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2021年广东省中考数学仿真模拟试卷（三）
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这是一份2021年广东省中考数学仿真模拟试卷（三），共23页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年广东省中考数学仿真模拟试卷（三）
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑。
1．（3分）﹣9的绝对值是（ ）
A． B．﹣ C．9 D．﹣9
2．（3分）北京冬奥会和冬残奥会赛会志愿者招募工作进展顺利，截止2020年底，赛会志愿者申请人数已突破960000人．将960000用科学记数法表示为（ ）
A．96×104 B．9.6×104 C．9.6×105 D．9.6×106
3．（3分）在平面直角坐标系中，点（2，5）关于y轴对称点的坐标为（ ）
A．（﹣2，5） B．（2，﹣5） C．（﹣2，﹣5） D．（2，5）
4．（3分）如图所示的几何体从上面看到的形状图是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）代数式在实数范围内有意义的条件是（ ）
A．x＞﹣ B．x≠﹣ C．x＜﹣ D．x≥﹣
6．（3分）已知有下列四个算式：①（﹣5）+（+3）＝﹣8；②﹣（﹣2）3＝6；③（﹣3）÷（﹣）＝9；④（﹣）﹣（﹣）＝﹣．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（3分）若一个多边形内角和等于1260°，则该多边形边数是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
8．（3分）成都市某医院开展了主题为“抗击疫情，迎战硝烟”的护士技能比赛活动，决赛中5名护士的成绩（单位：分）分别为：88，93，90，93，92，则这组数据的中位数是（ ）
A．88 B．90 C．92 D．93
9．（3分）已知m，n是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则m2﹣n+2019的值是（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2023
10．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，下列结论：
①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；
②9a+3b+c＜0；
③一元二次方程ax2+bx+c＝2的两根之和为﹣1；
④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上.
11．（4分）将x2﹣4y2因式分解为 ．
12．（4分）已知﹣7x6y4和3x2myn是同类项，则m﹣n的值是 ．
13．（4分）若某数的两个平方根是a+1与a﹣3，则这个数是 ．
14．（4分）若实数m，n满足|m﹣2|+（n﹣2021）2＝0，则m﹣1+n0＝ ．
15．（4分）用一个圆心角为180°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是 ．
16．（4分）如图，把三角形纸片折叠，使点B、点C都与点A重合，折痕分别为DE，FG，得到∠AGE＝30°，若AE＝EG＝2厘米，则△ABC的边BC的长为 厘米．
17．（4分）如图，有两张矩形纸片ABCD和EFGH，AB＝EF＝2cm，BC＝FG＝8cm．把纸片ABCD交叉叠放在纸片EFGH上，使重叠部分为平行四边形，且点D与点G重合．当两张纸片交叉所成的角α最小时，tanα等于 ．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）先化简，再求值．（x﹣2y）2+2y（2x﹣3y）．其中x＝﹣1，y＝．
19．（6分）先化简，再求值：﹣，其中x＝2﹣．
20．（6分）如图，已知▱ABCD．
（1）作出BC的垂直平分线，交AD于点E，交BC于点F，（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在1的条件下，连接BE，CE，若∠D＝65°，∠ABE＝25°，求∠ECB的度数．
三、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）2020年春季在新冠疫情的背景下，全国各大中小学纷纷开设空中课堂，学生要面对电脑等电子产品上网课，某校为了解本校学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调查结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：根据图中信息，解答下列问题：
（1）在扇形统计图中，“比较重视”所占的圆心角的度数为 ，并补全条形统计图；
（2）该校共有学生3200人，请你估计该校对视力保护“非常重视”的学生人数；
（3）对视力“非常重视”的4人有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人向全校作视力保护经验交流，请利用树状图或列表法，求出恰好抽到同性别学生的概率．
22．（8分）在期末一节复习课上，八年（一）班的数学老师要求同学们列二元一次方程组解下列问题：
在我市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为扶贫村庄修建3000m的村路，甲队每天修建150m，乙队每天修建200m，共用18天完成．
（1）粗心的张红同学，根据题意，列出的两个二元一次方程，等号后面忘记写数据，得到了一个不完整的二元一次方程组，张红列出的这个不完整的方程组中未知数p表示的是 ，未知数q表示的是 ；张红所列出正确的方程组应该是 ；
（2）李芳同学的思路是想设甲工程队修建了xm村路，乙工程队修建了ym村路．下面请你按照李芳的思路，求甲、乙两个工程队分别修建了多少天？
23．（8分）如图，点O是Rt△ABC的斜边AB上一点，⊙O与边AB交于点A，D，与AC交于点E，点F是的中点，边BC经过点F，连接AF．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AF＝8，求AC的长．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）如图，已知直线OA与反比例函数y＝（m≠0）的图象在第一象限交于点A．若OA＝4，直线OA与x轴的夹角为60°．
（1）求点A的坐标；
（2）求反比例函数的解析式；
（3）若点P是坐标轴上的一点，当△AOP是直角三角形时，直接写出点P的坐标．
25．（10分）如图1，一次函数的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，且B点坐标为（0，4），以点A为顶点的抛物线解析式为y＝﹣（x+2）2．
（1）求一次函数的解析式；
（2）如图2，将抛物线的顶点沿线段AB平移，此时抛物线顶点记为C，与y轴交点记为D，当点C的横坐标为﹣1时，求抛物线的解析式及D点的坐标；
（3）在（2）的条件下，线段AB上是否存在点P，使以点B，D，P为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，求出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．
