高中数学人教版新课标B必修41.3.2余弦函数、正切函数的图像与性质第1课时达标测试

这是一份高中数学人教版新课标B必修41.3.2余弦函数、正切函数的图像与性质第1课时达标测试，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．函数y＝|csx|的周期为( )
A．2π B．π
C．eq \f(π,2) D．eq \f(π,4)
[答案] B
[解析] 作出函数y＝|csx|的简图，
由图象可知，函数y＝|csx|的周期为π.
2．函数y＝cs2x的图象( )
A．关于直线x＝－eq \f(π,4)对称B．关于直线x＝－eq \f(π,2)对称
C．关于直线x＝eq \f(π,8)对称D．关于直线x＝eq \f(5π,4)对称
[答案] B
[解析] 令2x＝kπ(k∈Z)，
则x＝eq \f(kπ,2)，k∈Z.
当k＝－1时，x＝－eq \f(π,2)，故选B．
3．(2015·河南新乡市高一期末测试)为了得到函数y＝cs(eq \f(x,5)＋eq \f(1,3))(x∈R)的图象，只需把余弦曲线上所有的点( )
A．先向左平移eq \f(1,3)个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的5倍(纵坐标不变)
B．先向左平移eq \f(π,3)个单位长度，再把所得图象上所有的点的横坐标伸长到原来的5倍(纵坐标不变)
C．先向右平移eq \f(1,3)个单位长度，再把所得图象上所有的点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,5)倍(纵坐标不变)
D．先向右平移eq \f(π,3)个单位长度，再把所得图象上所有的点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,5)倍(纵坐标不变)
[答案] A
[解析] 将函数y＝csx的图象上所有的点向左平移eq \f(1,3)个单位长度，得到函数y＝cs(x＋eq \f(1,3))的图象，再将函数y＝cs(x＋eq \f(1,3))的图象上所有的点的横坐标伸到原来的5倍(纵坐标不变)得到函数y＝cs(eq \f(x,5)＋eq \f(1,3))的图象，故选A．
4．(2015·河北邯郸高一期末测试)函数y＝cs(2x－eq \f(π,6))在区间[－eq \f(π,2)，π]的简图是( )
[答案] D
[解析] 当x＝－eq \f(π,2)时，y＝cs[2×(－eq \f(π,2))－eq \f(π,6)]
＝cs(－π－eq \f(π,6))＝cs(π＋eq \f(π,6))
＝－cseq \f(π,6)＝－eq \f(\r(3),2)，排除A、C；
当x＝－eq \f(π,6)时，y＝cs[2×(－eq \f(π,6))－eq \f(π,6)]＝cs(－eq \f(π,2))＝0，排除B，故选D．
5．下列函数中，周期为π，又是偶函数的是( )
A．y＝sinx B．y＝csx
C．y＝cs2x D．y＝sin2x
[答案] C
[解析] 函数y＝cs2x的周期为π，又是偶函数，故选C．
6．设f(x)是定义域为R，最小正周期为eq \f(3π,2)的函数，若f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(csx\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)≤x≤0)),sinx0A．1 B．eq \f(\r(2),2)
C．0 D．－eq \f(\r(2),2)
[答案] B
[解析] feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(15,4)π))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)×－3＋\f(3π,4)))
＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)))＝sineq \f(3π,4)＝eq \f(\r(2),2).
二、填空题
7．函数y＝eq \f(\r(csx),1＋sinx)的定义域为________．
[答案] (－eq \f(π,2)＋2kπ，eq \f(π,2)＋2kπ](k∈Z)
[解析] 由已知得，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋sinx≠0⇒sinx≠－1,csx≥0))，
结合正、余弦函数图象可知，
－eq \f(π,2)＋2kπ8．函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,4)))的对称轴方程为____________，对称中心坐标为____________．
[答案] x＝2kπ－eq \f(π,2)(k∈Z) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)，0))(k∈Z)
[解析] 令eq \f(1,2)x＋eq \f(π,4)＝kπ，∴x＝2kπ－eq \f(π,2)，k∈Z，
令eq \f(1,2)x＋eq \f(π,4)＝eq \f(π,2)＋kπ，∴x＝2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z.
