(B－C,2)cseq \f(B＋C,2)
＝2cseq \f(B＋C,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(B＋C,2)＋sin\f(B－C,2)))
＝4sineq \f(A,2)sineq \f(B,2)cseq \f(C,2)＝右边，∴原等式成立．
9．讨论函数f(x)＝eq \f(1,2)cs(2x－2α)＋cs2α－2cs(x－α)·csx·csα的周期、最值、奇偶性及单调区间．
[解析] f(x)＝eq \f(1,2)cs(2x－2α)＋eq \f(1＋cs2α,2)－2cs(x－α)csx·csα
＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)[cs(2x－2α)＋cs2α]－[2cs(x－α)·csα]csx
＝eq \f(1,2)＋csx·cs(x－2α)－csx[csx＋cs(x－2α)]
＝eq \f(1,2)－cs2x＝eq \f(1,2)－eq \f(1＋cs2x,2)＝－eq \f(1,2)cs2x.
∴函数的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π.
f(x)max＝eq \f(1,2)，此时cs2x＝－1，
即2x＝2kπ＋π，k∈Z，x＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z；
f(x)min＝－eq \f(1,2)，此时cs2x＝1，
即2x＝2kπ，k∈Z，x＝kπ，k∈Z.
f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
由2kπ≤2x≤2kπ＋π，k∈Z，即kπ≤x≤kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z.
∴函数f(x)的增区间为[kπ，kπ＋eq \f(π,2)](k∈Z)．
由2kπ＋π≤2x≤2kπ＋2π，k∈Z，即kπ＋eq \f(π,2)≤x≤kπ＋π，k∈Z.
∴函数f(x)的单调减区间为[kπ＋eq \f(π,2)，kπ＋π]，k∈Z.