2021年广东省中考数学仿真模拟试卷（三）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑。
1．（3分）﹣9的绝对值是（ ）
A． B．﹣ C．9 D．﹣9
【分析】在数轴上，一个数所表示的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，根据定义即可解答．
【解答】解：|﹣9|＝9．
故选：C．
2．（3分）北京冬奥会和冬残奥会赛会志愿者招募工作进展顺利，截止2020年底，赛会志愿者申请人数已突破960000人．将960000用科学记数法表示为（ ）
A．96×104 B．9.6×104 C．9.6×105 D．9.6×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：将960000用科学记数法表示为9.6×105．
故选：C．
3．（3分）在平面直角坐标系中，点（2，5）关于y轴对称点的坐标为（ ）
A．（﹣2，5） B．（2，﹣5） C．（﹣2，﹣5） D．（2，5）
【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．
【解答】解：点（2，5）关于y轴对称点的坐标为（﹣2，5）．
故选：A．
4．（3分）如图所示的几何体从上面看到的形状图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：从上面看共有两层，底层右边是1个小正方形，上层有2个小正方形．
故选：D．
5．（3分）代数式在实数范围内有意义的条件是（ ）
A．x＞﹣ B．x≠﹣ C．x＜﹣ D．x≥﹣
【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得，2x+1≥0，
解得x≥﹣，
故选：D．
6．（3分）已知有下列四个算式：①（﹣5）+（+3）＝﹣8；②﹣（﹣2）3＝6；③（﹣3）÷（﹣）＝9；④（﹣）﹣（﹣）＝﹣．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】第①个式子根据有理数的加法可以计算出正确的结果；
第②个式子根据有理数的乘方可以计算出正确的结果；
第③个式子根据有理数的除法可以计算出正确的结果；
第④个式子根据有理数的减法可以计算出正确的结果．
【解答】解：（﹣5）+（+3）＝（﹣5）+3＝﹣2，故①错误；
﹣（﹣2）3＝﹣（﹣8）＝8，故②错误；
（﹣3）÷（﹣）＝3×3＝9，故③正确；
（﹣）﹣（﹣）＝（﹣）+＝﹣，故④正确；
故选：B．
7．（3分）若一个多边形内角和等于1260°，则该多边形边数是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】设多边形的边数为n，根据多边形内角和定理得出（n﹣2）•180°＝1260°，求出即可．
【解答】解：设多边形的边数为n，
则（n﹣2）•180°＝1260°，
解得：n＝9，
故选：B．
8．（3分）成都市某医院开展了主题为“抗击疫情，迎战硝烟”的护士技能比赛活动，决赛中5名护士的成绩（单位：分）分别为：88，93，90，93，92，则这组数据的中位数是（ ）
A．88 B．90 C．92 D．93
【分析】根据中位数的定义求解即可．
【解答】解：从小到大排列此数据为：88，90，92，93，93，92处在第3位为中位数．
故选：C．
9．（3分）已知m，n是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则m2﹣n+2019的值是（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2023
【分析】利用一元二次方程根的定义得到m2＝﹣m+3，则m2﹣n+2019＝﹣（m+n）+2022，再根据根与系数的关系得到m+n＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵m方程x2+x﹣3＝0的实数根，
∴m2+m﹣3＝0，
∴m2＝﹣m+3，
∴m2﹣n+2019＝﹣m+3﹣n+2019
＝﹣（m+n）+2022，
∵m，n是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣1，
∴m2﹣n+2019＝﹣（﹣1）+2022＝2023．
故选：D．
10．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，下列结论：
①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；
②9a+3b+c＜0；
③一元二次方程ax2+bx+c＝2的两根之和为﹣1；
④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用二次函数的性质结合二次函数的图象确定符合条件的选项，即可得出结论．
【解答】解：①根据题意得：，
解得：a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3，
∴y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴二次函数图象的顶点坐标为（﹣1，4），
∴二次三项式ax2+bx+c的最大值为4，故①正确；
②∵当x＝3时，y＜0，
∴9a+3b+c＜0，故②错误；
③∵抛物线与x轴的交点分别是（﹣3，0），（1，0），
∴抛物线对称轴为x＝﹣1，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝2的两根之和为﹣3+1＝﹣2，故③错误；
④由函数图象可知，当y≤3时，x≥0或x≤﹣2，故④错误．
故选：A．
二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上.
11．（4分）将x2﹣4y2因式分解为 （x+2y）（x﹣2y） ．
【分析】原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝x2﹣（2y）2
＝（x+2y）（x﹣2y）．
故答案为：（x+2y）（x﹣2y）．
12．（4分）已知﹣7x6y4和3x2myn是同类项，则m﹣n的值是 ﹣1 ．
【分析】根据同类项的定义求解即可，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
【解答】解：由题意得：2m＝6，n＝4，
∴m＝3，
∴m﹣n＝3﹣4＝﹣1．
故答案为：﹣1．
13．（4分）若某数的两个平方根是a+1与a﹣3，则这个数是 4 ．
【分析】由于一个正数的两个平方根应该互为相反数，由此列方程解出a，进而解答即可．
【解答】解：∵一个正数x的两个平方根分别是a+1与a﹣3，
∴a+1+（a﹣3）＝0，
解得a＝1，
a+1＝2，
所以这个数是4，
故答案为：4．
14．（4分）若实数m，n满足|m﹣2|+（n﹣2021）2＝0，则m﹣1+n0＝ ．
【分析】首先利用非负数的性质得出m，n的值，再利用负整数指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：∵|m﹣2|+（n﹣2021）2＝0，
∴m﹣2＝0，n﹣2021＝0，
解得：m＝2，n＝2021，
故m﹣1+n0＝2﹣1+1