∴函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,4)))的对称轴方程为x＝2kπ－eq \f(π,2)(k∈Z)，对称中心坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)，0))(k∈Z)．
三、解答题
9．已知函数y＝a－bcsx的最大值是eq \f(3,2)，最小值是－eq \f(1,2)，求函数y＝－4bsinax的最大值、最小值及最小正周期．
[解析] －1≤csx≤1，由题意知b≠0.
当b>0时，－b≤－bcsx≤b，
∴a－b≤a－bcsx≤a＋b.
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＝\f(3,2),a－b＝－\f(1,2)))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,2),b＝1)).
∴y＝－4bsinax＝－4sineq \f(1,2)x，
最大值为4，最小值为－4，最小正周期为4π.
当b<0时，b≤－bcsx≤－b，
∴a＋b≤a－bcsx≤a－b.
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－b＝\f(3,2),a＋b＝－\f(1,2)))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,2),b＝－1)).
∴y＝－4bsinax＝4sineq \f(1,2)x，最大值为4，最小值为－4，最小正周期为4π.
10. 求函数y＝2cs(eq \f(π,6)－4x)的单调区间、最大值及取得最大值时x的集合．
[解析] y＝2cs(eq \f(π,6)－4x)＝2cs(4x－eq \f(π,6))．
令－π＋2kπ≤4x－eq \f(π,6)≤2kπ，k∈Z，
得－eq \f(5π,24)＋eq \f(kπ,2)≤x≤eq \f(π,24)＋eq \f(kπ,2)，k∈Z.
令2kπ≤4x－eq \f(π,6)≤2kπ＋π，k∈Z，
得eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,24)≤x≤eq \f(kπ,2)＋eq \f(7π,24)，k∈Z.
∴该函数的单调增区间是[eq \f(kπ,2)－eq \f(5π,24)，eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,24)](k∈Z)，
单调减区间是[eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,24)，eq \f(kπ,2)＋eq \f(7π,24)](k∈Z)．
当cs(4x－eq \f(π,6))＝1时，ymax＝2.
此时4x－eq \f(π,6)＝2kπ，k∈Z，
∴x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,24)，k∈Z.
即函数取得最大值时x的集合是{x|x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,24)，k∈Z}，且最大值为2.
一、选择题
1．函数y＝lncsx(－eq \f(π,2)[答案] A
[解析] 由y＝lncsx(－eq \f(π,2)2．(2015·新课标Ⅰ理，8)函数f(x)＝cs(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(1,4)，kπ＋\f(3,4)))，k∈ZB．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(1,4)，2kπ＋\f(3,4)))，k∈Z
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k－\f(1,4)，k＋\f(3,4)))，k∈ZD．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2k－\f(1,4)，2k＋\f(3,4)))，k∈Z
[答案] D
[解析] 由五点作图知，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,4)ω＋φ＝\f(π,2),\f(5,4)ω＋φ＝\f(3π,2)))，解得ω＝π，φ＝eq \f(π,4)，所以f(x)＝cs(πx＋eq \f(π,4))，令2kπ＜πx＋eq \f(π,4)＜2kπ＋π，k∈Z，解得2k－eq \f(1,4)＜x＜2k＋eq \f(3,4)，k∈Z，故单调减区间为(2k－eq \f(1,4)，2k＋eq \f(3,4))，k∈Z，故选D .
3．已知f(x)是定义在(－3,3)上的奇函数，当0A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，－\f(π,2)))∪(0,1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，3))B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，－1))∪(0,1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，3))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，－\f(π,2)))∪(0,1)∪(1,3)D．(－3，－1)∪(0,1)∪(1,3)
[答案] B
[解析] f(x)>0的解集为(－1,0)∪(1,3)，f(x)<0的解集为(－3，－1)∪(0,1)，
当x∈(－π，π)时，csx>0的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，csx<0的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－π，－\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，故f(x)csx<0的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，－1))∪(0,1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，3)).