＝+1
＝．
故答案为：．
15．（4分）用一个圆心角为180°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是 3 ．
【分析】设圆锥的底面半径为r．根据圆锥的底面圆的周长＝扇形的弧长，构建方程求解即可．
【解答】解：设圆锥的底面半径为r．
由题意，2πr＝，
∴r＝3，
故答案为：3．
16．（4分）如图，把三角形纸片折叠，使点B、点C都与点A重合，折痕分别为DE，FG，得到∠AGE＝30°，若AE＝EG＝2厘米，则△ABC的边BC的长为 （4+2） 厘米．
【分析】根据折叠的性质和含30°的直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵把三角形纸片折叠，使点B、点C都与点A重合，折痕分别为DE，FG，
∴BE＝AE，AG＝GC，∠ADE＝∠BDE＝90°，∠AED＝∠BED，
∵∠AGE＝30°，AE＝EG＝2厘米，
∴AE＝2厘米，∠EAG＝30°，
∴∠AEB＝∠EAG+∠AGE＝60°，
∴∠AED＝∠BED＝30°，
∴∠BAE＝60°，
∴∠BAG＝90°，
∴AB＝（cm），
∴＝2（厘米），
∴BC＝BE+EG+GC＝（4+2）厘米，
故答案为（4+2）．
17．（4分）如图，有两张矩形纸片ABCD和EFGH，AB＝EF＝2cm，BC＝FG＝8cm．把纸片ABCD交叉叠放在纸片EFGH上，使重叠部分为平行四边形，且点D与点G重合．当两张纸片交叉所成的角α最小时，tanα等于 ．
【分析】由“ASA”可证△CDM≌△HDN，可证MD＝DN，即可证四边形DNKM是菱形，当点B与点E重合时，两张纸片交叉所成的角a最小，可求CM＝，即可求tanα的值．
【解答】解：如图，
∵∠ADC＝∠HDF＝90°，
∴∠CDM＝∠NDH，
在△CDM和△HDN中，
，
∴△CDM≌△HDN（ASA），
∴MD＝ND，
∴四边形DNKM是菱形，
∴KM＝DM，
∵sinα＝sin∠DMC＝，
∴当点B与点E重合时，两张纸片交叉所成的角a最小，
设MD＝a＝BM，则CM＝8﹣a，
∵MD2＝CD2+MC2，
∴a2＝4+（8﹣a）2，
∴a＝，
∴CM＝，
∴tanα＝tan∠DMC＝＝．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）先化简，再求值．（x﹣2y）2+2y（2x﹣3y）．其中x＝﹣1，y＝．
【分析】根据完全平方公式、多项式乘多项式的运算法则把原式化简，把x、y的值代入计算，得到答案．
【解答】解：（x﹣2y）2+2y（2x﹣3y）
＝x2﹣4xy+4y2+4xy﹣6y2
＝x2﹣2y2，
当x＝﹣1，y＝时，原式＝（﹣1）2﹣2×（）2＝﹣．
19．（6分）先化简，再求值：﹣，其中x＝2﹣．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝﹣•+
＝﹣+
＝﹣，
当x＝2﹣时，
原式＝﹣＝．
20．（6分）如图，已知▱ABCD．
（1）作出BC的垂直平分线，交AD于点E，交BC于点F，（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在1的条件下，连接BE，CE，若∠D＝65°，∠ABE＝25°，求∠ECB的度数．
【分析】（1）利用基本作图作BC的垂直平分线即可；
（2）先利用平行四边形的性质得到∠ABC＝∠D＝65°，则可计算出∠EBC＝40°，再根据线段垂直平分线的性质得到EB＝EC，然后根据等腰三角形的性质得到∠ECB＝∠EBC．
【解答】解：（1）如图，EF为所作；
（2）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠ABC＝∠D＝65°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝65°﹣25°＝40°，
∵EF垂直平分BC，
∴EB＝EC，
∴∠ECB＝∠EBC＝40°．
三、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）2020年春季在新冠疫情的背景下，全国各大中小学纷纷开设空中课堂，学生要面对电脑等电子产品上网课，某校为了解本校学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调查结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：根据图中信息，解答下列问题：
（1）在扇形统计图中，“比较重视”所占的圆心角的度数为 162° ，并补全条形统计图；
（2）该校共有学生3200人，请你估计该校对视力保护“非常重视”的学生人数；
（3）对视力“非常重视”的4人有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人向全校作视力保护经验交流，请利用树状图或列表法，求出恰好抽到同性别学生的概率．
【分析】（1）先由“不重视”的学生人数和所占百分比求出调查总人数，再由360°乘以比较重视”的学生所占比例得所占的圆心角的度数；求出“重视”的人数，补全条形统计图即可；
（2）由该校共有学生人数乘以“非常重视”的学生所占比例即可；
（3）画树状图，共有12个等可能的结果，恰好抽到同性别学生的结果有4个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）调查的学生人数为16÷20%＝80（人），
∴“比较重视”所占的圆心角的度数为360°×＝162°，
故答案为：162°，
“重视”的人数为80﹣4﹣36﹣16＝24（人），补全条形统计图如图：
（2）由题意得：3200×＝160（人），
即估计该校对视力保护“非常重视”的学生人数为160人；
（3）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，恰好抽到同性别学生的结果有4个，
∴恰好抽到同性别学生的概率为＝．
22．（8分）在期末一节复习课上，八年（一）班的数学老师要求同学们列二元一次方程组解下列问题：
在我市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为扶贫村庄修建3000m的村路，甲队每天修建150m，乙队每天修建200m，共用18天完成．
（1）粗心的张红同学，根据题意，列出的两个二元一次方程，等号后面忘记写数据，得到了一个不完整的二元一次方程组，张红列出的这个不完整的方程组中未知数p表示的是 甲工程队修建的天数， ，未知数q表示的是 乙工程队修建的天数， ；张红所列出正确的方程组应该是 ；
（2）李芳同学的思路是想设甲工程队修建了xm村路，乙工程队修建了ym村路．下面请你按照李芳的思路，求甲、乙两个工程队分别修建了多少天？
【分析】（1）根据题意即可完成填空；
（2）根据题意列出方程组即可解决问题．
【解答】解：（1）方程组中未知数p表示的是：甲工程队修建的天数，
未知数q表示的是：乙工程队修建的天数，
列出正确的方程组应该是：
．
故答案为：甲工程队修建的天数，乙工程队修建的天数，；
（2）设甲工程队修建了xm村路，乙工程队修建了ym村路，
根据题意，得，
解得，
所以甲工程队修建的天数：1800÷150＝12（天），
乙工程队修建的天数：1200÷200＝6（天）．
答：甲、乙两个工程队分别修建了12天、6天．
23．（8分）如图，点O是Rt△ABC的斜边AB上一点，⊙O与边AB交于点A，D，与AC交于点E，点F是的中点，边BC经过点F，连接AF．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AF＝8，求AC的长．
【分析】（1）连接OF，证得OF∥AC，由平行线的性质推出OF⊥BC，根据切线的判定推出即可；
（2）过点O作OH⊥AF于点H，由垂径定理求出AH＝4，证明△AOH∽△AFC，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．
【解答】（1）证明：如图1，连接OF，
∵点F是的中点，
∴＝，
∴∠CAF＝∠DAF，
∵AO＝OF，
∴∠BAF＝∠AFO，
∴∠CAF＝∠AFO，
∴AC∥OF，
∵∠ACB＝90°，
∴OF⊥BC，
∴BC与⊙O相切；
（2）如图2，过点O作OH⊥AF于点H，
∵AF＝8，
∴AH＝HF＝AF＝4，
∵∠OAH＝∠FAC，∠OHA＝∠ACF＝90°，
∴△AOH∽△AFC，
∴，
∴，
∴AC＝．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）如图，已知直线OA与反比例函数y＝（m≠0）的图象在第一象限交于点A．若OA＝4，直线OA与x轴的夹角为60°．
（1）求点A的坐标；
（2）求反比例函数的解析式；
（3）若点P是坐标轴上的一点，当△AOP是直角三角形时，直接写出点P的坐标．
【分析】（1）过点A作AE⊥x轴于E，由直角三角形的性质可求OE＝OA＝2，AE＝OE＝2，即可求解；
（2）利用待定系数法可求解；
（3）分四种情况讨论，利用直角三角形的性质可求解．
【解答】解：（1）如图1，过点A作AE⊥x轴于E，
∵∠AOE＝60°，AE⊥OE，
∴∠OAE＝30°，
∴OE＝OA＝2，AE＝OE＝2，
∴点A（2，2）；
（2）∵反比例函数y＝的图象过点A，
∴m＝2×2＝4，
∴反比例函数解析式为y＝；
（3）如图，
当点P1在y轴上时，且∠AP1O＝90°，
又∵∠AOP1＝30°，
∴AP1＝2，OP1＝AP1＝2，
∴点P1（0，2）；
当点P2在x轴上，且∠AP2O＝90°，
又∵∠OAP2＝30°，
∴OP2＝2，
∴点P2（2，0）；
当点P3在y轴上，且∠P3AO＝90°，
又∵∠AOP3＝30°，
∴OP3＝2AP3，AO＝AP3＝4，
∴OP3＝，
∴点P3（0，）；
当点P4在x轴上，且∠P4AO＝90°，
∵∠AOP4＝60°，
∴∠AP4O＝30°，
∴OP4＝2OA＝8，
∴点P4（8，0）；
综上所述：点P的坐标为（0，2）或（2，0）或（0，）或（8，0）．
25．（10分）如图1，一次函数的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，且B点坐标为（0，4），以点A为顶点的抛物线解析式为y＝﹣（x+2）2．
（1）求一次函数的解析式；
（2）如图2，将抛物线的顶点沿线段AB平移，此时抛物线顶点记为C，与y轴交点记为D，当点C的横坐标为﹣1时，求抛物线的解析式及D点的坐标；
（3）在（2）的条件下，线段AB上是否存在点P，使以点B，D，P为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，求出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先求出点A坐标，利用待定系数法可求解析式；
（2）先求出点C坐标，由平移的性质可得可求平移后的解析式，即可求点D坐标；
（3）分两种情况讨论，利用相似三角形的性质可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线解析式为y＝﹣（x+2）2，
∴点A的坐标为（﹣2，0），
设一次函数解析式为y＝kx+b（k≠0），
把A（﹣2，0），B（0，4）代入y＝kx+b，
得，
解得，
∴一次函数解析式为y＝2x+4；
（2）∵点C在直线y＝2x+4上，且点C的横坐标为﹣1，
∴y＝2×（﹣1）+4＝2，
∴点C坐标为（﹣1，2），
设平移后的抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），
∵a＝﹣1，顶点坐标为C（﹣1，2），
∴抛物线的解析式是y＝﹣（x+1）2+2，
∵抛物线与y轴的交点为D，
∴令x＝0，得y＝1，
∴点D坐标为（0，1）；
（3）存在，
①过点D作P1D∥OA交AB于点P1，
∴△BDP1∽△BOA，
∴P1点的纵坐标为1，代入一次函数y＝2x+4，
得，
∴P1的坐标为（，1）；
②过点D作P2D⊥AB于点P2，
∴∠BP2D＝∠AOB＝90°，
又∵∠DBP2＝∠ABO（公共角），
∴△BP2D∽△BOA，
∴，
∵直线y＝2x+4与x轴的交点A（﹣2，0），B（0，4），
又∵D（0，1），
∴OA＝2，OB＝4，BD＝3，
∴，
∴，
∴，
过P2作P2M⊥y轴于点M，
设P2（a，2a+4），
则P2M＝|a|＝﹣a，BM＝4﹣（2a+4）＝﹣2a，
在Rt△BP2M中 ，
∴，
解得（舍去），
∴，
∴，
∴P2的坐标为（，），
综上所述：点P的坐标为：（，1）或（，）．
2021年广东省中考数学仿真模拟试卷（三）
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑。
1．（3分）﹣9的绝对值是（ ）
A． B．﹣ C．9 D．﹣9
2．（3分）北京冬奥会和冬残奥会赛会志愿者招募工作进展顺利，截止2020年底，赛会志愿者申请人数已突破960000人．将960000用科学记数法表示为（ ）
A．96×104 B．9.6×104 C．9.6×105 D．9.6×106
3．（3分）在平面直角坐标系中，点（2，5）关于y轴对称点的坐标为（ ）
A．（﹣2，5） B．（2，﹣5） C．（﹣2，﹣5） D．（2，5）
4．（3分）如图所示的几何体从上面看到的形状图是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）代数式在实数范围内有意义的条件是（ ）
A．x＞﹣ B．x≠﹣ C．x＜﹣ D．x≥﹣
6．（3分）已知有下列四个算式：①（﹣5）+（+3）＝﹣8；②﹣（﹣2）3＝6；③（﹣3）÷（﹣）＝9；④（﹣）﹣（﹣）＝﹣．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（3分）若一个多边形内角和等于1260°，则该多边形边数是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
8．（3分）成都市某医院开展了主题为“抗击疫情，迎战硝烟”的护士技能比赛活动，决赛中5名护士的成绩（单位：分）分别为：88，93，90，93，92，则这组数据的中位数是（ ）
A．88 B．90 C．92 D．93
9．（3分）已知m，n是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则m2﹣n+2019的值是（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2023
10．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，下列结论：
①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；
②9a+3b+c＜0；
③一元二次方程ax2+bx+c＝2的两根之和为﹣1；
④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上.