4．把函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(4π,3)))的图象向右平移φ个单位，所得到的函数图象正好关于y轴对称，则φ的最小值为( )
A．eq \f(4π,3) B．eq \f(2π,3)
C．eq \f(π,3) D．eq \f(5π,3)
[答案] C
[解析] 当φ＝eq \f(π,3)时，得y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)＋\f(4π,3)))
＝cs(π＋x)＝－csx，所以图象关于y轴对称．
二、填空题
5．已知f(n)＝cseq \f(nπ,4)，n∈N*，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(100)＝________.
[答案] －1
[解析] 因f(n)＝cseq \f(nπ,4)的周期T＝8，且f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝0.
所以f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝cseq \f(π,4)＋cseq \f(π,2)＋cseq \f(3π,4)＋csπ＝－1.
6．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)，在同一周期内当x＝eq \f(π,12)时，ymax＝2；当x＝eq \f(7π,12)时，ymin＝－2，那么函数的解析式为________．
[答案] y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))
[解析] ∵eq \f(T,2)＝eq \f(7π,12)－eq \f(π,12)＝eq \f(π,2)，∴T＝π，ω＝2，
又A＝2，∴y＝2sin(2x＋φ)过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，2))，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋φ))＝1，∴φ＝eq \f(π,3)＋2kπ(k∈Z)．
三、解答题
7．设函数f(x)＝asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kx－\f(π,3)))，g(x)＝bcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kx－\f(π,6)))(a>0，b>0，k>0)，若它们的最小正周期之和为eq \f(3π,2)，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝－eq \r(3)geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))－1，求这两个函数的解析式．
[解析] 函数f(x)的周期T1＝eq \f(2π,k)，函数g(x)的周期T2＝eq \f(π,k)，
由已知T1＋T2＝eq \f(3π,2)，∴eq \f(2π,k)＋eq \f(π,k)＝eq \f(3π,2)，∴k＝2.
又feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))，则有
a·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,3)))＝b·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π－\f(π,6))).
∴eq \f(\r(3),2)a＝eq \f(\r(3),2)b，即a＝b①
又feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝－eq \r(3)geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))－1，则有
a·sineq \f(π,6)＝－eq \r(3)b·cseq \f(5π,6)－1.
即eq \f(1,2)a＝eq \f(3,2)b－1，②
由①②解得a＝b＝1.
所以f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，g(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x－\f(π,6))).
8. 已知函数f(x)＝eq \r(2)cs(eq \f(π,4)－2x)，x∈R.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若函数f(x)的图象向右平移φ(0≤φ≤eq \f(π,2))个单位长度后变为偶函数，求φ的值．
[解析] (1)f(x)＝eq \r(2)cs(eq \f(π,4)－2x)＝eq \r(2)cs(2x－eq \f(π,4))，由－π＋2kπ≤2x－eq \f(π,4)≤2kπ，得－eq \f(3π,8)＋kπ≤x≤eq \f(π,8)＋kπ，k∈Z，
∴函数f(x)的单调递增区间为[－eq \f(3π,8)＋kπ，eq \f(π,8)＋kπ](k∈Z)．
(2)函数f(x)＝eq \r(2)cs(2x－eq \f(π,4))的图象向右平移φ个单位长度后得到函数g(x)＝eq \r(2)cs[2(x－φ)－eq \f(π,4)]＝eq \r(2)cs(2x－2φ－eq \f(π,4))＝eq \r(2)cs[2x－(2φ＋eq \f(π,4))]，又g(x)为偶函数，∴2φ＋eq \f(π,4)＝kπ，k∈Z.∵0≤φ≤eq \f(π,2)，
∴φ＝eq \f(3π,8).