11．（4分）将x2﹣4y2因式分解为 ．
12．（4分）已知﹣7x6y4和3x2myn是同类项，则m﹣n的值是 ．
13．（4分）若某数的两个平方根是a+1与a﹣3，则这个数是 ．
14．（4分）若实数m，n满足|m﹣2|+（n﹣2021）2＝0，则m﹣1+n0＝ ．
15．（4分）用一个圆心角为180°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是 ．
16．（4分）如图，把三角形纸片折叠，使点B、点C都与点A重合，折痕分别为DE，FG，得到∠AGE＝30°，若AE＝EG＝2厘米，则△ABC的边BC的长为 厘米．
17．（4分）如图，有两张矩形纸片ABCD和EFGH，AB＝EF＝2cm，BC＝FG＝8cm．把纸片ABCD交叉叠放在纸片EFGH上，使重叠部分为平行四边形，且点D与点G重合．当两张纸片交叉所成的角α最小时，tanα等于 ．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）先化简，再求值．（x﹣2y）2+2y（2x﹣3y）．其中x＝﹣1，y＝．
19．（6分）先化简，再求值：﹣，其中x＝2﹣．
20．（6分）如图，已知▱ABCD．
（1）作出BC的垂直平分线，交AD于点E，交BC于点F，（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在1的条件下，连接BE，CE，若∠D＝65°，∠ABE＝25°，求∠ECB的度数．
三、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）2020年春季在新冠疫情的背景下，全国各大中小学纷纷开设空中课堂，学生要面对电脑等电子产品上网课，某校为了解本校学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调查结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：根据图中信息，解答下列问题：
（1）在扇形统计图中，“比较重视”所占的圆心角的度数为 ，并补全条形统计图；
（2）该校共有学生3200人，请你估计该校对视力保护“非常重视”的学生人数；
（3）对视力“非常重视”的4人有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人向全校作视力保护经验交流，请利用树状图或列表法，求出恰好抽到同性别学生的概率．
22．（8分）在期末一节复习课上，八年（一）班的数学老师要求同学们列二元一次方程组解下列问题：
在我市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为扶贫村庄修建3000m的村路，甲队每天修建150m，乙队每天修建200m，共用18天完成．
（1）粗心的张红同学，根据题意，列出的两个二元一次方程，等号后面忘记写数据，得到了一个不完整的二元一次方程组，张红列出的这个不完整的方程组中未知数p表示的是 ，未知数q表示的是 ；张红所列出正确的方程组应该是 ；
（2）李芳同学的思路是想设甲工程队修建了xm村路，乙工程队修建了ym村路．下面请你按照李芳的思路，求甲、乙两个工程队分别修建了多少天？
23．（8分）如图，点O是Rt△ABC的斜边AB上一点，⊙O与边AB交于点A，D，与AC交于点E，点F是的中点，边BC经过点F，连接AF．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AF＝8，求AC的长．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）如图，已知直线OA与反比例函数y＝（m≠0）的图象在第一象限交于点A．若OA＝4，直线OA与x轴的夹角为60°．
（1）求点A的坐标；
（2）求反比例函数的解析式；
（3）若点P是坐标轴上的一点，当△AOP是直角三角形时，直接写出点P的坐标．
25．（10分）如图1，一次函数的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，且B点坐标为（0，4），以点A为顶点的抛物线解析式为y＝﹣（x+2）2．
（1）求一次函数的解析式；
（2）如图2，将抛物线的顶点沿线段AB平移，此时抛物线顶点记为C，与y轴交点记为D，当点C的横坐标为﹣1时，求抛物线的解析式及D点的坐标；
（3）在（2）的条件下，线段AB上是否存在点P，使以点B，D，P为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，求出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．
2021年广东省中考数学仿真模拟试卷（三）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑。
1．（3分）﹣9的绝对值是（ ）
A． B．﹣ C．9 D．﹣9
【分析】在数轴上，一个数所表示的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，根据定义即可解答．
【解答】解：|﹣9|＝9．
故选：C．
2．（3分）北京冬奥会和冬残奥会赛会志愿者招募工作进展顺利，截止2020年底，赛会志愿者申请人数已突破960000人．将960000用科学记数法表示为（ ）
A．96×104 B．9.6×104 C．9.6×105 D．9.6×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：将960000用科学记数法表示为9.6×105．
故选：C．
3．（3分）在平面直角坐标系中，点（2，5）关于y轴对称点的坐标为（ ）
A．（﹣2，5） B．（2，﹣5） C．（﹣2，﹣5） D．（2，5）
【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．
【解答】解：点（2，5）关于y轴对称点的坐标为（﹣2，5）．
故选：A．
4．（3分）如图所示的几何体从上面看到的形状图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：从上面看共有两层，底层右边是1个小正方形，上层有2个小正方形．
故选：D．
5．（3分）代数式在实数范围内有意义的条件是（ ）
A．x＞﹣ B．x≠﹣ C．x＜﹣ D．x≥﹣
【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得，2x+1≥0，
解得x≥﹣，
故选：D．
6．（3分）已知有下列四个算式：①（﹣5）+（+3）＝﹣8；②﹣（﹣2）3＝6；③（﹣3）÷（﹣）＝9；④（﹣）﹣（﹣）＝﹣．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】第①个式子根据有理数的加法可以计算出正确的结果；
第②个式子根据有理数的乘方可以计算出正确的结果；
第③个式子根据有理数的除法可以计算出正确的结果；
第④个式子根据有理数的减法可以计算出正确的结果．
【解答】解：（﹣5）+（+3）＝（﹣5）+3＝﹣2，故①错误；
﹣（﹣2）3＝﹣（﹣8）＝8，故②错误；
（﹣3）÷（﹣）＝3×3＝9，故③正确；
（﹣）﹣（﹣）＝（﹣）+＝﹣，故④正确；
故选：B．
7．（3分）若一个多边形内角和等于1260°，则该多边形边数是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】设多边形的边数为n，根据多边形内角和定理得出（n﹣2）•180°＝1260°，求出即可．
【解答】解：设多边形的边数为n，
则（n﹣2）•180°＝1260°，
解得：n＝9，
故选：B．
8．（3分）成都市某医院开展了主题为“抗击疫情，迎战硝烟”的护士技能比赛活动，决赛中5名护士的成绩（单位：分）分别为：88，93，90，93，92，则这组数据的中位数是（ ）
A．88 B．90 C．92 D．93
【分析】根据中位数的定义求解即可．
【解答】解：从小到大排列此数据为：88，90，92，93，93，92处在第3位为中位数．
故选：C．
9．（3分）已知m，n是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则m2﹣n+2019的值是（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2023
【分析】利用一元二次方程根的定义得到m2＝﹣m+3，则m2﹣n+2019＝﹣（m+n）+2022，再根据根与系数的关系得到m+n＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵m方程x2+x﹣3＝0的实数根，
∴m2+m﹣3＝0，
∴m2＝﹣m+3，
∴m2﹣n+2019＝﹣m+3﹣n+2019
＝﹣（m+n）+2022，
∵m，n是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣1，
∴m2﹣n+2019＝﹣（﹣1）+2022＝2023．
故选：D．
10．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，下列结论：
①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；
②9a+3b+c＜0；
③一元二次方程ax2+bx+c＝2的两根之和为﹣1；
④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用二次函数的性质结合二次函数的图象确定符合条件的选项，即可得出结论．
【解答】解：①根据题意得：，
解得：a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3，
∴y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴二次函数图象的顶点坐标为（﹣1，4），
∴二次三项式ax2+bx+c的最大值为4，故①正确；
②∵当x＝3时，y＜0，
∴9a+3b+c＜0，故②错误；
③∵抛物线与x轴的交点分别是（﹣3，0），（1，0），
∴抛物线对称轴为x＝﹣1，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝2的两根之和为﹣3+1＝﹣2，故③错误；
④由函数图象可知，当y≤3时，x≥0或x≤﹣2，故④错误．
故选：A．
二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上.
11．（4分）将x2﹣4y2因式分解为 （x+2y）（x﹣2y） ．
【分析】原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝x2﹣（2y）2
＝（x+2y）（x﹣2y）．
故答案为：（x+2y）（x﹣2y）．
12．（4分）已知﹣7x6y4和3x2myn是同类项，则m﹣n的值是 ﹣1 ．
【分析】根据同类项的定义求解即可，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
【解答】解：由题意得：2m＝6，n＝4，
∴m＝3，
∴m﹣n＝3﹣4＝﹣1．
故答案为：﹣1．
13．（4分）若某数的两个平方根是a+1与a﹣3，则这个数是 4 ．
【分析】由于一个正数的两个平方根应该互为相反数，由此列方程解出a，进而解答即可．
【解答】解：∵一个正数x的两个平方根分别是a+1与a﹣3，
∴a+1+（a﹣3）＝0，
解得a＝1，
a+1＝2，
所以这个数是4，
故答案为：4．
14．（4分）若实数m，n满足|m﹣2|+（n﹣2021）2＝0，则m﹣1+n0＝ ．
【分析】首先利用非负数的性质得出m，n的值，再利用负整数指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：∵|m﹣2|+（n﹣2021）2＝0，
∴m﹣2＝0，n﹣2021＝0，
解得：m＝2，n＝2021，
故m﹣1+n0＝2﹣1+1
＝+1
＝．
故答案为：．
15．（4分）用一个圆心角为180°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是 3 ．
【分析】设圆锥的底面半径为r．根据圆锥的底面圆的周长＝扇形的弧长，构建方程求解即可．
【解答】解：设圆锥的底面半径为r．
由题意，2πr＝，
∴r＝3，
故答案为：3．
16．（4分）如图，把三角形纸片折叠，使点B、点C都与点A重合，折痕分别为DE，FG，得到∠AGE＝30°，若AE＝EG＝2厘米，则△ABC的边BC的长为 （4+2） 厘米．
【分析】根据折叠的性质和含30°的直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵把三角形纸片折叠，使点B、点C都与点A重合，折痕分别为DE，FG，
∴BE＝AE，AG＝GC，∠ADE＝∠BDE＝90°，∠AED＝∠BED，
∵∠AGE＝30°，AE＝EG＝2厘米，
∴AE＝2厘米，∠EAG＝30°，
∴∠AEB＝∠EAG+∠AGE＝60°，
∴∠AED＝∠BED＝30°，
∴∠BAE＝60°，
∴∠BAG＝90°，
∴AB＝（cm），
∴＝2（厘米），
∴BC＝BE+EG+GC＝（4+2）厘米，
故答案为（4+2）．
17．（4分）如图，有两张矩形纸片ABCD和EFGH，AB＝EF＝2cm，BC＝FG＝8cm．把纸片ABCD交叉叠放在纸片EFGH上，使重叠部分为平行四边形，且点D与点G重合．当两张纸片交叉所成的角α最小时，tanα等于 ．
【分析】由“ASA”可证△CDM≌△HDN，可证MD＝DN，即可证四边形DNKM是菱形，当点B与点E重合时，两张纸片交叉所成的角a最小，可求CM＝，即可求tanα的值．
【解答】解：如图，
∵∠ADC＝∠HDF＝90°，
∴∠CDM＝∠NDH，
在△CDM和△HDN中，
，
∴△CDM≌△HDN（ASA），
∴MD＝ND，
∴四边形DNKM是菱形，
∴KM＝DM，
∵sinα＝sin∠DMC＝，
∴当点B与点E重合时，两张纸片交叉所成的角a最小，
设MD＝a＝BM，则CM＝8﹣a，
∵MD2＝CD2+MC2，
∴a2＝4+（8﹣a）2，
∴a＝，
∴CM＝，
∴tanα＝tan∠DMC＝＝．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）先化简，再求值．（x﹣2y）2+2y（2x﹣3y）．其中x＝﹣1，y＝．
【分析】根据完全平方公式、多项式乘多项式的运算法则把原式化简，把x、y的值代入计算，得到答案．
【解答】解：（x﹣2y）2+2y（2x﹣3y）
＝x2﹣4xy+4y2+4xy﹣6y2
＝x2﹣2y2，
当x＝﹣1，y＝时，原式＝（﹣1）2﹣2×（）2＝﹣．
19．（6分）先化简，再求值：﹣，其中x＝2﹣．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝﹣•+
＝﹣+
＝﹣，
当x＝2﹣时，
原式＝﹣＝．
20．（6分）如图，已知▱ABCD．
（1）作出BC的垂直平分线，交AD于点E，交BC于点F，（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在1的条件下，连接BE，CE，若∠D＝65°，∠ABE＝25°，求∠ECB的度数．
【分析】（1）利用基本作图作BC的垂直平分线即可；
（2）先利用平行四边形的性质得到∠ABC＝∠D＝65°，则可计算出∠EBC＝40°，再根据线段垂直平分线的性质得到EB＝EC，然后根据等腰三角形的性质得到∠ECB＝∠EBC．
【解答】解：（1）如图，EF为所作；
（2）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠ABC＝∠D＝65°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝65°﹣25°＝40°，
∵EF垂直平分BC，
∴EB＝EC，
∴∠ECB＝∠EBC＝40°．
三、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）2020年春季在新冠疫情的背景下，全国各大中小学纷纷开设空中课堂，学生要面对电脑等电子产品上网课，某校为了解本校学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调查结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：根据图中信息，解答下列问题：
（1）在扇形统计图中，“比较重视”所占的圆心角的度数为 162° ，并补全条形统计图；
（2）该校共有学生3200人，请你估计该校对视力保护“非常重视”的学生人数；
（3）对视力“非常重视”的4人有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人向全校作视力保护经验交流，请利用树状图或列表法，求出恰好抽到同性别学生的概率．
【分析】（1）先由“不重视”的学生人数和所占百分比求出调查总人数，再由360°乘以比较重视”的学生所占比例得所占的圆心角的度数；求出“重视”的人数，补全条形统计图即可；
（2）由该校共有学生人数乘以“非常重视”的学生所占比例即可；
（3）画树状图，共有12个等可能的结果，恰好抽到同性别学生的结果有4个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）调查的学生人数为16÷20%＝80（人），
∴“比较重视”所占的圆心角的度数为360°×＝162°，
故答案为：162°，
“重视”的人数为80﹣4﹣36﹣16＝24（人），补全条形统计图如图：
（2）由题意得：3200×＝160（人），
即估计该校对视力保护“非常重视”的学生人数为160人；
（3）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，恰好抽到同性别学生的结果有4个，
∴恰好抽到同性别学生的概率为＝．
22．（8分）在期末一节复习课上，八年（一）班的数学老师要求同学们列二元一次方程组解下列问题：
在我市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为扶贫村庄修建3000m的村路，甲队每天修建150m，乙队每天修建200m，共用18天完成．
（1）粗心的张红同学，根据题意，列出的两个二元一次方程，等号后面忘记写数据，得到了一个不完整的二元一次方程组，张红列出的这个不完整的方程组中未知数p表示的是 甲工程队修建的天数， ，未知数q表示的是 乙工程队修建的天数， ；张红所列出正确的方程组应该是 ；
（2）李芳同学的思路是想设甲工程队修建了xm村路，乙工程队修建了ym村路．下面请你按照李芳的思路，求甲、乙两个工程队分别修建了多少天？
【分析】（1）根据题意即可完成填空；
（2）根据题意列出方程组即可解决问题．
【解答】解：（1）方程组中未知数p表示的是：甲工程队修建的天数，
未知数q表示的是：乙工程队修建的天数，
列出正确的方程组应该是：
．
故答案为：甲工程队修建的天数，乙工程队修建的天数，；
（2）设甲工程队修建了xm村路，乙工程队修建了ym村路，
根据题意，得，
解得，
所以甲工程队修建的天数：1800÷150＝12（天），
乙工程队修建的天数：1200÷200＝6（天）．
答：甲、乙两个工程队分别修建了12天、6天．
23．（8分）如图，点O是Rt△ABC的斜边AB上一点，⊙O与边AB交于点A，D，与AC交于点E，点F是的中点，边BC经过点F，连接AF．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AF＝8，求AC的长．
【分析】（1）连接OF，证得OF∥AC，由平行线的性质推出OF⊥BC，根据切线的判定推出即可；
（2）过点O作OH⊥AF于点H，由垂径定理求出AH＝4，证明△AOH∽△AFC，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．
【解答】（1）证明：如图1，连接OF，
∵点F是的中点，
∴＝，
∴∠CAF＝∠DAF，
∵AO＝OF，
∴∠BAF＝∠AFO，
∴∠CAF＝∠AFO，
∴AC∥OF，
∵∠ACB＝90°，
∴OF⊥BC，
∴BC与⊙O相切；
（2）如图2，过点O作OH⊥AF于点H，
∵AF＝8，
∴AH＝HF＝AF＝4，
∵∠OAH＝∠FAC，∠OHA＝∠ACF＝90°，
∴△AOH∽△AFC，
∴，
∴，
∴AC＝．
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）如图，已知直线OA与反比例函数y＝（m≠0）的图象在第一象限交于点A．若OA＝4，直线OA与x轴的夹角为60°．
（1）求点A的坐标；
（2）求反比例函数的解析式；
（3）若点P是坐标轴上的一点，当△AOP是直角三角形时，直接写出点P的坐标．
【分析】（1）过点A作AE⊥x轴于E，由直角三角形的性质可求OE＝OA＝2，AE＝OE＝2，即可求解；
（2）利用待定系数法可求解；
（3）分四种情况讨论，利用直角三角形的性质可求解．
【解答】解：（1）如图1，过点A作AE⊥x轴于E，
∵∠AOE＝60°，AE⊥OE，
∴∠OAE＝30°，
∴OE＝OA＝2，AE＝OE＝2，
∴点A（2，2）；
（2）∵反比例函数y＝的图象过点A，
∴m＝2×2＝4，
∴反比例函数解析式为y＝；
（3）如图，
当点P1在y轴上时，且∠AP1O＝90°，
又∵∠AOP1＝30°，
∴AP1＝2，OP1＝AP1＝2，
∴点P1（0，2）；
当点P2在x轴上，且∠AP2O＝90°，
又∵∠OAP2＝30°，
∴OP2＝2，
∴点P2（2，0）；
当点P3在y轴上，且∠P3AO＝90°，
又∵∠AOP3＝30°，
∴OP3＝2AP3，AO＝AP3＝4，
∴OP3＝，
∴点P3（0，）；
当点P4在x轴上，且∠P4AO＝90°，
∵∠AOP4＝60°，
∴∠AP4O＝30°，
∴OP4＝2OA＝8，
∴点P4（8，0）；
综上所述：点P的坐标为（0，2）或（2，0）或（0，）或（8，0）．
25．（10分）如图1，一次函数的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，且B点坐标为（0，4），以点A为顶点的抛物线解析式为y＝﹣（x+2）2．
（1）求一次函数的解析式；
（2）如图2，将抛物线的顶点沿线段AB平移，此时抛物线顶点记为C，与y轴交点记为D，当点C的横坐标为﹣1时，求抛物线的解析式及D点的坐标；
（3）在（2）的条件下，线段AB上是否存在点P，使以点B，D，P为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，求出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先求出点A坐标，利用待定系数法可求解析式；
（2）先求出点C坐标，由平移的性质可得可求平移后的解析式，即可求点D坐标；
（3）分两种情况讨论，利用相似三角形的性质可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线解析式为y＝﹣（x+2）2，
∴点A的坐标为（﹣2，0），
设一次函数解析式为y＝kx+b（k≠0），
把A（﹣2，0），B（0，4）代入y＝kx+b，
得，
解得，
∴一次函数解析式为y＝2x+4；
（2）∵点C在直线y＝2x+4上，且点C的横坐标为﹣1，
∴y＝2×（﹣1）+4＝2，
∴点C坐标为（﹣1，2），
设平移后的抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），
∵a＝﹣1，顶点坐标为C（﹣1，2），
∴抛物线的解析式是y＝﹣（x+1）2+2，
∵抛物线与y轴的交点为D，
∴令x＝0，得y＝1，
∴点D坐标为（0，1）；
（3）存在，
①过点D作P1D∥OA交AB于点P1，
∴△BDP1∽△BOA，
∴P1点的纵坐标为1，代入一次函数y＝2x+4，
得，
∴P1的坐标为（，1）；
②过点D作P2D⊥AB于点P2，
∴∠BP2D＝∠AOB＝90°，
又∵∠DBP2＝∠ABO（公共角），
∴△BP2D∽△BOA，
∴，
∵直线y＝2x+4与x轴的交点A（﹣2，0），B（0，4），
又∵D（0，1），
∴OA＝2，OB＝4，BD＝3，
∴，
∴，
∴，
过P2作P2M⊥y轴于点M，
设P2（a，2a+4），
则P2M＝|a|＝﹣a，BM＝4﹣（2a+4）＝﹣2a，
在Rt△BP2M中 ，
∴，
解得（舍去），
∴，
∴，
∴P2的坐标为（，），
综上所述：点P的坐标为：（，1）或（，）．
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